Прийняття рішень в умовах невизначеності
Теорія статистичних рішень може бути витлумачена як теорія пошуку оптимального недетермінірованного поведінки в умовах невизначеності. Згідно А. Вальдо, поведінка вважається оптимальним, якщо воно мінімізує ризик в послідовних експериментах, тобто математичне сподівання збитків статистичного експерименту.
Вважаю за необхідне розглянути чотири критерії прийняття рішень в умовах невизначеності, коли ніякі імовірнісні характеристики не відомі.
· Критерій Лапласа,
· Мінімаксний критерій,
· Критерій Севіджа,
· Критерій Гурвіца.
Основна відмінність між цими критеріями визначається стратегією особи, яка приймає рішення. Критерій Лапласа заснований на більш оптимістичних припущеннях, ніж мінімаксний критерій. Критерій Гурвіца можна використовувати при різних підходах - від найбільш оптимістичного до найбільш песимістичного. Всі ці критерії відбивають суб'єктивну оцінку ситуації, в якій доводиться приймати рішення. При цьому не існує загальних правил застосовності того чи іншого критерію, так як поведінка особи, яка приймає рішення в умовах невизначеності, є найбільш важливим фактором при виборі відповідного критерію.
Перераховані критерії базуються на тому, що особі, яка приймає рішення, не протистоїть розумний супротивник. У випадку, коли в ролі супротивника виступає природа, немає підстав припускати, що вона прагне заподіяти шкоду особі, що приймає рішення.
При наявності розумного противника, інтереси якої суперечать інтересам особи, яка приймає рішення (наприклад, у військових діях протиборчі армії є розумними супротивниками), для побудови відповідного критерію потрібен спеціальний підхід. Ці питання розглядаються в теорії ігор.
Дані, необхідні для прийняття рішень в умовах невизначеності, задаються у вигляді матриці, рядки якої відповідають діям, а стовпці - можливим станам системи.
Кожному дії і кожного можливого стану системи відповідає результат (результат), що визначає виграш (або втрати) при виборі даної дії і реалізації даного стану.
Нехай ai (i = 1,2, ..., m)
і qj представляє можливий стан j (j = 1,2, ..., n),
n (ai, qj) - описує відповідний результат.
У загальному випадку n (ai, qj) може бути безперервною функцією ai і qj.
У дискретному випадку зазначені дані подаються у формі матриці.
Критерій Лапласа
Цей критерій спирається на відомий принцип недостатнього обгрунтування. Оскільки ймовірність станів q 1, q 2, ... , Qn не відомі, необхідна інформація для висновку, що ці ймовірності різні, відсутня. В іншому випадку можна було б визначити ці ймовірності і ситуацію вже не слід було розглядати як прийняття рішення в умовах невизначеності. Так як принцип недостатнього обгрунтування стверджує протилежне, то стану q 1, q 2, ..., qn мають рівні ймовірності. Якщо погодитися з наведеними доводами, то початкову задачу можна розглядати як завдання прийняття рішень в умовах ризику, коли вибирається дію ai, дає очікуваний виграш.
Іншими словами, знаходиться дію ai *, відповідне
- Ймовірність реалізації стану qj (j = 1,2, ..., n),
Приклад. Одне з підприємств повинно визначити рівень пропозиції послуг так, щоб задовольнити потреби клієнтів протягом майбутніх свят. Точне число клієнтів не відомо, але очікується, що воно може прийняти одне з чотирьох значень: 200, 250, 300 або 350 клієнтів. Для кожного з цих можливих значень існує найкращий рівень пропозиції (з точки зору можливих витрат). Відхилення від цих рівнів призводять до додаткових витрат або із-за перевищення пропозиції над попитом, або із-за неповного задоволення попиту.
У таблиці наведені втрати в тисячах доларів.
Клієнти
Рівень пропозиції
Принцип Лапласа передбачає, що q 1, q 2, q 3, q 4 рівноймовірні.
Отже, P {q = qj} = 1 / 4, j = 1, 2, 3, 4, і очікувані втрати при різних діях a1, a2, a3, a4 складають
E {a1} = (1 / 4) (5 +10 +18 +25) = 14,5
E {a2} = (1 / 4) (8 +7 +8 +23) = 11,5
E {a3} = (1 / 4) (21 +18 +12 +21) = 18,0
E {a4} = (1 / 4) (30 +22 +19 +15) = 21,5
Таким чином, найкращим рівнем пропозиції відповідно до критерію Лапласа буде a2.
Мінімакс (Максиміна) критерій
Є найбільш обережним, оскільки грунтується на виборі найкращої з найгірших можливостей. Якщо результат n (ai, qj) представляє втрати особи, яка приймає рішення, для дії ai найбільші втрати незалежно від можливого стану qj будуть рівні
У цьому випадку критерій називається Максимін.
