Розрахунки обсягу продукції, що випускається виробничим підприємством

Зміст

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 1

Для виготовлення продукції двох видів А і Б підприємство витрачає ресурси, а від реалізації цієї продукції отримує дохід. Інформація про норми витрат ресурсів на одиницю продукції, що випускається, запаси витрачаються ресурсів, наявних у розпорядженні підприємства, і виручки від реалізації готової продукції наведені в таблиці.

Завдання підприємства полягає в тому, щоб розробити програму випуску, що забезпечує отримання максимального виручки від реалізації готової продукції.

Потрібно:

1. Побудувати математичну модель оптимізації випуску продукції і записати її у формі завдання лінійного програмування.

2. Використовуючи графічний метод розв'язання задачі лінійного програмування, знайти оптимальну програму випуску продукції.

3. Записати задачу, двоїсту до задачі оптимізації випуску продукції.

4. Використовуючи умови «доповнює нежорсткої», знайти оптимальне рішення двоїстої задачі.

5. Привести економічну інтерпретацію змінних і оптимального рішення двоїстої задачі.

6. Провести графічний аналіз стійкості зміни обсягів використовуваних ресурсів. Знайти функції граничної корисності ресурсів і побудувати їх графіки. Визначити функціональну залежність максимальної виручки обсягів використовуваних ресурсів, побудувати графіки цих функцій.

Рішення.

1.1. У нашій задачі необхідно визначити місячні обсяги випуску продукції виду А і Б. Позначимо ці обсяги як змінні моделі:

х ₁ - місячний обсяг випуску продукції А,

х ₂ - місячний обсяг випуску продукції Б.

Використовуючи дані таблиці, отримаємо:

витрата сировини = х ₁ +4 х _2,

витрати часу роботи обладнання = 3х ₁ + 5х _2,

витрати робочого часу = 2х ₁ + 4х _2.

Так як щомісячну витрату ресурсів не може перевищувати їх максимально можливий місячний розмір, то маємо обмеження

х1 + 4х2  314

3х1 +5 х2  535

2х1 + 4х2  368

Ще одне неявне обмеження полягає в тому, що змінні х ₁ і х ₂ повинні бути ненегативні, тобто х ₁ ³ 0, х ₂ ³ 0.

Цільова функція моделі повинна виражати основну мету діяльності підприємства. У нашому прикладі це отримання максимального виручки від реалізації виробленої на протязі місяця продукції. Якщо позначити функцію розміру виручки через Z, то Z = 106х ₁ + 181х _2,

а основна мета підприємства може бути виражена так:

Максимізувати цільову функцію Z = 165Х ₁ + 456х _2,

Перепишемо це умова в такій формі: Z = 165Х ₁ + 456х ₂ ® max.

Таким чином, математична модель оптимізації випуску продукції може бути записана в наступному вигляді.

Знайти невідомі значення змінних х ₁ і х _2, що задовольняють обмеженням

х1 + 4х2  314

3х1 +5 х2  535

2х1 + 4х2  368

х1  0, х2  0

і доставляють максимальне значення цільової функції Z = 165Х ₁ + 456х ₂ ® max.

Побудована модель є задачею лінійного програмування. Будь-яке рішення, яке задовольняє обмеженням моделі, називається допустимим, а допустиме рішення, що доставляє максимальне значення цільової функції, називається оптимальним.

1.2. Знаходження оптимальної виробничої програми випуску продукції.

Рішення задачі лінійного програмування з двома змінними може бути отримано графічним способом.

Побудуємо безліч допустимих рішень або область допустимих рішень. Проводимо перпендикулярні осі координат: горизонтальна - вісь Ох _1, вертикальна - Ох _2. Умови невід'ємності змінних х ₁ ³ 0, х ₂ ³ 0 показують, що область допустимих рішень буде лежати в першому квадранті системи координат. Для зображення на площині множини точок, координати яких задовольняють залишилися обмеженням моделі, розглянемо рівняння, одержувані з нерівностей моделі заміною знака «£» на знак «=». У результаті такої заміни отримаємо три лінійні рівняння прямих:

х1 + 4х2 = 314 (1)

3х1 +5 х2 = 535 (2)

2х1 + 4х2 = 368 (3)

х1  0, х2  0

Для того, щоб провести на площині пряму лінію, достатньо знати будь-які дві різні точки, що лежать на цій прямій. Розглянемо рівняння першої прямої. Якщо покласти х ₁ = 0, то х ₂ = 78,5, а при х ₂ = 0, х ₁ = 314. Позначимо цю пряму як лінія (1).

Пряма (2) проходить через точки з координатами (0; 107) і (178,3; 0).

Пряма (3) проходить через точки з координатами (0; 92) і (184; 0).

Кожна пряма ділить площину на дві півплощини. Точки розташовані по один бік прямої, задовольняють відповідним нерівності, а точки, розташовані по інший бік, не задовольняють. Для того, щоб визначити шукану полуплоскость, вибирається деяка «тестова» точка і її координати підставляються у ліву частину нерівності. Якщо для цієї точки нерівність виконується, то вона лежить в шуканої півплощині, тобто всі точки цієї півплощини задовольняють нерівності моделі. Якщо ж для «тестової» точки нерівність не виконується, то шуканої буде та полуплоскость, яка не містить цю точку. Взявши в якості «тестовому» точку з координатами (0; 0), переконуємося, що вона задовольняє всім нерівностям моделі.

Отже, всі півплощини, відповідні неравенствам моделі, містять точку (0,0).

