Міністерство освіти і науки України
кафедра прикладної математики
Контрольна робота
з дисципліни "Економетрія"
Харків, 2008 р.
побудувати діаграму розсіювання і підтвердити гіпотезу про лінійну залежність
Y = b 0 + b 1 * X;
визначити параметри b 0 і b 1;
обчислити коефіцієнти детермінації R 2 і коефіцієнт кореляції r;
зробити прогноз Y у зазначеній точці X р.
Рішення:
1. Набираємо вихідні дані в таблицю 1:
Таблиця 1
2. На основі даних табліци1 будуємо діаграму розсіювання.
Візуально можна припустити, що між даними існує лінійна залежність, тобто їх можна апроксимувати лінією.
Y = b 0 + b 1 X
3. Знайдемо параметри b 0 і b 1.
Опишемо отриманий результат:
в першому рядку знаходяться оцінки параметрів регресії b 1, b 0;
у другому рядку знаходяться середні квадратичні відхилення s b1, s b0.
в третьому рядку в першій клітинці знаходиться коефіцієнт детермінації R 2, а в другій клітинці оцінка середнього квадратичного відхилення показника s е.
в четвертому рядку в першій клітинці знаходиться розрахункове значення F - статистики, у другій клітинці знаходиться k - число ступенів свободи;
у п'ятому рядку у першій клітинці знаходиться сума квадратів відхилень розрахункових значень показника від його середнього значення, а в другій клітинці - сума квадратів залишків.
Отримані результати заносимо в таблицю 2.
Таблиця 2.
За даними таблиці 2 можемо записати модель:
Y = 5,277335 + 1,958977 Х
Коефіцієнт детермінації R 2 = 0,967063 - близький до 1, отже, модель адекватна.
4. Знайдемо прогноз в заданій точці X p = 10,1. Для цього підставимо X p в модель. Отримаємо
Y p = 5,277335 + 1,958977 * 10,1 = 25,063.
Всі отримані результати запишемо в таблицю 3.
Таблиця 3.
5. Діаграма прийме вигляд:
6. Обчислимо коефіцієнт кореляції r. У результаті розрахунку отримаємо коефіцієнт кореляції r = 0,9834.
r =
побудувати діаграму розсіювання і підтвердити гіпотезу про криволінійної зв'язку між Х і Y;
провести лінеаризацію;
визначити параметри a і b;
зробити прогноз у зазначеній точці;
Рішення:
Набираємо вихідні дані в таблицю 1:
Таблиця 1.
На основі даних таблиці 1 будуємо діаграму розсіювання.
Візуально можна припустити, що залежність не лінійна. Вихідна модель має вигляд Y = be ax. Робимо лінеарізующую підстановку: V = Y, U = lnX.
Отримані дані заносимо в таблицю 2.
Таблиця 2.
Будуємо кореляційне поле:
Візуально можна припустити, що між даними існує лінійна залежність, тобто їх можна апроксимувати лінією
Y = b 1 X + b 0
Діаграма прийме вигляд:
3. Знайдемо параметри b 0 і b 1.
Отримані результати заносимо в таблицю 3.
Таблиця 3.
Параметри моделі b 0 = 0,436791, b 1 = - 0,2297. Коефіцієнт детермінації R 2 = 0,995364 - близький до 1, отже, модель адекватна.
Знаходимо параметри вихідної нелінійної моделі:
а = е b1 = e -0,2297 = 0,79477
b = e b 0 = e 0,436791 = 1,54773
Вихідна нелінійна модель прийме вигляд: Y = 1,54773 e 0,79477 X
5. Обчислимо прогнозоване Y p в той X p = 6,5:
Y p = 1,54773 e 0,79477 * 6,5 = 271,18
побудувати кореляційну матрицю;
за кореляційної матриці перевірити фактори X 1, X 2, X 3 на мультиколінеарності, і, якщо вона є, усунути її, виключивши один із чинників;
перевірити гіпотезу про наявність лінійного зв'язку між показником Y і залишилися факторами;
визначити параметри лінійного зв'язку;
обчислити коефіцієнт детермінації;
зробити прогноз у зазначеній точці.
Рішення:
Набираємо вихідні дані в таблицю 1:
Таблиця 1.
2. За вихідними даними будуємо кореляційну матрицю (таблиця 2):
Таблиця 2.
Візуально можна припустити, що між даними X 2 і X 3 і X 1 і X 3 є залежність, значить, фактор X 3 виключаємо з моделі, тому що між ним і Y зв'язок менше, ніж між Y і X 2 (0,96548 < 0,9700431). Модель буде мати вигляд:
Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2;
3. Будуємо графік залежності між X 1, X 2 і Y: візуально можна припустити, що залежність між X 1, X 2 і Y лінійна, коефіцієнт детермінації R 2 = 0,9416518 - близький до 1, отже, модель адекватна.
