Оптимізація структури стохастичного графа c змінної інтенсивністю виконання робіт

Л. П. Костіна, канд. фіз. - Мат. наук

Санкт - Петербурзький державний університет

Задача розподілу ресурсів (нескладіруемого типу) на cтохастіческіх мережах (паралельні проекти) сформульована як обумовлена ​​змінною структурою графа. Запропонований метод рішення забезпечує отримання екстремального графа для випадку, коли кожна робота многопроектной розробки може виконуватися зі змінною інтенсивністю використання ресурсів. Принципово новий підхід до вирішення задачі розподілу ресурсів на мережах дає змогу зробити якісний стрибок у галузі математичного забезпечення автоматизованих систем управління, оскільки створюються передумови для використання всіх досягнень мережевого планування при управлінні ресурсами, які виконують паралельні проекти.

1. Введення.

Всі відомі теорії розв'язання задач розподілу ресурсів на мережах базуються на комбінаториці, яка приводить або до аналізу нескінченного числа варіантів, або до залучення евристики. Перш ніж приступити до розподілу ресурсів здійснюють розрахунок мережевих графіків, кожен з яких побудований на основі технології та прийнятої організації робіт по кожному проекту. Потім отримані таким чином показники, а також критичні шляхи використовуються як підсобного інструмента з метою забезпечення робіт ресурсами та отримання розкладу їх виконання в планіруруемом періоді часу [1, 2, 3, 4, 5].

Необгрунтованість традиційного рішення можна легко показати на прикладах, іллюстрірющіх виникають при цьому парадокси [6], причина яких полягає в тому, що при розподілі ресурсів між роботами виникають зв'язку з використання одного і того ж ресурсу. Оскільки можливі різні варіанти переходу кожної одиниці ресурсу з однієї роботи на іншу, то завдання перебування ресурсних зв'язків багатоваріантна (обумовлена ​​змінною структурою графа). Кожен варіант розподілу ресурсів визначає топологію мережевої моделі, яка характеризується своїми параметрами. Оптимальний варіант визначає оптимальну топологію мережевої моделі відповідно до обраного критерію. Отже при традиційному підході до вирішення задачі розподілу ресурсів на мережах трудаемкая робота, що вимагає участі колектив-тива і витрачається на складання сітьових графіків, а також їх розрахунку на ЕОМ, виконується даремно. Крім того, оскільки кінцевою метою при цьому є отримання розкладу виконання робіт, то мережева модель взагалі випадає з управління [7, 8, 9,]. Невдалі спроби ввести в мережеве планування нескладіруемой ресурс привели до загасання інтересу до даного напрямку. В даний час у науковій літературі увагу в основному приділяється завданням завантаження обладнання і побудова розкладів [10, 11, 12, 13, 14, 15].

2. Постановка.

Завдання розподілу ресурсів на мережах, базою якої є принципово нова теорія, сформулюємо на прикладі проектної організації. Тематичний план проектної організації містить як нові проекти, так і перехідні з плану попереднього року. Кожен проект представлений у вигляді елементарних складових робіт із зазначенням безлічі умов (під безліччю умов розуміються інші роботи того ж самого проекту, результати кожної з яких, згідно технології проектування, необхідні для того, щоб почати цю).

При цьому кожен проект може містити такі роботи, від результатів яких залежить подальше розгортання проектування проекту. Інакше кажучи, не можна повністю визначити технологію проектування проекту, оскільки результат деяких робіт впливає на подальший хід його реалізації. Такі роботи ми будемо називати вирішальним результатом. В одному проекті може бути кілька вирішальних результатів.

Введення вирішальних робіт дозволяє приймати до уваги альтернативи, які виникають на деяких етапах реалізації проекту [16]. Кожній альтернативі приписана апріорна ймовірність. Кожна робота крім взаімоcвязі з іншими роботами згідно технології проектування характеризується видом ресурсу, яким вона може виконуватися, а також трудомісткістю. Кожен ресурс спеціалізованого підрозділу характеризується його наявністю та межами споживання даного ресурсу на різних роботах. Потрібно визначити стохастичну мережеву модель, що відображає многопроектную розробку з урахуванням ресурсів.

