Показники Ляпунова деякої лінійної стаціонарної системи

Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини "
Математичний факультет
Кафедра диференціальних рівнянь
Показники Ляпунова деякої лінійної стаціонарної системи
Курсова робота
Виконавець:
Студентка групи М-32
Лук'янович А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
Звєрєва Т.Є.
Гомель 2005

Зміст
Введення
1. Характеристичні показники Ляпунова
2. Теорема Ляпунова. Спектр системи
Висновок
Список використаної літератури

Введення

У цій роботі розглядається лінійна стаціонарна система.
Лінійної стаціонарної системою називається система виду

де - Постійна матриця, .
Загальне рішення лінійної стаціонарної системи має вигляд

де - Постійний вектор,
) - Фундаментальна матриця (іншими словами, фундаментальна система рішень, записана у вигляді матриці), тобто матриця, що складається з n лінійно незалежних її рішень

Мета курсової роботи - знайти спектр цієї системи.
Безліч всіх власних характеристичних показників рішень диференціальної системи називається її спектром.
Таким чином, головне завдання курсової роботи - знайти різні характеристичні показники Ляпунова заданої лінійної стаціонарної системи.

1. Характеристичні показники Ляпунова

Розглянемо наступну лінійну стаціонарну систему

(1).
Знайдемо спільне рішення цієї системи. Для цього вирішимо її методом виключення.
Продифференцировав перше рівняння системи (1) і користуючись другим, отримаємо

Або
(2).
Вирішимо отримане лінійне рівняння з постійними коефіцієнтами (2). Для цього складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
λ λ = 0
λ = I
λ =- I
Так як характеристичне рівняння має два пов'язаних кореня λ = I і λ =- I, то загальне рішення лінійного рівняння (2) має вигляд
y = c cos t + c sin t.
Підставимо значення y в перше рівняння системи (1), отримаємо
z =- c sin t + c cos t.
Тоді загальне рішення системи (1) має вигляд
.
Складемо фундаментальну систему розв'язків системи (1).
Определеніе1 [2, c.482]. Фундаментальною системою рішень в інтервалі (a, b) називається сукупність n рішень однорідної системи, визначених і лінійно незалежних в цьому інтервалі.
Покладемо c = 1, c = 0. Підставимо значення c і c у спільне рішення системи. Отримаємо
.
Нехай тепер c = 0, c = 1. Тоді отримаємо
.
Ці рішення системи (1) запишемо у вигляді матриці

.
Покажемо, що знайдені рішення становлять фундаментальну систему рішень.
Для цього скористаємося наступною теоремою.
Теорема 1 [2, c.480]. Якщо n рішень лінійної однорідної системи лінійно незалежні в інтервалі (a, b), то їх Вронського не звертається в нуль в жодній точці цього інтервалу. Складемо і обчислимо визначник Вронського рішень системи (1):
≠ 0.
Отже, Вронського рішень системи (1) не звертається в нуль в жодній точці інтервалу (- ∞; + ∞), значить, знайдені рішення системи (1) є лінійно незалежними в інтервалі (- ∞; + ∞) (за теореме1) і складають фундаментальну систему рішень (за определенію1).
Обчислимо характеристичні показники матриць x і x . Наведемо визначення характеристичного показника.
Определеніе2 [1, c.125]. Число (або символ - ∞ або + ∞), що визначається формулою

називається характеристичним показником Ляпунова.
Лемма [1, c.132]. Характеристичний показник конечномерной матриці F (t) збігається з характеристичним показником її норми.
Згідно леми і определенія1 характеристичні показники матриць X і X будемо обчислювати за такою формулою
(3).
Обчислимо норми матриць x і x .
Определеніе3 [1, c. 20]. Нормою матриці А = [a ] Називається невід'ємне число , Що задовольняє таким умовам:
1) і назад, якщо то A = 0;
2) де будь-яке комплексне число;
3) де A, B-будь-які матриці, що допускають складання;
4) де A, B-будь-які матриці, що допускають множення;
Норма має наступні значення:



Для вектор-стовпця

ці норми мають відповідно, наступні значення:


(4).
При обчисленні норм матриць x і x скористаємося формулою (4).


Тоді за формулою (3) маємо
λ = = .
λ = = .

2. Теорема Ляпунова. Спектр системи

З'ясуємо, чи є фундаментальна система рішень лінійної стаціонарної системи (1) нормальної фундаментальної системою. Для цього скористаємося наступною теоремою і определеніем4.
Теорема Ляпунова (про нормальність фундаментальної системи) [1, c.142]. Фундаментальна система лінійної системи є нормальною тоді і тільки тоді, коли вона володіє властивістю нестисливості.
Определеніе4 [1, c.142]. Система ненульових векторів функцій має властивість нестисливості, якщо характеристичний показник будь істотною їх комбінації

де - Постійні, збігається з найбільшим з характеристичних показників комбінованих рішень, тобто маємо

Візьмемо довільну лінійну комбінацію векторів
x і x .
Y = де -Постійні і (5).
Зробимо арифметичні дії над векторами x і x . Тоді рівність (5) набуде вигляду
(6).
Обчислимо характеристичний показник лінійної комбінації векторів (6).

Тоді за формулою (3) маємо

Отже, характеристичний показник лінійної комбінації векторів збігається з найбільшим з характеристичних показників комбінованих рішень x і x , Отже, система векторів x і x має властивість нестисливості (за определенію4) Отже, фундаментальна система рішень лінійної стаціонарної системи (1) є нормальною фундаментальної системою (по теоремі Ляпунова).
Знайдемо спектр системи (1).
Скористаємося визначенням і наслідком з теореми Ляпунова.
Определеніе5 [1, c.137]. Спектром називається множина всіх власних характеристичних показників (тобто відмінних від - ∞ і + ∞) рішень диференціальної системи.
Слідство [1, c.145]. Будь-яка нормальна фундаментальна система реалізує весь спектр лінійної системи.
Згідно определенія5 і наслідки з теореми Ляпунова спектр стаціонарної системи (1) дорівнює

Висновок

Таким чином, в процесі дослідження лінійної стаціонарної системи ми з'ясували, що її фундаментальна система рішень є нормальною фундаментальної системою; нормальна фундаментальна система рішень реалізує весь спектр диференціальної системи; спектр розглянутої лінійної стаціонарної системи дорівнює .

Список використаної літератури

1. Б.П. Демидович "Лекції з математичної теорії стійкості"-М.: Наука, 1967., 465 c.
2. Н.М. Матвєєв "Методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь"-М.: Вища школа, 1967р., 564 с.