4. Знайдемо параметри b 0, b 1 та b 2. Отримані результати заносимо в таблицю 3:
Таблиця 3.
5. За даними таблиці можемо записати модель:
Y = - 7,0318824 + 0, 1954415X 1 + 1,344552 X 2;
Коефіцієнт детермінації R 2 = 0,9416518 - близький до 1, отже, модель адекватна.
6. Знайдемо прогноз в заданій точці. Для цього достатньо підставити X p в модель.
Y p = - 7,0318824 + 0, 1954415 * 35,97 + 1,344552 * 29,15 = 39, 19
Y = AX
(Похідна функція Кобба-Дугласа). За наведеними статистичними даними за допомогою пакету "Excel":
визначити коефіцієнти А, б 1, б 2;
обчислити прогноз у зазначеній точці;
визначити коефіцієнт еластичності по кожному з факторів у точці прогнозу.
Рішення:
1. Набираємо вихідні дані в таблицю 1:
Таблиця 1.
Так як модель не лінійна, перейдемо до лінійної з допомогою заміни:
V = lnY, U 1 = lnX 1, U 2 = lnX 2, b 0 = lnA, b 1 = б 1
отримаємо лінійну модель:
V = b 0 + b 1 U 1 + b 2 U 2
Отримані результати заносимо в таблицю 2.
Таблиця 2.
2. Знайдемо параметри b 0, b 1 та b 2. Отримані результати заносимо в таблицю 3:
Таблиця 3.
3. За даними таблиці можемо записати модель:
V = 4,6556 + 0,5235 U 1 + 1,2964 U 2
4. Знайдемо параметри вихідної моделі:
А = e bo = e 4.655595 = 105.1723; a 1 = b 1 = 0,5234561; a 2 = b 2 = 1,296429.
Вихідна модель має вигляд:
Y = 105.1723 * X 1 0.5235 * X 2 1.2964
5. Знайдемо прогноз в заданій точці:
Y = 105.1723 * 77.5 0.5235 * 67.2 1.2964 = 239856.97;
Обчислимо коефіцієнт еластичності, який показує, на скільки% збільшиться (якщо Е х> 0) або зменшиться (якщо Е х <0) показник Y, якщо фактор X зміниться на 1%.
E X1 = (X 1 * ∂ y) / (y * ∂ x 1) = (X 1 / (105.1723 * X 1 0.5235 * X 2 1.2964)) * ((∂ (105.1723 * X 1 0.5235 * X 2 1.2964) ) / ∂ x 1) = (X 1 / (105.1723 * X 1 0.5235 * X 2 1.2964)) * (105.1723 * X 2 1.2964 * (∂ (X 1 0.5235)) / ∂ x 1) = (X 1 / X 1 0.5) * 0.5X 1 -0.5 = 0.5X один 1-0.5-0.5 = 0.5X 1 0 = 0.5
2. Грубер Й. Економетрія: навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. - К. 1996. - 400 с.
3. Методичні вказівки і контрольні завдання з дисципліни "Економетрія" для студентів економічного спрямування заочного факультету. / Укл. В.Н. Чорномаз, Т.В. Шевцова, - Харків: 2006 р. - 32 с.
4. Конспект лекцій з курсу "Економетрія"
кафедра прикладної математики
Контрольна робота
з дисципліни "Економетрія"
Харків, 2008 р.
Завдання № 1.
За заданими статистичними даними за допомогою пакету "Excel":побудувати діаграму розсіювання і підтвердити гіпотезу про лінійну залежність
Y = b 0 + b 1 * X;
визначити параметри b 0 і b 1;
обчислити коефіцієнти детермінації R 2 і коефіцієнт кореляції r;
зробити прогноз Y у зазначеній точці X р.
Рішення:
1. Набираємо вихідні дані в таблицю 1:
Таблиця 1
| X | Y |
| 3.11 | 10.65 |
| 3.15 | 11.87 |
| 3.85 | 12.69 |
| 4.84 | 13.40 |
| 4.62 | 15.12 |
| 4.87 | 16.03 |
| 6.09 | 16.29 |
| 7.06 | 18.07 |
| 6.23 | 18.40 |
| 6.83 | 19.53 |
| 8.01 | 20.48 |
| 8.26 | 21.72 |
| 9.37 | 23.17 |
| 9.02 | 23.57 |
| 9.76 | 24.41 |
Візуально можна припустити, що між даними існує лінійна залежність, тобто їх можна апроксимувати лінією.
