Зміст
Введення. 31. Поняття евристики та особливості застосування евристики в математиці. 6
1.1. Поняття доказу в математиці. 6
1.2. Евристика як метод наукового пізнання. 10
1.3. Евристичний підхід до побудові математичних доказів у рамках логічного підходу. 19
2. Евристичні прийоми побудови математичних доказів. 23
2.1. Евристичний метод побудови математичних доказів. 23
2.2. Особливості застосування евристичного підходу при доказі теорем 28
Висновок. 39
Список літератури .. 42
Введення
Логічне доказ математичних побудов відомо ще з Древньої Греції. Грецькі математики піфагорійської школи вже в VI-V століттях до нашої ери робили спроби розташувати ланцюг математичних доказів у певну послідовність, щоб перехід від одного поняття до іншого не викликав ні в кого жодних сумнівів. Цей «дедуктивний» метод отримав подальший розвиток у Евкліда, Архімеда і Аполонія. Поняття докази у них вже ні в чому істотному не відрізняється від нашого. Математика і, зокрема, геометрія, стала наукою лише тоді, коли в ній почали систематично застосовувати логічні докази, коли її положення стали виводити не тільки шляхом безпосередніх вимірювань, але і за допомогою умовиводів, коли ті чи інші її положення почали встановлювати в загальному вигляді . Узагальнені прийоми розумової діяльності діляться на дві великі групи - прийоми алгоритмічного типу та евристичні. Зупинимося спочатку на характеристиці прийомів алгоритмічного типу.
Це прийоми раціонального, правильного мислення, повністю відповідного законам формальної логіки. Точне проходження приписами, які даються такими прийомами, забезпечує безпомилкове рішення широкого класу задач, на який ці прийоми безпосередньо розраховані. Формування прийомів розумової діяльності алгоритмічного типу, орієнтувальних на формально-логічний аналіз завдань, є необхідним, але не достатньою умовою розвитку мислення. Необхідно воно, по-перше, тому, що сприяє вдосконаленню репродуктивного мислення, що є важливим компонентом творчої діяльності (особливо на початковому і кінцевому етапах вирішення проблем). По-друге, ці прийоми служать тим фондом знань, з яких учень може черпати «будівельний матеріал» для створення, конструювання методів розв'язання нових для нього завдань. Недостатнім формування алгоритмічних прийомів є тому, що не відповідає специфіці продуктивного мислення, не стимулює інтенсивний розвиток саме цієї сторони мисленнєвої діяльності.
Евристичні методи вирішення завдань - це система принципів і правил, які задають найбільш імовірнісні стратегії і тактики діяльності вирішального, що стимулюють його інтуїтивне мислення в процесі рішення, генерування нових ідей і на цій основі істотно підвищують ефективність вирішення певного класу задач.
Евристичні прийоми безпосередньо стимулюють пошук вирішення нових проблем, відкриття нових проблем, відкриття нових для суб'єкта знань і тим самим відповідають самій природі, специфіці творчого мислення. На відміну від прийомів алгоритмічного типу, евристичні прийоми орієнтують не на формально-логічний, а на змістовний аналіз проблем. Вони направляють думку вирішальних на проникнення в суть описуваного в умові предметного змісту, на те, щоб за кожним словом вони бачили його реальний зміст і по ньому судили про роль у вирішенні того чи іншого даного. Багато евристичні прийоми стимулюють включення в процес вирішення проблем наочно-образного мислення, що дозволяє використовувати його перевага перед словесно логічним мисленням - можливість цілісного сприйняття, бачення всієї описуваної в умові ситуації. Тим самим полегшується протягом характерних для продуктивного мислення інтуїтивних процесів.
Метою даної роботи є розгляд евристичних логічних підходів до побудови доказів.
У роботі поставлені такі завдання:
- Розглянути поняття доказу в математиці та її особливості;
- Розглянути евристики як метод наукового пізнання;
- Розглянути особливості евристичного підходу в рамках логічного;
- Розглянути евристичні прийоми побудови математичних доказів.
При написанні роботи були використані праці таких авторів, як Серебряникова О.Ф., Лакатоса І., Писаревського Б. М., Заесенок В. П., Саранцева Г.І., Бєляєва Е.А, Пермінова В.Я., Калошин І.П., Мінічкіной Н.В., Харічевой Г.І., Мінічкіной Н.В., Адамара Ж., Белла Е.Т., Біркгофом Г., Болтянською В.Г., Куранта Р., Робінса Г. , Шакурова Р.Х.
1. Поняття евристики та особливості застосування евристики в математиці
1.1. Поняття доказу в математиці
Теорія докази розроблена в логіці і включає три структурні компоненти: теза (те, що передбачається довести), аргументи (сукупність фактів, загальноприйнятих понять, законів і т.п. відповідної науки) і демонстрація (сама процедура розгортання докази; послідовний ланцюг умовиводів, коли n-ное умовивід стає однією з посилок n +1- го умовиводи). Виділяються правила докази, вказано можливі логічні помилки.Доведення має багато спільного з тими принципами, які встановлюються формальною логікою. Більш того, математичні правила міркувань і операцій, очевидно, стали однією з основ у розробці процедури докази в логіці. Зокрема, дослідники історії становлення формальної логіки вважають, що свого часу, коли Аристотель зробив перші кроки по створенню законів та правил логіки, він звернувся до математичних і до практики юридичної діяльності. У цих джерелах він і знаходив матеріал для логічних побудов задуманої теорії.
У XX ст. поняття доказу втратило суворий сенс, що сталося у зв'язку з виявленням логічних парадоксів, таівшіхся в теорії множин і особливо у зв'язку з результатами, які принесли теореми К. Геделя про неповноту формалізації. [1]
Перш за все, це торкнулося самої математики, у зв'язку, з чим було висловлено переконання, що термін "доказ" не має точного визначення. Але якщо вже подібну думку (що має місце і понині) торкається саме математику, то приходять до висновку, згідно з яким доказ слід прийняти не в логіко-математичному, а в психологічному сенсі. При тому подібний погляд виявляють і в самого Арістотеля, який вважав, що довести означає провести міркування, яке переконало б нас в такому ступені, що, використовуючи його, переконуємо інших в правоті чого-небудь. Певний відтінок психологічного підходу знаходимо у А.Є. Єсеніна-Вольпіна. Він різко виступає проти прийняття істини без доказу, пов'язуючи це з актом віри і далі пише: "Доказом судження називають чесний прийом, хто чинить таке судження безперечним". Єсенін віддає звіт, що його визначення потребує ще уточнень. Разом з тим, сама характеристика докази як "чесного прийому" чи не видає апеляцію до морально-психологічній оцінці?
Разом з тим виявлення теоретико-множинних парадоксів і поява теорем Геделя якраз сприяли й розробці теорії математичного докази, розпочатої інтуіціоністи, особливо конструктивістського напрямки, і Д. Гільбертом.
Іноді вважають, що математичне доказ носить загальний характер і представляє ідеальний варіант наукового доведення. Проте воно - не єдиний метод, є й інші способи доказових процедур і операцій. Вірно лише те, що у математичного докази чимало схожого з формально-логічним, що реалізується в природознавстві, і що математичне доказ має певну специфіку, так само, як і набір прийомів-операцій. На цьому ми й зупинимося, опускаючи те спільне, що споріднює його з іншими формами доказів, тобто не розгортаючи у всіх кроках (навіть і основних) алгоритм, правила, помилки і т.п. процесу докази.
Доведення являє міркування, що має завданням обгрунтувати істинність (звичайно, в математичному, тобто як виводимість, сенсі) будь-якого затвердження.
Звід правил, що застосовуються в доказі, сформувався разом з появою аксіоматичних побудов математичної теорії. Найбільш чітко і повно це було реалізовано в геометрії Евкліда. Його "Початки" стали свого роду модельним еталоном аксіоматичної організації математичного знання і довгий час залишалися такими для математиків.
Висловлювання, що подаються у вигляді певної послідовності, повинні гарантувати висновок, який при дотриманні правил логічного оперування і вважається доведеним. Необхідно підкреслити, що певне міркування є доказом тільки щодо деякої аксіоматичної системи.
При характеристиці математичного докази виділяють дві основні особливості. Перш за все, те, що математичне доказ виключає будь-які посилання на емпірії. Вся процедура обгрунтування істинності виводу здійснюється в рамках прийнятої аксіоматики. Академік А.Д Александров у зв'язку з цим підкреслює. Можна тисячі разів вимірювати кути трикутника і переконатися, що вони рівні 2d [2]. Але математику цим нічого не доведеш. Йому доведеш, якщо виведеш наведене твердження з аксіом. Тут математика і близька методам схоластики, яка також принципово відкидає аргументацію дослідно даними фактами.
Приміром, коли була виявлена несумісність відрізків, при доказі цієї теореми виключалося звернення до фізичного експерименту, оскільки, по-перше, саме поняття "несумірність" позбавлено фізичного сенсу, а, по-друге, математики і не могли, маючи справу з абстракцією, залучати на допомогу речовинно-конкретні протяжності, вимірювані чуттєво-наочним прийомом. Неспівмірність, зокрема, сторони і діагоналі квадрата, доводиться, спираючись на властивість цілих чисел із залученням теореми Піфагора про рівність квадрата гіпотенузи (відповідно - діагоналі) сумі квадратів катетів (двох сторін прямокутного трикутника). Або коли Лобачевський шукав для своєї геометрії підтвердження, звертаючись до результатів астрономічних спостережень, то це підтвердження здійснювалося їм засобами суто умоглядного характеру. У інтерпретаціях неевклідової геометрії, проведених Келі - Клейном і Бельтрамі, також фігурували типово математичні, а не фізичні об'єкти [3].
