Наближені обчислення в розрахункових хімічних задачах
Введення
Кожен вчитель у своїй практиці стикався з ситуацією, коли учень, вирішуючи розрахункову завдання, отримує відповідь, трохи відрізняється від відповіді, даного в задачнику, або у групи учнів відповіді різняться між собою. Незначно, на десяті або навіть соті. Проте виникає питання: який відповідь правильна за умови, що рішення задачі вірне?
Однозначно можна стверджувати, що суть цієї проблеми полягає у способах обчислень, вироблених учнями. Точніше, в неправильних наближених обчисленнях.
У математиці є цілі розділи, де викладені правила наближених обчислень, наведено докази теорем, слідства і т. п. При навчанні хімії найбільш істотно сформулювати правила наближених обчислень, заснованих на математичних законах, суворих, зрозумілих і достатніх для того, щоб рішення і оформлення хімічної завдання було коректним з точки зору математики.
Розглянемо задачу.
Завдання 1. Обчисліть об'єм 10%-ної соляної кислоти, яку можна нейтралізувати 26,3 г питної соди, яка містить домішки (масова частка домішок 0,026). Відповідь округлите до сотих.
Можна сказати, що з математичної точки зору ця, і будь-яка інша, розрахункова хімічна задача зводиться до обчислення деякого числа на підставі чисел, заданих в умові завдання і (або) взятих з довідника.
Тому перше, що необхідно, - це навчитися правильно записувати і характеризувати числа, враховуючи, точні вони або наближені.
Точні і наближені числа
Числа бувають точними і наближеними. Точне число абсолютно. Наближене число має похибку. Форма запису не впливає на точне число. Точне число 2 можна записати так: 2; 2,0; 2,00; 2,000. Ці записи означають одне і те ж. Принципово інша картина з записом наближеного числа 2: записи «2; 2,0; 2,00; 2,000» нерівноцінні. Отже, щоб правильно записати число, треба розуміти, з якими числами - точними або наближеними - ми маємо справу.
При вирішенні розрахункової хімічної завдання використовують числа з різних джерел. По-перше, зазначені в умові завдання числові значення фізичних величин: маси, об'єму і т. д. По-друге, числові значення фізичних величин, взяті з довідників, наприклад щільності або молярної концентрації розчину, відносної атомної та молекулярної маси, молярної маси. По-третє, числа, отримані в результаті проміжних обчислень в ході виконання завдання. Нарешті, коефіцієнти перерахунку одних одиниць в інші, коефіцієнти пропорційності і т. п. Які ці числа: точні чи наближені?
Очевидно, найбільша проблема буде полягати у визначенні характеру чисел, зазначених в умові завдання. Ми маємо підстави вважати їх наближеними числами. Ці числа - результат вимірювань фізичних величин. А оскільки будь-яке вимірювання можна провести з обмеженою точністю, то і точність чисел буде обмежена. З цим можна не погоджуватися. Але прийняття цієї чи іншої точки зору спричинить певні наслідки, що впливають на відповідь завдання.
Числові значення, зазначені в довідниках, - завжди наближені числа.
Числові значення, отримані в результаті обчислень, можуть бути як точними, так і наближеними. Очевидно, якщо хоча б одне число наближене, в результаті не може бути отримано точне число. У той же час не завжди результат обчислення двох точних чисел - точне число. Наприклад, частка від ділення одиниці на три - нескінченна дріб, після округлення якої вийде наближене число.
Всілякі коефіцієнти ми будемо вважати точними числами, якщо не вказано інше. Наприклад, числа л і е - наближені.
Числові значення величин, що належать безлічі натуральних чисел: число частинок, кількість процедур тощо, - точні числа. При цьому число Авогадро наближене. Значення кількості речовини в якості невідомого - наближене число.
Таким чином, з нашої точки зору, математичне рішення розрахункової хімічної завдання зводиться до наближених обчислень.
Правила запису наближених чисел
Всі числа в розрахунковій хімічної завданню зазвичай записують або у вигляді цілого числа, або у вигляді десяткового дробу і дуже рідко - у вигляді звичайної. Ціле число десяткових знаків не має. А десяткова дріб має десяткові знаки, якими є всі цифри, розташовані після коми.
Наприклад, в умові завдання вказаний об'єм води, що дорівнює 5 л. У цьому числі десяткових знаків немає. Вказана маса заліза, рівна 1,005 кг. У числі 1,005 десятковими знаками будуть 0, 0 і 5, тобто число має три десяткових знака.
Значущими цифрами десяткового дробу називають всі її цифри, крім нулів, розташованих лівіше першого відмінній від нуля цифри.
У попередньому прикладі всі цифри значущі. Перша відмінна від нуля цифра - 1, тому і вона сама, і всі числа, наступні за нею, значущі, лише чотири. Якщо в умові дано обсяг 0,050 л, то в цьому числі перша цифра, відмінна від нуля, - 5. Згідно з визначенням перші два нуля значущими не будуть, отже, в цьому числі дві значущі цифри.
Значущими цифрами цілого числа називають всі його цифри, крім нулів, розташованих в кінці числа, якщо вони стоять замість невідомих або відкинутих чисел. Наприклад, числове значення маси 12 450 має п'ять значущих цифр, якщо всі цифри відомі, і чотири, якщо останній нуль стоїть замість невідомої цифри.
Кількість значущих цифр важливо для оцінки точності числа. Чим більше вказано значущих цифр, тим точніше наведено числове значення величини. Так, точність числа 1,005 дана до тисячних, а точність числа 12 450 - або до десятків, або до одиниць.
Вірною називають деяку цифру наближеного числа а, якщо її абсолютна похибка менше п'яти одиниць розряду, наступного за цією цифрою, чи дорівнює ім. Всі числа, вміщені в таблицях, мають усі вірні цифри, якщо не вказано щось додатково. Наприклад, у числовому значенні щільності розчину 1,150 г / мл є чотири значущі цифри, три десяткових знака, всі цифри цього числа вірні. У довіднику наведено числове значення постійної Авогадро N A = (6,022045 ± ± 0,000031) • 23 жовтня моль. У числі 6,022045 останні дві цифри - 4 і 5, які складають стотисячним і мільйонний розряди, невірні, тобто сумнівні, тому що абсолютна похибка дорівнює 0,000031, що менше половини десятитисячний розряду, але більше стотисячний і мільйонного розрядів.