Введемо умовні позначення: число проектів; число різних видів ресурсів, що забезпечують виконання многопроектной розробки; тривалість критичного шляху m-го проекту в мережевому графіку без урахування ресурсів, тривалість самої довгого ланцюжка робіт, виконуваних i-им видом ресурсу, безліч робіт многопроектной розробки (дане безліч включає роботи всіх проектів, які задаються загальним списком);

код j-ї роботи, ваговий коефіцієнт j-ї роботи, вид ресурсу, яким може виконуватися j-та робота, максимально можливе число ресурсів для j-ї роботи, трудомісткість j-ї роботи, плановане число ресурсів на j-ту роботу, безліч технологічних умов для j-й роботи, безліч ресурсних умов (дане безліч включає роботи, c кожної з яких ресурси переходять на виконання j-ї роботи,); код q-го умови для j-ї роботи, термін початку j-ї роботи,

термін закінчення q-го умови для j-ї роботи,

безліч робіт многопроектной розробки, кожна з яких виконується i-м видом ресурсу в к-ю одиницю часу,

число одиниць ресурсу i-го виду, кількість робіт безлічі

Перш ніж дати математичне формулювання задачі, введемо визначення:

1. Під ресурсним графом ми розуміємо мережеву модель, що відображає многопроектную розробку з урахуванням ресурсів.

2. Під встановленням між роботами зв'язків з ресурсів ми розуміємо вказівку для j-ї роботи безлічі ресурсних умов Zj,

3. Шлях, що має тривалість Tm, ми називаємо критичним шляхом мережевого графіка для m-го проекту без урахування ресурсів.

4. Шлях, що має тривалість ми називаємо критичним шляхом мережевої моделі многопроектной розробки без обліку ресурсів. Мережева модель в даному випадку складається з сукупності мережевих графіків.

5. Шлях ресурсного графа, має тривалість, ми називаємо. критичним.

. . V (t0) відомо (стан системи в момент часу t0).

(1) для будь-якого

(2)

(3)

(4) ціле,

(5)

При заданому початковому стані системи V (t0) у момент часу t0 необхідно знайти в області, яка визначається обмеженнями: (2) (5), оптимальну траєкторію руху (під оптимальної траєкторією руху системи ми розуміємо екстремальний граф, параметри якого для будь-якого kобеспечівают максимальне значення функції (1)).

Положення j-ї роботи в графі (1) визначається зазначенням безлічі ресурсних умов Zj,. Граф (1) для кожного вирішального результату включає тільки одну альтернативу.

. Обгрунтованість критерію (1) випливає з визначення ресурсів нескладіруемого типу, які відпускаються порціями? Квантами |. Для них характерно те, що невикористана або неефективно використана частина кожної порції в кожен момент часу пропадає і не переноситься на інший час.

Фізично критерій (1) означає, що кількість виконаних робіт з урахуванням їхніх вагових коефіцієнтів за будь-який інтервал часу має бути максимальним. Згідно обмеження (2) у-я робота не може початися раніше закінчення своїх умов. Для початку будь-якої роботи необхідно, щоб до даного моменту часу були виконані технологічні умови а також вільні ресурси, щоб забезпечити її виконання. Ресурси можуть переходити з інших робіт, які також для даної роботи є умовами

Система функціонує в дискретному часі та її стан у кожний момент визначається набором числових параметрів: ni, Zj,

Приймаються наступні припущення: 1) кожна робота може виконуватися зі змінною інтенсивністю використання ресурсів; 2) виконання робіт може перериватися, навіть якщо вони не закінчені. Вони будуть завершені пізніше.

. У [17] розглядається випадок, коли кожна робота може проводитися з постійною інтенсивністю використання ресурсів, і обсяг роботи, що виконується в одиницю часу є випадковою величиною.

Для вирішення сформульованої задачі запропонована процедура типу динамічного програмування, згідно зі якою стан системи змінюється відповідно до однокрокової функцією переходів.

Будував послідовність технологічних комбінацій, кожна з яких для кожного вирішального результату включає одну можливість розгортання проекту або одну альтернативу із заданою ймовірністю. Розподіл ресурсів для кожної технологічної комбінації здійснюється по одній і тій же схемі, яка наводиться нижче. Результатом рішення є екстремальний граф, який визначається розподілом ресурсів, що створює передумови для. розрахунку ймовірностей кінцевих результатів, а також критичних шляхів звичайним чином.