Друга особливість математичного докази - його найвища абстрактність, якій воно відрізняється від процедур докази в інших науках. І знову ж таки, як у випадку з поняттям математичного об'єкта, мова йде не просто про ступінь абстракції, а про її природу. Справа в тому, що високого рівня абстрагування доказ досягає і в ряді інших наук, наприклад, у фізиці, космологи і, звичайно, у філософії, оскільки предметом останньої стають граничні проблеми буття і мислення. Математику ж відрізняє те, що тут функціонують змінні, зміст яких - у відверненні від будь-яких конкретних властивостей. Нагадаємо, що, за визначенням, змінні - знаки, які самі по собі не мають значень і знаходять останні тільки при підстановці замість них імен певних предметів (індивідуальна змінні) або при вказівці конкретних властивостей і відносин (предикатні змінні), або, нарешті, в випадках заміни змінної змістовним висловом (пропозіціональная змінна).
Зазначеною особливістю і обумовлений характер крайнього абстрактності використовуваних в математичному доказі знаків, так само, як і тверджень, які, завдяки включенню в свою структуру змінних, перетворюються у функції висловлювання.
Таким чином, можна зробити наступні висновки.
Доведення являє міркування, що має завданням обгрунтувати істинність будь-якого затвердження.
При характеристиці математичного докази виділяють дві основні особливості. Перш за все, те, що математичне доказ виключає будь-які посилання на емпірії. Друга особливість математичного докази - його найвища абстрактність, якій воно відрізняється від процедур докази в інших науках.
1.2. Евристика як метод наукового пізнання
Питання розуміння механізмів людського мислення, вироблення прийомів підвищення його ефективності в ті далекі часи більше займали, кажучи сучасною мовою, представників гуманітарних професій: філософів, теологів, психологів. Перші згадки про евристики, вченні про продуктивні методи творчого мислення, відносяться до часів античності. Найбільш ранні спроби виявити особливості творчого підходу при вирішенні завдань знайшли відображення в працях Архімеда, Евкліда, Аполонія Бергамскую, Арістея-старшого. Сам же термін "евристика" вперше з'явився у працях грецького математика Паппа Олександрійського, який жив у другій половині III століття нашої ери.Евристика (від грец. "Еврика" - Я знайшов) - наука про допоміжних, додаткових до основних (експеримент, спостереження тощо) прийомах отримання знань.
У науковій літературі це поняття не має єдиного тлумачення. У деяких роботах про інтенсифікацію науково-технічної творчості евристика ототожнюється з психологією наукової творчості: "Психологія наукової творчості - евристика вивчає, як вирішуються наукові завдання, що вимагають, окрім знань та умінь, також і кмітливості, здогадки".
Інші психологи вважають, що евристика - це "абстрактно-аналітична наука, що вивчає один з структурних рівнів організації творчої діяльності та її продуктів".
Наступні визначення евристики:
1.Спеціальние методи, використовувані в процесі відкриття (створення) нового (евристичні методи).
2.Наука, що вивчає продуктивне творче мислення (евристичну діяльність).
3.Восходящій до Сократа метод навчання (майевтика).
На думку психологів, евристика - це галузь знання, "що вивчає формування нових дій в незвичайній ситуації", вона може стати наукою "в тому випадку, якщо евристичні процеси, що призводять до цих нових дій, знайдуть нарешті свій математичний опис".
Наведені висловлювання (яких можна було б навести більше), свідчать про те, що евристика як самостійна наука ще не сформувалася.
Незважаючи на велику кількість наукових праць, присвячених питанням евристики, вони, як правило, стосуються її окремих проблем і не дають чіткого уявлення ні про об'єкт, ні про предмет евристики, ані про її статус серед інших наук.
Спроба узагальнення численних концепцій та формулювання на цій основі визначення статусу та предмета евристики викладені в роботах Буша Г.Я і Буша К. За визначенням авторів цієї роботи: "Евристика - це загальнонаукова теорія вирішення проблемних завдань, що виникають у людській діяльності та спілкуванні".
Предметом евристики є "виявлення, обробка та впорядкування закономірностей, механізмів і методологічних засобів антиципації (передбачення) і конструювання нового знання та цілеспрямованих способів діяльності та спілкування, що створюються на основі узагальнення колишнього досвіду та випереджаючого відображення моделей майбутнього з метою більш повного задоволення потреб людей".
Оцінюючи спробу авторів, можна сказати, що з точки зору узагальнення окремих підходів до евристики вона вдалася, але разом з тим, очевидно, прагнення до детермінації спільності завадило авторам у даному визначенні виділити специфічні риси саме евристики, і в результаті під це визначення можна підвести і інші загальнонаукові дисципліни, наприклад такі, як прогнозування або системний підхід.
Безліч тлумачень евристики говорить про різний зміст, який вкладають автори різних концепцій у дане поняття. При цьому спільним та безперечним є те, що у всіх випадках евристика нерозривно пов'язується з творчою діяльністю, з творчістю.
Спільними ланками, що зв'язують в єдину ланцюг поняття "евристика" і "творчість", є уявлення про нетривіальності, неординарності, новизні й унікальності. Стосовно до поняття "творчість" такими якостями характеризується результат творчої діяльності, стосовно евристики - методи та засоби отримання цього результату.
До проблем створення евристики зверталися ряд філософів і математиків, наприклад, Р. Декарт, Г. Лейбніц, Б. Больцано, А. Пуанкаре. Наприклад, у праці "Правила для керівництва розуму" Р. Декарт запропонував ряд принципів пошуку істини. Вони настільки цікаві і актуальні ще й сьогодні, що варто коротко ознайомитися з деякими його думками.
Для гарного ж застосування свого розуму Декартом сформульовані чотири принципи, слідувати яким він рекомендував, і які залишаються актуальними і в наш час. Наведемо їх і слідом за їх автором наполегливо рекомендуємо дотримуватися їх, і особливо - другому, оскільки він передбачив, як ми побачимо далі, один з фундаментальних системних принципів.
Перше - "ніколи не приймати за істинне нічого, що я не пізнав би таким з очевидністю, інакше кажучи, ретельно уникати необачності й упередженості і включати у свої судження тільки те, що представляється моєму розумові настільки ясно і настільки чітко, що не дає мені ніякого приводу піддавати їх сумніву ".
Друге - "ділити кожне з досліджуваних труднощів на стільки частин, скільки це можливо і потрібно для кращого їх подолання".
Третє - "дотримуватися певного порядку мислення, починаючи з предметів найбільш простих і найбільш легко пізнаваних і сходячи поступово до пізнання найбільш складного, припускаючи порядок навіть і там, де об'єкти мислення зовсім не дані в їхньому природному зв'язку".
І останнє - "складати завжди огляди настільки загальні, щоб була впевненість у відсутності недоглядів".
Основними етапами евристичного підходу є "... накопичення відомостей про досліджуваному явищі на нестрогому евристичному рівні на основі чисельного експерименту, створення інтуїтивною схеми явища, перевірка її на наступному етапі чисельного експерименту і, нарешті, побудова строгої теорії ...". Свою точку зору на предмет математики та її співвідношення з іншими науками виклав в есе "Математик" і статті "Роль математики в науках та суспільстві" математик і філософ Нейман фон Джон. За Нейманом, "... сама життєво важлива відмінна особливість математики полягає в її абсолютно особливого зв'язку з природними науками чи ... з будь-якою наукою, інтерпретує досвід на більш високому рівні, ніж чисто описовий. Більшість людей ... погодяться з тим, що математика не є емпіричною наукою чи що вона, принаймні, за образом дій відрізняється в деяких дуже важливих відносинах від методів емпіричних наук. Тим не менш, розвиток математики дуже тісно пов'язано з природними науками. Один з її розділів - геометрія - зародився як природна, емпірична наука. Деякі з найбільш яскравих ідей сучасної математики ... чітко простежуються до своїх витоків у природничих науках. Математичні методи пронизують "теоретичні розділи" природних наук і домінують у них. Головний критерій успіху в сучасних емпіричних науках все в більшій мірі вбачають в тому, наскільки ці науки виявляються у сфері дії математичного методу або майже математичних методів фізики. Нерозривний ланцюг послідовних псевдоморфоз, що пронизує природничі науки, яка зближує їх з математикою і майже ототожнюється з ідеєю наукового прогресу, стає все більш очевидною. У біологію ... проникають хімія і фізика, в хімію - експериментальна і теоретична фізика, в фізику - найбільш витончені у своїй математичній формі методи теоретичної фізики. Природа математики має досить чудовою двоїстістю. Цю подвійність необхідно усвідомити, сприйняти і включити її до кола уявлень, невід'ємних від предмета. Ця дволикість властива особі математики, і я не вірю, що можна прийти до якого-небудь спрощеному єдиного погляду на математику, не пожертвувавши при цьому істотою справи ... Я вважаю, що досить добре наближення до істини (яка занадто складна, щоб допускати що- небудь, крім апроксимації) полягає в наступному. Математичні ідеї беруть свій початок у емпірики, але генеалогія їх часом довга і неясна. Але якщо ці ідеї виникли, вони знаходять незалежне, самостійне існування. Їх краще порівнювати з художніми творами, котрі підпорядковуються чисто естетичним оцінками , ніж з чим-небудь іншим і, зокрема, з емпіричними науками. Однак ... коли математична дисципліна відходить досить далеко від свого емпіричного джерела, а тим більше, коли вона належить до другого або третього покоління і лише побічно надихається ідеями, висхідними до "реальності", над нею нависає ... серйозна небезпека. Вона все більше перетворюється на ... мистецтво заради мистецтва ... існує серйозна небезпека ... що математична дисципліна почне розвиватися по лінії найменшого опору, що потік далеко від джерела розділиться на безліч дрібних рукавів і що відповідний розділ математики звернеться до безладне нагромадження деталей і всякого роду складнощів ... на великій відстані від емпіричного джерела або в результаті надто абстрактного інбридингу / схрещування близькоспоріднених форм. Математичної дисципліні загрожує виродження. При появі того чи іншого розділу математики стиль зазвичай буває класичним. Коли ж він знаходить ознаки переродження в бароко, це слід розцінювати як сигнал небезпеки ... При настанні цього етапу єдиний спосіб зцілення ... полягає в тому, щоб повернутися до джерела і впорснути більш-менш прямо емпіричні ідеї . Я переконаний, що це завжди було необхідно для того, щоб зберегти свіжість і життєвість математичної теорії, і що це положення залишається в силі і в майбутньому ... " (Есе "Математик"). Нейман писав про те, що "... математика не повинна обмежуватися роллю постачальника рішень різних задач, що виникають в природничих науках; навпаки, природознавство повинно стати невичерпним джерелом постановок нових суто математичних проблем ...". ("Роль математики в науках та суспільстві").