Сумнівними називають всі цифри наближеного числа, розташовані правіше останньої вірної цифри.
Знову звернімося до умови задачі 1. Воно включає три числа: 10; 26,3; 0,026. Як ми бачимо, вони дані з різною точністю, з різною кількістю десяткових та значущих цифр, при цьому відповідь потрібно округлити до сотих.
Що робити: відразу починати округлення всіх або окремих чисел або округлити отриману відповідь?
Вважаючи числа, задані в умові завдання і невідомі, наближеними і не знаючи, які математичні обчислення ми будемо проводити і які додаткові числа нам знадобляться для вирішення, приймемо, що:
• в записі чисел, даних в умові завдання або взятих з довідкових таблиць, всі цифри вірні;
• ніякого попереднього округлення всіх цих чисел проводити не можна;
• не можна дописувати десяткові нулі.
Правила округлення чисел
Дані в умові завдання числа, що мають різну точність, доведеться округляти, приступаючи до тих чи інших математичних дій. Тому слід сформулювати правила, згідно з якими округлення будуть виконані коректно і з мінімальною похибкою.
Для початку введемо визначення.
Округленням десяткового дробу називають відкидання цифр цього дробу, наступних за деякими розрядом.
Округленням цілого числа називають заміну нулями цифр цього числа, наступних за деякими розрядом.
Правила округлення
• Якщо перша відкидається цифра менше 5, то остання зберігається цифра не змінюється.
Наприклад, щоб представити числове значення відносної атомної маси берилію (Л г (Ве) = 9,01218) з двома десятковими знаками, необхідно округлити число 9,01218. Перша відкидається цифра 2, вона менше 5, отже, число 9,01218, округлене до 2 десяткових знаків, так само 9,01: Л г (Ве) ~ 9,01.
• Якщо перша відкидається цифра більше 5, то остання зберігається цифра збільшується на одиницю.
Наприклад, числове значення відносної атомної маси скандію H r (Sc) = 44,9559) з трьома десятковими знаками одно 44,956: / \ r (Sc) ~ = 44,956.
• Якщо відкидається лише цифра 5, то остання зберігається цифра не змінюється, якщо вона парна, і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.
Наприклад, щоб представити числове значення відносної атомної маси золота (Л г (Аі) = = 196,9665) з трьома десятковими знаками, необхідно округлити число 196,9665. Перша і єдина відкидається цифра 5, а перша зберігається цифра 6 парна, отже, цифру 6 необхідно залишити без зміни. Таким чином, А г (Аі) ~ 196,966.
У той же час при округленні числового значення відносної атомної маси вуглецю І Г (С) = 12,01115) до чотирьох десяткових знаків треба відкинути єдину цифру 5, перша зберігається цифра 1 непарна, отже, її необхідно збільшити на одиницю: А, (С ) ~ ~ 12,0112.
Розглянемо наступний приклад. Необхідно представити числове значення відносної атомної маси кисню (4 (0) = = 15,9994) з двома десятковими знаками. Згідно з вищенаведеними правилами слід відкинути від числа 15,9994 останні дві цифри - 9 і 4, а останню зберігається 9 - збільшити на одиницю. Але цифри більшою ніж 9.В десятковій системі числення немає. Не вдаючись у математичні міркування і обгрунтування, наведемо правило для такого роду випадків.
• Якщо відкидають цифру більше 5, а остання зберігається цифра 9, то її замінюють нулем, а передостанню цифру збільшують на одиницю. Якщо ж кілька поспіль зберігаються цифр рівні 9, то їх замінюють нулями, а перша зберігається цифра, відмінна от9, збільшується на одиниць) '. У підсумковій записи зберігаються всі десяткові знаки. Не можна відкидати десяткові знаки, рівні нулю.
У числі 15,9994 відкидаємо третій десятковий знак (9), другий десятковий знак (9) замінюємо нулем, але передостання цифра теж дорівнює 9, її необхідно замінити на нуль. Перша цифра, відмінна від 9, дорівнює 5, її ми збільшуємо на одиницю. Таким чином, A r (0) ~ 16,00. Неправильно записати А г (0) = 16,0 або Д (О) = 16, відкинувши значущі нулі.
Тепер приступимо до математичного вирішення завдання 1.
Обчислимо масу питної соди в суміші.
Обчислимо молярні маси гідрокарбонату натрію (питної соди) і хлороводню, розчин якого є соляна кислота, чи довідаємося їх з довідника.
Обчислимо за рівнянням реакції масу хлороводню.
Обчислимо масу соляної кислоти.
Обчислимо об'єм соляної кислоти.
Наближені обчислення в розрахункових задачах
У розрахункових задачах з хімії переважна більшість обчислень не виходять за рамки чотирьох дій: додавання, віднімання, множення, ділення.
При формулюванні правил будемо вважати, що в записі числа з найменшим числом десяткових знаків все десяткові знаки вірні.
Правила складання
Щоб скласти наближені числа з різною кількістю десяткових знаків, достатньо:
• залишити без зміни число, яке має найменшу кількість десяткових знаків;
• округлити інше доданок так, щоб воно містило на один знак більше, ніж доданок, залишене без зміни;
• знайти суму отриманих чисел і округлити її на один знак.
Завдання 2. Розрахуйте масу розчину, отриманого при змішанні 12,4854 г твердого гідроокис-сіда натрію та 120,6 г води.
Згідно з правилами число 120,6 залишаємо без зміни, як має найменше число десяткових знаків, а число 12,4854 округляємо до 12,49. Складаємо числа і округляємо до одного десяткового знака:
Правила віднімання
Правила вирахування схожі з правилами складання:
• залишити без зміни число, яке має найменшу кількість десяткових знаків;
• округлити інше число так, щоб воно містило на один знак більше, ніж число, залишене без зміни;
• знайти різницю отриманих чисел і округлити до найменш точного числа.
Завдання 3. Знайдіть масу домішок в 245 г зразка, якщо маса речовини 242,67 р.