Y = b 0 + b 1 X
3. Знайдемо параметри b 0 і b 1.
Опишемо отриманий результат:
в першому рядку знаходяться оцінки параметрів регресії b 1, b 0;
у другому рядку знаходяться середні квадратичні відхилення s b1, s b0.
в третьому рядку в першій клітинці знаходиться коефіцієнт детермінації R 2, а в другій клітинці оцінка середнього квадратичного відхилення показника s е.
в четвертому рядку в першій клітинці знаходиться розрахункове значення F - статистики, у другій клітинці знаходиться k - число ступенів свободи;
у п'ятому рядку у першій клітинці знаходиться сума квадратів відхилень розрахункових значень показника від його середнього значення, а в другій клітинці - сума квадратів залишків.
Отримані результати заносимо в таблицю 2.
Таблиця 2.
| Результати розрахунків | |
| 1,958977 | 5,277335 |
| 0,10027 | 0,671183 |
| 0,967063 | 0,836194 |
| 381,6981 | 13 |
| 266,8909 | 9,089857 |
Y = 5,277335 + 1,958977 Х
Коефіцієнт детермінації R 2 = 0,967063 - близький до 1, отже, модель адекватна.
4. Знайдемо прогноз в заданій точці X p = 10,1. Для цього підставимо X p в модель. Отримаємо
Y p = 5,277335 + 1,958977 * 10,1 = 25,063.
Всі отримані результати запишемо в таблицю 3.
Таблиця 3.
| X | Y |
| 3.11 | 10.65 |
| 3.15 | 11.87 |
| 3.85 | 12.69 |
| 4.84 | 13.40 |
| 4.62 | 15.12 |
| 4.87 | 16.03 |
| 6.09 | 16.29 |
| 7.06 | 18.07 |
| 6.23 | 18.40 |
| 6.83 | 19.53 |
| 8.01 | 20.48 |
| 8.26 | 21.72 |
| 9.37 | 23.17 |
| 9.02 | 23.57 |
| 9.76 | 24.41 |
| 10,1 | 25,063 |
Y = 5,277335 + 1,958977 Х R 2 = 0,967063 |
5. Діаграма прийме вигляд:
6. Обчислимо коефіцієнт кореляції r. У результаті розрахунку отримаємо коефіцієнт кореляції r = 0,9834.
r =
Завдання № 2.
За заданими статистичними даними за допомогою пакету "Excel":побудувати діаграму розсіювання і підтвердити гіпотезу про криволінійної зв'язку між Х і Y;
провести лінеаризацію;
визначити параметри a і b;
зробити прогноз у зазначеній точці;
Рішення:
Набираємо вихідні дані в таблицю 1:
Таблиця 1.
| X | Y |
| 1,03 | 0,44 |
| 1,63 | 0,33 |
| 2,16 | 0,25 |
| 2,71 | 0, 20 |
| 3,26 | 0,16 |
| 3,77 | 0,12 |
| 4,35 | 0,10 |
| 4,91 | 0,07 |
| 5,50 | 0,05 |
| 6,01 | 0,04 |
|
Візуально можна припустити, що залежність не лінійна. Вихідна модель має вигляд Y = be ax. Робимо лінеарізующую підстановку: V = Y, U = lnX.
Отримані дані заносимо в таблицю 2.
Таблиця 2.
| X | Y | V | U |
| 1,03 | 0,44 | 0,44 | 0.02956 |
| 1,63 | 0,33 | 0,33 | 0.48858 |
| 2,16 | 0,25 | 0,25 | 0.77011 |
| 2,71 | 0, 20 | 0, 20 | 0.99695 |
| 3,26 | 0,16 | 0,16 | 1.18173 |
| 3,77 | 0,12 | 0,12 | 1.32708 |
| 4,35 | 0,10 | 0,10 | 1.47018 |
| 4,91 | 0,07 | 0,07 | 1.59127 |
| 5,50 | 0,05 | 0,05 | 1.70475 |
| 6,01 | 0,04 | 0,04 | 1.79342 |
Візуально можна припустити, що між даними існує лінійна залежність, тобто їх можна апроксимувати лінією
Y = b 1 X + b 0
Діаграма прийме вигляд:
3. Знайдемо параметри b 0 і b 1.
Y = 0,436791 - 0,2297 X R 2 = 0,995364 |
Отримані результати заносимо в таблицю 3.