Про евристичному значенні критеріїв краси в математичному пошуку говорять і багато хто інші великі і не настільки великі вчені - Гейзенберг, Гаррісон, Ейнштейн.
Так, А. Пуанкаре вважає, що в нас сидить "естетичний сторож", який вже при самому зародженні ідей відмітає некрасиві математичні рішення, навіть не допускаючи їх до розгляду. Звертаючись до формули закону тяжіння, наприклад, вітчизняний фізик другої половини XX ст. А. Китайгородський зауважує таке. Нагадавши рівняння
F =
Китайгородський пише, що якби в чисельнику замість твори мас m1 і m2 фігурувала, скажімо, сума (m1 + m2), а в знаменнику замість r2 перебувала б r у дев'ятій ступеня, така формула відразу ж відштовхувала як неестетичне, негарна і тому невірна.
І вже потім після цього першого огляду здійснює вибір між допущеними до конкуренції варіантами, коли виноситься остаточний естетичний вирок на користь найбільш досконалого, сповна задовольняє естетичному смаку математичного опису.
Залишається нез'ясованим, а що ж саме вважати красивим, які критерії самого цього критерію істинної теорії? Це ті ж кількісні (засновані на мінімальності значень) і логічні (симетрія, стрункість і т.п.) характеристики, але пропущені через естетичне чуття вченого. Як пише, наприклад, математик Б. Гнєденко, "результат вважається гарним, якщо з малої кількості умов вдається отримати загальні висновки, пов'язані з широкого кола об'єктів.
Тому так важливо виховувати у дослідника сприйняття прекрасного, здатність схоплювати і цінувати красу. Без достатньо розвиненого естетичного почуття, підкреслює Пуанкаре, ніхто ніколи не стане великим творцем в математиці.
Красу математики бачать в гармонії чисел та форм, геометричної виразності, стрункості математичних формул, вирішенні завдань різними способами, в витонченість математичних доказів, в порядку, багатстві додатків, універсальності математичних методів. Під поняття краси підводиться широкий спектр різних об'єктів від схем звіряток, складених з відрізків, до подання красивого об'єкта моделлю, що задовольняє вимогам ізоморфізму, простоти і несподіванки. Так, Е.Т. Белл привабливість математичного об'єкта бачить у сукупності наступних характеристик [4]:
- Універсальність використання в різних розділах математики, як правило, спочатку зовсім неочевидна;
- Продуктивність або можливість спонукального впливу на подальше просування в цій галузі на основі абстракції та узагальнення;
- Максимальна місткість охоплення об'єктів розглянутого типу.
Зазначена сукупність ознак гарного математичного об'єкта, як і інші пропоновані набори характеристик краси, сформульована не цілком чітко і дещо розмито, що пояснюється їх «важко вловлюється» та неповної осознаваемость.
Найбільш чітко характеристика естетичної привабливості математичного об'єкта дана Г. Біркгофом:
M = O / C,
де M - міра краси об'єкта,
O - міра порядку,
а C - міра зусиль, що витрачаються для розуміння сутності об'єкта [5].
З формулою краси, запропонованої Г. Біркгофом, співзвучна модель, розроблена В.Г. Болтянською [6]. На його думку, краса математичного об'єкта може бути виражена за допомогою ізоморфізму між цим об'єктом і його наочною моделлю, простотою моделі і несподіванкою його появи. Ізоморфізм передбачає правильні, неспотворені відображення основних властивостей явища в його наочної моделі. Співзвучність бачиться в тому, що як у першій, так і в другій моделі міра краси тим вище, чим менше міра складності об'єкта (за Біркгофом) або чим простіше наочна модель досліджуваного об'єкта (за Болтянською).
Треба сказати, що проблема краси займає не тільки математиків, вона привертала і привертає увагу найвидатніших умів людства. Одні дослідники вважають, що в красі об'єктів проявляється їх властивість, що існує незалежно від свідомості. Почуття краси трактується як продукт відображення в людській свідомості реально існуючих естетичних властивостей навколишнього світу. Інші розглядають красу як продукт розуму, вільної думки. Для третіх краса є даром богів, особливо жіноча краса, оспівується в поезії, літератури, живопису. Письменник-фантаст А. Казанцев в другій половині минулого століття висунув версію, згідно з якою гарними здаються ті риси обличчя, які відповідають біологічної доцільності, краще пристосовані до природних умов. Найбільш правдоподібно природа краси була розкрита в 60-х роках XX століття відомим психологом академіком Р.Х. Шакуровим. Їм була запропонована гіпотеза про те, що красиві ті риси обличчя, які при зоровому сприйнятті укладаються в їх корковий, узагальнений образ - у стереотипний усереднений стандарт, що сформувався в нашій голові в ході спілкування з людьми. Сказане відображає красу форм. Іншими складовими краси є: її емоційно-експресивна сторона, звернена до аффіліатівние потреби, асоціативно-емоційний компонент, оригінальність. Зазначені складові проявляються у усміхнених обличчях, що світяться добротою і ніжністю, в кольорі особи, асоціюється зі здоров'ям, у своєрідності, нестандартності.
Очевидно, що вказане розуміння краси особи може бути перенесено на красу будь-якого об'єкта, зокрема математичного. Найбільш привабливим буде той об'єкт, уявлення про який відповідає сформованому образу цього об'єкту. Даний висновок збігається з зазначеними математичними моделями естетичної привабливості математичних об'єктів. Ясно, що в разі витрати мінімуму зусиль, а це можливо коли сприйняття укладається в узагальнений образ (по Шакурова [7]), міра краси зростає, причому ступінь зростання пропорційна зростанню заходи порядку. Звідси випливає, що для учня красивими математичними об'єктами будуть ті, сприйняття яких учнем пов'язане з найменшими його зусиллями. Їх привабливість посилюватиметься за рахунок динамічної складової краси, яка виражається в оригінальності, несподіванки, витонченості.
1.3. Евристичний підхід до побудові математичних доказів у рамках логічного підходу
У логіці розрізняють дедуктивні та недедуктивних (евристичні) міркування. У зв'язку з цим, для повноти картини, необхідно розглянути евристичний підхід до побудови математичних доказів у більш широкому контексті протиставлення дедуктивних і недедуктивних висловлювань.Дедуктивними називаються міркування, укладання яких з логічною необхідністю випливають з посилок. Ці посилки можуть бути істинними, правдоподібними або ймовірними, або навіть помилковими, але якщо ви їх взяли, то повинні погодитися і з висновком дедукції. Ось чому в сучасній науці дедукція розглядається як логічний механізм перетворення інформації, зберігає її істиннісне значення. Отже, вона переносить істиннісне значення посилок міркування на його укладення. Якщо ці посилки істинні і достовірні, то таким же буде і висновок. Подібний спосіб міркування в логіці називають доказом, і він є типовим для всіх міркувань в математиці і точних науках.
Переваги дедуктивних міркувань складаються, по-перше, в тому, що вони допускають об'єктивну, або точніше, інтерсуб'єктивності, перевірку. Це означає, що кожен може перевірити їх посилки, а якщо він міркує за правилами дедуктивної логіки, то і переконатися в достовірності ув'язнення. По-друге, висновок, або наслідок, дедукції має завершений, остаточний характер, і тому його можна відокремити від посилок і використовувати його самостійно. Це властивість дедукції називають автаркії. Саме так чинять у математиці, коли формулюють теореми, не посилаючись безпосередньо на аксіоми, хоча в принципі через складну ланцюг проміжних дедукції їх можна було вивести з аксіом. По-третє, висновків, або слідства, дедукції, як ми вже зазначили, мають логічно необхідний, доказовий, а отже, обов'язковий і примусовий характер для будь-якого рассуждающего. На цій підставі дедуктивні умовиводи, що спираються на істинні посилки, називають доказовими або демонстративними міркуваннями, а відповідну аргументацію - демонстративною.
Всі ці достоїнства пояснюють, чому саме дедуктивні міркування є найбільш переконливими методами міркування, а дуже часто в нашій літературі вони просто ототожнюються з аргументацією. Проте переконливість аргументації, як неважко переконатися, залежить насамперед від характеру тих аргументів, або доводів, які служать посилками міркування. Очевидно, що якщо посилки дедукції будуть помилковими, то і висновок також буде хибним. Фундаментальний принцип дедукції полягає в тому, що з істини не можна за її правилами вивести неправдивий висновок. Якщо посилки дедукції є вірогідними судженнями, тоді й висновок буде ймовірнішим. Цей принцип стосується і до обчислення ймовірностей, аксіоми якої встановлюють, як з вихідних ймовірностей виходять інші ймовірності. Все це показує, таким чином, що дедуктивні умовиводи служать логічним механізмом перетворення інформації, який не може перетворити істину в брехню, а брехню в істину, а ймовірність у неймовірність.