Згідно з правилами залишаємо без зміни число 245, число 242,67 округляємо до 242,7, знаходимо різницю:
При вирахуванні може виникнути ситуація, коли зменшуване і від'ємник близькі за значенням, тоді різниця буде настільки мала, що при округленні звернеться в нуль.
Завдання 4. Обчисліть масу платини в дорогоцінному сплаві масою 15,26 г, якщо маса золота в ньому становить 15,2585 р.
Знаходимо різницю у відповідності з правилами округлення:
Після округлення результат звернеться в нуль, так як точність найменш точного числа становить два десяткових знака. Однак якщо в подальшому отримане число необхідно використовувати в інших арифметичних діях, це може призвести до принципово невірних результатів, особливо при множенні і діленні.
Тому в подібних випадках різниця доцільно округлити до однієї значущої цифри, відмінною від нуля. У задачі масу платини залишаємо що складає 0,002 р.
Правила множення і ділення
Щоб перемножити два числа або розділити одне число на інше, необхідно:
• залишити без зміни найменш точне ЧИСЛО;
• округлити інше число так, щоб воно містило на одну значущу цифру більше, ніж залишене без зміни;
• знайти твір чи приватне і округлити його так, щоб воно містило стільки значущих цифр, скільки їх у найменш точне число.
Завдання 5. Обчисліть масу домішок в 246,58 г чистого речовини, якщо їх масова частка складає 0,0048.
Точність числового значення маси речовини визначена до сотих, але має при цьому п'ять значущих цифр, а масової частки - до десятитисячного, але має при цьому всього дві значущі цифри. Тому залишаємо число 0,0048 без зміни, округляємо число 246,58 до трьох значущих цифр, тобто до 247, множимо:
Число 1,18 округляємо до двох значущих цифр. Якщо це завдання вирішувати в точних числах, то обчислення дадуть іншу відповідь:
Завдання 6. Обчисліть масу злитка бронзи, якщо маса олова в ньому становить 0,01266 кг, а масова частка олова - 0,12.
Залишаємо без зміни число з найменшим числом значущих цифр, тобто 0,12. Число 0,01266 округляємо до трьох значущих цифр, до 0,0127. Знаходимо приватне:
Отриману нескінченну періодичну дріб округляємо до двох значущих цифр.
При вирішенні в точних числах отримаємо іншу відповідь:
Повернемося до вирішення завдання 1 з урахуванням правил, наведених вище.
Обчислимо масу соди в суміші. Визначимо її масу як добуток маси суміші та масової частки речовини. Але оскільки дана
масова частка домішки, то для знаходження маси питної соди необхідно провести дві дії. Можна спочатку обчислити масову частку речовини як різниця, а потім знайти масу питної соди як твір або спочатку вичистити масу домішок (твір), а потім - масу питної соди (різницю).
У переважній більшості розрахункових хімічних задач необхідно здійснювати безліч обчислень. Вирази для визначення різних величин можна об'єднати в одну формулу або проводити в декілька дій з обчисленням проміжних результатів.
Правила множинних обчислень
Формулюючи правила множинних обчислень, ми виходимо з того, що точність відповіді не може бути вище точності даних, зазначених в умові. Це означає, що в отриманому числі повинно бути стільки вірних цифр, скільки їх у найменш точному вихідному числі.
Якщо в процесі вирішення завдання визначені всі числа, то попередньо, перед виконанням дій, числа можна округлити, керуючись наступним правилом.
• Щоб отримати відповідь с і вірними цифрами в найменш точне число, необхідно всі інші числові значення задати за п + 2 вірними цифрами. Результати проміжних обчислень також повинні мати п + 2 вірних цифр.
Якщо необхідно або можливо об'єднати кілька арифметичних дій в одне, застосовується таке правило.
• Обчислення слід виробляти послідовно, так як правила обчислень наближених чисел різні для різних арифметичних дій. Можна об'єднати кілька послідовних дій в один вираз, якщо вони представляють складання кількох чисел, множення і ділення декількох чисел. У задачі 1 ми зіткнулися з необхідністю провести множення і віднімання. Відповідно до правил ці дії слід виконувати послідовно.
Розглянемо обидва способи, щоб порівняти відповіді.
Спосіб 1. Маса суміші 26,3 г - три значущі цифри, масова частка домішок 0,026, - дві значущі цифри. Згідно з правилами множення обидва числа залишаються без зміни, множимо, у відповіді залишаємо дві значущі цифри:
Після округлення:
Спосіб 2
w (NaHC0 3) = 1,000 - 0,026 = 0,974. (Так як 1 - точне число.)
Числа 26,3 і 0,974 мають однакове число значущих цифр, ми їх не округляємо і знаходимо твір:
Відповіді збіглися, але в іншому прикладі вони можуть і не збігтися.
Тепер визначимо молярні маси гідрокарбонату натрію і хлороводню. Їх можна знайти в довіднику: iW (NaHC0 3) = = 84,01 г / моль, Jlf (HCl) = 36,46 г / моль. Але традиційно обчислюють суми молярних мас атомів елементів, складових формульну одиницю речовини, округляючи їх до цілих, за винятком хлору, відносну атомну масу якого округлюють до 35,5 (без всяких на те підстав). Слід мати на увазі, що при обчисленні молярної маси речовини округляти її значення необхідно у відповідності з правилами округлення, а саме до найменш точного числа, а не до цілих, як зазвичай.
Так як в числі 1,0079 на один десятковий знак більше, ніж у менш точне число 35,453, то жодне число не округляють.
За правилами, в одному виразі можна складати і множити, тому спочатку знайдемо молярну масу кисню у питній соді як твір, а потім молярну масу питної соди як суму:
Оскільки найменш точне число 12,011, округлимо всі інші числа до чотирьох десяткових знаків: 22,9898; 1,0079 і 47,9982. Суму чотирьох доданків округлимо до трьох десяткових знаків:
Тепер розрахуємо масу хлороводню, що реагує із заданою масою питної соди. Такі завдання вирішують, як правило, складанням пропорції:
Це вираз включає множення і ділення, обчислювати на дві дії не потрібно.