Таблиця 3.
| Результати розрахунку | ||
| -0,2297 | 0,436791 | |
| 0,005542 | 0,006967 | |
| 0,995364 | 0,009454 | |
| 1717,627 | 8 | |
| 0,153525 | 0,000715 | |
Знаходимо параметри вихідної нелінійної моделі:
а = е b1 = e -0,2297 = 0,79477
b = e b 0 = e 0,436791 = 1,54773
Вихідна нелінійна модель прийме вигляд: Y = 1,54773 e 0,79477 X
5. Обчислимо прогнозоване Y p в той X p = 6,5:
Y p = 1,54773 e 0,79477 * 6,5 = 271,18
Завдання № 3
За заданими статистичними даними за допомогою пакету "Excel":побудувати кореляційну матрицю;
за кореляційної матриці перевірити фактори X 1, X 2, X 3 на мультиколінеарності, і, якщо вона є, усунути її, виключивши один із чинників;
перевірити гіпотезу про наявність лінійного зв'язку між показником Y і залишилися факторами;
визначити параметри лінійного зв'язку;
обчислити коефіцієнт детермінації;
зробити прогноз у зазначеній точці.
Рішення:
Набираємо вихідні дані в таблицю 1:
Таблиця 1.
| X1 | X2 | X3 | Y |
| 2,61 | 10,35 | 6,61 | 7,72 |
| 4,89 | 11,78 | 7,94 | 10,77 |
| 6,24 | 14,09 | 8,62 | 11,86 |
| 9,01 | 14,64 | 8,83 | 13,73 |
| 10,79 | 15,17 | 10,68 | 17,04 |
| 13,53 | 17,42 | 10,66 | 18,8 |
| 16,32 | 19,24 | 11,78 | 21,28 |
| 18,6 | 20,6 | 13,78 | 23,7 |
| 21,48 | 22,04 | 13,74 | 27,63 |
| 23,02 | 22,69 | 14,56 | 27,45 |
| 25,17 | 22,65 | 14,09 | 29,71 |
| 26,4 | 24,83 | 16,66 | 32,8 |
| 27,62 | 24,82 | 15,12 | 31,81 |
| 30, 19 | 25,17 | 15,42 | 25,22 |
| 32,25 | 26,22 | 15,77 | 37,26 |
| 33,76 | 27,72 | 17,4 | 39,2 |
| 35,97 | 29,15 | 17,77 |
Таблиця 2.
| X1 | X2 | X3 | Y | |
| X1 | 1 | 0,9921671 | 0,9741853 | 0,9656738 |
| X2 | 0,9921671 | 1 | 0,9864174 | 0,9700431 |
| X3 | 0,9741853 | 0,9864174 | 1 | 0,96548 |
| Y | 0,9656738 | 0,9700431 | 0,96548 | 1 |
Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2;
3. Будуємо графік залежності між X 1, X 2 і Y: візуально можна припустити, що залежність між X 1, X 2 і Y лінійна, коефіцієнт детермінації R 2 = 0,9416518 - близький до 1, отже, модель адекватна.
4. Знайдемо параметри b 0, b 1 та b 2. Отримані результати заносимо в таблицю 3:
Y = 6,29 + 0,91 X1 R 2 = 0,9416518 |
Y = -10,55 + 1,71 X2 R 2 = 0,9416518 |
Таблиця 3.
| Результати розрахунку | ||
| 1,344552 | 0, 1954415 | -7,0318824 |
| 0,9429349 | 0,5065553 | 9,4389862 |
| 0,9416518 | 2,4854573 | --- |
| 104,90023 | 13 | --- |
| 1296,0419 | 80,307473 | --- |
Y = - 7,0318824 + 0, 1954415X 1 + 1,344552 X 2;
Коефіцієнт детермінації R 2 = 0,9416518 - близький до 1, отже, модель адекватна.
6. Знайдемо прогноз в заданій точці. Для цього достатньо підставити X p в модель.
Y p = - 7,0318824 + 0, 1954415 * 35,97 + 1,344552 * 29,15 = 39, 19
Завдання № 4.
Припустимо, що між показником Y - обсяг випущеної продукції і факторами X 1 - трудові витрати, X 2 - обсяг основних фондів, існує залежність типуY = AX
(Похідна функція Кобба-Дугласа). За наведеними статистичними даними за допомогою пакету "Excel":
визначити коефіцієнти А, б 1, б 2;
обчислити прогноз у зазначеній точці;
визначити коефіцієнт еластичності по кожному з факторів у точці прогнозу.