Однак логіка допомагає не тільки перетворювати існуючу інформацію і зберігати її істиннісне значення, а й шукати нову інформацію за допомогою особливих форм міркування, які на відміну від дедуктивних умовиводів ми назвемо евристичними. Термін "евристика" адекватно характеризує сутність недедуктивних міркувань, які орієнтовані саме на пошук істини. Відповідно до цього до евристичних методів належать ті методи аргументації, що грунтуються, по-перше, на недедуктивних способи міркувань, по-друге, використовують певні евристичні принципи для пошуку істини. Загальна риса, характерна для всіх методів евристичної аргументації, - це ймовірність їх висновків і правдоподібний характер використовуваних міркувань. Маючи в своєму розпорядженні істинними посилками в правдоподібному міркуванні, ми не можемо гарантувати істинність його укладення. Можна тому сказати, що їх посилки лише з тією чи іншою мірою вірогідності підтверджують висновок. Найпоширенішим способом таких міркуванні, відомим ще з античної епохи, є індукція, в якій на підставі дослідження певного числа елементів певної множини об'єктів, робиться висновок про все безлічі або принаймні про деякі недосліджених його підмножинах або елементах. У науці такий процес переносу відомого знання на невідомі випадки називають екстраполяцією, а в статистиці - ув'язненням від зразка до популяції або, як прийнято в нашій літературі, - від вибірки до генеральної сукупності. У зв'язку із зазначеними міркуваннями можна розглядати висновок від вибірки до генеральної сукупності як статистичну індукцію.
Іншим видом евристичних, або імовірнісних, міркувань є аналогія, заснована на схожості деяких ознак двох або кількох об'єктів, причому ця подібність використовується для екстраполяції певних ознак одного або декількох об'єктів на інший об'єкт. Очевидно, що висновок аналогії в принципі теж буде завжди лише вірогідним, але не достовірно істинним. Те ж саме слід сказати про статистичні узагальненнях.
Різниця між дедуктивними, або демонстративними, роздумами та міркуваннями евристичними, або недемонстративні, можна уявити наочно у вигляді відповідних схем. Типовими елементарними схемами дедуктивних міркувань є, по-перше, висновок від істинності підстави до істинності слідства (modus ponens), по-друге, висновок від хибності наслідку до хибності підстави (modus tollens)
На відміну від цього всі недемонстративні, або евристичні, міркування виражаються гіпотетичної формою ув'язнення.
2. Евристичні прийоми побудови математичних доказів
2.1. Евристичний метод побудови математичних доказів
Початок евристичного методу деякі бачать у Сократа, який шляхом питань наводив слухача на правильне рішення поставленої проблеми. Таким чином він змушував мислити слухача, послідовно підходячи до вирішення ряду більш легких проблем Р, Q, R ..., від яких залежало вирішення основної проблеми W. Але при цьому слід зазначити, що рішення цих проміжних проблем Р, Q, R ... Сократ зазвичай сам підказував, залишаючи слухачам продумати підказане ним рішення і переконатися в його правильності. Таким чином, хоча за слухачем і залишалося в деякій мірі самостійне мислення, але він рухався несамостійно, він, так би мовити, весь час підштовхує Сократом. З огляду на це сократовский метод навряд чи можна визнати за зразок чистої евристичної методи. Евристичний метод у сучасному сенсі потребує значно більше ініціативи від учнів. Крім того, в його поняття входить і те, на що Сократ не звертав уваги, природний хід думки, а саме той, який вів до відкриття вивченою істини. Всякий евристичний метод є в даний час в деякій мірі і генетичним, але, звичайно не можна стверджувати і протилежне. Учневі пропонується, правда, не виключаючи деяких наведень з боку вчителя, проходити той шлях, який пройшов або міг пройти відкриває ці істини.Правильніше шукати початок евристичного методу не у Сократа, а набагато пізніше - у Руссо в його педагогічних поглядах або, краще сказати, взагалі в педагогіці його часу, так як він у своєму Емілі відображає загальний настрій педагогічної думки його епохи. Тут доречно згадати і про Л. Бертраном, який намагається, втім лише на початку, застосувати елементарну математику в тому порядку, який може відкриватися «мисливцем». У підручниках кінця XVIII і початку XIX століття, дотримуючись ідей Руссо, наводиться евристичний метод, що приводить до вопросникам і до завдань для самостійного рішення.
Поза сумнівом надалі методисти холонуть до евристичному методу. Але захоплення ним зіграло велику роль в історії методики математики. Підручники XVII і XVIII століть не містять, як наші підручники, завдання. Навіть найбільш великий методист Х. Вольф говорить не про самостійно розв'язуваних задачах, але про приклади, тільки ілюструють теорію. Евристичний метод викликався ще інший педагогічної ідеєю, що захищається Руссо, висував, на противагу односторонньо-об'єктивною - однобічно-суб'єктивну методом з формально виховним принципом розвитку здібностей. Звичайно для цієї мети самостійне мислення учня мала першорядне значення. Вперше завдання з'являються тільки в кінці першої чверті XIX століття в підручнику невідомого методиста Ома.
Ніхто, звичайно, зараз не буде заперечувати проти необхідності самостійної роботи учня над вирішенням завдань. Така форма евристичного прийому є в даний час необхідним складовим елементом математичної освіти.
Методична проблема ставиться тільки про те, чи слід, і якщо слід, то в якій мірі вживати евристичний метод при вивченні основного матеріалу досліджуваного предмета і потім - у якій формі варто вживати евристичні прийоми при вирішенні завдань у класі?
Тут, перш за все, слід погодитися з тим, що при першому викладі доказів або рішення задачі евристичний метод є абсолютно невідповідним.
У самому справі, він звертається в індивідуальне навчання учня. Учень, відповідаючи на запитання, чи не буде замість вчителя навчати клас. Останній не в змозі витримати увагу, що йде за викладом учня, коректованим вчителем.
Сама ідея, що метод викладу може збігатися з порядком відкриття, неправильна. При будь-якому відкритті йдуть навпомацки, причому через ряд помилок, які виправляються, і при цьому керуються аналогією і індукцією. Самий процес закулісної розумової роботи зовсім інший, ніж той, за яким слід вести учня. Енциклопедисти XVIII ст багато говорили про походження, але самі мали дуже поганим історичним чуттям і їх дикуни, а також греки та римляни дуже далекі були від справжніх. Усі їхні уявлення про той процес, який веде до відкриттів, будувалися апріорно, а не як висновки з психологічного аналізу систематично накопиченого матеріалу [8].
Але слід йти далі. Перше виклад доказів не тільки не повинно вестися учнем разом з учителем, але воно і не повинно перериватися зверненням до всього класу. Все має бути ізлагаеми систематично і в цілком обробленому вигляді. Ясно, що виклад може бути тільки синтетичним. Таким чином разом з тим вирішується й питання про синтез та аналізі.
Тільки тоді, коли вчитель може з підставою припустити, що викладене в обробленій синтетичній формі засвоєно учням, він може залучити учня до самостійного мислення. Воно може тоді носити суто вже аналітичний характер, тобто вчитель може певною мірою роз'яснювати учню, чому він робить так, а не інакше, що повинно наводити на думку провести такі-то прямі або описати такі-то окружності. Я думаю, що це є більш корисним, ніж відтворення докази одним з учнів, що в більшості випадків, звичайно, не цілком вдається. Для всього класу це ледь є дуже корисним, так як і тут за викладом учня клас не в змозі йти і виклад це в жодному випадку не служить ні до більшого роз'ясненню ходу докази, ні до закріплення його в пам'яті.
При вторинному проведенні докази, евристичні прийоми вже цілком припустимі, але не стосовно одного учня, викликаного до дошки, а всього класу. Учитель може у своєму викладі вставляти звернення до деяким певним учням, ним обраним, або до тих, які виявляться при виклику вчителя на відповідь по пропонованому їм питання. Але тільки після отримання відповіді з класу вчителем, слід продовжувати виклад так, як якщо цього учнівського відповіді не було, тобто слідує відповідь формулювати самому вчителю в цілком обробленою і точної формі.
Яка роль вчителя при вирішенні класних завдань біля дошки? Ця методична проблема зовсім не так проста, як це здається на перший погляд. Надати всі учневі, навіть хорошому, якщо тільки завдання не вирішується за трафаретом, представляє помилку.
Але помилковим є також все брати на себе і перетворювати учня в автомат, що відтворює на дошці хід мислення вчителя. Очевидно тут доводиться вибирати золоту середину.
Слід зважати на те, що учень біля дошки, повинен виявити в обмежений час здогад, що не завжди можна вимагати не тільки від середнього, а й від хорошого учня, не швидко тямить. Вчитель же не повинен просто підказувати, а повинен наводити і в цьому наведенні повинно виявлятися методичне мистецтво вчителя. Тільки в тому випадку, коли натяки безумовно не дають результатів, можна вдатися до підказкою. І тут теж не повинно все обмежуватися учнем. Вчитель повинен сам повторювати рішення, тільки в цьому випадку рішення зможе бути засвоєно всім класом.
Перед першою імперіалістичною війною увійшло в моду в школі те, що називали аналізом вирішення завдань, тобто виклад по суті психічних розумових процесів, що призводять до излагаемому рішенням.