Спочатку підставимо молярні маси, узяті з довідника:
Тому що найбільш точне число має всього на одну значущу і вірну цифру більше, ніж найменш точне, то всі числа залишаються без округлення. Вважаємо на дванадцятирозрядний калькуляторі. Після округлення отриманого числа до числа значущих цифр у найменш точному співмножники (три) отримуємо остаточну відповідь:
Обчислимо масу хлороводню, використовуючи розраховані молярні маси:
При обчисленні маси традиційним способом найменш точне число має дві значущі цифри:
• Ми вважаємо, що молярні маси речовин краще брати з довідника. При обчисленні необхідно залишати максимальне число вірних десяткових знаків.
Далі визначимо масу соляної кислоти.
Масова частка хлороводню в задачі 1 задана в процентах. Але масову частку речовини в розчині можна виразити в різних відносних одиницях, що допускаються СІ (міжнародною системою одиниць) і мають відповідні позначення: відсотках -%, промілле -% о (мільйонних часток - млн "1). Тільки відносна одиниця - частка одиниці (0,1, 0,125, 1 / 2 і т. д.) не має позначення. При записі це призводить до плутанини.
Якщо записати, що і> (в-ва) = 0,10 = 10%, то запис буде вірною. Оскільки з контексту ясно, що 0,10 - це не просто число і не числове значення величини масової частки, а значення цієї величини. Запис «10%» означає, що число 10 помножена на значення одиниці вимірювання відносної величини, що позначається знаком «%» (1 / 100), що еквівалентно запису «10 • 1 / 100». Якщо ж записати просто «0,1», то в цьому записі немає контексту, з якого випливає, що 0,1 - це значення відносної величини, а не просто число.
Щоб цієї плутанини не відбувалося, вчителі придумали запис, якою традиційно користуються. Наприклад, для визначення маси розчину записують наступне рівняння:
хоча коректно цей запис має виглядати так:
Але тоді виникає питання, звідки узялося число 100.
Отже, необхідно розглянути, як переводити одні одиниці фізичних величин в інші.
Переклад одних одиниць фізичної величини в інші
Завдання 7. Обчисліть масу 2 л 30,74%-ного розчину азотної кислоти.
За довідником знаходимо щільність даного розчину кислоти: 1,185 г / мл. Ми бачимо, що щільність і об'єм задані в різних одиницях. Які одиниці вибрати: літри або мілілітри?
Розглянемо ситуацію приведення до менших одиницям, до мілілітрам, з точки зору зменшення або збільшення помилки в розрахунках. Коефіцієнт пропорційності дорівнює 1000. Ми домовилися вважати коефіцієнти точними числами. Тому при множенні або розподілі числа на 1000 точність результату не зміниться. Проте небезпека полягає в іншому - у втраті точності у формі запису. l / (HN0 3) = 2 л = 2000 мл. Якщо число 2 точне, то різниці ніякої. Однак якщо число 2 наближене, то всі нулі в числі 2000 - цифри незначні. Точність такого числа оцінюється до тисяч, і про це треба пам'ятати на всьому протязі рішення задачі.
Обчислимо масу розчину:
Але ця відповідь невірний, оскільки точність найменш точного числа визначена до тисяч. Тому остаточну відповідь має бути закруглений до тисяч: 2000 р.
Розглянемо інший варіант, переведемо щільність з одиниці г / мл в одиницю г / л: р = 1,185 г / мл = = 1185 г / л. Обчислимо масу:
Оскільки всі числа були визначені з точністю до цілих, то і результат повинен бути округлені до цілих. Очевидно, що точність результату другого рішення вище.
З цього прикладу випливає правило.
• При вирішенні розрахункових хімічних задач менші одиниці переводяться у найбільші, представлені в умові.
Таким чином, меншу одиницю масової частки - відсоток - необхідно перевести у велику, тобто в частки одиниці, з відповідним числом значущих цифр:
Тепер можна розрахувати масу розчину хлороводню:
Найменш точний співмножник має дві значущі цифри, значить, в остаточній відповіді повинні бути дві значущі цифри:
Залишилося знайти об'єм соляної кислоти за формулою: V = т / р. Слід визначити щільність, користуючись довідником, але для 10%-ного розчину соляної кислоти щільність в довіднику не вказана, дані тільки значення для 9,510% - і 10,52%-ного розчинів кислоти. Виникає запитання: визначити проміжне значення величини. Це можна зробити за допомогою інтерполяції даних.
Інтерполяція даних
Вдаватися до інтерполяції школярам доводиться рідко, оскільки довідкові значення, як правило, задаються в умові, але вміти це робити тим не менше треба.
Використовуємо інтерполяційну формулу Лагранжа. Вона досить громіздка для обчислень вручну, але з допомогою комп'ютерних засобів обробки інформації можна автоматизувати процес. Задача була вирішена за допомогою програми Excel, що входить в пакет Microsoft Office.
Необхідно знайти щільність розчину в залежності від масової частки, тобто масова частка є аргумент, а щільність - функція. У табл. 1 представлені довідкові дані залежності щільності розчину від масової частки хлороводню. Напівжирним шрифтом виділено значення заданої масової частки.
На підставі цих табличних даних за формулою Лагранжа були обчислені значення шуканої щільності, представлені в табл. 2.
Таблиця 2
Обчислення многочлена четвертої і вище ступеня за формулою Лагранжа дає необхідну точність, тобто три десяткові вірні цифри, як це зазначено в довідковій таблиці.
Як видно з даних табл. 2 (многочлен першого ступеня, значення 1,0474257426), лінійна інтерполяція також дає результат з достатньою точністю. Для обчислення щільності і вміст речовини в розчинах за довідковими таблицями лінійної інтерполяції достатньо. Таким чином, шукана щільність соляної кислоти 1,047 г / мл.
• При інтерполяції табличних даних у шуканому числі треба залишати стільки значущих цифр, скільки їх вказано у довідковій таблиці.
Найменш точне число 110 має дві значущі цифри, виходить, число 1,047 округляємо до трьох значущих цифр; відповідь - до двох значущих цифр:
Таким чином, об'єм соляної кислоти приблизно дорівнює 100 мл.
Завдання вирішена, однак відповідь повинна бути дана з двома десятковими знаками. Для даної задачі ця умова нездійсненна. А в цілому подібного роду умови не можна визнати коректними.
