Контрольна робота
Матеріал: сталь 40.
n = 4, a = 1,4 м
P = 1,7 qa т, q = 3 т / м
М 0 = 2,3 qa 2 т · м
Рішення.
Побудова епюр поперечних сил і згинальних моментів
Визначимо розрахункове навантаження:
Р р = Р · n = 1,7 · 3 · 1,4 · 4 = 28,56 т
q p = q · n = 3 · 4 = 12 т / м
М р = М 0 · n = 2,3 · 3 · 1,4 2 · 4 = 54,1 т · м
Q p = q p · a = 12 · 1,4 = 16,8 т
Схему навантаження балки замінимо її моделлю, в якій діють на балку зв'язку замінимо силами.
Визначимо реакції опор. Складемо наступні рівняння:
Σ М А = 0
Q p · 0,5 a + M p - P p · 2a + Q p · 2,5 a + P p · 3a - R E · 4a = 0
R E = (Q p · 3a + M p + P p · a) / 4a = (16,8 · 3 · 1,4 + 54,1 + 28,56 · 1,4) / 4 · 1,4 = 29,4 т
Σ М Е = 0
R А · 4a - Q p · 3,5 a + M p + P p · 2a - Q p · 1,5 a - P p · a = 0
R А = (Q p · 5a - M p - P p · a) / 4a = (16,8 · 5 · 1,4 - 54,1 - 28,56 · 1,4) / 4 · 1,4 = 4,2 т
Перевірка:
Σ F = 0
R А - Q p + P p - Q p - P p + R E = 0
4,2 - 16,8 + 28,56 - 16,8 - 28,56 + 29,4 = 0 - рівність вірно.
Побудуємо епюру поперечних сил методом характерних точок, ходом ліворуч:
F A пр = R А = 4,2 т
F У лев = F A пр - q p · а = 4,2 - 12 · 1,4 = -12,6 т
F У пр = F У лев = -12,6 т
F З лев = F У пр = -12,6 т
F З пр = F З лев + Р р = -12,6 + 28,56 = 15,96 т
F D лев = F З пр - q p · а = 15,96 - 12 · 1,4 = -0,84 т
F D пр = F D лев - Р р = -0,84 - 28,56 = -29,4 т
F Е лев = F D пр = -29,4 т
Будуємо епюру згинальних моментів, методом характерних точок ходом ліворуч (рис. 1). Праву частину до розглянутого перерізу подумки відкидаємо. Знаходимо суму моментів всіх сил, що діють ліворуч від перерізу відносно даної точки.
М А = 0
М В лев = R A · a - q p · a · 0,5 a = 4,2 · 1,4 - 12 · 1,4 · 0,5 · 1,4 = -5,88 т · м
М У пр = R A · a - q p · a · 0,5 a + М р = 4,2 · 1,4 - 12 · 1,4 · 0,5 · 1,4 + 54,1 = 48,22 т · м
М С = R A · 2a - q p · a · 1,5 a + М р = 4,2 · 2 · 1,4 - 12 · 1,4 · 1,5 · 1,4 + 54,1 = 30, 58 т · м
М D = R A · 3a - q p · a · 2,5 a + М р + P p · a - q p · a · 0,5 a =
= 4,2 · 3 · 1,4 - 12 · 1,4 · 3 · 1,4 + 54,1 +28,56 · 1,4 = 41,16 т · м
М E = 0
Рис. 1
Необхідно також знайти моменти в перерізах К і L.
Перш ніж визначити момент в перерізі К, необхідно знайти відстань х = АК. Складемо вираз для поперечної сили в цьому перерізі і прирівняємо його до нуля.
F K = R A - q p · x = 0
x = R A / q p = 4,2 / 12 = 0,35 м
Визначимо момент в точці К:
М К = R A · x - q p · х · 0,5 х = 4,2 · 0,35 - 12 · 0,35 · 0,5 · 0,35 = 0,74 т · м
Аналогічно визначаємо момент в точці L.
x 1 = CL
F L = R A - q p · a + P p - q p · x 1 = 0
x 1 = (R A - q p · a + P p) / q p = (4,2 - 12 · 1,4 + 28,56) / 12 = 1,33 м
М L = R A (2a + x 1) - q p · a (1,5 a + x 1) + M P + P P · x 1 - q p · x 1 · 0,5 x 1 =
= 4,2 (2.1, 4 + 1,33) - 12 · 1,4 (1,5 · 1,4 + 1,33) + 54,1 + 28,56 · 1,33 - 12 · 1 , 33 · 1,33 · 0,5 = 41,2 т · м
За знайденими точкам будуємо епюру згинальних моментів (рис. 1).
2. Визначення необхідного осьового моменту опору вигину з умови міцності
Умова міцності на вигин:
| Σ max | = | M max | / W тр ≤ [σ]
З епюри згинальних моментів:
M max = 48,22 т · м = 48,22 · 10 4 Н · м - максимальний згинальний момент.
[Σ] = 650 МПа - допустиме нормальне напруження для сталі 40.
Необхідний осьовий момент опору вигину з умови міцності:
W тр ≥ | M max | / [σ] = (48,22 · 10 4) / 650 · 10 6 = 0,074 · 10 -2 м 3
Досліджуємо поперечні перерізи різних форм (двотавр, швелер, прямокутник, квадрат, коло, трикутник)
Коло:
W кр = πd 3 / 32 = W тр
d = =
= 0,2 м
S кр = πd 2 / 4 = (3,14 · 0,2 2) / 4 = 0,0314 м 2 = 314 см 2 - площа поперечного перерізу.
Квадрат:
W к = b 3 / 6 = W тр
d = =
= 0,16 м
S к = b 2 = 0,16 2 = 0,0256 м 2 = 256 см 2 - площа поперечного перерізу.