Рішення:
1. Набираємо вихідні дані в таблицю 1:
Таблиця 1.
| X1 | X2 | Y |
| 54,2 | 33,6 | 75,4 |
| 56,8 | 39,1 | 85,4 |
| 59,7 | 40,4 | 88,5 |
| 61,4 | 42,9 | 92,7 |
| 63,5 | 44 | 95,2 |
| 64,7 | 46,8 | 99,5 |
| 64,8 | 51,9 | 106,2 |
| 67,4 | 56,3 | 113,2 |
| 69 | 56,6 | 114,5 |
| 70,7 | 58,7 | 118,1 |
| 71,3 | 59,6 | 118,7 |
| 73,7 | 62,4 | 123 |
| 75,9 | 63,9 | 127,4 |
| 77,5 | 67,2 | ? |
V = lnY, U 1 = lnX 1, U 2 = lnX 2, b 0 = lnA, b 1 = б 1
отримаємо лінійну модель:
V = b 0 + b 1 U 1 + b 2 U 2
Отримані результати заносимо в таблицю 2.
Таблиця 2.
| X1 | X2 | Y | V | U1 | U2 |
| 54,2 | 33,6 | 75,4 | 4,3228 | 3,9927 | 3,5145 |
| 56,8 | 39,1 | 85,4 | 4,4473 | 4,0395 | 3,6661 |
| 59,7 | 40,4 | 88,5 | 4,4830 | 4,0893 | 3,6988 |
| 61,4 | 42,9 | 92,7 | 4,5294 | 4,1174 | 3,7589 |
| 63,5 | 44 | 95,2 | 4,5560 | 4,1510 | 3,7842 |
| 64,7 | 46,8 | 99,5 | 4,6002 | 4,1698 | 3,8459 |
| 64,8 | 51,9 | 106,2 | 4,6653 | 4,1713 | 3,9493 |
| 67,4 | 56,3 | 113,2 | 4,7292 | 4,2106 | 4,0307 |
| 69 | 56,6 | 114,5 | 4,74057 | 4,2341 | 4,0360 |
| 70,7 | 58,7 | 118,1 | 4,7715 | 4,2584 | 4,0724 |
| 71,3 | 59,6 | 118,7 | 4,7766 | 4,2669 | 4,0877 |
| 73,7 | 62,4 | 123 | 4,8122 | 4,3000 | 4,1336 |
| 75,9 | 63,9 | 127,4 | 4,8473 | 4,3294 | 4,1573 |
| 77,5 | 67,2 | 4,3503 | 4, 2077 |
Таблиця 3.
| Результати розрахунку | ||
| 1,296429 | 0,5234561 | 4,655595 |
| 0,09192 | 0,1394437 | 4,694014 |
| 0,998782 | 0,6193063 | --- |
| 4101,677 | 10 | --- |
| 3146,317 | 3,8354032 | --- |
V = 4,6556 + 0,5235 U 1 + 1,2964 U 2
4. Знайдемо параметри вихідної моделі:
А = e bo = e 4.655595 = 105.1723; a 1 = b 1 = 0,5234561; a 2 = b 2 = 1,296429.
Вихідна модель має вигляд:
Y = 105.1723 * X 1 0.5235 * X 2 1.2964
5. Знайдемо прогноз в заданій точці:
Y = 105.1723 * 77.5 0.5235 * 67.2 1.2964 = 239856.97;
Обчислимо коефіцієнт еластичності, який показує, на скільки% збільшиться (якщо Е х> 0) або зменшиться (якщо Е х <0) показник Y, якщо фактор X зміниться на 1%.
E X1 = (X 1 * ∂ y) / (y * ∂ x 1) = (X 1 / (105.1723 * X 1 0.5235 * X 2 1.2964)) * ((∂ (105.1723 * X 1 0.5235 * X 2 1.2964) ) / ∂ x 1) = (X 1 / (105.1723 * X 1 0.5235 * X 2 1.2964)) * (105.1723 * X 2 1.2964 * (∂ (X 1 0.5235)) / ∂ x 1) = (X 1 / X 1 0.5) * 0.5X 1 -0.5 = 0.5X один 1-0.5-0.5 = 0.5X 1 0 = 0.5
Висновок
Для моделі Кобба-Дугласа коефіцієнт еластичності - це показники ступеня a 1 і a 2, при чому a 1 = 0.5235 - коефіцієнт еластичності по трудовитратах, а a 2 = 1.2964 - коефіцієнт еластичності за обсягом основних фондів.Література
1. Лук `яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика. Підручник. - К. Товариство "Знання". - 1998. - 494 с.2. Грубер Й. Економетрія: навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. - К. 1996. - 400 с.
3. Методичні вказівки і контрольні завдання з дисципліни "Економетрія" для студентів економічного спрямування заочного факультету. / Укл. В.Н. Чорномаз, Т.В. Шевцова, - Харків: 2006 р. - 32 с.
4. Конспект лекцій з курсу "Економетрія"