Точки безлічі допустимих рішень повинні задовольняти всіх обмежень. Отже, безліч допустимих рішень є перетином всіх допустимих півплощини і являє собою багатокутник АВС D О. Будь-яка точка, розташована всередині цього багатокутника або на будь-якому відрізку його межі, є допустимим рішенням, тобто задовольняє всім обмеженням моделі.

Для знаходження оптимального рішення задачі необхідно визначити напрям зростання цільової функції.

Вектор, компоненти якого є коефіцієнтами цільової функції при змінних х ₁ і х _2, називають вектором - градієнтом цільової функції і позначають grad Z.

Цільова функція може зростати до тих пір, поки лінії рівня відповідні зростаючим значенням цієї функції, перетинають область допустимих рішень. Точка перетину області допустимих рішень і лінії рівня, що відповідає максимально можливому значенню цільової функції, і буде точкою максимуму.

На малюнку видно, що оптимальне рішення відповідає точці В, що лежить на перетині прямих (1) і (3). Тому її координати знаходимо як рішення системи лінійних рівнянь, які задають ці прямі:

х1 + 4х2 = 314

2х1 + 4х2 = 368

Вирішуючи цю систему знаходимо х ₁ * = 54, х ₂ *= 65. При цьому значення цільової функції Z = 165Х ₁ * + 462х ₂ * = 38550.

Отримане рішення означає, що підприємству необхідно щомісяця робити 54 одиниць продукції А та 65 одиниць продукції Б, що дозволить йому отримувати максимальну місячну виручку в розмірі 38550 рублів.

1.3. Побудова двоїстої задачі.

Знайти невідомі значення змінних u _1, u _2, u _3, які відповідають обмеженням:

u1 + 3u2 + 2u3  165

4u1 + 5u2 + 4u3  456

u1  0, u2  0, u3  0

і доставляють мінімальне значення цільової функції

W = 314 u ₁ + 535 u ₂ + 368 u ₃ ® min.

1.4. Знаходження оптимального рішення двоїстої задачі.

Для розглянутої нами завдання умови «додаткової нежорсткої» мають вигляд:

u ₁ (314 - x ₁ - 4x ₂₎ = 0 x ₁ (u ₁ + 3u ₂ + 2u ₃ - 165) = 0

u ₂ (535 - 3x ₁ - 5x ₂₎ = 0 x ₂ (4u ₁ + 5u ₂ + 4u ₃ - 456) = 0

u ₃ (368 - 2 x ₁ - 4 x ₂₎ = 0 u ₁ ³ 0, u ₂ ³ 0, u ₃ ³ 0,

Підставляючи в них знайдені значення х ₁ * = 54, х ₂ *= 65, отримаємо:

тому що х ₁ * = 54, то u ₁ + 3 u ₂ + ₂ u ₃ - 165 = 0

тому що х ₂ * = 65, то 4 u ₁ + 5 u ₂ + 4 u ₃ - 456 = 0

так як 535 - 3 x ₁ - 5 x ₂ ¹ 0, то u ₂ ^* = 0.

Отримуємо систему рівнянь:

u ₁ + 3 u ₂ + ₂ u ₃ - 165 = 0

4 u ₁ + 5 u ₂ + 4 u ₃ - 456 = 0

u ₂ = 0

Вирішуючи цю систему, знаходимо оптимальні значення змінних двоїстої задачі:

u ₁ * = 63, u ₂ * = 0, u ₃ * = 51

Обчислимо оптимальне значення цільової функції двоїстої задачі:

W = 314 × 63 + 535 × 0 + 368 × 51 = 38550, тобто Z * = W *, що відповідає першій теоремі подвійності.

1.5. Економічна інтерпретація змінних і оптимального рішення двоїстої задачі.

Для досліджуваної задачі оптимізації виробничої програми отримаємо

u ₁ - вартісна оцінка сировини, її розмірність [руб. / 1 кг сировини];

u ₂ - вартісна оцінка часу роботи обладнання, її розмірність [руб. / 1 ст.час];

u ₃ - вартісна оцінка трудових ресурсів, [руб. / 1 люд.-год];

u ₁ * = 63 означає, що при зміні кількості сировини з 63 стан.-годину до 63 + Δ s, зміна максимальної сумарної виручки складе u ₁ * Δ s (грн.) = 63 Δ s (руб).

u ₂ * = 0 означає, що ні збільшення, ні зменшення місячного кількості обладнання не призведе до зміни оптимального значення сумарної виручки.

u ₃ * = 51 означає, при зміні місячного розміру трудоресурсов з 51 стан.-годину до 51 + Δ t, зміна максимальної сумарної виручки складе u ₃ * Δ t (грн.) = 51 Δ t (руб).

1.6. Графічний аналіз стійкості сировини

Кількість використовуваної сировини S = х ₁ + 4 _2.

Якщо S Î [0; S (D)], то точкою максимуму є точка E (0; x ₁₎ перетину осі Ох ₁ і прямий обмеження по сировині (1).

Якщо S Î [S (D); S (C)], то точкою максимуму є точка R (x _1; x ₂₎ відрізка DC перетину прямої обмеження по сировині і прямої (2)

Якщо S Î [S (C); S (Р)], то точкою максимуму є точка Q (x _1; x ₂₎ відрізка C Р перетину прямої обмеження по сировині і прямої (3)

Якщо S Î [S (Р); ¥], то точкою максимуму є точка Р (0; x ₂₎ перетину прямої (3) і осі Ох _2.