Для порівняння вирішимо завдання 1, представивши її рішення як обчислення значення одного виразу
Введення
Кожен вчитель у своїй практиці стикався з ситуацією, коли учень, вирішуючи розрахункову завдання, отримує відповідь, трохи відрізняється від відповіді, даного в задачнику, або у групи учнів відповіді різняться між собою. Незначно, на десяті або навіть соті. Проте виникає питання: який відповідь правильна за умови, що рішення задачі вірне?
Однозначно можна стверджувати, що суть цієї проблеми полягає у способах обчислень, вироблених учнями. Точніше, в неправильних наближених обчисленнях.
У математиці є цілі розділи, де викладені правила наближених обчислень, наведено докази теорем, слідства і т. п. При навчанні хімії найбільш істотно сформулювати правила наближених обчислень, заснованих на математичних законах, суворих, зрозумілих і достатніх для того, щоб рішення і оформлення хімічної завдання було коректним з точки зору математики.
Розглянемо задачу.
Завдання 1. Обчисліть об'єм 10%-ної соляної кислоти, яку можна нейтралізувати 26,3 г питної соди, яка містить домішки (масова частка домішок 0,026). Відповідь округлите до сотих.
Можна сказати, що з математичної точки зору ця, і будь-яка інша, розрахункова хімічна задача зводиться до обчислення деякого числа на підставі чисел, заданих в умові завдання і (або) взятих з довідника.
Тому перше, що необхідно, - це навчитися правильно записувати і характеризувати числа, враховуючи, точні вони або наближені.
Точні і наближені числа
Числа бувають точними і наближеними. Точне число абсолютно. Наближене число має похибку. Форма запису не впливає на точне число. Точне число 2 можна записати так: 2; 2,0; 2,00; 2,000. Ці записи означають одне і те ж. Принципово інша картина з записом наближеного числа 2: записи «2; 2,0; 2,00; 2,000» нерівноцінні. Отже, щоб правильно записати число, треба розуміти, з якими числами - точними або наближеними - ми маємо справу.
При вирішенні розрахункової хімічної завдання використовують числа з різних джерел. По-перше, зазначені в умові завдання числові значення фізичних величин: маси, об'єму і т. д. По-друге, числові значення фізичних величин, взяті з довідників, наприклад щільності або молярної концентрації розчину, відносної атомної та молекулярної маси, молярної маси. По-третє, числа, отримані в результаті проміжних обчислень в ході виконання завдання. Нарешті, коефіцієнти перерахунку одних одиниць в інші, коефіцієнти пропорційності і т. п. Які ці числа: точні чи наближені?
Очевидно, найбільша проблема буде полягати у визначенні характеру чисел, зазначених в умові завдання. Ми маємо підстави вважати їх наближеними числами. Ці числа - результат вимірювань фізичних величин. А оскільки будь-яке вимірювання можна провести з обмеженою точністю, то і точність чисел буде обмежена. З цим можна не погоджуватися. Але прийняття цієї чи іншої точки зору спричинить певні наслідки, що впливають на відповідь завдання.
Числові значення, зазначені в довідниках, - завжди наближені числа.
Числові значення, отримані в результаті обчислень, можуть бути як точними, так і наближеними. Очевидно, якщо хоча б одне число наближене, в результаті не може бути отримано точне число. У той же час не завжди результат обчислення двох точних чисел - точне число. Наприклад, частка від ділення одиниці на три - нескінченна дріб, після округлення якої вийде наближене число.
Всілякі коефіцієнти ми будемо вважати точними числами, якщо не вказано інше. Наприклад, числа л і е - наближені.
Числові значення величин, що належать безлічі натуральних чисел: число частинок, кількість процедур тощо, - точні числа. При цьому число Авогадро наближене. Значення кількості речовини в якості невідомого - наближене число.
Таким чином, з нашої точки зору, математичне рішення розрахункової хімічної завдання зводиться до наближених обчислень.
Правила запису наближених чисел
Всі числа в розрахунковій хімічної завданню зазвичай записують або у вигляді цілого числа, або у вигляді десяткового дробу і дуже рідко - у вигляді звичайної. Ціле число десяткових знаків не має. А десяткова дріб має десяткові знаки, якими є всі цифри, розташовані після коми.
Наприклад, в умові завдання вказаний об'єм води, що дорівнює 5 л. У цьому числі десяткових знаків немає. Вказана маса заліза, рівна 1,005 кг. У числі 1,005 десятковими знаками будуть 0, 0 і 5, тобто число має три десяткових знака.
Значущими цифрами десяткового дробу називають всі її цифри, крім нулів, розташованих лівіше першого відмінній від нуля цифри.
У попередньому прикладі всі цифри значущі. Перша відмінна від нуля цифра - 1, тому і вона сама, і всі числа, наступні за нею, значущі, лише чотири. Якщо в умові дано обсяг 0,050 л, то в цьому числі перша цифра, відмінна від нуля, - 5. Згідно з визначенням перші два нуля значущими не будуть, отже, в цьому числі дві значущі цифри.
Значущими цифрами цілого числа називають всі його цифри, крім нулів, розташованих в кінці числа, якщо вони стоять замість невідомих або відкинутих чисел. Наприклад, числове значення маси 12 450 має п'ять значущих цифр, якщо всі цифри відомі, і чотири, якщо останній нуль стоїть замість невідомої цифри.
Кількість значущих цифр важливо для оцінки точності числа. Чим більше вказано значущих цифр, тим точніше наведено числове значення величини. Так, точність числа 1,005 дана до тисячних, а точність числа 12 450 - або до десятків, або до одиниць.
Вірною називають деяку цифру наближеного числа а, якщо її абсолютна похибка менше п'яти одиниць розряду, наступного за цією цифрою, чи дорівнює ім. Всі числа, вміщені в таблицях, мають усі вірні цифри, якщо не вказано щось додатково. Наприклад, у числовому значенні щільності розчину 1,150 г / мл є чотири значущі цифри, три десяткових знака, всі цифри цього числа вірні. У довіднику наведено числове значення постійної Авогадро N A = (6,022045 ± ± 0,000031) • 23 жовтня моль. У числі 6,022045 останні дві цифри - 4 і 5, які складають стотисячним і мільйонний розряди, невірні, тобто сумнівні, тому що абсолютна похибка дорівнює 0,000031, що менше половини десятитисячний розряду, але більше стотисячний і мільйонного розрядів.