Приклад. Розглянемо попередній приклад. Так як n (ai, qj) представляють втрати, застосуємо мінімаксний критерій. Результати обчислень подамо у вигляді такої таблиці.
Мінімаксної стратегією буде a3.
Підходи до обліку невизначеності при описі ризиків. У теорії прийняття рішень в теперішній час при комп'ютерному та математичному моделюванні для опису невизначеностей найчастіше використовують такі математичні засоби, як:
- Ймовірносно-статистичні методи,
- Методи статистики нечислових даних, у тому числі інтервальної статистики та інтервального математики, а також методи теорії нечіткості,
- Методи теорії конфліктів (теорії ігор).
Вони застосовуються в імітаційних, економетричних, економіко-математичних моделях, реалізованих зазвичай у вигляді програмних продуктів.
Деякі види невизначеностей пов'язані з байдужими до організації силами - природними (погодні умови) або суспільними (зміна уряду). Якщо явище досить часто повторюється, то його природно описувати в імовірнісних термінах. Так, прогноз врожайності зернових цілком природно вести в імовірнісних термінах. Якщо подія одинично, то імовірнісний опис викликає внутрішній протест, оскільки частотна інтерпретація ймовірності неможлива. Так, для опису невизначеності, пов'язаної з наслідками виборів або зі зміною уряду, краще використовувати методи теорії нечіткості, зокрема, інтервальної математики (інтервал - зручний окремий випадок опису нечіткої множини). Нарешті, якщо невизначеність пов'язана з активними діями суперників або партнерів, доцільно застосовувати методи аналізу конфліктних ситуацій, тобто методи теорії ігор, перш за все антагоністичних ігор, але іноді корисні і більше нові методи кооперативних ігор, націлених на отримання стійкого компромісу.
Іноді під зменшенням ризику розуміють зменшення дисперсії випадкової величини, оскільки при цьому зменшується невизначеність. У теорії прийняття рішень ризик - це плата за прийняття рішення, відмінного від оптимального, він зазвичай виражається як математичне сподівання. В економіці плата вимірюється зазвичай в грошових одиницях, тобто у вигляді фінансового потоку (потоку платежів і надходжень) в умовах невизначеності.
Критерій Севіджа
Цей критерій характеризується крайньою обережною (песимістичній) позицією до можливих втрат через відсутність достовірних відомостей про те, яка з ситуацій, що впливають на економічний результат, буде мати місце в конкретному випадку. Реалізується стосовно до матриці ризиків і втрат.
Матриця втрат будується наступним чином:
1.Находім найбільше значення по кожному випадковому події Qi
2. Виписуємо їх як утопічних точок окремо
3.Вичітаем з кожної такої утопічної точки відповідні цьому випадковому події Хi (приклад: для Q1: Xy-X1, Xy-X2, Xy-X3 .....).
4.Получаем нову матрицю втрат.
У рамках такого підходу функція, що задає сімейство «ліній рівня» визначається рівністю:
F (u, v ,......, z) = max (a y-u, a y-v ,......, a y-z)
Цільова функція критерію:
Zs = min (Ki), де Ki = max (Lij), Lij = max (Aij)-Ay, де (Lij) - матриця втрат
i - варіант можливого рішення ОПР
j - варіант можливої ситуації
Aij - дохід ОПР, якщо буде прийнято рішення i, а ситуація складеться j
А = (Aij) - матриця корисностей.
(Lij) - відповідна матриця ризиків або втрат
Критерій Гурвіца
Критерій Гурвіца - це зважена позиція "песимізму-оптимізму".
При С = 1 - критерій Гурвіца просто відповідає Максиміна критерію.
Складові критерію прийняття рішень в умовах невизначеності.
Крок А: вимоги до допустимого ризику.
Ось на цьому кроці уточнюється критичний рівень доходу (чи втрат), прийнятний для ОПР у конкретній ситуації. За основу голиться опорне значення для обраного опорного критерію. Після задається припустимий для ЛПР максимально можливе відхилення Едоп> 0 від опорного значення (в гірший бік).
Крок Б: блокування рішень з неприпустимому ризиком.
Ось на цьому кроці видаляються з початкової матриці всі рішення, який не підходять вимогам ОПР, які пред'являються до допустимого ризику стосовно аналізованої ситуації.
Крок В: вимоги до компенсації за ризик.
Цей крок уточнює вимоги до аналізованих рішень, для яких баланс між ризиком втрат (при -) і компенсації (при +) є прийнятним для ОПР.
Крок Г: блокування рішень з недостатньою компенсацією ризику.
Ось на цьому кроці з матриці корисностей (яка буде отримана після кроку Б) видаляються всі рішення, які не відповідають вимогам ОПР.