У письмових роботах на атестат зрілості у Варшавському Окрузі за 1914 рік ця частина виявлялася потворно роздутою, в той час, як в самому рішенні зазвичай випадало істотне - доказ правомірності допоміжних побудов. Я вважаю, звичайно, все це методичною помилкою, при неправильному розумінні евристичного методу.
Письмові роботи повинні містити тільки остаточну обробку рішення, що ж стосується закулісної розумової роботи, то повністю її й не можна викласти, а якщо намагатися її викласти можливо детальніше, то для більш важких завдань доводиться викладати знаходження шляхом аналогії і індукції не тільки правильних шляхів, а й також і невірних, з яких доводиться сходити.
Учень повинен у письмовій роботі дати готову споруду, а не давати її в лісах, які, як це сталося у згаданих роботах, закривали всю будівлю. Я думаю, що аналітичний елемент повинен бути тільки у викладі вторинних доказів теорем і рішень завдань, викладених не учнем, а самим учителем.
До числа евристичних прийомів належить і надання учневі розвідки помилок у вирішенні завдань і в доказах, що проводяться товаришем.
Звичайно, прийом неправильного рішення, розвиненого вчителем, з пропозицією вказати помилку, є з педагогічної точки зору не прийнятним, тому що може народити недовіру до вчителя і учень буде підозрювати помилки і в інших місцях викладу вчителя.
Але, правда в деякій обмеженій допустимо пропозицію учням завдань з суперечать умовами або з відсутніми даними, і в тому і в іншому випадку нерозв'язних. Але при цьому можливі два прийоми: 1) підкресливши, що завдання і в першому і в другому випадку нерозв'язна, запропонувати роз'яснити причину цьому; 2) просто запропонувати таке завдання і поставити учня в глухий кут і потім уже поставити питання про можливість розв'язання. З цих прийомів слід віддати перевагу, звичайно, перший.
2.2. Особливості застосування евристичного підходу при доказі теорем
Методика навчання доведенню в математики (при викладанні математики в школі) рекомендує якомога раніше залучати школярів до самостійного відкриття фактів і способів їх обгрунтування, хоча в учнів ще немає навіть самого простого уявлення про процес доказу, його складових. Сама вимога «довести» не викликає у них потрібних асоціацій. Процес самостійного пошуку докази грунтується на ряді логічних і евристичних операцій, багатьма з яких учні 6-7-х класів не володіють. Тому на перших уроках геометрії 7-го класу слід скористатися готовими доказами з метою вивчення структури логічного висновку (наявності великої посилки, малої посилки), зв'язків логічних кроків. Для досягнення цієї мети можна скористатися спеціальними картками з двома колонками, в одній з яких вказуються затвердження, в іншій - обгрунтування, причому кожен стовпчик має порожні місця, кількість яких залежить від здібностей школяра, що заповнює пропуски в колонках. Ясно, що сказане не скасовує евристичного навчання та залучення учнів до відкриття доказів. Однак самостійне доказ має грунтуватися на розумінні готового докази, порядку, що веде до формування стійких математичних образів.Враховуючи, що в учня з його дорослішанням розвиваються просторові уявлення про навколишній світ, що набувають форму стійких образів реальних об'єктів, вивчення елементів геометрії в 5-6-х класах природно повинно грунтуватися на ідеї фузіонізма (злиття), а проте ця ідея не повинна бути стрижневою. В основній школі має вивчатися систематичний курс планіметрії, а в старших класах - курс стереометрії. Закінчувати вивчення геометрії в середній школі слід знайомством школярів з аксіоматичним методом не тільки як методом організації математичної теорії, але і як ефективним евристичним засобом, а також виходом в геометрію чотиривимірного простору. Відомо, що необхідність систематичних курсів заперечується деякими математиками і методистами. Вони пропонують, зокрема, єдиний курс планіметрії та стереометрії. Однак такий курс побудувати на досить суворому логічному рівні в основній школі неможливо. Такий курс буде представляти собою набір різних фактів, тому міра порядку його організації буде невисокою, а тому буде низькою і міра привабливості такого курсу для учнів, що, безсумнівно, буде відображатися на їх інтерес до вивчення такого курсу, а отже і на знаннях і уміннях школярів.
Необхідність обліку залежно заходи краси і привабливості об'єкта від порядку та заходи зусиль на його розуміння підтверджує і природа розпізнавання об'єктів: на рівні згорнутого виконання дій розпізнавання здійснюється не за логічним ознаками, а за зовні вираженим, наочним ознаками використовуваних об'єктів. «Ідеальний» варіант виникає тоді, коли визначення поняття дозволяє уяві легко конструювати образи визначених об'єктів. У даному контексті, наприклад, найбільш привабливим серед можливих визначень паралелограма є класичне визначення, тому що вона в більшій мірі відповідає наявному в мисленні учня образу паралелограма.
Відомі багаторічні дискусії з питання використання алгебраїчного методу розв'язання текстових задач. Одні учасники дискусій виступають за раннє введення методу рівнянь, інші вважають, що основна увага в початковій школі і в 5-6-х класах повинно приділятися арифметичному методу.
З позиції краси навряд чи буде здаватися привабливим для учня 5-го класу рішення текстової задачі із застосуванням рівнянь або доказ теореми методом «від супротивного», тому що міркування, що здійснюються в процесі виконання завдання або у доведенні теореми, не будуть для учня природними. Хоча текстові задачі привабливі для школярів, оскільки вони відображають реальні ситуації, добре знайомі їм [9].
Початковим стимулом розвитку математичного знання є потреба у вирішенні конкретних практичних завдань, яка «неминуче набуває внутрішній розмах і виходить за рамки безпосередньої корисності». Тому використання текстових задач у навчанні математики на ранніх етапах необхідно, проте поспішати із застосуванням рівнянь при їх вирішенні не слід. Останнє передбачає ряд таких умінь (моделювати словесно задані ситуації, висловлювати задані величини одну через іншу і т. д.), які якраз і формуються при вирішенні текстових завдань арифметичним способом [10]. Учень, що опанувала хоча б деяким досвідом вирішення текстових завдань арифметичним методом, при зустрічі з алгебраїчним методом буде, в якійсь мірі, здивований оригінальністю судження при його використанні, і ця несподіванка буде посилювати привабливість алгебраїчного методу.
Аналізуючи підручники геометрії для основної школи, можна побачити, що метод «від протилежного» використовується при вирішенні завдань вже на перших уроках геометрії, хоча учні ще не усвідомили сенс прямого обгрунтування. Тому в такій ситуації застосування цього методу може викликати лише ворожість до вивчення геометрії. Останньому сприятиме і непевність вимог перших завдань курсу геометрії.
Як вже було зазначено, важливою характеристикою заходи краси є порядок, який виступає в різних формах. Найбільш поширеною з них є симетрія. Причому мова йде не тільки про симетрії як гармонії частин цілого, їх впорядкованості, але і як усвідомленні стрункості математичних доказів. Тому найбільш привабливими для учнів є витончені докази. Зазначимо й такі характеристики краси математики, як можливість впливу на подальше просування в тій чи іншій області на основі аналогії і узагальнення, багатство можливих додатків як у математиці, так і в суміжних дисциплінах, оригінальність.
Під впливом конкретної ситуації в корі головного мозку актуалізуються певні образи, несвідомо «чекають» зустрічі з відповідними об'єктами. Коли очікування, засноване на узагальненому стандарті, безперешкодно реалізується, це переживається як краса. У ситуації, коли сприймається стимул схожий на його коркову модель, але не вкладається в неї повністю, виникає подив і пов'язаний з ним пізнавальний інтерес. Абсолютно новий стимул не викликає інтересу, оскільки він не представлений у психіці, немає його стереотипного образу в голові. У зв'язку зі сказаним, в навчанні важливо використання різних малюнків до доказу теореми, вправ на розпізнавання об'єктів, що належать формованому поняттю, різних способів докази, самостійного відкриття теорем, оригінальних способів рішень, укрупнення одиниць, креслень з однією основою, аналогічних завдань, блоків «родинних »завдань і т. д. Все це безпосередньо пов'язано з красою, з механізмами естетичного виховання школярів засобами математики, з виробленням естетичного смаку шляхом формування стандартів (стійких математичних образів).
Розглянемо конкретні приклади.
1. Дан прямокутний трикутник ABC з прямим кутом B. На його гіпотенузі AC (поза ним) побудований квадрат ACDE з центром O. Довести, що промінь BO є бісектрисою кута ABC.
Можливо, що хтось з учнів, які вирішували це завдання, і запропонує один із способів її рішення. Однак може виявитися, що таких учнів не знайдеться. У такому випадку можна запропонувати розглянути окремий випадок, обумовлений тим, що трикутник ABC буде прямокутним і рівнобедреним. Креслення, що ілюструє цю ситуацію, буде більш привабливий для учнів, так як його сприйняття в більшій мірі відповідає їх життєвим образам. Тому до такого малюнку буде проявлено більше цікавість.
Малюнок 1
Легко помітити, що фігура на рис.1 симетрична відносно прямої BO. Цей факт легко може бути і обгрунтований: точка B рівновіддалена від точок A і C, отже, вона належить осі симетрії цих точок. Аналогічно, цієї ж осі симетрії належить і крапка O. Значить, пряма BO - вісь симетрії чотирикутника ABCO, а тому промінь BO є бісектрисою кута B. Ясно, що обгрунтування доказуваного твердження може бути виконано і іншим способом.