Сумнівними називають всі цифри наближеного числа, розташовані правіше останньої вірної цифри.
Знову звернімося до умови задачі 1. Воно включає три числа: 10; 26,3; 0,026. Як ми бачимо, вони дані з різною точністю, з різною кількістю десяткових та значущих цифр, при цьому відповідь потрібно округлити до сотих.
Що робити: відразу починати округлення всіх або окремих чисел або округлити отриману відповідь?
Вважаючи числа, задані в умові завдання і невідомі, наближеними і не знаючи, які математичні обчислення ми будемо проводити і які додаткові числа нам знадобляться для вирішення, приймемо, що:
• в записі чисел, даних в умові завдання або взятих з довідкових таблиць, всі цифри вірні;
• ніякого попереднього округлення всіх цих чисел проводити не можна;
• не можна дописувати десяткові нулі.
Правила округлення чисел
Дані в умові завдання числа, що мають різну точність, доведеться округляти, приступаючи до тих чи інших математичних дій. Тому слід сформулювати правила, згідно з якими округлення будуть виконані коректно і з мінімальною похибкою.
Для початку введемо визначення.
Округленням десяткового дробу називають відкидання цифр цього дробу, наступних за деякими розрядом.
Округленням цілого числа називають заміну нулями цифр цього числа, наступних за деякими розрядом.
Правила округлення
• Якщо перша відкидається цифра менше 5, то остання зберігається цифра не змінюється.
Наприклад, щоб представити числове значення відносної атомної маси берилію (Л г (Ве) = 9,01218) з двома десятковими знаками, необхідно округлити число 9,01218. Перша відкидається цифра 2, вона менше 5, отже, число 9,01218, округлене до 2 десяткових знаків, так само 9,01: Л г (Ве) ~ 9,01.
• Якщо перша відкидається цифра більше 5, то остання зберігається цифра збільшується на одиницю.
Наприклад, числове значення відносної атомної маси скандію H r (Sc) = 44,9559) з трьома десятковими знаками одно 44,956: / \ r (Sc) ~ = 44,956.
• Якщо відкидається лише цифра 5, то остання зберігається цифра не змінюється, якщо вона парна, і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.
Наприклад, щоб представити числове значення відносної атомної маси золота (Л г (Аі) = = 196,9665) з трьома десятковими знаками, необхідно округлити число 196,9665. Перша і єдина відкидається цифра 5, а перша зберігається цифра 6 парна, отже, цифру 6 необхідно залишити без зміни. Таким чином, А г (Аі) ~ 196,966.
У той же час при округленні числового значення відносної атомної маси вуглецю І Г (С) = 12,01115) до чотирьох десяткових знаків треба відкинути єдину цифру 5, перша зберігається цифра 1 непарна, отже, її необхідно збільшити на одиницю: А, (С ) ~ ~ 12,0112.
Розглянемо наступний приклад. Необхідно представити числове значення відносної атомної маси кисню (4 (0) = = 15,9994) з двома десятковими знаками. Згідно з вищенаведеними правилами слід відкинути від числа 15,9994 останні дві цифри - 9 і 4, а останню зберігається 9 - збільшити на одиницю. Але цифри більшою ніж 9.В десятковій системі числення немає. Не вдаючись у математичні міркування і обгрунтування, наведемо правило для такого роду випадків.
• Якщо відкидають цифру більше 5, а остання зберігається цифра 9, то її замінюють нулем, а передостанню цифру збільшують на одиницю. Якщо ж кілька поспіль зберігаються цифр рівні 9, то їх замінюють нулями, а перша зберігається цифра, відмінна от9, збільшується на одиниць) '. У підсумковій записи зберігаються всі десяткові знаки. Не можна відкидати десяткові знаки, рівні нулю.
У числі 15,9994 відкидаємо третій десятковий знак (9), другий десятковий знак (9) замінюємо нулем, але передостання цифра теж дорівнює 9, її необхідно замінити на нуль. Перша цифра, відмінна від 9, дорівнює 5, її ми збільшуємо на одиницю. Таким чином, A r (0) ~ 16,00. Неправильно записати А г (0) = 16,0 або Д (О) = 16, відкинувши значущі нулі.
Тепер приступимо до математичного вирішення завдання 1.
Обчислимо масу питної соди в суміші.
Обчислимо молярні маси гідрокарбонату натрію (питної соди) і хлороводню, розчин якого є соляна кислота, чи довідаємося їх з довідника.
Обчислимо за рівнянням реакції масу хлороводню.
Обчислимо масу соляної кислоти.
Обчислимо об'єм соляної кислоти.
Наближені обчислення в розрахункових задачах
У розрахункових задачах з хімії переважна більшість обчислень не виходять за рамки чотирьох дій: додавання, віднімання, множення, ділення.
При формулюванні правил будемо вважати, що в записі числа з найменшим числом десяткових знаків все десяткові знаки вірні.
Правила складання
Щоб скласти наближені числа з різною кількістю десяткових знаків, достатньо:
• залишити без зміни число, яке має найменшу кількість десяткових знаків;
• округлити інше доданок так, щоб воно містило на один знак більше, ніж доданок, залишене без зміни;
• знайти суму отриманих чисел і округлити її на один знак.
Завдання 2. Розрахуйте масу розчину, отриманого при змішанні 12,4854 г твердого гідроокис-сіда натрію та 120,6 г води.
Згідно з правилами число 120,6 залишаємо без зміни, як має найменше число десяткових знаків, а число 12,4854 округляємо до 12,49. Складаємо числа і округляємо до одного десяткового знака:
Правила віднімання
Правила вирахування схожі з правилами складання:
• залишити без зміни число, яке має найменшу кількість десяткових знаків;
• округлити інше число так, щоб воно містило на один знак більше, ніж число, залишене без зміни;
• знайти різницю отриманих чисел і округлити до найменш точного числа.
Завдання 3. Знайдіть масу домішок в 245 г зразка, якщо маса речовини 242,67 р.