Координати точки Е знаходяться із системи рівнянь

х ₁ + 4х ₂ = S

х ₂ = 0

Вирішуємо її:

х ₁ = S, х ₂ = 0.

Z * (S) = 165Х ₁ ^* + 456х ₂ ^* = 165 S; u ₁ = 165; u ₂ = 0; u ₃ = 0

Координати точки R знаходимо з системи рівнянь

х ₁ + 4х ₂ = S

3х ₁ + 5х ₂ = 535

Вирішуємо її:

х ₁ = (2140 - 5S) / 7, х ₂ = (3S-535) / 7.

Z * (S) = 165 х ₁ ^* + 456 х ₂ ^* = 165 '(2140 - 5S) / 7 + 456 "(3S-535) / 7 = 77,6 S + 15591,4;

u ₁ = 77,6; u ₂ = 0; u ₃ = 0.

Координати точки Q знаходимо з системи рівнянь

х ₁ + 4х ₂ = S

2х ₁ + 4х ₂ = 368

Вирішуємо її:

х ₁ = 368-S, х ₂ = (2S-368) / 4.

Z * (S) = 165 х ₁ ^* + 456 х ₂ ^* = 165 '(368-S) + 456 "(2S-368) / 4 = 63S + 18 768;

u ₁ = 25; u ₂ = 0; u ₃ = 0.

Координати точки Р

х ₁ = 0, х ₂ = 92.

Z * (S) = 165Х ₁ ^* + 456х ₂ ^* = +41952

u ₁ = 0; u ₂ = 0; u ₃ = 0.

S (D) = х ₁ + 4х ₂ = 178,3 +4 '0 = 178,3,

S (C) = х ₁ + 4х ₂ = 150 +4 '17 = 218

S (Р) = х ₁ + 4х ₂ = 0 +4 '92 = 368

S 0  S <178,3 178,3  S <218 218  S <368 S  368

u1 * (S) 165 77,6 63 0

Z * (S) 165S 77,6 S + 15591,4 63S + 18 768 сорок одна тисяча дев'ятсот п'ятьдесят дві

Інтервал стійкості [2 18; березня 1968)

Задача 2

Мале підприємство має намір організувати в наступному кварталі випуск продукції А і Б, що користується високим попитом на ринку. Підприємство має необхідне сировиною та обладнанням і може залучити кваліфікованих робітників на умовах погодинної оплати, але не має коштів на оплату праці робітників. Для цього воно може отримати в банку кредит терміном на три місяці під 40% річних з погашенням кредиту і відсотків по ньому в кінці кварталу.

Інформація про норми витрат сировини, обладнання і трудових ресурсів, обсяги сировини і парку устаткування, що є в розпорядженні підприємства, розмір виручки від реалізації продукції А і Б наведено в таблиці:

Метою організації випуску нової продукції є отримання максимального сумарного прибутку, яка визначається як різниця між сумарною виручкою, отриманою від реалізації виробленої за квартал продукції А і Б, і витратами, пов'язаними із забезпеченням кредиту (повернення суми кредиту і нарахованих відсотків).

Потрібно:

1. Побудувати математичну модель оптимізації випуску продукції з використанням кредиту для виплати зарплати робітниками з довільною погодинної ставкою t (руб. / люд.-год) оплати праці.

2. Визначити оптимальну програму випуску продукції, максимальний прибуток, необхідний розмір кредиту, суму сплачених відсотків і потреба в трудових ресурсах, якщо погодинна ставка t оплати праці дорівнює 10 руб. / люд.-год.

3. Знайти функцію попиту на трудові ресурси, як функцію погодинної ставки оплати праці t, побудувати графік цієї функції. Дослідити залежність розмірів максимального прибутку і кредиту, що забезпечує її отримання, від погодинної ставки t оплати праці в діапазоні від 10 до 30 рублів за люд.-год. Знайти функції, що виражають ці залежності, і побудувати їх графіки.

Рішення.

2.1 Побудова математичної моделі оптимізації випуску продукції.

Для побудови моделі введемо такі позначення:

х ₁ - обсяг випуску продукції А,

х ₂ - обсяг випуску продукції Б,

S - потреба в трудових ресурсах,

t - погодинна ставка оплати праці,

V - розмір кредиту,

Z - виручка від реалізації виробленої продукції,

P - прибуток підприємства.

Висловимо в математичній формі основні умови та обмеження розглянутої задачі.

Обмеження по використанню сировини: 3 x ₁ + 3 x ₂ £ 2070;

Обмеження щодо використання обладнання: 3 x ₁ + 5 x ₂ £ 2250;

Потреба в трудових ресурсах S визначається необхідними витратами праці для випуску продукції в обсягах х ₁ і х _2:

S = 2 x ₁ + 3 x _2.

Розмір необхідного кредиту визначається, виходячи з потреби в трудових ресурсах S і погодинної ставки оплати праці t, тобто

V = tS = t (2 x ₁ + 3 x _2).

Виручка від реалізації виробленої продукції:

Z = 638 x ₁ + 660 x ₂

Сума витрат з обслуговування кредиту визначається розміром повертається кредиту і відсотків по ньому, тобто дорівнює 40% 3

V = V + 0. 1 V = 1. 1 V.

Прибуток підприємства визначається як різниця між виручкою та витратами з обслуговування кредиту, тобто

Р = Z - 1.1 V.

