МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РЕСПУБЛІКИ
БІЛОРУСЬ
Заклад освіти
«Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини »
Математичний факультет
Кафедра диференціальних рівнянь
Допущена до захисту
Зав. кафедрою
СТАРШИЙ І ВЕРХНІЙ ЦЕНТРАЛЬНИЙ ПОКАЗНИКИ ЛІНІЙНОЇ СИСТЕМИ
Дипломна робота
Виконавець:
студентка групи М-51 Абраменко Т. Ф.
Науковий керівник:
доцент кафедри диференціальних
рівнянь, к. ф.-м. н. Звєрєва Т.Є.
Рецензент:
доцент кафедри ВМ і
програмування, к. ф.-м. н. Смородін В.С.
Гомель 2003
Зміст
ВСТУП
1 Необхідно ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2 Співвідношення
3 старших І ВЕРХНІЙ ЦЕНТРАЛЬНИЙ ПОКАЗНИКИ для діагональних СИСТЕМИ
3.1 Старший і верхній центральний показники для діагональної системи з довільними коефіцієнтами
3.2 Старший і верхній центральний показники для діагональної системи з постійними коефіцієнтами
4 старших І ВЕРХНІЙ ЦЕНТРАЛЬНИЙ показники деяких Лінійні однорідні Діагональні СИСТЕМИ. ВИПАДОК
4.1 Старший показник деякої лінійної однорідної діагональної системи
4.2 Верхній центральний показник деякої лінійної однорідної діагональної системи
5 ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ВЕРХНЬОГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗНИКА
ВИСНОВОК
Список використаних джерел
ВСТУП
У даній дипломній роботі проводиться вивчення таких понять, як верхній центральний показник системи, характеристичні показники Ляпунова; розглядаються різні співвідношення між старшим і верхнім центральним показниками лінійних систем, тобто розглядаються випадки, коли старший показник Ляпунова строго менше, дорівнює верхньому центральному показником.
В дипломної роботі проводиться дослідження конкретної лінійної однорідної діагональної системи: обчислюються характеристичні показники системи, перебувають спектр системи, старший показник системи, а також верхній центральний показник цієї ж системи, встановлюється співвідношення На конкретному прикладі з'ясовується, що роль оцінки зверху показників рішень обурених систем
відіграє число , А не
.
1. НЕОБХІДНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Визначення 1.1 [1, с.123]. Найбільший з часткових меж a функції при
називається її верхньою межею:
.
Визначення 1.2 [1, с.125]. Число (або символ або
), Обумовлений формулою
.
будемо називати характеристичним показником Ляпунова (або характерісіческім показником).
Для показовою функції , Очевидно, маємо
.
Лемма 1.1 [1, с.132]. Характеристичний показник конечномерное матриці збігається з характеристичним показником її норми, тобто
.
Для вектор-стовпця
будемо використовувати одну з норм [1, с.20]:
=
;
=
;
=
.
Властивості характеристичного показника функції [1, с.126, 128]:
1) =
,
;
2) .
Зауваження 1.1 [1, с.130]. Якщо лінійна комбінація функцій
,
,
де постійні, містить лише одну функцію з найбільшим характеристичним показником, то
=
.
Визначення 1.3 [1, с.142]. Система ненульових вектор-функцій
має властивість нестисливості, якщо характерістічесій показник будь істотною їх лінійної комбінації
,
,
де постійні, збігається з найбільшим з характеристичних показників комбінованих вектор-функцій, тобто для будь-якої комбінації y маємо
=
.
Визначення 1.4 [1, с.137]. Безліч всіх власних характеристичних показників (тобто відмінних від і
) Рішень диференціальної системи будемо називати її спектром.
Теорема 1.1 [1, с.143]. Фундаментальна система лінійної системи
,
де і
─ спектр системи
, Є нормальною тоді і тільки тоді, коли вона має властивість несжимаемости.
Зауваження 1.2 [1, с.142]. Сукупність вектор-функцій з різними характеристичними показниками, очевидно, має властивість несжимаемости.
Слідство 1.1 [1, с.145]. Будь-яка нормальна фундаментальна система реалізує весь спектр лінійної системи.
Определеніе1.5 [2, с.71]. Найбільший верхній показник
системи
будемо називати старшим показником.
Визначення 1.6 [2, с.7]. Нехай ─ функція. Тоді верхнє середнє значення функції
є:
=
.
Розглянемо будь-яке сімейство кусочно безперервних і рівномірно обмежених функцій:
P = ,
,
залежні від параметра неперервна в тому сенсі, що з
слід
рівномірно, принаймні, на кожному кінцевому відрізку
.