Встановлюємо, що чотирикутник ABCO - квадрат, біля якого можна описати коло. По відношенню до неї кути ABO і OBC є вписаними, що спираються на рівні дуги AO і OC (рис. 2). Легко помітити, що переміщує точку B по окружності (рис. 3), приходимо до рис. 4, який і відповідає цьому завданню. Окремий випадок підказав спосіб її вирішення. Ясно, що ідея симетрії в загальному випадку не спрацьовує, однак вона наштовхує на ідею використання повороту навколо точки O на 90 °.
Малюнок 2
Малюнок 3
Нехай це буде поворот за годинниковою стрілкою. Він переведе пряму AB в пряму BC, оскільки точка A перейде в точку C, а пряма AB - в пряму, що проходить через точку C перпендикулярно до AB, тобто в пряму BC. Отже, точка O рівновіддалена від прямих AB і BC, а тому належить осі симетрії кута ABC.
Вирішивши це завдання, слід звернути увагу учнів на евристики:
1) якщо в задачний ситуації є два прямокутних трикутники з загальної гіпотенузою, то корисно для вирішення завдання ввести окружність, описану біля цих трикутників;
2) якщо в умові завдання дано дві взаємно перпендикулярні прямі або квадрат, то для її рішення можна скористатися поворотом навколо центру квадрата на 90 °.
Далі можна запропонувати розглянути випадок, коли квадрат, побудований на гіпотенузі AC, містить точку B. Залежно від рівня підготовленості класу можна просунутися і далі. Наприклад, прямокутний трикутник можна замінити двома взаємно перпендикулярними прямими, що проходять через сусідні вершини квадрата. Можна запропонувати учням скласти кілька аналогічних завдань, замінивши квадрат, наприклад, правильним трикутником. У цьому випадку дві взаємно-перпендикулярні прямі повинні бути замінені двома прямими, що проходять через сусідні вершини трикутника й утворюють кут в 120 °. Зазначена задачную ситуація може бути узагальнена на правильний шестикутник і т. д.
Малюнок 4
Можна помітити, що дослідження задачний ситуації з використанням узагальнення, конкретизації та аналогії сприяє створенню узагальненого образу цієї ситуації, особливо в тому випадку, коли вона є опорною, тобто використовується в більшості завдань досліджуваного розділу. Зустріч учнів з малюнком, що відклався в пам'яті учня, викличе ті асоціації, які були пов'язані з ним раніше і можуть просунути вирішення завдання. Нарешті відзначимо і те, що пошук рішення задачі здійснюється за допомогою прийому уявного перетворення досліджуваного об'єкта, що важливо, тому що даний прийом є ефективним евристичним прийомом в математичному пізнанні. З іншого боку, рішення подібних завдань формує сам вказаний прийом, а також прийоми узагальнення, аналогії, конкретизації і т. п.
2. Дан рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∟ C = 90 °). Побудований відрізок CC1 (C1 AB), перпендикулярний медіані AA1. Знайти ставлення BC1: C1A.
Дане завдання цікава тим, що допускає різні способи рішення, хоча заключний етап її рішення не багатий можливостями конструювання нових завдань. У журналі «Математика в школі» (№ 4 / 1981, с. 69 [11]) наведено п'ять способів вирішення завдань, однак серед них немає самого простого способу, заснованого на використанні координатного методу. Наведемо його.
Введемо систему координат так, щоб пряма CA служила віссю Ox, пряма CB - віссю Oy (промінь CA визначає позитивний напрямок осі Ox, а промінь CB - осі Oy); за одиницю виміру приймемо довжину відрізка AC.
Тоді
де
.
Рівняння прямої CC1 має вигляд:
а рівняння прямої A1A - 
Використовуючи умову перпендикулярності прямих, отримуємо
Заключний етап вирішення завдання має великий естетичним потенціалом і є добрим засобом формування мотивації навчальної діяльності школяра. Даний етап має значні можливості для залучення школярів до складання завдань, що пов'язано з дослідженням задачний ситуації.
3. Якщо хорди кола перетинаються, то твір відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків інший.
Конкретизація задачний ситуації призведе до задачі, в умові якої хорди перпендикулярні і одна з них є діаметром. Оскільки в отриманого завдання використовується окремий випадок, то рішення останньої задачі поширюється і на рішення отриманої. Дана задачную ситуація може бути інтерпретована по-іншому: з точки окружності проведено перпендикуляр до її діаметра. Квадрат перпендикуляра дорівнює добутку відрізків діаметра. Зауважимо, що конкретизація призводить до ситуації, коли є рішення задачі, а саме завдання повинна бути сформульована.
Узагальнення основного завдання призводить до ситуацій:
1) прямі, яким належать хорди, перетинаються поза колом, що визначається даної колом;
2) одна з січних є дотичною (граничний випадок 1);
3) обидві січні є дотичними.
Далі можливий вихід в задачную ситуацію, яку складають дві окружності і хорди кожної з них. Потрібно знайти таке положення точки перетину хорд, яке задовольняє основному завданню. Можливий вихід навіть у три кола, що зумовить вже дослідження з усіма його атрибутами.
Привабливість роботи з завданням може бути підвищена навіть у процесі вирішення елементарних завдань.
Розглянемо задачу. У трикутнику ABC бісектриса кута C перетинає сторону AB в точці D, AD = DC, ∟ A = 40 ° (рис. 5). Довести, що AB> BC.
Малюнок 5
Оскільки в трикутнику ABC відомий кут A, то порівняння зазначених сторін може бути здійснене за допомогою порівняння кутів, що лежать проти цих сторін. На дану евристику слід звернути увагу учнів. Проте її використання вимагає знання другого кута трикутника - кута C. Малюнок допомагає побачити, що ∟ C містить ∟ ACD, дорівнює куту A. Таким чином, ∟ C> ∟ A, отже AB> BC.
Ясно, що наведена завдання не має можливості побудови на її основі завдань-узагальнень, задач-конкретизацій, задач-аналогів і так далі. Однак на її основі можливе конструювання цілої серії завдань. Ось вимоги деяких з них (умови задач збігаються з умовою даного завдання):
«Сформулюйте кілька тверджень, справедливість яких випливає з умови даної задачі».
Відповідь: 1) ∟ ACD = 40 °; 2) ∟ C = 80 °, 3) ∟ B = 60 °; 4) AC> BC; 5) AC <AB; 6) DC> BD; 7) AB> BC.
Розглянемо наслідок 7). Доведено, що AB> BC. Враховуючи, що точка D знаходиться між точками A і B, а AD = AB, то AD + BC> BC і, нарешті, DC + DB> BC. Остання нерівність, як легко помітити, буде справедливим при будь-якій величині кута A і будь-якому положенні внутрішнього променя CD. Важливо лише те, що AD = DC. Так приходимо до узагальненої задачі: «На стороні AB трикутника ABC взято точка D так, що AD = DC. Доведіть, що AB> BC ». Дане нерівність DC + DB> BC приводить до висновку, що в трикутнику сума двох сторін трикутника більше третьої сторони. Рішення даного завдання не тільки мотивує введення теореми про нерівність трикутників, моделює її доказ, але і обгрунтовує її для окремого випадку.
Супроводжуючи рішення навіть таких простих завдань зазначеної роботою з ними, ми підвищуємо їх привабливість і естетичний потенціал. Учні починають дивитися на завдання як на дослідні об'єкти, в яких прихована гармонія і краса математики, насолоджуючись тим, що в процесі роботи ці якості математики оголюються, і краса математики стає для учнів доступною.
Таким чином, краса математики розкривається у вихованні схильності школярів до використання узагальнення та аналогії, наочної виразності математичних об'єктів, уніфікації і різноманітних додатків тих чи інших математичних фактів і закономірностей, всебічному аналізу досліджуваних ситуацій, мінімально можливої суб'єктивної складності, необхідної для досягнення того чи іншого результату , пошуку різних способів вирішення задачі і вибору з них найбільш витонченого, повної логічної обгрунтованості і доказовості, схильності до пошуку різних моделей розглянутих ситуацій, спільності вихідних гіпотез, різних додатків досліджуваних фактів.
- Розглянуто поняття доказу в математиці та її особливості;
- Розглянуто евристика як метод наукового пізнання;
- Розглянуто особливості евристичного підходу в рамках логічного;
- Розглянуто застосування евристичних логічних підходів до побудови математичних доказів при вивченні математики.
По роботі можна зробити наступні висновки:
Доведення являє міркування, що має завданням обгрунтувати істинність будь-якого затвердження.
При характеристиці математичного докази виділяють дві основні особливості. Перш за все, те, що математичне доказ виключає будь-які посилання на емпірії. Друга особливість математичного докази - його найвища абстрактність, якій воно відрізняється від процедур докази в інших науках.
Якщо всі відомі методи вирішення завдань розділити за ознакою домінування логічних евристичних (інтуїтивних) процедур та відповідних їм правил діяльності, то можна виділити дві великі групи методів:
а) логічні методи - це методи, в яких переважають логічні правила аналізу, порівняння, узагальнення, класифікації, індукції, дедукції і т. д.;
б) евристичні методи.
Для того щоб розібратися більш глибоко в тому, що розуміти під евристичними методами, слід звернути увагу на те, що метод словесно можна представити у вигляді деякої системи правил, тобто описи того, як потрібно діяти і що потрібно робити в процесі вирішення завдань певного класу . З різноманітного набору правил діяльності у вирішенні завдань принципово можна виділити два великі класи приписів: алгоритми або алгоритмічні приписи та евристики - евристичні приписи. Якщо алгоритми жорстко детермінують наші дії і гарантують у разі їх точного виконання досягнення успіху у вирішенні відповідного типу завдань, то евристики та евристичні приписи лише задають стратегії і тактиці найбільш ймовірний напрямок пошуку ідеї рішення, але не гарантують успіху рішення.