Підставляючи в цю формулу вирази для Z і V, отримаємо

Р = (638 x ₁ + 660 x ₂₎ - 1,1 t (2 x ₁ + 3 x ₂₎ = (638 - 2,2 t) х ₁ + (660 - 3,3 t) х ₂

Отже, математична модель оптимізації випуску продукції із залученням кредитних ресурсів для оплати праці робітників приймає наступний вигляд:

Знайти невідомі значення обсягів випуску х _1, х _2, що задовольняють обмеженням

3 x ₁ + 3 x ₂ £ 2070

3 x ₁ + 5 x ₂ £ 2250 (1)

х ₁ ³ 0, х ₂ ³ 0,

і доставляють максимальне значення цільової функції:

Р = (638 - 2,2 t) х ₁ + (660 - 3,3 t) х ₂ → max.

При цьому необхідний розмір кредиту V визначається за формулою:

V = tS = 2 tx ₁ ^* + 3 tx ₂ *,

де х ₁ *, х ₂ * - оптимальне рішення задачі (1). Модель (1) являє собою завдання параметричного лінійного програмування, так як в її умовах міститься параметр t, від значення якого залежить оптимальне рішення.

2.2 Визначення оптимальної програми випуску продукції.

При фіксованій ставці оплати праці t = 10 руб. / люд.-год. математична модель (1) прийме вигляд:

3 x ₁ + 3 x ₂ £ 2070

3 x ₁ + 5 x ₂ £ 2250

х ₁ ³ 0, х ₂ ³ 0, Р = 616 х ₁ + 627х ₂ → max.

Графічне рішення задачі зображено на рис. Точкою максимуму є точка В з координатами х ₁ * = 600, х ₂ *= 90.

Максимальний розмір прибутку:

Р * = 616 '600 + 627' 90 = 426 030 (крб.),

Розмір необхідного кредиту:

V * = 2 tx ₁ ^* + 3 x ₂ * = 2 '10' 600 + 3 '10' 90 = 14 700 руб.,

Сума сплачених відсотків: 0,1 V * = 0,1 '14700 = 1470руб.

Потреба в трудових ресурсах: S * = 2 x ₁ ^* +3 x ₂ ^* = 2 '600 + 3' 90 = 1470 (люд.-год.).

2.3 Знаходження функції попиту на трудові ресурси

Потреба в трудових ресурсах S для забезпечення оптимального випуску в обсягах х ₁ *, х ₂ * визначаються співвідношенням: S * = 2 x ₁ ^* + 3 x ₂ ^*,

Але оптимальний план випуску Х * = (x ₁ ^*, x ₂ ^*), залежить від погодинної ставки t оплати праці. Отже, величина S також залежить від t, тобто потреба в трудових ресурсів S є деяка функція від параметра t.

Знайдемо цю функцію. Для цього розглянемо модель (1) і визначимо оптимальні плани випуску Х * = (x ₁ ^*, x ₂ ^*) при різних значеннях t, використовуючи графічний метод розв'язання задачі лінійного програмування.

Нехай t досить мало (близько до нуля). Розглянемо рівняння лінії рівня цільової функції Р = (638 - 2,2 t) х ₁ + (червень 1960 - 3,3 t) х ₂ = h.

При малих значеннях t пряма з таким рівнянням буде майже паралельна прямій з рівнянням Р = 638 х ₁ + 6 60 х ₂ = h.

Якщо «закріпити» лінію рівня в т.В і почати збільшувати значення параметра t, то точка перетину лінії рівня з віссю Ох ₂ почне переміщатися вгору по осі Ох _2.

Знайдемо значення t, при якому лінія рівня паралельна НД З рівності кутових коефіцієнтів отримуємо:

, T = 20

Отже, точка В (600; 90) залишається точкою максимуму поки t Î [0; 20).

Знайдемо максимальний розмір прибутку для t Î [0; 20):

Р * = (638 - 2,2 t) '600 + (червень 1960 - 3,3 t)' 90 = 442 200 - 1617 t (руб.),

Розмір необхідного кредиту:

V * = 2tx ₁ ^* + 3x ₂ * = 2 't' 600 +3 't' 90 = 1470t руб.,

Сума сплачених відсотків:

0,1 V * = 0,1 '1470 t = 147 t руб.

Потреба в трудових ресурсах:

S * = 2 x ₁ ^* + 3 x ₂ ^* = 2 '600 +3' 90 = 1470 (люд.-год.).

Якщо t = 20, то оптимальне рішення буде досягатися на відрізку ВС, кінці якого мають координати В (600; 90) і C (690; 0).

Якщо «закріпити» лінію рівня в т.с і почати збільшувати значення параметра t, то лінія рівня буде наближатися до осі Ох _1.

Знайдемо значення t, при якому лінія рівня паралельна осі Ох _1. З рівності кутових коефіцієнтів отримуємо:

; T = 220> 60.

Якщо t Î [20; 30] точкою максимуму стане точка С (690; 0).

Знайдемо максимальний розмір прибутку для t Î [20; 30]:

Р * = (638 - 2,2 t) '690 + (червень 1960 - 3,3 t)' 0 = 440 220 - 1518 t (руб.),

Розмір необхідного кредиту:

V * = 2tx ₁ ^* + 3x ₂ * = 2 't' 690 +3 't' 0 = 1380t руб.,

Сума сплачених відсотків: 0,1 V * = 138 t руб.

Потреба в трудових ресурсах:

S * = 2 x ₁ ^* + 3 x ₂ ^* = 2 '690 +3' 0 = 1380 (люд.-год.).