Згідно з правилами залишаємо без зміни число 245, число 242,67 округляємо до 242,7, знаходимо різницю:
При вирахуванні може виникнути ситуація, коли зменшуване і від'ємник близькі за значенням, тоді різниця буде настільки мала, що при округленні звернеться в нуль.
Завдання 4. Обчисліть масу платини в дорогоцінному сплаві масою 15,26 г, якщо маса золота в ньому становить 15,2585 р.
Знаходимо різницю у відповідності з правилами округлення:
Після округлення результат звернеться в нуль, так як точність найменш точного числа становить два десяткових знака. Однак якщо в подальшому отримане число необхідно використовувати в інших арифметичних діях, це може призвести до принципово невірних результатів, особливо при множенні і діленні.
Тому в подібних випадках різниця доцільно округлити до однієї значущої цифри, відмінною від нуля. У задачі масу платини залишаємо що складає 0,002 р.
Правила множення і ділення
Щоб перемножити два числа або розділити одне число на інше, необхідно:
• залишити без зміни найменш точне ЧИСЛО;
• округлити інше число так, щоб воно містило на одну значущу цифру більше, ніж залишене без зміни;
• знайти твір чи приватне і округлити його так, щоб воно містило стільки значущих цифр, скільки їх у найменш точне число.
Завдання 5. Обчисліть масу домішок в 246,58 г чистого речовини, якщо їх масова частка складає 0,0048.
Точність числового значення маси речовини визначена до сотих, але має при цьому п'ять значущих цифр, а масової частки - до десятитисячного, але має при цьому всього дві значущі цифри. Тому залишаємо число 0,0048 без зміни, округляємо число 246,58 до трьох значущих цифр, тобто до 247, множимо:
Число 1,18 округляємо до двох значущих цифр. Якщо це завдання вирішувати в точних числах, то обчислення дадуть іншу відповідь:
Завдання 6. Обчисліть масу злитка бронзи, якщо маса олова в ньому становить 0,01266 кг, а масова частка олова - 0,12.
Залишаємо без зміни число з найменшим числом значущих цифр, тобто 0,12. Число 0,01266 округляємо до трьох значущих цифр, до 0,0127. Знаходимо приватне:
Отриману нескінченну періодичну дріб округляємо до двох значущих цифр.
При вирішенні в точних числах отримаємо іншу відповідь:
Повернемося до вирішення завдання 1 з урахуванням правил, наведених вище.
Обчислимо масу соди в суміші. Визначимо її масу як добуток маси суміші та масової частки речовини. Але оскільки дана
масова частка домішки, то для знаходження маси питної соди необхідно провести дві дії. Можна спочатку обчислити масову частку речовини як різниця, а потім знайти масу питної соди як твір або спочатку вичистити масу домішок (твір), а потім - масу питної соди (різницю).
У переважній більшості розрахункових хімічних задач необхідно здійснювати безліч обчислень. Вирази для визначення різних величин можна об'єднати в одну формулу або проводити в декілька дій з обчисленням проміжних результатів.
Правила множинних обчислень
Формулюючи правила множинних обчислень, ми виходимо з того, що точність відповіді не може бути вище точності даних, зазначених в умові. Це означає, що в отриманому числі повинно бути стільки вірних цифр, скільки їх у найменш точному вихідному числі.
Якщо в процесі вирішення завдання визначені всі числа, то попередньо, перед виконанням дій, числа можна округлити, керуючись наступним правилом.
• Щоб отримати відповідь с і вірними цифрами в найменш точне число, необхідно всі інші числові значення задати за п + 2 вірними цифрами. Результати проміжних обчислень також повинні мати п + 2 вірних цифр.
Якщо необхідно або можливо об'єднати кілька арифметичних дій в одне, застосовується таке правило.
• Обчислення слід виробляти послідовно, так як правила обчислень наближених чисел різні для різних арифметичних дій. Можна об'єднати кілька послідовних дій в один вираз, якщо вони представляють складання кількох чисел, множення і ділення декількох чисел. У задачі 1 ми зіткнулися з необхідністю провести множення і віднімання. Відповідно до правил ці дії слід виконувати послідовно.
Розглянемо обидва способи, щоб порівняти відповіді.
Спосіб 1. Маса суміші 26,3 г - три значущі цифри, масова частка домішок 0,026, - дві значущі цифри. Згідно з правилами множення обидва числа залишаються без зміни, множимо, у відповіді залишаємо дві значущі цифри:
Після округлення:
Спосіб 2
w (NaHC0 3) = 1,000 - 0,026 = 0,974. (Так як 1 - точне число.)
Числа 26,3 і 0,974 мають однакове число значущих цифр, ми їх не округляємо і знаходимо твір:
Відповіді збіглися, але в іншому прикладі вони можуть і не збігтися.
Тепер визначимо молярні маси гідрокарбонату натрію і хлороводню. Їх можна знайти в довіднику: iW (NaHC0 3) = = 84,01 г / моль, Jlf (HCl) = 36,46 г / моль. Але традиційно обчислюють суми молярних мас атомів елементів, складових формульну одиницю речовини, округляючи їх до цілих, за винятком хлору, відносну атомну масу якого округлюють до 35,5 (без всяких на те підстав). Слід мати на увазі, що при обчисленні молярної маси речовини округляти її значення необхідно у відповідності з правилами округлення, а саме до найменш точного числа, а не до цілих, як зазвичай.
Так як в числі 1,0079 на один десятковий знак більше, ніж у менш точне число 35,453, то жодне число не округляють.
За правилами, в одному виразі можна складати і множити, тому спочатку знайдемо молярну масу кисню у питній соді як твір, а потім молярну масу питної соди як суму:
Оскільки найменш точне число 12,011, округлимо всі інші числа до чотирьох десяткових знаків: 22,9898; 1,0079 і 47,9982. Суму чотирьох доданків округлимо до трьох десяткових знаків:
Тепер розрахуємо масу хлороводню, що реагує із заданою масою питної соди. Такі завдання вирішують, як правило, складанням пропорції:
Це вираз включає множення і ділення, обчислювати на дві дії не потрібно.