Прямокутник:
W п = ba 2 / 6 = W тр; a> b; візьмемо a = 2b.
W тр = 4b 3 / 6; b = =
= 0,1 м; a = 2 · 0,1 = 0,2 м
S п = аb = 0,1 · 0,2 = 0,02 м 2 = 200 см 2 - площа поперечного перерізу.
Трикутник. При обчисленні напруги у вершині трикутника.
W т = bh 2 / 24 = W тр; b - сторона трикутника, h - висота.
Візьмемо: h = b /
W тр = b 3 / 48; b = =
= 0,33 м; h = 0,33 /
= 0,23 м
S тр = 0,5 hb = 0,5 · 0,33 · 0,23 = 0,038 м 2 = 380 см 2 - площа поперечного перерізу.
Швелер.
За довідників визначимо швелер.
Беремо швелер № 40. W x = 761 см 3; h = 0,4 м; b = 0,115 м.
S ш = 61,5 см 2 - площа поперечного перерізу.
Двутавр.
За довідників визначимо двутавр.
Беремо двотавр № 36. W x = 743 см 3; h = 0,36 м; b = 0,145 м.
S ш = 61,9 см 2 - площа поперечного перерізу.
3. Оцінка раціональної форми поперечного перерізу з точки зору міцності
Найбільш раціональним по витраті матеріалу є швелер або двотавр, оскільки для забезпечення міцності при однакових умовах площа поперечного перерізу у них найменша. Вибираємо двутавр.
4. Перевірка обраного поперечного перерізу на міцність дотичного напруження
Умова міцності по дотичним напруженням має вигляд:
τ max = ≤ [τ]
[Τ] = 390 МПа - допустиме дотичне напруження.
З епюри поперечних сил:
Q max = 29,4 т = 29,4 · 10 4 Н - максимальна поперечна сила.
З довідника (двутавр № 36):
S x = 423 см 3 = 423 · 10 -6 м 3 - статичний момент полусеченія розташованого вище або нижче нейтральної осі.
I x = 13380 cм 4 = 13 380 · 10 -8 м 4 - момент інерції всього перерізу відносно нейтральної лінії.
b = d = 7,5 мм = 0,0075 м - товщина стінки двутавра.
τ max = = 124 · 10 6 Па = 124 МПа
τ max = 124 МПа ≤ [τ] = 390 МПа
5. Побудова епюр нормальних і дотичних напружень в небезпечному перерізі балки
Визначимо найбільші нормальні напруження в перерізі балки з максимальним ізгібающім моментом.
σ max = ± M max / W x = ± (48,22 · 10 4) / 0,000743 = ± 648 МПа,
min
так як для двутавра № 36 W x = 743 см 3 = 0,000743 м 3.
З теорії відомо, що найбільші нормальні напруження при поперечному згині виникають в крайніх волокнах перерізу, в нейтральному шарі напруга дорівнює нулю. Будуємо епюру нормальних напружень. Для цього в довільному масштабі зображуємо перетин двутавра. Паралельно вертикальної осі двутавра проводимо нульову лінію і відкладаємо від неї по різні сторони на рівні крайніх волокон σ max і σ min. З'єднуємо ці точки прямою лінією.
Найбільші дотичні напруги знайдені вище. Τ max = 124 МПа
Найбільші дотичні напруження по висоті перерізу виникають на рівні нейтральної осі.
Будуємо епюру дотичних напружень (рис. 2).
На нульової лінії на рівні нейтральної осі відкладаємо τ max. Знаючи характер епюри, даємо її повне зображення.
Рис. 2.
6. Перевірка на міцність балки за еквівалентним напругам
Розглянемо елемент, вирізаний в районі точки А (рис. 3). На гранях цього елемента, що збігаються з поперечними перерізами, виникають максимальні нормальні напруження. У точці А виникає лінійне напружений стан, тому умова міцності має вигляд:
σ max ≤ [σ]
Очевидно, що:
σ max = σ А = M max / W x = (48,22 · 10 4) / 0,000743 = 648 МПа
σ max = 648 МПа ≤ [σ] = 650 МПа.
Розглянемо елемент, вирізаний в районі точки В (рис. 3). На його гранях, які збігаються з поперечними перерізами, виникають максимальні дотичні напруження (точка В знаходиться в нейтральному шарі).
τ max = τ В = =
= 124 · 10 6 Па = 124 МПа
У точках нейтрального шару виникає плоске напружений стан - чистий зсув. Як відомо, при чистому зсуві:
σ 1 = | σ 3 | = τ; тобто: σ 1 = | σ 3 | = τ max = τ У = 124 МПа
За гіпотезою міцності найбільших дотичних напружень:
σ екв = σ 1 - (-σ 3) = σ 1 + σ 3 = 2τ В = 2 · 124 = 248 МПа
σ екв = 248 МПа ≤ [σ] = 650 МПа.
Ймовірно небезпечної точкою може бути точка С (точка на кордоні полиці і стінки двутавра). У цій точці виникають нормальні напруження, близькі за значенням до максимальним і значні дотичні напруги (рис. 3).
σ С = =
= 604 · 10 6 Па = 604 МПа
τ С = =
= 91 · 10 6 Па = 91 МПа
S x '- статичний момент площі полиці щодо осі х. Приймаючи полку за прямокутник з розмірами: 145х12, 3, знаходимо:
S x '= 145 · 12,3 · 173,85 = 3,1 · 10 5 мм 3 = 3,1 · 10 -4 м 3
У точці С виникає плоске напружений стан. За гіпотезою найбільших дотичних напружень знаходимо:
σ екв = =
= 631 МПа
σ екв = 631 МПа ≤ [σ] = 650 МПа.
Рис. 3.