Знання ймовірностей кінцевих результатів, а також термінів їх виконання дає можливість отримати уявлення про хід реалізації многопроектной розробки з урахуванням її виконання обмеженою кількістю ресурсів в умовах невизначеності.

Для вирішення задачі, обумовленої змінною структурою графа, використовується метод послідовних призначень, застосовуваний у звичайних завданнях цілочисельного програмування [18].

3. Алгоритм.

Основні ідеї алгоритму представлені пунктами 151.

Нехай G1-безліч робіт, кожну з яких необхідно включити до ресурсний граф.

1. Прийняти f2j = 1,

2. Визначити безліч робіт вільних в даний момент часу від умов відповідно до технології проектування проектів.

(6).

3. Перевірити чи виконується умова. Якщо виконується, перейти до п. 4;

якщо ні, то прийняти іперейті до п. 33.

4. Прийняти.

5. Побудувати вектор-рядок можливих збільшень цільової функції (1).

(7) де

Фізично означає можливе збільшення цільової (1) за рахунок того, що на виконання роботи безлічі призначається одна одиниця ресурсу.

6. Визначити максимальне збільшення цільової функції (1).

(8), .

7. Перевірити чи виконується умова. Якщо виконується, перейти до п. 8;

якщо немає до п.14.

8. Зафіксувати роботу для можливого призначення ресурсів.

(9) якщо

9. Перевірити чи виконується умова Якщо виконується, перейти. до п.10 c метою призначення; якщо bi = 0, то виключити дану роботу з подальшого розгляду, прийнявши, і перейти до п. 6.

10. Здійснити призначення ресурсів на j-ту роботу.

(10)

(11), ,.

При черговому призначення накопичується число ресурсів, а також виконується обсяг роботи в одиницю часу.

11. Змінити число вільних ресурсів.

(12), ,.

12. Перевірити, чи не вичерпані чи є вільні ресурси. Якщо, то перейти до п.13.

В іншому випадку до п.14.

13 Перевірити, чи виконується умова Якщо виконується, то прийняти і перейти до п. 6; якщо немає до п.6.

При оптимальному розподілі ресурсів в кожен момент часу = 1, 2,. . . відбувається зміна стану системи у зв'язку із закінченням деяких робіт. Це створює передумови для можливості виконання інших робіт, які стають вільними від технологічних умов. У момент часу при розподілі беруть участь всі ресурси, які закріплюються за роботами. Призначення ресурсів здійснюється виходячи з доцільності критерію оптимальності (1). При цьому з деяких робіт, які ще не завершені в даний момент часу можуть зніматися всі ресурси. Ці роботи будуть завершені пізніше.

14. Виділити з безлічі підмножина робіт, забезпечених ресурсами.

(13)

15. Визначити безліч робіт, початок яких збігається з моментом часу ..

(14) де

16. Виділити роботи для кожної з яких число призначених ресурсів на кроці змінилося в порівнянні з попереднім кроком.

, Де

(15).

Роботи безлічі розбиваються на частини, на кожній з яких число ресурсів постійно. З j-ї роботи множествавиделяется частина виконаної роботи до моменту часу. Надалі така частина роботи розглядається як робота і для неї визначаються всі параметри. Потім згадані роботи будуть включатися в безліч скінчених робіт. Виконання робіт множини в момент часу 1, 2,. . . , Переривається і всі ресурси переходять на виконання інших робіт. Виконання робіт множини буде продовжено пізніше.

17. Визначити безліч. робіт, для кожної з яких визначаються параметри

(16).

18 Зафіксувати код j-ї роботи множини.

(17)

.19. Визначити термін початку робіт безлічі

(18)

(19) якщо

20. Обчислити тривалість виконання робіт безлічі

(20).

(21) якщо

21. Визначити термін закінчення робіт безлічі

(22)

(23)

22. Для робіт безлічі визначити число призначених ресурсів.

(24)

23. Перевірити чи виконується умова. Якщо виконується, перейти до п.24;

якщо ні, то прийняти і перейти до п. 32.

24. Визначити безліч робіт, для кожної з яких можливі ресурсні умови

(25), де

Ресурсні умови на кроці визначаються для робіт, початок яких збігається з моментом часу, а також початих раніше меншою кількістю ресурсів. Роботи безлічі розбиваються на дві частини. Попередня частина роботи є ресурсним умовою для подальшої у зв'язку з переходом ресурсів.