Визначення 1.7 [2, с.103]. Обмежена вимірна функція називається верхньою або C-функцією для сімейства P, якщо всі функції цього сімейства рівномірно не перевершують в інтегральному розумінні функції
:
,
тобто, якщо
,
де ─ константа, загальна для всіх
і
, Але, взагалі кажучи, залежна від вибору
і
.
Визначення 1.8 [2, с.103]. Сукупність усіх верхніх функцій назвемо верхнім класом або C-класом сімейства P, і позначимо через
(P).
Визначення 1.9 [2, с.103]. Число
назвемо верхнім центральним або C-числом сімейства P. Воно позначається також через або
.
Затвердження 1.1 [2, с. 104]. Якщо існує така C-функція , Що
для всіх , То ця функція одна утворює верхній клас і C-число збігається з
:
.
Зауваження 1.3 [2, с.102]. Для спрощення запису введемо позначення
Визначення 1.10 [2, с.115]. Центральне число сімейства P будемо називати центральним показником системи
.
Визначення 1.11 [2, с.106]. Розіб'ємо піввісь точками 0, T, 2 T, ... на проміжки
.
Нехай
.
Знайдемо
.
Зауваження 1.4 [2, с.106]. Число
збігається з і знак
можна замінити на
, Тобто
.
Визначення 1.12 [2, с.107]. Нехай ─ будь обмежена кусково неперервна функція, для якої
.
Зауваження 1.5 [2, с.107]. Такі функції існують: досить покласти на
рівної однієї з тих функцій
, Для яких досягається максимальне значення
.
Затвердження 1.2 [2, с.537]. Верхнє середнє значення будь обмеженою кусочно безперервної функції, а зокрема функції , Де
довільне, так само
.
Затвердження 1.3 [2, с.114]. Нехай
,
─ її рішення і
P = ─
сімейство кусочно безперервних і рівномірно обмежених функцій, де
.
Тоді старший показник цієї системи дорівнює найбільшому з верхніх середніх значень функцій сімейства P, тобто
.
2. СПІВВІДНОШЕННЯ .
Розглянемо будь-яке сімейство кусочно безперервних і рівномірно обмежених функцій:
P = ,
,
залежне від параметра безперервно в тому сенсі, що з
слід
рівномірно, принаймні, на кожному кінцевому відрізку
.
Для доказу співвідношення нам потрібно довести кілька тверджень і наслідків.
Твердження 1.
Якщо сімейство звужується, то його верхній клас може тільки розширитися, а верхнє число зменшитися, тобто з
P ' P
слід
(P ')
(P)
і
.
Доказ.
Всяка верхня функція для сімейства P є верхньою і для P ', так як P'
P. Значить,
(P)
(P ').
За визначенням 1.9
.
З того, що
(P)
(P ')
слід
.
А значить,
.
Твердження 1 доведено.
Твердження 2.
Якщо сімейство P 'складається з однієї функції , Тобто P '=
, То верхнє середнє значення функції
збігається з верхнім центральним числом сімейства P ', тобто
Доказ.
Для доказу рівності
доведемо дві нерівності:
1) ;
2) .
З визначення 1.7 випливає, що
є верхньою функцією, тобто
,
= 0;
отже,
(P ').
Отже, .
Нехай
─ будь верхня функція сімейства P ':
для будь (P ').
Тоді за визначенням 1.6
.
Так як ─ будь-яке, то
для будь-якої функції (P).
Отже,
.
Тим самим твердження 2 доведено.
Слідство 1. (З тверджень 1 і 2)
Нехай P = ─ сімейство кусочно безперервних функцій і рівномірно обмежених функцій. Тоді якщо сімейство P 'складається з однієї функції
, Тобто P '=
, І P '
P, то верхнє середнє значення функції
не перевершує верхнього центрального числа сімейства P, тобто
.
Доказ.
Так як P ' P, то з твердження 1 випливає, що
(P ')
(P)
і
.
Так як P 'складається з однієї функції, тобто P' = , То з твердження 2 випливає, що
.
Отже,
,
тобто
.
Наслідок 1 доведено.
Наслідок 2. (Зі слідства 1)
Нехай P = ─ сімейство кусочно безперервних і рівномірно обмежених функцій. Тоді
.
Доказ.
З слідства 1 випливає, що для будь-якого виконується
.
Отже,
.
Наслідок 2 доведено.
Скористаємося доказом слідства 2 для докази наступного твердження.
Твердження 3.
Нехай ─
деяка лінійна система диференціальних рівнянь і
P = ─
сімейство кусочно безперервних і рівномірно обмежених функцій, де
.
Тоді старший показник Ляпунова не перевершує верхнього центрального числа
сімейства P, тобто
.
Доказ.
