побудова годографів Михайлова за допомогою пакету «mathcad»
Мета роботи полягає в необхідності отримання простого і наочного інструменту для вирішення задач розрахунку стійкості систем автоматичного управління, що є обов'язковою умовою працездатності будь-якого промислового робота і маніпулятора.
1 Поняття про стійкість системи
Як видно з мети дослідження, необхідною умовою працездатності системи автоматичного управління (САУ), є її стійкість. Під стійкістю прийнято розуміти властивість системи відновлювати стан рівноваги, з якого вона була виведена під впливом збурюючих факторів після припинення їх дії [1]. Якщо система не здатна повертатися в стан рівноваги, яке було порушено в процесі роботи, то для практичного використання вона непридатна.
На практиці для визначення стійкості САУ використовують критерії стійкості, тобто правила, за допомогою яких можна визначити стійка чи система, не вдаючись до розв'язання диференціальних рівнянь. Одним з таких критеріїв, є критерій стійкості Михайлова.
2 Критерій стійкості Михайлова
Цей критерій заснований на зв'язку характеру перехідного процесу системи з амплітудою і фазою вимушених коливань, що встановлюються в системі при синусоїдальному впливі. Аналіз стійкості системи цим методом зводиться до побудови за характеристичними многочлену замкнутої системи (знаменник передаточної функції), комплексної частотної функції (характеристичного вектора):
(1)
де і
- Відповідно дійсна і уявна частини знаменника передавальної функції, з вигляду якої можна судити про стійкість системи.
Якщо задаватися різними значеннями частоти і відкладати
по горизонтальній, а
по вертикальній осях декартової системи координат, то буде отримана крива, звана годографом характеристичного вектора або годографом Михайлова.
У такому випадку, критерій стійкості Михайлова може бути сформульовано таким чином: замкнута САУ стійка, якщо комплексна частотна функція , Починаючись на дійсній позитивної осі, при зміні частоти
від 0 до ∞ огинає проти годинникової стрілки початок координат, проходячи послідовно n квадрантів, де n - порядок характеристичного рівняння системи, тобто
(2)
Малюнок 1 - Амплітудно-фазові характеристики (годографи) критерію Михайлова: а) - стійкої системи; б) - нестійкої системи (1, 2) і системи на кордоні стійкості (3)
На рис. 1 показані приклади переміщення годографів Михайлова для різних систем із змінним порядком n характеристичного рівняння.
3 Алгоритм побудови годографа Михайлова
Розглянемо послідовність розрахунку критерію стійкості Михайлова і сформуємо алгоритм побудови годографа, використовуючи математичний пакет «MathCad», на наведених нижче прикладах.
Приклад 1. Використовуючи критерій Михайлова, визначимо стійкість системи автоматичного управління електроприводом маніпулятора промислового робота (МПР). Структурна схема САУ електроприводом МПР зображена на рис. 2.
Рисунок 2 - Структурна схема САУ електроприводом МПР
Передавальна функція даної САУ має такий вираз [2]:
(3)
або
(4)
де k у - коефіцієнт посилення підсилювача, k м - коефіцієнт пропорційності частоти обертання двигуна величиною напруги на якорі, T у - електромагнітна постійна часу підсилювача, T м - електромеханічна стала часу двигуна з урахуванням інерції навантаження (за своїм динамічним характеристикам двигун являє собою передавальну функцію послідовно з'єднаних інерційного й інтегруючого ланок), k дс - коефіцієнт пропорційності між вхідний і вихідний величинами датчика швидкості, K - коефіцієнт посилення головного ланцюга: .
Підставимо чисельні значення у вираз передавальної функції:
K = 100 град / (В ∙ с); k дс = 0,01 В / (град ∙ с); T у = 0,01 с; T м = 0,1 с.
Отримаємо:
(5)
Далі запишемо характеристичний многочлен замкнутої системи замінивши s на
:
(6)
За допомогою (1) виділимо речову та уявну частини і підставимо числові значення в отриману комплексну частотну функцію:
(7)
Маючи дані у вигляді (7), перейдемо безпосередньо до використання математичного пакету «MathCad».
Для цього в верхньому меню виберемо «Новий ...» - «Порожній документ», в якому будемо формувати програму побудови годографа Михайлова, використовуючи нижченаведений алгоритм.
Крок 1. Поставити дозвіл годографа діапазоном значень індексу i. Наприклад:
(8)
Крок 2. Визначити досліджуваний діапазон і крок частоти , Використовуючи значення індексу i (зазвичай, для практичних розрахунків, максимальна величина частоти
не перевищує значення 1000, в нашому ж прикладі - достатньо прийняти
з частотним кроком 0,1):
(9)
Крок 3. Отримані речову і уявну
частини характеристичного рівняння, задамо чисельними значеннями (в даному випадку використовуючи (7)) у вигляді:
(10)
і
Рисунок 3 - Масиви значень, і, розраховані в «MathCad»
(11)
Крок 4. У результаті обчислень (9), (10) і (11), виходять масиви значень частоти , А також речовій
та уявної
частин (рис. 3).