Таблиця: Підсумки виконання завдання

Задача 3

Максимізація обсягу продукції, що випускається в умовах обмежених фінансових ресурсів

Фірма при виробництві продукції використовує два види ресурсів: робочу силу (L, тис. люд.-год.) Та обладнання (K, тис. ст.-год.). Виробнича функція (ПФ) фірми, побудована шляхом обробки статистичних даних, має вигляд:

,

де Y - обсяг випуску продукції (од.).

Потрібно:

1. Побудувати графіки ПФ при фіксованому значенні однієї із змінних: а) K = 441; б) L = 63.

2. Знайти рівняння изоквант ПФ і побудувати їх графіки для Y ₁ = 656, Y ₂ = 984, Y ₃ = 1312.

3. Відомі обсяг випуску продукції Y = 984 і наявні трудові ресурси L = 63 в базовому періоді. Визначити потребу в обладнанні в плановому періоді при збільшенні обсягу випуску продукції на 10%, якщо можливість збільшення трудових ресурсів складає не більше 5%.

4. Робоча сила наймається за контрактом з погодинною оплатою праці 90 (ден.ед. / тис. Люд.-год), обладнання береться в оренду з сумарними витратами 30 (ден.ед. / тис. Ст.-годину). Обсяг капіталу, який фірма може витратити на робочу силу і обладнання, становить 21000 (ден. од.). Побудувати математичну модель задачі оптимізації випуску продукції, вважаючи, що ПФ задана на всій множині K ≥ 0, L ≥ 0; знайти графічним методом її рішення. Визначити граничну норму технологічного заміщення обладнання робочою силою і граничну ефективність фінансових ресурсів в точці оптимуму.

Вирішуємо задачу для наступних значень параметрів:

1) Виробнича функція (ПФ) - функція, що описує залежність максимального обсягу виробленого продукту від витрат ресурсів (факторів), що використовуються у виробничому процесі. У цьому завданню в якості ресурсів виступають робоча сила (L, тис. люд.-год.) Та обладнання (K, тис. ст.-год.). Виробнича функція фірми, побудована шляхом обробки статистичних даних, має вигляд:

де Y - обсяг випуску продукції (од.).

Побудуємо графіки виробничої функції при фіксованому значенні однієї із змінних.

а) За умовою K = 441. Тоді ПФ - статечна функція наступного виду:

Y = 4 *

Графік функції представлений на рис.

б) За умовою L = 63. Тоді ПФ - статечна функція наступного виду:

Y = 4 *

Графік функції представлений на рис.

2) Ізокванта - сукупність всіх комбінацій факторів виробництва (K, L), що забезпечують однаковий обсяг продукції, що випускається. Ізокванти дають графічне представлення двухфакторной виробничої функції Y (K, L) у вигляді її ліній рівня.

За умовою Y ₁ = 656; Y ₂ = 984; Y ₃ = 1312.

Випишемо відповідні цим значенням рівняння изоквант:

= 656;

= 984;

= 1312.

Для побудови на декартовій площині OKL изоквант з їх рівнянь в явному вигляді висловимо змінну L як функцію від змінної K:

або .

Отже, рівняння трьох изоквант запишемо в наступному вигляді:

, Звідси ;

, Звідси ;

, Звідси .

Графіки изоквант, опуклі до початку координат криві, зображені на рис. Різні комбінації (K _1, L ₁₎ і (K _2, L ₂₎ використовуваних ресурсів, що належать одній і тій же ізокванті, дають один і той же обсяг випуску Y. Ізокванта Y _3, розташована вище изоквант Y ₂ і Y _1, відповідає більшому обсягу випуску продукції (Y _3> Y _2> Y _1).

3) Відомі обсяг випуску продукції Y _баз = 984 (од.) і наявні трудові ресурси L _баз = 63 (тис. люд.-год.) В базовому періоді. Визначимо потребу в обладнанні в плановому періоді при збільшенні обсягу випуску продукції на 10%, якщо можливість збільшення трудових ресурсів складає не більше 5%.

При заданому збільшенні обсяг випуску продукції складе

Y = 1.1 × Y _баз = 1.1 × 984 = 1082,4 (од.).

Існує безліч комбінацій факторів виробництва (K, L), що забезпечують випуск продукції в обсязі 1082,4 од. Потреба в обладнанні в плановому періоді можна виразити як функцію від обсягу трудових ресурсів. Використовуючи рівняння ізокванти

,

маємо:

.

Таким чином, якщо обсяг трудових ресурсів, використовуваних у виробництві, не зміниться і залишиться на рівні L _баз = 63 (тис.чел.-год.), То потреба в обладнанні в плановому періоді складе

(Тис. ст.-год.).

У базовому періоді потреба в обладнанні становила

(Тис. ст.-год.).

Потреба в ресурсах в плановому періоді:

Якщо ж обсяг трудових ресурсів збільшиться на 5% по відношенню до базового і складе

L = 1.05 × L _баз = 1.05 × 63 = 66,15 (тис. люд.-год.),

то потреба в обладнанні в плановому періоді складе

(Тис. ст.-год.).

Отже, при обсязі трудових ресурсів потреба в обладнанні в плановому періоді складе деяку величину , Яка визначається співвідношенням

.

4) Згідно з умовою фірма може придбати на ринку використовуються у виробництві ресурси за цінами p _K = 30 (ден. од. / Тис. ст.-год.) І p _L = 90 (ден. од. / Тис. люд.-год .). Величина її витрат C на покупку L одиниць робочої сили і К одиниць обладнання складе

С = p _K К + p _{L L} = 30К + 90 L.