Евристикою називають сукупність прийомів і методів, що полегшують і спрощують рішення пізнавальних, конструктивних, практичних завдань. Евристикою називають також спеціальну наукову галузь, що вивчає специфіку творчої діяльності. Евристичні методи протиставляються рутинному, формального перебору варіантів за заданими правилами. По суті, при вирішенні будь-якої задачі людина завжди використовує ті чи інші методи, що скорочують шлях до вирішення, які полегшують його знаходження. Напр., При доказі теорем геометрії ми зазвичай використовуємо в якості евристичного засобу креслення; вирішуючи математичну задачу, ми намагаємося згадати і використовувати вирішення інших схожих завдань; як евристичних засобів використовуються загальні твердження і формули, індуктивні методи, аналогії, правдоподібні умовиводи, наочні моделі і образи, уявні експерименти і т. п.
Використання евристичних підходів при побудові математичних доказів допомагає не тільки перетворювати існуючу інформацію і зберігати її істиннісне значення, а й шукати нову інформацію за допомогою особливих форм міркування. Застосування евристичних підходів в математиці припускає використання узагальнення та аналогії, наочної виразності математичних об'єктів, уніфікацію і різноманітні додатки тих чи інших математичних фактів і закономірностей, всебічний аналіз досліджуваних ситуацій, мінімально можливу суб'єктивну складність, необхідної для досягнення того чи іншого результату, пошук різних способів вирішення завдання і вибору з них найбільш витонченого, повну логічну обгрунтованість і доказовість, схильність до пошуку різних моделей розглянутих ситуацій, спільність вихідних гіпотез, різних додатків досліджуваних фактів.
2. Белл Е.Т. Творці математики. - М., 1979.
3. Бєляєв Е.А, Пермінов В.Я. «Філософські та методологічні проблеми математики», МДУ, 1981, - 214 с.
4. Біркгоф Г. Математика та психологія. - М., 1977.
5. Болтянский В.Г. Математична культура та естетика. - / / Математика в школі, № 2 / 1982, с. 40-43.
6. Заесенок В. П. Евристичні прийоми вирішення логічних завдань / / Математика в школі. - 2005. - N 3.
7. Калошина І.П., Мінічкіна Н.В. Логічні прийоми мислення як умова самостійної розробки студентами способів доказу теорем. - В кн.: Підготовка вчителя математики в університеті. Саранськ, 1984, c.22 - 33.
8. Калошина І.П., Харічева Г.І. Логічні прийоми мислення при вивченні вищої математики. - Воронеж: Изд-во Воронезького ун-ту, 1978. - 128 с.
9. Курант Р., Робінс Г. Що таке математика? - М., 1967.
10. Лакатоса І. Докази і спростування. М., 1967.
11. Мінічкіна Н.В. Формування логічних прийомів мислення як умови самостійної пізнавальної діяльності студентів. - Дис. ... канд. пед. наук. Саранськ, 1984.-268 с.
12. Писаревський Б. М. Завдання зі стереометрії. Правильна піраміда / / Математика в школі. - 2005. - N 3.
13. Саранцев Г. І. Навчання математичним доказам у школі: Книга для вчителя. - М.: "Просвіта" - 2000. - 173 с.
14. Серебряников О.Ф. Евристичні принципи і логічне мислення. М.: 1979.
15. Шакуров Р.Х. Емоція. Особистість. Діяльність (механізми псіходінамікі). - Казань, 2001.
16. Евристичні прийоми при побудові доказів / / Математика в школі », 1981. - № 4 / 1981, с. 69
1. Дан прямокутний трикутник ABC з прямим кутом B. На його гіпотенузі AC (поза ним) побудований квадрат ACDE з центром O. Довести, що промінь BO є бісектрисою кута ABC.
Можливо, що хтось з учнів, які вирішували це завдання, і запропонує один із способів її рішення. Однак може виявитися, що таких учнів не знайдеться. У такому випадку можна запропонувати розглянути окремий випадок, обумовлений тим, що трикутник ABC буде прямокутним і рівнобедреним. Креслення, що ілюструє цю ситуацію, буде більш привабливий для учнів, так як його сприйняття в більшій мірі відповідає їх життєвим образам. Тому до такого малюнку буде проявлено більше цікавість.
Малюнок 1
Легко помітити, що фігура на рис.1 симетрична відносно прямої BO. Цей факт легко може бути і обгрунтований: точка B рівновіддалена від точок A і C, отже, вона належить осі симетрії цих точок. Аналогічно, цієї ж осі симетрії належить і крапка O. Значить, пряма BO - вісь симетрії чотирикутника ABCO, а тому промінь BO є бісектрисою кута B. Ясно, що обгрунтування доказуваного твердження може бути виконано і іншим способом.
Встановлюємо, що чотирикутник ABCO - квадрат, біля якого можна описати коло. По відношенню до неї кути ABO і OBC є вписаними, що спираються на рівні дуги AO і OC (рис. 2). Легко помітити, що переміщує точку B по окружності (рис. 3), приходимо до рис. 4, який і відповідає цьому завданню. Окремий випадок підказав спосіб її вирішення. Ясно, що ідея симетрії в загальному випадку не спрацьовує, однак вона наштовхує на ідею використання повороту навколо точки O на 90 °.
Малюнок 2
Малюнок 3
Нехай це буде поворот за годинниковою стрілкою. Він переведе пряму AB в пряму BC, оскільки точка A перейде в точку C, а пряма AB - в пряму, що проходить через точку C перпендикулярно до AB, тобто в пряму BC. Отже, точка O рівновіддалена від прямих AB і BC, а тому належить осі симетрії кута ABC.
Вирішивши це завдання, слід звернути увагу учнів на евристики:
1) якщо в задачний ситуації є два прямокутних трикутники з загальної гіпотенузою, то корисно для вирішення завдання ввести окружність, описану біля цих трикутників;
2) якщо в умові завдання дано дві взаємно перпендикулярні прямі або квадрат, то для її рішення можна скористатися поворотом навколо центру квадрата на 90 °.
Далі можна запропонувати розглянути випадок, коли квадрат, побудований на гіпотенузі AC, містить точку B. Залежно від рівня підготовленості класу можна просунутися і далі. Наприклад, прямокутний трикутник можна замінити двома взаємно перпендикулярними прямими, що проходять через сусідні вершини квадрата. Можна запропонувати учням скласти кілька аналогічних завдань, замінивши квадрат, наприклад, правильним трикутником. У цьому випадку дві взаємно-перпендикулярні прямі повинні бути замінені двома прямими, що проходять через сусідні вершини трикутника й утворюють кут в 120 °. Зазначена задачную ситуація може бути узагальнена на правильний шестикутник і т. д.
Малюнок 4
Можна помітити, що дослідження задачний ситуації з використанням узагальнення, конкретизації та аналогії сприяє створенню узагальненого образу цієї ситуації, особливо в тому випадку, коли вона є опорною, тобто використовується в більшості завдань досліджуваного розділу. Зустріч учнів з малюнком, що відклався в пам'яті учня, викличе ті асоціації, які були пов'язані з ним раніше і можуть просунути вирішення завдання. Нарешті відзначимо і те, що пошук рішення задачі здійснюється за допомогою прийому уявного перетворення досліджуваного об'єкта, що важливо, тому що даний прийом є ефективним евристичним прийомом в математичному пізнанні. З іншого боку, рішення подібних завдань формує сам вказаний прийом, а також прийоми узагальнення, аналогії, конкретизації і т. п.
2. Дан рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∟ C = 90 °). Побудований відрізок CC1 (C1 AB), перпендикулярний медіані AA1. Знайти ставлення BC1: C1A.
Дане завдання цікава тим, що допускає різні способи рішення, хоча заключний етап її рішення не багатий можливостями конструювання нових завдань. У журналі «Математика в школі» (№ 4 / 1981, с. 69 [11]) наведено п'ять способів вирішення завдань, однак серед них немає самого простого способу, заснованого на використанні координатного методу. Наведемо його.
Введемо систему координат так, щоб пряма CA служила віссю Ox, пряма CB - віссю Oy (промінь CA визначає позитивний напрямок осі Ox, а промінь CB - осі Oy); за одиницю виміру приймемо довжину відрізка AC.
Тоді
де
Рівняння прямої CC1 має вигляд:
Використовуючи умову перпендикулярності прямих, отримуємо
Заключний етап вирішення завдання має великий естетичним потенціалом і є добрим засобом формування мотивації навчальної діяльності школяра. Даний етап має значні можливості для залучення школярів до складання завдань, що пов'язано з дослідженням задачний ситуації.
3. Якщо хорди кола перетинаються, то твір відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків інший.
Конкретизація задачний ситуації призведе до задачі, в умові якої хорди перпендикулярні і одна з них є діаметром. Оскільки в отриманого завдання використовується окремий випадок, то рішення останньої задачі поширюється і на рішення отриманої. Дана задачную ситуація може бути інтерпретована по-іншому: з точки окружності проведено перпендикуляр до її діаметра. Квадрат перпендикуляра дорівнює добутку відрізків діаметра. Зауважимо, що конкретизація призводить до ситуації, коли є рішення задачі, а саме завдання повинна бути сформульована.
Узагальнення основного завдання призводить до ситуацій:
1) прямі, яким належать хорди, перетинаються поза колом, що визначається даної колом;
2) одна з січних є дотичною (граничний випадок 1);
3) обидві січні є дотичними.
Далі можливий вихід в задачную ситуацію, яку складають дві окружності і хорди кожної з них. Потрібно знайти таке положення точки перетину хорд, яке задовольняє основному завданню. Можливий вихід навіть у три кола, що зумовить вже дослідження з усіма його атрибутами.