Надалі такі частини, на кожній з яких число ресурсів постійно, розглядаються як самостійні роботи.

25. Перевірити чи виконується умова Якщо виконується, перейти до п. 26; якщо НЕТКОМ п.32.

26. Визначити можливе число ресурсів, які можуть переходити на j - ю роботу безлічі з інших робіт у момент часу,

(26)

(27).

27. Визначити безліч робіт, кожна з яких може стати ресурсним умовою.

(28), де .

безліч скінчених робіт до моменту часу визначається на попередньому кроці пунктом 45.

. Ресурсними умовами на кроці можуть стати закінчені роботи, тому що ресурси, їх виконували, на момент часу вільні, а також ті з не закінчених робіт, для кожної з яких число призначених ресурсів на кроці стало менше в порівнянні з попереднім кроком. Роботи безлічі розбиваються на дві частини. Надалі такі частини, на кожній з яких число ресурсів постійно розглядаються як роботи з усіма притаманними для робіт характеристиками.

28. Зафіксувати код роботи і вид ресурсу для робіт безлічі

(29)

(30)

29. Визначити число ресурсів, які можуть переходити з роботи безлічі на виконання інших робіт,

(31)

(32)

30. Розподілити роботи безлічі між множинами ресурсних умов.

(33),

(34)

31 Виключити з безлічі ті роботи, з кожною з яких всі ресурси перейшли на виконання інших робіт.

(35)

32. Визначити безліч робіт, забезпечених ресурсами, але закінчення кожної з яких ще не настав.

(36)

33. Перевірити, чи виконується умова. Якщо виконується, перейти до п. 34; якщо НЕТКОМ п.52.

У зв'язку з різною тривалістю роботи, які розпочалися виконуватися пізніше, можуть раніше закінчитися. У зв'язку з цим для визначення моменту появи нових робіт, вільних від технологічних умов, необхідно розглядати всі роботи, забезпечені ресурсами.

34. Перевірити чи виконується умова. Якщо виконується, перейти до п. 35; якщо НЕТКОМ п. 40.

35. Виключити з безлічі роботи безлічі.

(37)

36. Визначити не виконаний обсяг j - ой роботи безлічі до моменту.

(38) якщо

37. Визначити тривалість j-ї роботи множини.

(39).

38. Визначити термін закінчення j-ї роботи множини.

(40) якщо

39. Включити до безліч ресурсних умов окнченную частина j-ї роботи до моменту

часу.

(41).

40. Зафіксувати мінімальне значення терміну закінчення робіт безлічі.

(42)

41. Виділити з безлічі. підмножина робіт з терміном закінчення у момент часу.

(43)

42. Запам'ятати число звільнених ресурсів з робіт безлічі.

(44).

43. Виключити роботи безлічі з умов інших робіт, обумовлених технологією проектування проектів.

(45).

44. Виключити роботи безлічі з безлічі робіт, забезпечених ресурсами, а також із загального списку робіт.

(46)

(47)

45. Приєднати закінчені роботи в момент часу t2 до робіт, кожна з яких закінчилася раніше.

(48) .

46. Включити роботи множини в безліч скінчених робіт.

(49), де .

47. Визначити безліч робіт, кожна з яких на кроці може бути включена в ресурсний граф.

(50), де

48. Пронумеруємо роботи безлічі.

, = 1, 2,. . . ,,

кількість робіт, включених до ресурсний граф на кроці.

49. Визначити код роботи в ресурсному графі з урахуванням розбивки робіт на частини.

(51).

У ресурсному графі частини робіт, на кожній з яких число ресурсів постійно, розглядаються як самостійні роботи.

50. Провести перекодування умов робіт безлічі.

51. Перевірити чи виконується умова. Якщо умова виконується, то прийняти і перейти до п. 2;

якщо НЕТКОМ п. 52.

52. Кінець.

4. Приклад.

На розробку, що складається з 2-х паралельно виконуваних проектів, виділено два різних види ресурсів по 2 одиниці кожного. Вихідні дані рішення завдання наведені в табл. 1, де код роботи складається з коду проекту та коду роботи в проекті. Перший проект містить вирішальний результат з двома альтернативами: 14,15.