Крок Д: вибір оптимального рішення.
І нарешті, на цьому кроці для залишилася «урізаною» матриці знаходиться оптимальне рішення за заздалегідь обумовленому критерію. Це знайдене рішення і будить бути оптимальним вибором для відповідного складеного критерію.
Наслідки рішень менеджера, економіста, інженера проявляться в майбутньому. А майбутнє невідомо. Ми приречені приймати рішення в умовах невизначеності. Ми завжди ризикуємо, оскільки не можна виключити можливість небажаних подій. Але можна скоротити ймовірність їх появи. Для цього необхідно спрогнозувати подальший розвиток подій, зокрема, наслідки прийнятих рішень.
Завдання № 1.
Підприємство випускає два види продукції: А і В. При цьому використовуються pecypcи: Rl, R2 і R3. Норми витрати на ресурси становлять відповідно:
R1: a1, a2
R2: b1, b2
R3: c1, c2
Ринкова ціна продукції А становить-Р1, продукції По-Р2. Необхідно прийняти рішення щодо плану випуску продукції забезпечує максимальний дохід. Оцінити стійкість обраного рішення щодо коливання цін на продукцію. Обсяги ресурсів: Rl-Vl, R2-V2, R3-V3
Позначимо 
Знайти Х = (
3х 1 +5 х 2 ≤ 30-кількість ресурсу
2х 1 + х 2 ≤ 20-кількість ресурсу
4х 1 +6 х 2 ≤ 48 - кількість ресурсу
і умові
при якому функція доходу приймає максимальне значення.
V = P 1
Формулювання завдання.
Графічний метод.
Побудуємо ОДЗ
Нерівності
Нерівність 3 x 1 +5 x 2 £ 30 задає полуплоскость, розташовану під прямою 3 x 1 +5 x 2 = 30, включаючи цю пряму.
Нерівність 2 x 1 + x 2 £ 20 задає полуплоскость, розташовану під прямою 2 x 1 + x 2 = 20, включаючи цю пряму.
Нерівність 4 x 1 +6 x 2 £ 48 задає полуплоскость, розташовану під прямий 4 x 1 +6 x 2 = 48, включаючи цю пряму.
Таким чином, отримуємо, що безліч точок, задовольняє всім нерівностям, Область ОАВС.
Побудуємо вектор N {3; 2}. Його проекція на вісь
Оскільки необхідно знайти максимум функції V, будемо переміщувати пряму l, перпендикулярно вектору H, від початку до кінця вектора H, тобто в напрямку зростання функції V. Перейшовши в точку В, пряма l опиниться на виході з багатокутної області ОАВС. Точка В - (крайня) остання точка області під час руху в напрямку вектора H, тому значення функції V в цій точці буде найбільшим у порівнянні з її значеннями в інших точках області.
Оскільки точка В - точка перетину першої та другої прямої, то її координати можна знайти, вирішуючи систему рівнянь:
ì 3x 1 +5 x2 = 30
í
î 2
Висловимо з другого рівняння
x 2 = 20-2 x 1
І підставимо в перше рівняння
3 x 1 +5 (20-2 x 1) = 30
Звідки x 1 = 10
Підставивши
Таким чином оптимальне рішення - точка В (10,0)
Оцінимо стійкість обраного рішення щодо коливання цін на продукцію.
Функція V = 3 x 1 +2 x 2 досягає максимального значення в кутовій точці В. При зміни коефіцієнтів цільової функції
Алгебраїчно записується:
3 / 5 £ P2 / P1 £ 2 / 1
0,6 £ P 2 / P 1 £ 2
Таким чином знайдене рішення буде оптимальним, поки відношення ціни продукції А до ціни продукції У буде знаходитися в діапазоні від 0,6 до 2.
Задача 2 (Багатокритерійна завдання)
Використовуючи умову задачі 1, знайти план роботи при якому досягається:
А) Максимум доходу
Б) Мінімум витрат ресурсів (у натуральному вираженні)
В) Максимум випуску продукції А в натуральному вираженні
Завдання вирішується методом поступок Величина поступок вибирається студентом.