Крок 5. Далі маючи розраховані масиви значень і
, Переходимо до побудови годографа Михайлова, використовуючи вбудовану функцію «MathCad» - «Інструменти графіків», вибрати «Декартом графік». Тут необхідно визначити ідентифікатори осей (в даному випадку вісь абсцис відповідає дійсної частини
, А ординат - уявної частини
) І параметри графіка в підменю «Формат ...». У результаті отримаємо графік комплексної частотної функції, наведений на рис. 4.
Малюнок 4 - Годограф Михайлова для САУ електроприводом МПР
Використовуючи функцію «Трасування ...» (пунктирні лінії на рис. 4), можна визначити, у відповідному трасуванні вікні, точні значення годографа в будь-якій точці розрахованих масивів.
Таким чином, за розрахованими даними, побудований годограф Михайлова, починаючись на дійсній позитивної півосі, огинає проти годинникової стрілки початок координат, проходячи послідовно три квадранта, що відповідає порядку характеристичного рівняння. Отже, дана САУ електроприводом МПР - стійка.
Відповідно до викладеного алгоритмом, розглянемо ще один приклад розрахунку критерію стійкості Михайлова та побудови комплексної частотної функції.
Приклад 2. На сучасних автомобільних заводах широко застосовуються великі зварювальні роботи (рис. 5). Наконечник зварювального вузла (НСУ) підводить до різних місць кузова автомобіля, швидко і точно здійснює необхідні дії. Потрібно визначити стійкість за критерієм Михайлова САУ позиціонуванням НСУ, структурна схема якої зображена на рис. 6.
Характеристичне рівняння даної САУ буде мати вигляд [1]:
(12)
де K - варійований коефіцієнт посилення системи, a - певна позитивна константа.
Підставимо в (12) чисельні значення: K = 40; a = 0,525.
Маємо:
(13)
Далі шляхом заміни s на , Отримаємо функцію Михайлова:
(14)
Перед тим, як виділити речову та уявну частини, запишемо (1) в декілька вдосконаленому вигляді, з метою універсального використання для різних порядків n:
(15)
де с - відповідний постійний коефіцієнт при певному порядку частоти .
Застосовуючи (15) до нашого завдання, отримаємо:
(16)
а також
(17)
Маючи дані у вигляді (16) і (17), приступимо до вищезазначеного алгоритму побудови годографа Михайлова з допомогою «MathCad».
Крок 1. Задамо діапазон індексу i:
(18)
Крок 2. Визначимо досліджуваний діапазон і крок частоти (Приймемо
з частотним кроком 0,1):
(19)
Крок 3. Введемо речову (16) і уявну
(17) частини характеристичного рівняння:
(20)
і
(21)
Крок 4. При виконанні обчислень (19), (20) і (21), формуються масиви значень частоти , Речової
та уявної
частин (рис. 7).
Крок 5. Маючи розраховані масиви значень і
, Подібно до попереднього прикладу, побудуємо частотну функцію Михайлова. Після визначення параметрів графіка, отримаємо годограф, наведений на рис. 8.
Малюнок 7 - Масиви значень ,
і
, Розраховані в «MathCad»
Рисунок 8 - Годограф Михайлова для САУ позиціонуванням НСУ
На основі аналізу отриманих даних, можна зробити висновок, що побудований годограф Михайлова, починаючись на дійсній позитивної осі, огинає в позитивному напрямку початок координат, проходячи послідовно чотири квадранта, що відповідає порядку характеристичного рівняння. Значить, дана САУ позиціонуванням НСУ - стійка.
Що ж до аналізу останніх публікацій [2] та порівняння з кращими аналогами [3], то необхідно відзначити факт відсутності подібної функції (побудова годографа Михайлова) в пакеті «MATLAB» [1, 4], який, зазвичай, використовується для моделювання різних САУ , що, власне, й стало головною причиною створення даного алгоритму.
Перспективи розвитку даної роботи полягають у створенні універсального інструменту для аналізу комплексної частотної функції Михайлова, здатного виконати всі обчислення вже на етапі завдання характеристичного рівняння, тим самим повністю автоматизуючи цей процес.
Таким чином, для досягнення мети, в ході написання дослідження, була вирішена головна проблема - отримання простого і наочного інструменту для вирішення задач розрахунку стійкості САУ, що є обов'язковою умовою працездатності будь-якого промислового робота і маніпулятора. Також були виконані наступні завдання: сформовано алгоритм побудови комплексної частотної функції Михайлова за допомогою математичного пакета «MathCad», виконано аналіз стійкості САУ МПР за даним критерієм, крім того, - наведені практичні приклади реалізації даного алгоритму.
Список використаної літератури
1. Дорф Р. Сучасні системи управління / Р. Дорф, Р. Бішоп. - М.: Лабораторія Базових Знань, 2002. - 832 с.
2. Юревич Є.І. Основи робототехніки 2-ге видання / Є.І. Юревич. - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2005. - 416 с.
3. Yim Y. Modular Robots / Y. Yim, Y. Zhang, D. Daff / / IEEE SPECTRUM. - 2002. - # 2. - P. 30 - 34.
4. Олссон Г. Цифрові системи автоматизації та управління / Г. Олссон, Дж. піан. - С-Пб.: Невський Діалект, 2001. - 557 с.