Векторні багатокутники у фізичних задачах

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Брестський державний університет імені А. С. Пушкіна"
Фізичний факультет
Кафедра теоретичної фізики та астрономії
Курсова робота
ВЕКТОРНІ багатокутника в ФІЗИЧНИХ ЗАДАЧАХ
з теоретичної фізики
Спеціальність: Фізика та інформатика
Виконав
Науковий керівник
Брест 2010

Зміст
Введення
1. Про рішення фізичних задач у середній школі
1.1 Про можливості застосування векторних багатокутників для рішення фізичних завдань
1.2 Роль рішення завдань у процесі навчання фізики
1.3 Традиційний спосіб розв'язання задач кінематики та динаміки в шкільному курсі фізики
2. Про векторних способи розв'язання задач механіки
2.1 Векторні трикутники швидкостей і переміщень в задачах
2.2 Векторні багатокутники сил в задачах
2.3 Векторні багатокутники імпульсів в задачах
2.4 Векторні діаграми імпульсів в задачах про зіткнення частинок
Висновок
Література

Введення

Міжпредметні зв'язки фізики і математики цілком природні: фізика не тільки експериментальна, але і точна наука, широко застосовує різні математичні методи. Математика є мовою фізики, і вільне володіння математичним апаратом полегшує розуміння фізичної сутності явищ і процесів. Однак, вивчаючи, розробляючи і використовуючи новий математичний апарат, фізики іноді незаслужено забувають про виявлені і століттями ефективно служили справі фізичної науки математичних способах і прийомах. Вивчення в школі диференціального й інтегрального числення, безсумнівно, сприяє залученню школярів до сучасних методів наукових досліджень, вирішення багатьох фізичних завдань при цьому істотно спрощується. Але в механіці є ряд завдань підвищеної для школярів труднощі, які вирішуються значно простіше не за допомогою диференціювання та інтегрування, а при використанні нескладних геометричних прийомів, цілком доступних учням старших класів (особливо класів з поглибленим вивченням фізики). Прикладом може служити "забутий" в сучасній середній школі метод розв'язання задач кінематики і динаміки, заснований на побудові так званих векторних багатокутників переміщень, швидкостей, прискорень, сил, імпульсів.
При вивченні механіки в шкільному курсі фізики передбачається знайомство з векторним способом кінематичного опису руху, з векторною формою запису законів і формул динаміки, але значно більше уваги і часу приділяється традиційним координатного і природному способів. Разом з тим у ряді випадків векторний спосіб має перевагу перед координатним, не тільки спрощуючи рішення конкретної задачі, а й перетворюючи іноді складні на перший погляд завдання в символи, які вирішуються практично усно.
У даній роботі будуть дані короткі теоретичні основи та деякі методичні рекомендації щодо можливості застосування геометричних (векторних) способів розв'язання вибраних задач кінематики та динаміки в шкільному курсі фізики. На прикладах вирішення конкретних задач механіки буде показана ефективність застосування в ряді випадків зазначених способів.

1. Про рішення фізичних задач у середній школі

1.1 Про можливості застосування векторних багатокутників для рішення фізичних завдань

Застосування векторних способів, що вимагають знання основ тригонометрії (зокрема, теорем синусів і косинусів), для вирішення задач механіки у непрофільному 9 класі базової школи навряд чи ефективно в силу недостатньої математичної підготовки учнів. Ці способи розраховані на учнів класів з поглибленим вивченням фізики (тоді цілком можливо їх вивчення і в 9 класі) або на старшокласників: на уроках узагальнюючого повторення в 11 класі загальноосвітньої школи, на курсах за вибором, при підготовці до олімпіад. Природно, що ці способи повинні широко застосовуватися при вирішенні завдань зі студентами фізичних спеціальностей ВНЗ на практичних заняттях із загальної фізики і у фізичному практикумі з рішенням завдань.

1.2 Роль рішення завдань у процесі навчання фізики

Останнім часом спостерігається тенденція посилення уваги до вирішення завдань при навчанні фізиці, і їм відводиться значна частина курсу. Рішення завдань виступає і як мета, і як метод навчання. Метод вирішення завдань з успіхом використовується вчителями при викладенні нового навчального матеріалу і його закріплення, при проведенні фронтальних лабораторних робіт і особливо фізичних практикумів.
Фізичної завданням у навчальній практиці зазвичай називають невелику проблему, яка в загальному випадку вирішується за допомогою логічних умовиводів, математичних дій і експерименту на основі законів і методів фізики. Завдання умовно поділяються на стандартні (для вирішення яких достатньо застосувати відомі на даному рівні знань формули і рівняння, що виражають фізичні закономірності) і нестандартні (для вирішення яких необхідні не тільки знання фізичних законів і формул, а й уміння робити не об'єднані відомими алгоритмами припущення, зіставлення , міркування та умовиводи). Цілком природно, що нестандартні для даного рівня знань і умінь завдання можуть бути віднесені до стандартних на іншому, більш високому рівні.
Рішення та аналіз завдань дозволяють зрозуміти і запам'ятати основні закони і формули фізики, створюють уявлення про їх характерні особливості і межі застосування. Завдання розвивають навички у використанні загальних законів матеріального світу для вирішення конкретних питань, що мають практичне і пізнавальне значення. Уміння вирішувати задачі є найкращим критерієм оцінки глибини вивчення програмного матеріалу і його засвоєння. Поряд з цим при вирішенні завдань у школярів виховується працелюбність, допитливість розуму, кмітливість, самостійність у судженнях, інтерес до навчання, воля і характер, завзятість у досягненні поставленої мети, формується особливий стиль розумової діяльності, особливий метод підходу до фізичних явищ. У процесі вирішення завдань виробляються навички обчислення, роботи з довідковою літературою, таблицями.
Рішення задач служить простим, зручним і ефективним способом перевірки та систематизації знань, умінь; дозволяє в найбільш раціональній формі проводити повторення раніше вивченого матеріалу, розширення і поглиблення знань, здійснювати дієвий зв'язок викладання фізики з навчанням математики, хімії, креслення та інших навчальних предметів.