Рішення
Як було показано в задачі 1, максимум виручки V = P 1
Мінімум витрат ресурсів визначається мінімумом цільової функції:
R = (3 +4 +2) x 1 + (5 +1 +6) x 2 = 9 x 1 +12 x 2 → min
Оскільки обмеження на мінімальний обсяг продукції не задані, то мінімум витрат ресурсів буде досягатися при повному припиненні випуску продукції, тобто коли
У оптимальної за критерієм максимуму виручки точці В (10,0) цільова функція приймає значення:
V = 3 x 1 +2 x 2 = 3 * 10 +2 * 0 = 30
Приймемо величину поступки 90%
90% V = 30 * 0,9 = 27
Тобто
V = 3 x 1 +2 x 2 = 27
Нанесемо пряму 3 x 1 +2 x 2 = 27 на графік (рис. 2)
Для пошуку мінімуму функції R = 9 x 1 +12 x 2 побудуємо вектор М {9; 12}. Його проекція на вісь
Теорія статистичних рішень може бути витлумачена як теорія пошуку оптимального недетермінірованного поведінки в умовах невизначеності. Згідно А. Вальдо, поведінка вважається оптимальним, якщо воно мінімізує ризик в послідовних експериментах, тобто математичне сподівання збитків статистичного експерименту.
Вважаю за необхідне розглянути чотири критерії прийняття рішень в умовах невизначеності, коли ніякі імовірнісні характеристики не відомі.
· Критерій Лапласа,
· Мінімаксний критерій,
· Критерій Севіджа,
· Критерій Гурвіца.
Основна відмінність між цими критеріями визначається стратегією особи, яка приймає рішення. Критерій Лапласа заснований на більш оптимістичних припущеннях, ніж мінімаксний критерій. Критерій Гурвіца можна використовувати при різних підходах - від найбільш оптимістичного до найбільш песимістичного. Всі ці критерії відбивають суб'єктивну оцінку ситуації, в якій доводиться приймати рішення. При цьому не існує загальних правил застосовності того чи іншого критерію, так як поведінка особи, яка приймає рішення в умовах невизначеності, є найбільш важливим фактором при виборі відповідного критерію.
Перераховані критерії базуються на тому, що особі, яка приймає рішення, не протистоїть розумний супротивник. У випадку, коли в ролі супротивника виступає природа, немає підстав припускати, що вона прагне заподіяти шкоду особі, що приймає рішення.
При наявності розумного противника, інтереси якої суперечать інтересам особи, яка приймає рішення (наприклад, у військових діях протиборчі армії є розумними супротивниками), для побудови відповідного критерію потрібен спеціальний підхід. Ці питання розглядаються в теорії ігор.
Дані, необхідні для прийняття рішень в умовах невизначеності, задаються у вигляді матриці, рядки якої відповідають діям, а стовпці - можливим станам системи.
Кожному дії і кожного можливого стану системи відповідає результат (результат), що визначає виграш (або втрати) при виборі даної дії і реалізації даного стану.
Нехай ai (i = 1,2, ..., m)
і qj представляє можливий стан j (j = 1,2, ..., n),
n (ai, qj) - описує відповідний результат.
У загальному випадку n (ai, qj) може бути безперервною функцією ai і qj.
У дискретному випадку зазначені дані подаються у формі матриці.
| q 1 | q 2 | ... | qn | |
| a1 | n (a1, q 1) | n (a1, q 2) | ... | n (a1, qn) |
| a2 | n (a2, q 1) | n (a2, q 2) | ... | n (a2, qn) |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| am | n (am, q 1) | n (am, q 2) | ... | n (am, qn) |
Цей критерій спирається на відомий принцип недостатнього обгрунтування. Оскільки ймовірність станів q 1, q 2, ... , Qn не відомі, необхідна інформація для висновку, що ці ймовірності різні, відсутня. В іншому випадку можна було б визначити ці ймовірності і ситуацію вже не слід було розглядати як прийняття рішення в умовах невизначеності. Так як принцип недостатнього обгрунтування стверджує протилежне, то стану q 1, q 2, ..., qn мають рівні ймовірності. Якщо погодитися з наведеними доводами, то початкову задачу можна розглядати як завдання прийняття рішень в умовах ризику, коли вибирається дію ai, дає очікуваний виграш.
Іншими словами, знаходиться дію ai *, відповідне
Приклад. Одне з підприємств повинно визначити рівень пропозиції послуг так, щоб задовольнити потреби клієнтів протягом майбутніх свят. Точне число клієнтів не відомо, але очікується, що воно може прийняти одне з чотирьох значень: 200, 250, 300 або 350 клієнтів. Для кожного з цих можливих значень існує найкращий рівень пропозиції (з точки зору можливих витрат). Відхилення від цих рівнів призводять до додаткових витрат або із-за перевищення пропозиції над попитом, або із-за неповного задоволення попиту.
У таблиці наведені втрати в тисячах доларів.