Кожній альтернативі приписана aпріорная ймовірність: 0,7, 0,3. Необхідно в області визначити екстремальний граф, що включає альтернативу 14, імовірність якої дорівнює 0,7. У табл. 2, де код роботи з урахуванням розбивки робіт на частини, представлений екстремальний ресурсний граф, отриманий алгоритмом, основні ідеї якого були викладені вище. Більш докладно приклад розглядається в [20, 21].

Таблиця 1. Вихідні дані.

Таблиця 2. Екстремальний ресурсний граф.

Обгрунтованість завдання критерію оптимальності (1) у вигляді графа випливає з теореми 1.

. Теорема1 Для того щоб тривалість виконання всіх робіт многопроектной розробки з урахуванням ресурсів дорівнювала б тривалості критичного шляху, необхідно і достатньо, щоб між роботами ресурсного графа були встановлені зв'язки з ресурсів при дотриманні технологічних умов передування робіт в якості обмежень.

Доказ теореми дається в предпололоженіі, що чило ресурсів для кожної роботи фіксоване.

. Достаточность.Пусть тривалість критичного шляху ресурсного графа дорівнює тривалості виконання всіх робіт с.учетом ресурсів. Припустимо, що при цьому між роботами ресурсного графа не встановлені зв'язки з ресурсам. У такому разі не для всіх ланцюжків робіт, утворених ресурсними зв'язками, гарантовано Знайдеться хоча б одна така ланцюжок, для якої що суперечить припущенню.

. Необхідність. Нехай між роботами ресурсного графа встановлені зв'язки з ресурсам. Тривалість найдовшого шляху L, який названо критичним, визначить тривалість виконання всіх робіт многопроектной розробки.

Отримання екстремального графа алгоритмом, що включає пункти, випливає з теореми 2, де під математичним побудовою мережевої моделі будемо розуміти знаходження графа згідно з критерієм (1) в області, яка визначається обмеженнями (2) (5).

Теорема 2. Якщо всі функції, n2,. . . ,), увігнуті і адитивні, то математична побудова мережевої моделі многопроектной розробки забезпечує отримання екстремального графа.

Cостояніе системи змінюється в моменти часу 2,. . . , Що відповідає часу забезпечення робіт ресурсами. Причому при розподілі беруть участь всі ресурси, виділені на виконання многопроектной розробки, і всі роботи, вільні у даний момент часу від технологічних умов. Для всіх значень до, стан сістемипостоянно. Розподіл ресурсів серед робіт безлічі 2,. . . , Здійснюється за однією і тією ж схемою, що включає пункти алгоритму 1для всіх і для всіх 2,. . . , У світлі сказаного необхідно довести, що змінні ni, Zj забезпечують максимальне значення функції (1) при фіксованих значеннях i,. Зафіксуємо значення i,, прийнявши i = 1,. Не втрачаючи спільності міркувань, доказ теореми проведемо для випадку, коли число робіт безлічі A2, виконуваних 1-м видом ресурсів, дорівнює 2. Для загального випадку теорема доведена в роботі [19].

Пронумеруємо роботи безлічі А2. функція (1) набуде вигляду (52)

(52)

Нехай у відповідності з умовою теореми

(53).

(54)

Розглянемо матрицю (55).

(55)

Фізично означає приріст функції (52) за рахунок того, що на виконання роботи безлічі А1 додатково призначається одна одиниця ресурсу за умови, що на цю ж саму роботу вже було призначено одиниць ресурсів.

У силу угнутості функцій справедливі співвідношення (56).

(56)

З введенням елементів матриці (55) функція (52) набуде вигляду (57).

(57)

Це випливає з (53), якщо уявити

(58)

Перетворимо матрицю у вектор-рядок p = 1, 2,. . ., B1 так, щоб елементи вектора утворили варіаційний ряд за невозрастанію.

(59)

Елементи ряду (59) володіють тим важливою властивістю, що випливають з (56), що якщо, то знайдеться таке, для якого. Ця властивість має місце тільки для увігнутих функцій і дозволяє запропонувати конструктивний метод розв'язання задачі. Складемо суму перших J елементів вектора

(60).

У силу зазначеного вище властивості (59) очевидно, що

(61)

Значення визначається числом найбільших елементів стовпця з номером матриці, що потрапили в послідовність.

Таким чином, при розподілі ресурсів послідовно рухаючись по найбільших приріст функції (52) ми на кожному кроці отримуємо оптимальний план.