Так як ,
то
.
Висловимо з останнього рівності :
,
.
Тоді з визначення 1.2 випливає, що
[Визначення 1.6]
,
тобто
.
З цього випливає, що
.
Оскільки за визначенням 1.5
,
то
.
Тоді з Наслідок 2 отримуємо, що
.
Оскільки за визначенням 1.9
,
то .
(Твердження 3 доведено)
3 старших І ВЕРХНІЙ ЦЕНТРАЛЬНИЙ ПОКАЗНИКИ для діагональних СИСТЕМИ
3.1 Старший і верхній центральний показники для діагональної системи з довільними коефіцієнтами
Досліджуємо випадок, коли матриця системи з довільними коефіцієнтами є діагональною. Знайдемо для неї і
.
Розглянемо діагональну систему
,
де ─ вектор-функція розмірності
. Вона має матрицю Коші
,
тобто
,
з нормою
, Де
.
За визначенням 1.2 знайдемо для кожної функції її характеристичний показник Ляпунова, використовуючи визначення 1.6:
.
Одержуємо, що
.
З твердження 1.3 та визначення 1.5 випливає, що
,
так як матриця скінченновимірна.
За визначенням 1.9
P
,
де (P).
3.2 Старший і верхній центральний показники для діагональної системи з постійними коефіцієнтами. Випадок .
Досліджуємо випадок, коли матриця системи з постійними коефіцієнтами є діагональною. Знайдемо для неї і
.
Розглянемо діагональну систему
,
де ─ вектор-функція розмірності
,
─ деякі числа,
.
Вона має матрицю Коші
,
тобто
,
з нормою
.
Розглянемо наступну лему.
Лемма *.
Нехай ─ деяке число. Тоді
.
Доказ.
За визначенням 1.6
.
Маємо, . Що й треба було довести.
На підставі попереднього пункту зауважимо, що
.
Тоді .
Тепер покажемо, що .
Нехай .
Так як для будь-якого
,
то за визначенням 1.7
(P).
Тоді за визначенням 1.9 та лемі *
.
Так як виконується завжди, то
.
Отже, для діагональної системи з постійними коефіцієнтами завжди
.
4 ОБЧИСЛЕННЯ СТАРШОГО І ВЕРХНЬОГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗНИКІВ ДЛЯ ЗАДАНОЇ СИСТЕМИ. ВИПАДОК .
4.1 Обчислення старшого показника системи.
Розглянемо систему
(1)
Вирішимо її.
,
,
маємо рівняння з відокремлюваними змінними.
,
,
,
.
Загальне рішення системи (1) має вигляд:
Візьмемо 1)
2)
тоді отримаємо два рішення системи:
.
Складемо матрицю розв'язків системи (1).
.
Перевіримо її на фундаментальність:
.
Отже [1, с.70], матриця фундаментальна.
Перейдемо до обчислення показників рішень .
За визначенням [1, с.20] обчислимо норму:
;
.
За визначенням 1.2 обчислимо характеристичні показники, використовуючи лему 1.1:
,
.
,
тому що функції і
обмежені.
.
Перевіримо на нестисливі систему вектор-функцій , Використовуючи визначення 1.3.
Складемо лінійну комбінацію
, Де
,
і розглянемо три випадки: 1)
2)
3)
У першому випадку
.
У другому випадку
.
У третьому випадку
.
Знайдемо норми :
;
;
.
Отже,
,
.
У силу визначення 1.2:
.
Так як ─ обмежена величина, то
А значить, .
;
;
За визначенням 1.3 випливає, що характеристичний показник лінійної комбінації збігається з найбільшим з характеристичних показників комбінованих рішень, тобто
А це означає, що система (1) має властивість несжимаемости. Тоді по теоремі 1.1 наша фундаментальна система нормальна. По слідству 1.1 випливає, що реалізує весь спектр лінійної системи. Значить, спектр системи складається з одного числа:
.
За визначенням 1.5 старший показник системи (1) дорівнює нулю, тобто
.
4.2 Обчислення верхнього центрального показника системи
Як і раніше розглядаємо систему (1):
.
Стосовно до нашої системи сімейство кусочно безперервних і рівномірно обмежених функцій P складається з двох функцій і
, Тобто
P ,
де
Для обчислення верхнього центрального показника нам знадобиться функція
.
Доведемо, що функція є верхньою для сімейства P.
Доказ:
За визначенням 1.7 ─ верхня функція для сімейства P, якщо
.
Доведемо, що .
.
Отже,
.
Доведемо, що .
Отже,
,
тобто для будь-якого
Тоді за визначенням верхньої функції
(P).
Обчислимо .