Клієнти
Рівень пропозиції
| q 1 | q 2 | q 3 | q 4 | |
| a1 | 5 | 10 | 18 | 25 |
| a2 | 8 | 7 | 8 | 23 |
| a3 | 21 | 18 | 12 | 21 |
| a4 | 30 | 22 | 19 | 15 |
Отже, P {q = qj} = 1 / 4, j = 1, 2, 3, 4, і очікувані втрати при різних діях a1, a2, a3, a4 складають
E {a1} = (1 / 4) (5 +10 +18 +25) = 14,5
E {a2} = (1 / 4) (8 +7 +8 +23) = 11,5
E {a3} = (1 / 4) (21 +18 +12 +21) = 18,0
E {a4} = (1 / 4) (30 +22 +19 +15) = 21,5
Таким чином, найкращим рівнем пропозиції відповідно до критерію Лапласа буде a2.
Мінімакс (Максиміна) критерій
Є найбільш обережним, оскільки грунтується на виборі найкращої з найгірших можливостей. Якщо результат n (ai, qj) представляє втрати особи, яка приймає рішення, для дії ai найбільші втрати незалежно від можливого стану qj будуть рівні
У цьому випадку критерій називається Максимін.
Приклад. Розглянемо попередній приклад. Так як n (ai, qj) представляють втрати, застосуємо мінімаксний критерій. Результати обчислень подамо у вигляді такої таблиці.
| q 1 | q 2 | q 3 | q 4 | ||
| a1 | 5 | 10 | 18 | 25 | 25 |
| a2 | 8 | 7 | 8 | 23 | 23 |
| a3 | 21 | 18 | 12 | 21 | 21 |
| a4 | 30 | 22 | 19 | 15 | 30 |
Мінімаксної стратегією буде a3.
Підходи до обліку невизначеності при описі ризиків. У теорії прийняття рішень в теперішній час при комп'ютерному та математичному моделюванні для опису невизначеностей найчастіше використовують такі математичні засоби, як:
- Ймовірносно-статистичні методи,
- Методи статистики нечислових даних, у тому числі інтервальної статистики та інтервального математики, а також методи теорії нечіткості,
- Методи теорії конфліктів (теорії ігор).
Вони застосовуються в імітаційних, економетричних, економіко-математичних моделях, реалізованих зазвичай у вигляді програмних продуктів.
Деякі види невизначеностей пов'язані з байдужими до організації силами - природними (погодні умови) або суспільними (зміна уряду). Якщо явище досить часто повторюється, то його природно описувати в імовірнісних термінах. Так, прогноз врожайності зернових цілком природно вести в імовірнісних термінах. Якщо подія одинично, то імовірнісний опис викликає внутрішній протест, оскільки частотна інтерпретація ймовірності неможлива. Так, для опису невизначеності, пов'язаної з наслідками виборів або зі зміною уряду, краще використовувати методи теорії нечіткості, зокрема, інтервальної математики (інтервал - зручний окремий випадок опису нечіткої множини). Нарешті, якщо невизначеність пов'язана з активними діями суперників або партнерів, доцільно застосовувати методи аналізу конфліктних ситуацій, тобто методи теорії ігор, перш за все антагоністичних ігор, але іноді корисні і більше нові методи кооперативних ігор, націлених на отримання стійкого компромісу.
Іноді під зменшенням ризику розуміють зменшення дисперсії випадкової величини, оскільки при цьому зменшується невизначеність. У теорії прийняття рішень ризик - це плата за прийняття рішення, відмінного від оптимального, він зазвичай виражається як математичне сподівання. В економіці плата вимірюється зазвичай в грошових одиницях, тобто у вигляді фінансового потоку (потоку платежів і надходжень) в умовах невизначеності.
Критерій Севіджа
Цей критерій характеризується крайньою обережною (песимістичній) позицією до можливих втрат через відсутність достовірних відомостей про те, яка з ситуацій, що впливають на економічний результат, буде мати місце в конкретному випадку. Реалізується стосовно до матриці ризиків і втрат.
Матриця втрат будується наступним чином:
1.Находім найбільше значення по кожному випадковому події Qi
2. Виписуємо їх як утопічних точок окремо
3.Вичітаем з кожної такої утопічної точки відповідні цьому випадковому події Хi (приклад: для Q1: Xy-X1, Xy-X2, Xy-X3 .....).
4.Получаем нову матрицю втрат.
У рамках такого підходу функція, що задає сімейство «ліній рівня» визначається рівністю:
F (u, v ,......, z) = max (a y-u, a y-v ,......, a y-z)
Цільова функція критерію:
Zs = min (Ki), де Ki = max (Lij), Lij = max (Aij)-Ay, де (Lij) - матриця втрат
i - варіант можливого рішення ОПР
j - варіант можливої ситуації
Aij - дохід ОПР, якщо буде прийнято рішення i, а ситуація складеться j
А = (Aij) - матриця корисностей.
(Lij) - відповідна матриця ризиків або втрат
Критерій Гурвіца
Критерій Гурвіца - це зважена позиція "песимізму-оптимізму".