Ресурси на роботу, 1, 2 переходять з робіт безлічі згідно з критерієм (52), що забезпечує одержання оптимальної структури графа. При J = b1 отримуємо оптимальний розподіл всіх ресурсів. У світлі сказаного граф (1) є екстремальним.

Список літератури

1. Х. Ахьюджа. Мережеві методи управління в проектуванні і виробництві. М.: Наука, 1979.

2. Збірник III-го Bcесоюзного симпозіуму з проблем планування та управління науковими дослідженнями і розробками. М.: ЦЕМІ. 1975.

3. Застосування пакетів прикладних програм з економіко - математичних методів в АСУ. М.: Статистика, 1980.

4 Глушков В. М., Михалевич В. C. та ін Керуючий етап / / Доп. Київ: Ін-т кібернетики АН УРСР, 1989. N3. С. 5-7.

5. Основні положення щодо розробки та застосування систем мережевого планування і управління. М., Економіка. 1974.

6. Костіна Л. П. Причини парадоксів при розподілі ресурсів на мережах у книзі Х. Ахьюджа? Мережеві методи управління в проектуванні і виробництві | (за ред. В.В Калашникова. М., 638 c). Деп. організацією п / а А - 1420 МРС

? ТТЕ |. Сер.0. Вип. 18, Д05134 від 5 серпня 1982

7. Fersko-Weis H. Projekt management software / / PC Magazine. 1988. November 15. p. 178-226.

8. Fersko-Weis H. High-end proekt managers make the plans / / PC magazine тисяча дев'ятсот вісімдесят дев'ять May 1916 p. 155-195.

9. С. В. Кохова. Деякі динамічні задачі розподілу ресурсів на мережевих графіках з змінними обсягами робіт / / Вісник Московського університету.

сер.15. Обчислювальна математика і кібернетика. 1991. N1. C. 48-57.

10. Kouveles P., Lee HL Block angular structures and the loading problem in flexible manufakcturing systems / / Oper. Res. 1991.V.39. N4. P. 666 - 676.

11. Rogers VR White KP Algebraic, Mathematical Programming, and Notwork Models of the Deterministig Job-shop Scheduling Problem / / IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics.1991.V. 21. N3. P.693-697.

12. В. І. Левін. Оптимізація розкладів у системах з невизначеними часом обробки / / Автоматика і телемеханіка. 1995. N2. C. 99-110.

13. В. Н. Калачов, Б. В. Немчінов, В.Є. Кривоножко. Зфдачі планування в гнучких виробничих системах / / Автоматика і телемеханіка. 1995. N6. C. 155-164.

14. П. І. Шаригін. Оцінки наближеного розв'язання однієї задачі календарного планування / / Дискретний аналіз і дослідження операцій. Новосибірськ: Ін-т математики СВ РАН, 1995, т. 2. N1, 57-67.

15. А. В. Кононов. Про розкладах робіт на одній машині з тривалістю нелінійно залежать від часу / / Дискретний аналіз і дослідження операцій. Новосибірськ Ін-т математики СВ РАН, 1995, т. 2 N1, 21-35.

16. А. Кофман, Г. Дебазей. Мережеві методи планування та їх застосування. М.: Прогрес, 1968

17. Костіна Л. П. Математичне побудова мережевої моделі многотемной розробки. / / Теоретичний семінар? Проблеми вдосконалення управління науково-технічним прогресом |. Московський університет. 1975. С. 253-256.

18. Димарський Я. С., Прудівський Б. Д. Сталб А. К. / / Питання оптимізації в дослідженні операцій. Праці в / ч 30895. Вип. 99. C. 153-162.

19. Костіна Л. П. Досвід створення АСУ проектною організацією на базі методів розподілу ресурсів на мережах, обумовлених змінною структурою графа. Деп. організацією п / я А-1420 МРС? ТТЕ |, серія 0, вип. 18, Д05135 від 5 серпня 1982

20. Костіна Л. П. Постановка проблеми оптимального розподілу ресурсів на стохастичних мережах зі складною просторово-часової структурою. / / Вісник Санкт-Петербурзького університету. Сер.1. 1992. Вип. 2 (8). С. 15-19.

21. Костіна Л. П. Метод рішення задачі оптимального розподілу ресурсів на стохастичних мережах зі складною пространнственно-часової структурою. / / Вісник Санкт-Петербурзького університету. Сер. 1. 1992. Вип. 3 (15).