За визначенням 1.6 верхнього середнього значення функції
Для всякого знайдеться таке
, Що
.
Тоді
.
Обчислимо окремо .
Отже,
.
Оцінимо зверху .
. (*)
Враховуючи (*) і оцінюючи зверху, отримуємо
.
Тоді (при )
,
тобто .
Оцінюючи знизу, отримуємо
,
де .
Тоді
,
тобто .
Отже, .
Тепер зобразимо функції , І
на графіку.
Графік функції :
Графік функції :
Очевидно, що на відрізках ,
а на відрізках для будь-якого
.
Тепер покажемо, що верхній центральний показник збігається з
, Тобто
.
Доведемо наступним чином:
1.Введем функцію .
Розіб'ємо вісь на проміжки
точками
Використовуючи визначення 1.12, покладемо
якщо
Оцінимо .
Можливі три випадки:
якщо
, То
; Значить,
.
2) якщо , То
; Значить,
.
якщо
, То
; Значить,
.
Таким чином, .
2.Докажем, що .
Очевидно, що ─ функція обмежена і
.
Звідси випливає, що
,
тобто
,
Так як
,
то
.
3.Докажем, що для будь-якого
.
За визначенням 1.6 обчислимо , Використовуючи твердження 1.2:
.
За визначенням 1.6 обчислимо , Використовуючи твердження 1.2:
.
Тепер розглянемо всі можливі випадки розташування відрізків по відношенню до відрізкам
і
.
I. Якщо , Де
, То
,
отже,
;
II. якщо , Де
, То
,
отже,
;
III. якщо ,
то
;
IV. якщо ,
то
;
Для кожного
знайдеться таке
, Що виконується
.
Тоді
;
Для кожного
.
Тоді
.
З перерахованих вище випадків 1) і 2) випливає, що
, (**)
для будь-якого такого, що
,
.
Враховуючи нерівність (**), перейдемо до безпосереднього доведення нерівності :
.
Тепер оцінимо вираз .
Очевидно, виконується наступне нерівність:
.
Перейдемо до меж:
,
.
Отже,
.
Значить,
,
тобто для будь-якого .
За визначенням 1.11
.
Таким чином,
для будь-якого
.
Як зауважив 1.4 отримуємо, що
.
Отже,
.
Так як ми довели, що (P), тобто
- Верхня функція для сімейства P, то, спираючись на визначення 1.9, отримуємо, що
,
тобто
.
А значить,
.
Отже, в цьому розділі був розглянутий випадок
.
5. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ВЕРХНЬОГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗНИКА
Р.Е. Виноград ввів [5] поняття верхнього центрального показника системи
. (1)
Перехід від невозмущенной системи (1) до обуреної системі
супроводжується зміною показників. Верхній центральний показник системи (1) і характеризує цю зміну в певному класі збурень. Має місце теорема Р.Е. Винограду.
Теорема [2, с.164-166; 3]. Для будь-якого можна вказати
, Що при будь-яких безперервних збуреннях
,
,
будуть виконуватися нерівності
.
В.В. Мілліонщиковим доведено, що остання оцінка неулучшаема, а саме
Теорема [4]. Для будь-якого знайдеться обурення
Q e
, | | Q e
| |
,
таке, що система
Q e
має рішення , Для якої
.
Значить, для розглянутої в дипломній роботі системи найбільш швидко зростаючими рішеннями «керує» показник , А не показник
.
ВИСНОВОК
У даній дипломній роботі розглядаються співвідношення між старшим і верхнім центральним
показниками лінійної системи
з кусково безперервними обмеженими коефіцієнтами.
Показано, що існує два різних випадку відносин між старшим і верхнім центральним
показниками лінійних систем:
. На прикладі заданої лінійної однорідної діагональної системи диференціальних рівнянь детально розглянуті обчислення характеристичного показника Ляпунова, спектра, старшого і верхнього центрального показників.
Список використаних джерел
1. Б.П. Демидович, Лекції з математичної теорії стійкості .-
Москва, «Наука», 1967р.
2. Б.Ф. Билов, Р.Е. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немицкій, Теорія
показників Ляпунова та її застосування до питань стійкості .- Москва, «Наука», 1966р.
3. Р.Е. Виноград, Оцінка стрибка старшого характеристичного
показника при малих возмущеніях.-Докл. АН СРСР, 1957р., Т.114, № 3, с.459-461.
4. В.М. Мільйонників, Доказ досяжності центральних показників лінійних систем .- Сиб. мат.ж., 1969р., т.10, № 1, с.99-104.
5. Р.Е. Виноград, О центральному характеристичному показнику системи диференціальних рівнянь .- Матем.сб., 1957р., Т.42 (84), с.207-222.