При С = 1 - критерій Гурвіца просто відповідає Максиміна критерію.
Складові критерію прийняття рішень в умовах невизначеності.
Крок А: вимоги до допустимого ризику.
Ось на цьому кроці уточнюється критичний рівень доходу (чи втрат), прийнятний для ОПР у конкретній ситуації. За основу голиться опорне значення для обраного опорного критерію. Після задається припустимий для ЛПР максимально можливе відхилення Едоп> 0 від опорного значення (в гірший бік).
Крок Б: блокування рішень з неприпустимому ризиком.
Ось на цьому кроці видаляються з початкової матриці всі рішення, який не підходять вимогам ОПР, які пред'являються до допустимого ризику стосовно аналізованої ситуації.
Крок В: вимоги до компенсації за ризик.
Цей крок уточнює вимоги до аналізованих рішень, для яких баланс між ризиком втрат (при -) і компенсації (при +) є прийнятним для ОПР.
Крок Г: блокування рішень з недостатньою компенсацією ризику.
Ось на цьому кроці з матриці корисностей (яка буде отримана після кроку Б) видаляються всі рішення, які не відповідають вимогам ОПР.
Крок Д: вибір оптимального рішення.
І нарешті, на цьому кроці для залишилася «урізаною» матриці знаходиться оптимальне рішення за заздалегідь обумовленому критерію. Це знайдене рішення і будить бути оптимальним вибором для відповідного складеного критерію.
Наслідки рішень менеджера, економіста, інженера проявляться в майбутньому. А майбутнє невідомо. Ми приречені приймати рішення в умовах невизначеності. Ми завжди ризикуємо, оскільки не можна виключити можливість небажаних подій. Але можна скоротити ймовірність їх появи. Для цього необхідно спрогнозувати подальший розвиток подій, зокрема, наслідки прийнятих рішень.
Завдання № 1.
Підприємство випускає два види продукції: А і В. При цьому використовуються pecypcи: Rl, R2 і R3. Норми витрати на ресурси становлять відповідно:
R1: a1, a2
R2: b1, b2
R3: c1, c2
Ринкова ціна продукції А становить-Р1, продукції По-Р2. Необхідно прийняти рішення щодо плану випуску продукції забезпечує максимальний дохід. Оцінити стійкість обраного рішення щодо коливання цін на продукцію. Обсяги ресурсів: Rl-Vl, R2-V2, R3-V3
| Варіант | al | а2 | bl | Ь2 | cl | с2 | Р1 | Р2 | VI | V2 | V3 |
| 12 | 3 | 5 | 2 | 1 | 4 | 6 | 3 | 2 | 30 | 20 | 48 |
Знайти Х = (
3х 1 +5 х 2 ≤ 30-кількість ресурсу
2х 1 + х 2 ≤ 20-кількість ресурсу
4х 1 +6 х 2 ≤ 48 - кількість ресурсу
і умові
при якому функція доходу приймає максимальне значення.
V = P 1
Формулювання завдання.
Графічний метод.
Побудуємо ОДЗ
Нерівності
Нерівність 3 x 1 +5 x 2 £ 30 задає полуплоскость, розташовану під прямою 3 x 1 +5 x 2 = 30, включаючи цю пряму.
Нерівність 2 x 1 + x 2 £ 20 задає полуплоскость, розташовану під прямою 2 x 1 + x 2 = 20, включаючи цю пряму.
Нерівність 4 x 1 +6 x 2 £ 48 задає полуплоскость, розташовану під прямий 4 x 1 +6 x 2 = 48, включаючи цю пряму.
Таким чином, отримуємо, що безліч точок, задовольняє всім нерівностям, Область ОАВС.
Побудуємо вектор N {3; 2}. Його проекція на вісь
Оскільки необхідно знайти максимум функції V, будемо переміщувати пряму l, перпендикулярно вектору H, від початку до кінця вектора H, тобто в напрямку зростання функції V. Перейшовши в точку В, пряма l опиниться на виході з багатокутної області ОАВС. Точка В - (крайня) остання точка області під час руху в напрямку вектора H, тому значення функції V в цій точці буде найбільшим у порівнянні з її значеннями в інших точках області.
Оскільки точка В - точка перетину першої та другої прямої, то її координати можна знайти, вирішуючи систему рівнянь:
ì 3x 1 +5 x2 = 30
í
î 2
Висловимо з другого рівняння
x 2 = 20-2 x 1
І підставимо в перше рівняння
3 x 1 +5 (20-2 x 1) = 30
Звідки x 1 = 10
Підставивши
Таким чином оптимальне рішення - точка В (10,0)
Оцінимо стійкість обраного рішення щодо коливання цін на продукцію.