Завдання фірми полягає в знаходженні максимального обсягу випуску продукції за умови, що рівень витрат на купівлю ресурсів не перевершує 21000 ден. од. Математична модель цієї задачі може бути записана так: знайти обсяги ресурсів К і L, що задовольняють обмеженням

30К + 90 L ≤ 21000, (1)

До ≥ 0, L ≥ 0 (2)

і доставляють максимальне значення цільової функції

→ max. (3)

Так як Y - нелінійна функція, то ця модель являє собою завдання нелінійного програмування. Обмеження (1) називається бюджетним обмеженням.

Графічне рішення задачі виробника

Її рішення можна знайти графічним методом. Для цього побудуємо область допустимих рішень, що задається умовами (1) і (2). Вона являє собою заштрихований трикутник ОАВ. Гранична пряма АВ бюджетного обмеження задається рівнянням

30 K + 90 L = 21000

Для визначення оптимального рішення проведемо кілька ліній рівня (изоквант) цільової функції, що мають спільні точки з областю допустимих рішень. Як було показано в п. 2, чим вище знаходиться ізокванта, тим більшого рівня цільової функції вона відповідає (Y _2> Y _1). Тому изокванта, відповідна максимально можливого обсягу випуску, повинна стосуватися граничної прямої бюджетного обмеження (1), а точка її торкання D буде оптимальним рішенням задачі.

Для знаходження значень координат точки D використовуємо той факт, що градієнт цільової функції grad Y = , Обчислений в точці дотику, перпендикулярний прямій АВ. Це означає, що вектор grad Y і вектор нормалі ОС = (p _K, p _L) цієї прямої пропорційні, тобто справедливо рівність

. (4)

Оскільки звідси маємо, що

Отже, K = 7 L. Підставляючи отриманий вираз K через L в рівняння граничної прямої АВ, отримуємо:

90 L + 30 * 7 L = 21000.

Звідси маємо, що оптимальна кількість трудових ресурсів дорівнює

L ^* = 70.

Оптимальний обсяг устаткування дорівнює

K ^* = 7 * L = 7 * 70 = 490,

а відповідний обсяг випуску Y ^* = 4 * 490 ^0.7 ∙ 70 ^0.3 ≈ 1093,3.

Гранична норма технологічного заміщення обладнання робочою силою в точці ринкової рівноваги дорівнює відношенню цін цих ресурсів, тобто

.

Гранична ефективність фінансових ресурсів

= = (4 * 0.7 ∙ 350 ^-0.3 ∙ 50 ^0.7) / 30 ≈ 0.816,

що означає наступне: при збільшенні витрат на 1 ден. од. обсяг випущеної продукції зросте на 0.816 од.

Отже, отримані наступні результати.

1. Фірма повинна взяти в оренду K ^* = 490 тис. ст.-год. обладнання та найняти за контрактом L ^* = 70 тис. люд.-год. робочої сили. У цьому випадку при наявному бюджетному обмеженні буде випущено максимальну кількість продукції Y ^* = 1093,3 од.

2. Гранична норма технологічного заміщення обладнання робочою силою MRTS _KL = 0,333.

3. Гранична ефективність фінансових ресурсів дорівнює 0.816.

Задача 4

Фірма може впливати додатковим фінансуванням на швидкість будівництва свого торгового павільйону. Черговість виконання робіт, їх нормальна і прискорена тривалість виконання, а також вартість будівельно-монтажних робіт при нормальному та прискореному режимі виконання наведені в наступній таблиці:

Потрібно:

1. З урахуванням технологічної послідовності робіт побудувати мережевий графік виконання цих робіт.

2. Розрахувати тимчасові характеристики мережевого графіка при нормальному режимі виконання робіт. Знайти критичний шлях і його тривалість, вказати всі можливі критичні шляхи, визначити вартість всього комплексу робіт.

3. Вказати стратегію мінімального подорожчання комплексу робіт при скороченні термінів будівництва на 2 дн. З яку підсумкову суму обійдеться фірмі прискорена будівництво павільйону.

Рішення.

Упорядкований мережевий графік будівництва торговельної павільйону зображений на рис., Де поряд з літерою, що позначає роботу, в дужках проставлено число, рівне нормальному терміну її виконання.

Позначимо

Т ^кр - критичний час, тобто найменший час виконання всього комплексу робіт.

Т ^р _i - ранній час настання i-й події, тобто момент часу, раніше якого подія i не може настати.

Розрахуємо Т ^р _i для всіх подій мережевого графіка, тобто для i = 1,2, ..., 7. Час настання 1-го події мережного графіка будемо вважати рівним нулю, тобто Т ^р ₁ = 0. Далі послідовно знаходимо Т ^р _2, ..., Т ^р ₆

дн

дн;

дн;

дн;

дн;

Вартість S = 33 +84 +78 +31 +35 +19 +71 +74 +38,5 +40 = 503,8

Критичний термін Ткр = 46 днів.

Критичний шляху (V, Q, В), (V, Q, H, D).

Скорочення термінів будівництва торгового павільйону

Переглядаючи всі повні некритичні шляху, переконуємося, що при скороченні терміну будівництва на 2 дні, тобто до 44 днів, критичними можуть стати шляхи Р ₄ і Р _5. Ефективно скоротити роботу Q на 2 дні. При цьому додаткові витрати складуть:

2 (дні) '7,7 (млн.руб. / день) = 15,4 (млн. руб.)

критичний час стане рівним

Ткр = 46 -2 = 44 (днів)

Нова вартість робіт буде рівною

S = 503,5 +15,4 = 518,9 (млн. руб.)