Привабливість роботи з завданням може бути підвищена навіть у процесі вирішення елементарних завдань.
Розглянемо задачу. У трикутнику ABC бісектриса кута C перетинає сторону AB в точці D, AD = DC, ∟ A = 40 ° (рис. 5). Довести, що AB> BC.
Малюнок 5
Оскільки в трикутнику ABC відомий кут A, то порівняння зазначених сторін може бути здійснене за допомогою порівняння кутів, що лежать проти цих сторін. На дану евристику слід звернути увагу учнів. Проте її використання вимагає знання другого кута трикутника - кута C. Малюнок допомагає побачити, що ∟ C містить ∟ ACD, дорівнює куту A. Таким чином, ∟ C> ∟ A, отже AB> BC.
Ясно, що наведена завдання не має можливості побудови на її основі завдань-узагальнень, задач-конкретизацій, задач-аналогів і так далі. Однак на її основі можливе конструювання цілої серії завдань. Ось вимоги деяких з них (умови задач збігаються з умовою даного завдання):
«Сформулюйте кілька тверджень, справедливість яких випливає з умови даної задачі».
Відповідь: 1) ∟ ACD = 40 °; 2) ∟ C = 80 °, 3) ∟ B = 60 °; 4) AC> BC; 5) AC <AB; 6) DC> BD; 7) AB> BC.
Розглянемо наслідок 7). Доведено, що AB> BC. Враховуючи, що точка D знаходиться між точками A і B, а AD = AB, то AD + BC> BC і, нарешті, DC + DB> BC. Остання нерівність, як легко помітити, буде справедливим при будь-якій величині кута A і будь-якому положенні внутрішнього променя CD. Важливо лише те, що AD = DC. Так приходимо до узагальненої задачі: «На стороні AB трикутника ABC взято точка D так, що AD = DC. Доведіть, що AB> BC ». Дане нерівність DC + DB> BC приводить до висновку, що в трикутнику сума двох сторін трикутника більше третьої сторони. Рішення даного завдання не тільки мотивує введення теореми про нерівність трикутників, моделює її доказ, але і обгрунтовує її для окремого випадку.
Супроводжуючи рішення навіть таких простих завдань зазначеної роботою з ними, ми підвищуємо їх привабливість і естетичний потенціал. Учні починають дивитися на завдання як на дослідні об'єкти, в яких прихована гармонія і краса математики, насолоджуючись тим, що в процесі роботи ці якості математики оголюються, і краса математики стає для учнів доступною.
Таким чином, краса математики розкривається у вихованні схильності школярів до використання узагальнення та аналогії, наочної виразності математичних об'єктів, уніфікації і різноманітних додатків тих чи інших математичних фактів і закономірностей, всебічному аналізу досліджуваних ситуацій, мінімально можливої суб'єктивної складності, необхідної для досягнення того чи іншого результату , пошуку різних способів вирішення задачі і вибору з них найбільш витонченого, повної логічної обгрунтованості і доказовості, схильності до пошуку різних моделей розглянутих ситуацій, спільності вихідних гіпотез, різних додатків досліджуваних фактів.
Висновок
У роботі відповідно до поставленої мети вирішені наступні задачі:- Розглянуто поняття доказу в математиці та її особливості;
- Розглянуто евристика як метод наукового пізнання;
- Розглянуто особливості евристичного підходу в рамках логічного;
- Розглянуто застосування евристичних логічних підходів до побудови математичних доказів при вивченні математики.
По роботі можна зробити наступні висновки:
Доведення являє міркування, що має завданням обгрунтувати істинність будь-якого затвердження.
При характеристиці математичного докази виділяють дві основні особливості. Перш за все, те, що математичне доказ виключає будь-які посилання на емпірії. Друга особливість математичного докази - його найвища абстрактність, якій воно відрізняється від процедур докази в інших науках.
Якщо всі відомі методи вирішення завдань розділити за ознакою домінування логічних евристичних (інтуїтивних) процедур та відповідних їм правил діяльності, то можна виділити дві великі групи методів:
а) логічні методи - це методи, в яких переважають логічні правила аналізу, порівняння, узагальнення, класифікації, індукції, дедукції і т. д.;
б) евристичні методи.
Для того щоб розібратися більш глибоко в тому, що розуміти під евристичними методами, слід звернути увагу на те, що метод словесно можна представити у вигляді деякої системи правил, тобто описи того, як потрібно діяти і що потрібно робити в процесі вирішення завдань певного класу . З різноманітного набору правил діяльності у вирішенні завдань принципово можна виділити два великі класи приписів: алгоритми або алгоритмічні приписи та евристики - евристичні приписи. Якщо алгоритми жорстко детермінують наші дії і гарантують у разі їх точного виконання досягнення успіху у вирішенні відповідного типу завдань, то евристики та евристичні приписи лише задають стратегії і тактиці найбільш ймовірний напрямок пошуку ідеї рішення, але не гарантують успіху рішення.
Евристикою називають сукупність прийомів і методів, що полегшують і спрощують рішення пізнавальних, конструктивних, практичних завдань. Евристикою називають також спеціальну наукову галузь, що вивчає специфіку творчої діяльності. Евристичні методи протиставляються рутинному, формального перебору варіантів за заданими правилами. По суті, при вирішенні будь-якої задачі людина завжди використовує ті чи інші методи, що скорочують шлях до вирішення, які полегшують його знаходження. Напр., При доказі теорем геометрії ми зазвичай використовуємо в якості евристичного засобу креслення; вирішуючи математичну задачу, ми намагаємося згадати і використовувати вирішення інших схожих завдань; як евристичних засобів використовуються загальні твердження і формули, індуктивні методи, аналогії, правдоподібні умовиводи, наочні моделі і образи, уявні експерименти і т. п.
Використання евристичних підходів при побудові математичних доказів допомагає не тільки перетворювати існуючу інформацію і зберігати її істиннісне значення, а й шукати нову інформацію за допомогою особливих форм міркування. Застосування евристичних підходів в математиці припускає використання узагальнення та аналогії, наочної виразності математичних об'єктів, уніфікацію і різноманітні додатки тих чи інших математичних фактів і закономірностей, всебічний аналіз досліджуваних ситуацій, мінімально можливу суб'єктивну складність, необхідної для досягнення того чи іншого результату, пошук різних способів вирішення завдання і вибору з них найбільш витонченого, повну логічну обгрунтованість і доказовість, схильність до пошуку різних моделей розглянутих ситуацій, спільність вихідних гіпотез, різних додатків досліджуваних фактів.
Список літератури
1. Адамар Ж. Дослідження психології процесу винаходи в галузі математики. - М., 1970.2. Белл Е.Т. Творці математики. - М., 1979.
3. Бєляєв Е.А, Пермінов В.Я. «Філософські та методологічні проблеми математики», МДУ, 1981, - 214 с.
4. Біркгоф Г. Математика та психологія. - М., 1977.
5. Болтянский В.Г. Математична культура та естетика. - / / Математика в школі, № 2 / 1982, с. 40-43.
6. Заесенок В. П. Евристичні прийоми вирішення логічних завдань / / Математика в школі. - 2005. - N 3.
7. Калошина І.П., Мінічкіна Н.В. Логічні прийоми мислення як умова самостійної розробки студентами способів доказу теорем. - В кн.: Підготовка вчителя математики в університеті. Саранськ, 1984, c.22 - 33.
8. Калошина І.П., Харічева Г.І. Логічні прийоми мислення при вивченні вищої математики. - Воронеж: Изд-во Воронезького ун-ту, 1978. - 128 с.
9. Курант Р., Робінс Г. Що таке математика? - М., 1967.
10. Лакатоса І. Докази і спростування. М., 1967.
11. Мінічкіна Н.В. Формування логічних прийомів мислення як умови самостійної пізнавальної діяльності студентів. - Дис. ... канд. пед. наук. Саранськ, 1984.-268 с.
12. Писаревський Б. М. Завдання зі стереометрії. Правильна піраміда / / Математика в школі. - 2005. - N 3.
13. Саранцев Г. І. Навчання математичним доказам у школі: Книга для вчителя. - М.: "Просвіта" - 2000. - 173 с.
14. Серебряников О.Ф. Евристичні принципи і логічне мислення. М.: 1979.
15. Шакуров Р.Х. Емоція. Особистість. Діяльність (механізми псіходінамікі). - Казань, 2001.
16. Евристичні прийоми при побудові доказів / / Математика в школі », 1981. - № 4 / 1981, с. 69
[1] Серебряников О.Ф. Евристичні принципи і логічне мислення. М.: 1979. - С. 111
[2] Серебряников О.Ф. Евристичні принципи і логічне мислення. М.: 1979. - С. 48-49.
[3] Лакатоса І. Докази і спростування. М., 1967. - С. 84.
[4] Белл Е.Т. Творці математики. - М., 1979. - С. 63.
[5] Біркгоф Г. Математика та психологія. - М., 1977. - С. 54.
[6] Болтянский В.Г. Математична культура та естетика. - / / Математика в школі, № 2 / 1982, с. 40-43.
[8] Евристичні прийоми при побудові доказів / / Математика в школі », 1981. - № 4 / 1981, с. 69
[9] Курант Р., Робінс Г. Що таке математика? - М., 1967. - С. 88
[10] Шакуров Р.Х. Емоція. Особистість. Діяльність (механізми псіходінамікі). - Казань, 2001. - С. 88
[11] Евристичні прийоми при побудові доказів / / Математика в школі », 1981. - № 4 / 1981, с. 69