Функція V = 3 x 1 +2 x 2 досягає максимального значення в кутовій точці В. При зміни коефіцієнтів цільової функції
Алгебраїчно записується:
3 / 5 £ P2 / P1 £ 2 / 1
0,6 £ P 2 / P 1 £ 2
Таким чином знайдене рішення буде оптимальним, поки відношення ціни продукції А до ціни продукції У буде знаходитися в діапазоні від 0,6 до 2.
Задача 2 (Багатокритерійна завдання)
Використовуючи умову задачі 1, знайти план роботи при якому досягається:
А) Максимум доходу
Б) Мінімум витрат ресурсів (у натуральному вираженні)
В) Максимум випуску продукції А в натуральному вираженні
Завдання вирішується методом поступок Величина поступок вибирається студентом.
Рішення
Як було показано в задачі 1, максимум виручки V = P 1
Мінімум витрат ресурсів визначається мінімумом цільової функції:
R = (3 +4 +2) x 1 + (5 +1 +6) x 2 = 9 x 1 +12 x 2 → min
Оскільки обмеження на мінімальний обсяг продукції не задані, то мінімум витрат ресурсів буде досягатися при повному припиненні випуску продукції, тобто коли
У оптимальної за критерієм максимуму виручки точці В (10,0) цільова функція приймає значення:
V = 3 x 1 +2 x 2 = 3 * 10 +2 * 0 = 30
Приймемо величину поступки 90%
90% V = 30 * 0,9 = 27
Тобто
V = 3 x 1 +2 x 2 = 27
Нанесемо пряму 3 x 1 +2 x 2 = 27 на графік (рис. 2)
Для пошуку мінімуму функції R = 9 x 1 +12 x 2 побудуємо вектор М {9; 12}. Його проекція на вісь
Оскільки необхідно знайти мінімум функції R, будемо переміщувати пряму m, перпендикулярно вектору М, від кінця до початку вектора М, тобто в напрямку зменшення функції R. Перейшовши в точку К, пряма m опиниться на виході з області КВР. Точка К - крайня точка прямої 3 x 1 +2 x 2 = 27 в області ОАВС при русі в напрямку до початку вектора М, тому значення функції R в цій точці буде найменшим порівняно з її значеннями в інших точках області.
Вирішивши систему рівнянь:
ì 3x 1 +5 x2 = 30
í
î 3
Знайдемо x 1 = 8 1 / 3
x 2 = 1
Таким чином рішення багатокритеріальної задачі з поступку по максимуму виручки 90% - точка К (8 1 / 3; 1).
Завдання 3 (Прийняття рішень в умовах невизначеності)
Магазин лродает швидкопсувну продукцію по А рублів за ящик, закуповуючи її у постачальників за У рублів за ящик. Непродана протягом дня продукція реалізується в кінці дня по С рублів за ящик. Добовий попит на продукцію коливається від 0 до 10 ящиків. Інших відомостей про попит немає. Скільки ящиків продукції повинен закуповувати в оптовиків магазин щодня відповідно до принципів максимакс, Максиміна і Мінімакс.
Варіант
Рішення
Матриця прибутку (платіжна матриця)
Застосувавши критерій Maximax, знайдемо такий обсяг закупівель, при якому прибуток магазину максимальна при найбільш сприятливому попиті.
Вирішивши систему рівнянь:
ì 3x 1 +5 x2 = 30
í
î 3
Знайдемо x 1 = 8 1 / 3
x 2 = 1
Таким чином рішення багатокритеріальної задачі з поступку по максимуму виручки 90% - точка К (8 1 / 3; 1).
Завдання 3 (Прийняття рішень в умовах невизначеності)
Магазин лродает швидкопсувну продукцію по А рублів за ящик, закуповуючи її у постачальників за У рублів за ящик. Непродана протягом дня продукція реалізується в кінці дня по С рублів за ящик. Добовий попит на продукцію коливається від 0 до 10 ящиків. Інших відомостей про попит немає. Скільки ящиків продукції повинен закуповувати в оптовиків магазин щодня відповідно до принципів максимакс, Максиміна і Мінімакс.
Варіант
| N | А | в | З |
| 12 | 50 | 20 | 5 |
Матриця прибутку (платіжна матриця)
| Обсяг попиту | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| Обсяг закупівель | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | |
Застосувавши критерій Maximax, знайдемо такий обсяг закупівель, при якому прибуток магазину максимальна при найбільш сприятливому попиті. | |||||||||||||
| Обсяг попиту | MAX | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Обсяг закупівель | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | 210 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | 240 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | 270 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | 300 | |
Застосуємо критерій Maximin (Вальда), знайдемо такий обсяг закупівель, при якому прибуток магазина за тиждень максимальна (збиток мінімальний) при самих несприятливих умовах попиту.
| Застосуємо критерій Maximin (Вальда), знайдемо такий обсяг закупівель, при якому прибуток магазина за тиждень максимальна (збиток мінімальний) при самих несприятливих умовах попиту. | |||||||||||||
| Обсяг попиту | MIN | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Обсяг закупівель | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | -15 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | -30 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | -45 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | -60 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | -75 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | -90 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | -105 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | -120 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | -135 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | -150 | |
Застосувавши критерій Minimax визначимо такий обсяг закупівель, при якому ризик магазину (упущена вигода) мінімальний при самих несприятливих умовах попиту.