Задача 5

Є дані по 15 суб'єктах Російської Федерації за січень-березень 2001 року про грошових доходах і споживчих витратах на душу населення в середньому за місяць, які наведені в таблиці:

На основі наявних даних потрібно:

1. Побудувати поле розсіяння спостережуваних значень показників і на основі його візуального спостереження висунути гіпотезу про вид статистичної залежності споживчих витрат у від грошових доходів х; записати цю гіпотезу у вигляді математичної моделі.

2. Використовуючи метод найменших квадратів знайти точкові оцінки невідомих параметрів моделі, записати знайдене рівняння регресії та побудувати графік функції регресії.

3. Знайти коефіцієнт парної кореляції між грошовими доходами і споживчими видатками; перевірити його значущість.

4. Знайти точковий та інтервальний прогноз середньомісячних споживчих витрат у 10-му суб'єкті РФ збільшиться на 30%.

5. Привести змістовну інтерпретацію отриманих результатів.

Рішення.

5.1. Побудова математичної моделі. Оцінка невідомих параметрів методом найменших квадратів.

Полем розсіювання називається безліч точок на площині, координати яких відповідають спостережуваним значенням досліджуваних показників. У нашому прикладі х _i - середньодушові грошові доходи, y _i - середньодушові споживчі витрати в i-му суб'єкті РФ, i = 1, ..., 15. Таким чином, поле розсіяння складається з 15-ти точок з координатами (x _i, y _i), які показані на рис.

Візуальний аналіз поля розсіювання дозволяє висунути гіпотезу про лінійну залежність споживчих витрат у від грошових доходів х і записати цю залежність у вигляді лінійної моделі

у = α + β х + u,

де α, β - невідомі постійні коефіцієнти, а u - випадкова величина, що характеризує відхилення реальних значень споживчих витрат від їх теоретичних значень α + β х. Випадкова величина u називається випадковим відхиленням або випадковим збуренням моделі. Її включення в модель покликане відобразити:

а) вплив не врахованих у моделі факторів, що впливають на розмір споживчих витрат;

б) елемент випадковості і непередбачуваності людських реакцій;

в) помилки спостережень і вимірювань.

5.2 Після формулювання математичної моделі основне завдання полягає в одержанні оцінок невідомих параметрів α і β за результатами спостережень над змінними х і у, тобто завдання полягає в отриманні так званого рівняння регресії у = a + b х, що є деякою реалізацією моделі, в якому коефіцієнти а і b є оцінки невідомих параметрів α і β відповідно. Оцінки а і b можна шукати за наступними формулами:

nΣx _i y _i - Σx _i Σy _i

b = -------, а = у _ср - b х _ср

n Σ x _i ² - (Σx _i) ²

Для зручності обчислення оцінок шуканих коефіцієнтів моделі складається табл.1, в якій стовпці «у», «у - у», «(у - у) ^2» заповнюються після знаходження рівняння регресії.

Табл.1

Нахожд оцінки а і b. Одержуємо:

х _ср = Σ х _i / 15 = 29,95 / 15 = 1,997 (тис.руб.) - середнє значення середньодушових доходів;

у _сер = Σ у _i / 15 = 24,01 / 15 = 1,601 (тис.руб.) - середнє значення середньодушових споживчих витрат.

Отже, b = 0,683

а = у _ср - bx _cp = 0,236

Таким чином, шукане рівняння регресії набуде вигляду

ŷ = 0,683 x + 0,236

Знайдене рівняння регресії є рівняння прямої, яка зображена на рис.

5.3. Перебування коефіцієнта кореляції.

Мірою залежності між змінними х і у може служити вибірковий коефіцієнт парної кореляції, який позначається через r _xy і визначається за формулою:

nΣx _i y _i - Σx _i Σy _i

r _xy = --------------------------------------

√ n Σ x _i ² - (Σx _i) ² √ n Σ у _i ² - (Σ у _i) ²

Підставляючи відповідні значення з останнього рядка табл.1, отримуємо

r _xy = 0,951, r _xy> 0 і близько до 1, отже, связ' сильна позитивна, тобто при збільшенні доходів, витрати зростають.

Для того, щоб з більшою впевненістю робити висновок про наявність чи відсутність лінійного взаємозв'язку між змінними х і у, розроблений критерій перевірки того, істотно Чи є відмінність коефіцієнта кореляції від нуля або, іншими словами, значимо Чи має значення коефіцієнта кореляції. Якщо в результаті перевірки з'ясовується, що коефіцієнт кореляції істотно відрізняється від нуля, то, незважаючи навіть на не дуже близьке значення коефіцієнта до одиниці, робиться висновок про наявність лінійного взаємозв'язку між змінними х та у. Якщо ж підтверджується несуттєве відміну r _xy від нуля, то, не дивлячись на можливе досить велике значення коефіцієнта, робиться висновок про відсутність лінійного взаємозв'язку між змінними.

Перевірка суттєвості відмінності коефіцієнта кореляції від нуля проводиться за схемою:.

│ r _xy √ n -2 │

якщо ______________>; t _{1 - α / 2, n -2,}

√ 1 - r _xy ²

то гіпотеза про істотній відмінності коефіцієнта кореляції від нуля приймається, у противному випадку відкидається.