Спочатку підставимо молярні маси, узяті з довідника:
Тому що найбільш точне число має всього на одну значущу і вірну цифру більше, ніж найменш точне, то всі числа залишаються без округлення. Вважаємо на дванадцятирозрядний калькуляторі. Після округлення отриманого числа до числа значущих цифр у найменш точному співмножники (три) отримуємо остаточну відповідь:
Обчислимо масу хлороводню, використовуючи розраховані молярні маси:
При обчисленні маси традиційним способом найменш точне число має дві значущі цифри:
• Ми вважаємо, що молярні маси речовин краще брати з довідника. При обчисленні необхідно залишати максимальне число вірних десяткових знаків.
Далі визначимо масу соляної кислоти.
Масова частка хлороводню в задачі 1 задана в процентах. Але масову частку речовини в розчині можна виразити в різних відносних одиницях, що допускаються СІ (міжнародною системою одиниць) і мають відповідні позначення: відсотках -%, промілле -% о (мільйонних часток - млн "1). Тільки відносна одиниця - частка одиниці (0,1, 0,125, 1 / 2 і т. д.) не має позначення. При записі це призводить до плутанини.
Якщо записати, що і> (в-ва) = 0,10 = 10%, то запис буде вірною. Оскільки з контексту ясно, що 0,10 - це не просто число і не числове значення величини масової частки, а значення цієї величини. Запис «10%» означає, що число 10 помножена на значення одиниці вимірювання відносної величини, що позначається знаком «%» (1 / 100), що еквівалентно запису «10 • 1 / 100». Якщо ж записати просто «0,1», то в цьому записі немає контексту, з якого випливає, що 0,1 - це значення відносної величини, а не просто число.
Щоб цієї плутанини не відбувалося, вчителі придумали запис, якою традиційно користуються. Наприклад, для визначення маси розчину записують наступне рівняння:
хоча коректно цей запис має виглядати так:
Але тоді виникає питання, звідки узялося число 100.
Отже, необхідно розглянути, як переводити одні одиниці фізичних величин в інші.
Переклад одних одиниць фізичної величини в інші
Завдання 7. Обчисліть масу 2 л 30,74%-ного розчину азотної кислоти.
За довідником знаходимо щільність даного розчину кислоти: 1,185 г / мл. Ми бачимо, що щільність і об'єм задані в різних одиницях. Які одиниці вибрати: літри або мілілітри?
Розглянемо ситуацію приведення до менших одиницям, до мілілітрам, з точки зору зменшення або збільшення помилки в розрахунках. Коефіцієнт пропорційності дорівнює 1000. Ми домовилися вважати коефіцієнти точними числами. Тому при множенні або розподілі числа на 1000 точність результату не зміниться. Проте небезпека полягає в іншому - у втраті точності у формі запису. l / (HN0 3) = 2 л = 2000 мл. Якщо число 2 точне, то різниці ніякої. Однак якщо число 2 наближене, то всі нулі в числі 2000 - цифри незначні. Точність такого числа оцінюється до тисяч, і про це треба пам'ятати на всьому протязі рішення задачі.
Обчислимо масу розчину:
Але ця відповідь невірний, оскільки точність найменш точного числа визначена до тисяч. Тому остаточну відповідь має бути закруглений до тисяч: 2000 р.
Розглянемо інший варіант, переведемо щільність з одиниці г / мл в одиницю г / л: р = 1,185 г / мл = = 1185 г / л. Обчислимо масу:
Оскільки всі числа були визначені з точністю до цілих, то і результат повинен бути округлені до цілих. Очевидно, що точність результату другого рішення вище.
З цього прикладу випливає правило.
• При вирішенні розрахункових хімічних задач менші одиниці переводяться у найбільші, представлені в умові.
Таким чином, меншу одиницю масової частки - відсоток - необхідно перевести у велику, тобто в частки одиниці, з відповідним числом значущих цифр:
Тепер можна розрахувати масу розчину хлороводню:
Найменш точний співмножник має дві значущі цифри, значить, в остаточній відповіді повинні бути дві значущі цифри:
Залишилося знайти об'єм соляної кислоти за формулою: V = т / р. Слід визначити щільність, користуючись довідником, але для 10%-ного розчину соляної кислоти щільність в довіднику не вказана, дані тільки значення для 9,510% - і 10,52%-ного розчинів кислоти. Виникає запитання: визначити проміжне значення величини. Це можна зробити за допомогою інтерполяції даних.
Інтерполяція даних
Вдаватися до інтерполяції школярам доводиться рідко, оскільки довідкові значення, як правило, задаються в умові, але вміти це робити тим не менше треба.
Використовуємо інтерполяційну формулу Лагранжа. Вона досить громіздка для обчислень вручну, але з допомогою комп'ютерних засобів обробки інформації можна автоматизувати процес. Задача була вирішена за допомогою програми Excel, що входить в пакет Microsoft Office.
Необхідно знайти щільність розчину в залежності від масової частки, тобто масова частка є аргумент, а щільність - функція. У табл. 1 представлені довідкові дані залежності щільності розчину від масової частки хлороводню. Напівжирним шрифтом виділено значення заданої масової частки.
На підставі цих табличних даних за формулою Лагранжа були обчислені значення шуканої щільності, представлені в табл. 2.
Таблиця 2
Обчислення многочлена четвертої і вище ступеня за формулою Лагранжа дає необхідну точність, тобто три десяткові вірні цифри, як це зазначено в довідковій таблиці.
Як видно з даних табл. 2 (многочлен першого ступеня, значення 1,0474257426), лінійна інтерполяція також дає результат з достатньою точністю. Для обчислення щільності і вміст речовини в розчинах за довідковими таблицями лінійної інтерполяції достатньо. Таким чином, шукана щільність соляної кислоти 1,047 г / мл.
• При інтерполяції табличних даних у шуканому числі треба залишати стільки значущих цифр, скільки їх вказано у довідковій таблиці.
Найменш точне число 110 має дві значущі цифри, виходить, число 1,047 округляємо до трьох значущих цифр; відповідь - до двох значущих цифр:
Таким чином, об'єм соляної кислоти приблизно дорівнює 100 мл.
Завдання вирішена, однак відповідь повинна бути дана з двома десятковими знаками. Для даної задачі ця умова нездійсненна. А в цілому подібного роду умови не можна визнати коректними.
Для порівняння вирішимо завдання 1, представивши її рішення як обчислення значення одного виразу