Записавши платіжну матрицю:
| Застосувавши критерій Minimax визначимо такий обсяг закупівель, при якому ризик магазину (упущена вигода) мінімальний при самих несприятливих умовах попиту. | ||||||||||||
| Обсяг попиту | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| Обсяг закупівель | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | |
| MAX | -15 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 240 | 270 | 300 | |
| Застосувавши критерій Maximax, знайдемо такий обсяг закупівель, при якому прибуток магазину максимальна при найбільш сприятливому попиті. | |||||||||||||
| Обсяг попиту | MAX | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Обсяг закупівель | 1 | 0 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 240 | 270 | 270 |
| 2 | 15 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 240 | 240 | |
| 3 | 30 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 210 | |
| 4 | 45 | 45 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 180 | |
| 5 | 60 | 60 | 45 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 150 | |
| 6 | 75 | 75 | 0 | 45 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 120 | |
| 7 | 90 | 90 | 75 | 60 | 45 | 30 | 15 | 0 | 210 | 60 | 90 | 210 | |
| 8 | 105 | 105 | 90 | 75 | 60 | 105 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 105 | |
| 9 | 120 | 120 | 105 | 90 | 75 | 60 | 45 | 30 | 15 | 0 | 30 | 120 | |
| 10 | 135 | 135 | 120 | 105 | 90 | 75 | 60 | 45 | 30 | 15 | 0 | 135 | |
З точки зору критерію мінімаксного ризику Севіджа оптимальна стратегія, при якій величина ризику мінімальна - 30, тобто оптимальну кількість закуповуваних скриньок - 13 шт.
Завдання 4 (Прийняття рішень в умовах ризику)
Грунтуючись на умовах завдання 3, визначити кількість закуповуваних магазином для продажу ящиків продукції якщо відомі дані про продажі за останні п'ятдесят днів.
Рішення
Розрахуємо ймовірності попиту ящиків як частки від загальної кількості днів продажу.
Складемо матрицю.
Максимальне значення приймає середній прибуток для обсягу закупівель 6 ящиків - 104,4.
Список літератури:
1. Блюмин С.Л. Моделі і методи прийняття рішень в умовах невизначеності / С.Л. Блюмин, ЛЕГІ, - 2001, - 139 стор
2. А.І. Орлов Теорія прийняття рішень Навчальний посібник. / Орлов О.І. - М.: Березень, - 2004.
Завдання 4 (Прийняття рішень в умовах ризику)
Грунтуючись на умовах завдання 3, визначити кількість закуповуваних магазином для продажу ящиків продукції якщо відомі дані про продажі за останні п'ятдесят днів.
| Кількість проданих ящиків | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 0 |
| Кількість днів продажів | 2 | 3 | 5 | 5 | 7 | 8 | 7 | 5 | 4 | 2 | 2 |
Розрахуємо ймовірності попиту ящиків як частки від загальної кількості днів продажу.
| Кількість проданих ящиків | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 0 | Разом |
| Кількість днів продажів | 2 | 3 | 5 | 5 | 7 | 8 | 7 | 5 | 4 | 2 | 2 | 50 |
| Імовірність попиту | 0,04 | 0,06 | 0,1 | 0,1 | 0,14 | 0,16 | 0,14 | 0,1 | 0,08 | 0,04 | 0,04 | 1 |
Складемо матрицю.
| Імовірність попиту | Середня прибуток Р | ||||||||||||
| 0,04 | 0,06 | 0,1 | 0,1 | 0,14 | 0,16 | 0,14 | 0,1 | 0,08 | 0,04 | 0,04 | |||
| Обсяг попиту | |||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Обсяг закупівель | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 28,2 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 53,7 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 74,7 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 91,2 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 101,4 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | 104,4 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | 101,1 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | 93,3 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | 81,9 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | 68,7 | |
Список літератури:
1. Блюмин С.Л. Моделі і методи прийняття рішень в умовах невизначеності / С.Л. Блюмин, ЛЕГІ, - 2001, - 139 стор
2. А.І. Орлов Теорія прийняття рішень Навчальний посібник. / Орлов О.І. - М.: Березень, - 2004.