Тут t _{1 - α / 2, n -2} - квантиль розподілу Стьюдента, α - рівень значущості або рівень довіри, n - число спостережень, (n -2) - число ступенів свободи. Значення α задається дослідником залежності між х і у. Приймемо α = 0,05, тоді t _{1 - α / 2, n -2} = t _0,975,13 = 2,1604

.

r _xy √ n -2 0,951 '√ 15-2

___________________= 11,053> t _0,975,13

√ 1 - r _xy ² √ 1 - 0,951 ²

Отже, коефіцієнт кореляції істотно відрізняється від нуля і існує сильна лінійна зв'язок між х і у. Тобто якщо ми будемо проводити багаторазове повторення експерименту з дослідження залежності між доходами та витратами, щоразу обираючи різні групи з 15 суб'єктів РФ, то в 95% цих експериментів буде виявлено тісний лінійна залежність між х і у, тобто в 95% випадків коефіцієнт кореляції r _xy буде суттєво відрізнятися від нуля.

5.4 Знаходження точкових та інтервальних прогнозів.

Точковим прогнозом значення залежної змінної у, відповідного деякому значенню незалежної змінної х = х _0, називається значення ŷ _0, одержуване шляхом підстановки в рівняння регресії х = х _0, тобто

ŷ ₀ = ŷ (х ₀₎ = a + bx ₀ - точковий прогноз.

Знайдемо точковий прогноз середньомісячних споживчих витрат у 10-му суб'єкті РФ в майбутньому періоді, що среденемесячние грошові доходи в цього суб'єкта збільшаться на 30%, тобто

х ₀ = х ₁₀ + 0,3 'х ₁₀ = 1,3' х ₁₀ = 1,3 '2,47 = 3,21

ŷ ₀ = 0,236 + 0,683 '3,21 = 2,431 (тис.руб.).

Таким чином, якщо середньомісячні грошові доходи в 10-му суб'єкті РФ збільшаться на 30%, то споживчі витрати в цьому суб'єкті складуть 2,431 тис.руб.

Інтервальним прогнозом залежною змінною у, відповідним деякому значенню незалежної змінної х = х _0, називається довірчий інтервал, межі якого знаходяться за формулою:

ŷв.н. = Ŷ (х ₀₎ ± t _{1 - α / 2, n -2} S _ŷ,

де у _в, у _зв - відповідно верхня і нижня межі довірчого інтервалу;

ŷ (х ₀₎ - точковий прогноз;

t _{1 - α / 2, n -2-квантиль} розподілу Стьюдента;

(1-α / 2) - довірча ймовірність;

(N -2) - чи сло ступенів з вободи;

/ 1 (x ₀ - x _cp) S (ŷ _i - y _i) ²

S _ŷ = S √ ¾ + ¾¾¾¾¾, S = √ S ^2, S ² = ¾ ¾ ¾ ¾,

n S (x _i - x _cp) ² n -2

Довірчий інтервал - це такий інтервал, в якому із заданою ймовірністю буде перебувати прогнозоване значення залежної змінної у.

Знайдемо інтервальний прогноз середньомісячних споживчих витрат у 10-му суб'єкті РФ в майбутньому періоді припускаючи, що середньомісячні грошові доходи в цього суб'єкта РФ збільшаться на 30%.

Раніше обчислено очікуване значення грошових доходів х ₀ = 3,21 тис.руб.

Нехай α = 0,05, тоді 1 - α = 0,95; t _{1 - α / 2, n -2} = t _0,975,13 = 2,1604;

S (ŷ _i - y _i) ^{2 0,222.}

S ² = ¾ ¾ ¾ ¾ = ¾ ¾ ¾ = 0,017; S = √ 0.017 = 0.131

n - 13 лютого

(Х ₀ - х _ср) ² = (3,21 - 1,997) ² = 1,475

S (x _i - x _cp) ² = S х _i ² - n (x _cp) ² = 64,262 - 15 '1,997 ² = 4,461.

_______________ ____________

/ 1 (x ₀ - x _cp) ² / 1 1,475

S _ŷ = S √ ¾ + ¾¾¾¾¾ = 0.131 √ ¾ + ¾ ¾ ¾ ¾ = 0,082

n S (x _i - x _cp) ^{лютого 1915} 4,461

Отже, ŷ _н = 2,431 - 0,082 = 2,349 (тис.руб.)

ŷ _в = 2,431 + 0,082 = 2,513 (тис.руб.)

Це означає, що при збільшенні середньодушових середньомісячних грошових доходів на 30%, тобто з 2,47 тис.руб. до 3,21 тис.руб., розмір середньодушових середньомісячних споживчих витрат з імовірністю 0,95 буде коливатися в межах від 2,349 тис.руб. до2, 513 тис.руб.

Змістовна інтерпретація отриманих результатів.

Розглянемо знайдене рівняння регресії ŷ = 0,683 x + 0,236. Коефіцієнт а = 0,236 не має економічного сенсу, оскільки формально відповідає розміру споживчих витрат при нульовому рівні грошових доходів. Коефіцієнт b = 0,683 визначає приріст споживчих витрат, обумовлений приростом грошових доходів.

Змістовна інтерпретація всіх інших понять і формул, використаних в даній задачі була наведена по ходу рішення.

На закінчення впишемо підсумкові результати.

1. у = α + β х + u - математична модель залежності споживчих витрат від грошових доходів.

ŷ = 0,683 x + 0,236 - рівняння регресії, кількісно виражає залежність витрат від доходів.

2. r _xy = 0,951 - коефіцієнт кореляції між х і у, його значення свідчить про досить тісному лінійної залежності витрат і доходів.

4. ŷ ₀ (х ₀₎ = 2,431 (тис.руб.) - точковий прогноз;

ŷ _н = 2,329 (тис.руб.)

ŷ _в = 2,513 (тыс.руб.) - интервальный прогноз с 95% доверительной вероятностью.