1.3 Традиційний спосіб розв'язання задач кінематики та динаміки в шкільному курсі фізики

Векторна запис багатьох рівнянь фізики більш повно відображає відповідні процеси і є більш простою і компактною, тому вона знайшла своє застосування в сучасному шкільному курсі механіки (приклад тому - векторна форма запису законів і формул динаміки). Векторна форма рівнянь у поєднанні з відповідними малюнками розкриває фізичну ситуацію в задачі і зумовлює її успішне рішення. Проте, в процесі вирішення завдань кінематики і динаміки використовують зазвичай проекції векторів (координатний спосіб).
У методичній літературі по вузівському курсу загальної фізики рекомендується дотримуватися наступного плану виконання завдання кінематики:
1) раціонально вибрати систему відліку із зазначенням початку відліку часу і позначити на схематичному кресленні всі кінематичні характеристики руху (переміщення матеріальної точки за розглянутий проміжок часу, миттєву швидкість в кінці і на початку переміщення, прискорення і час);
2) записати кінематичні закони руху для кожного з рухомих тіл в векторної формі;
3) спроектувати векторні величини на координатні осі і перевірити, чи є отримана система рівнянь повної;
4) використовуючи кінематичні зв'язку, геометричні співвідношення та спеціальні умови, дані в задачі, скласти відсутні рівняння;
5) вирішити отриману систему рівнянь відносно невідомих;
6) перевести всі задані величини в одну систему одиниць і обчислити шукані величини;
7) проаналізувати результат і перевірити його розмірність.
При вирішенні задач у шкільному курсі фізики також прийнятний даний алгоритм, причому в більшості випадків пункт 2 опускається, і відразу записуються скалярні рівняння, що включають проекції розглянутих в задачі векторних величин.
Для вирішення завдань по динаміці загальний алгоритм наступний:
1) з'ясувати, з якими тілами взаємодіє рухається тіло, і, зробивши схематичне креслення, замінити дію цих тіл силами;
2) записати рівняння руху (другий закон Ньютона) у векторній формі;
3) спроектувати векторні величини на координатні осі (значно полегшує вирішення завдання раціональний вибір розташування початку координат і напрямків координатних осей);
4) якщо отримана система рівнянь не є повною, скласти відсутні рівняння, використовуючи третій закон Ньютона, закони тертя або закони кінематики;
5) вирішити отриману систему рівнянь відносно невідомих у загальному вигляді та перевірити розмірність шуканої величини;
6) зробити чисельні розрахунки, проаналізувати отримані результати.
Якщо в задачі розглядається рух декількох тіл, необхідно записати другий закон для кожного з них і врахувати кінематичні і динамічні зв'язки між ними (наприклад, рівність прискорень тіл, жорстко зв'язаних між собою, рівність сил дії і протидії і т.д.).
При аналізі завдань і складанні рівнянь, що описують фізичні процеси і явища потрібно добре знати, які з величин, що входять до формули фізики, є скалярними, а які векторними.
Як видно з наведених алгоритмів розв'язання задач з кінематики і динаміці, для обчислень найчастіше використовують відповідні рівняння в проекції на осі координат, тому виникає необхідність навчити учнів перетворенню векторного рівняння в рівняння для проекцій, тобто перш за все, виробити в них уміння визначати проекцію вектора на вісь. Для цього корисно наступне алгоритмічне припис:
1) зобразити вектор графічно в обраному масштабі; вказати на малюнку початок координат і координатну вісь;
2) спроектувати на вісь початкову та кінцеву точки вектора;
3) знайти довжину відрізка між проекціями цих точок на вісь; якщо можна, висловити довжину відрізка через модуль вектора;
4) позначити найменший кут між позитивним напрямом осі і напрямом вектора; визначити цей кут;
5) якщо зазначений кут гострий, то приписати проекції знак "+", якщо ні, то приписати проекції знак "-".
6) записати проекцію вектора: довжину відрізка, визначену у п.3, зі знаком, встановленим у п.5 (або: обчислити проекцію вектора за формулою a x = | a | × cosa, якщо відомий | a |).
Таким чином, при вирішенні завдань шкільного курсу з кінематики і динаміці застосовується координатний спосіб, що передбачає використання, принаймні, двох алгоритмів.
Пропонований в наступних розділах даної роботи векторний (геометричний) спосіб розв'язання в ряді випадків має перевагу перед координатним. Рішення задач з використанням векторного способу передбачає побудову векторних багатокутників швидкостей, переміщень, прискорень, сил, імпульсів. Рішення векторних багатокутників (тобто таких, сторонами яких є вектори) проводиться за тими ж правилами, що і рішення звичайних багатокутників. При цьому, якщо отримана при побудові фігура є косокутних трикутником, її рішення зводиться до застосування теореми синусів і теореми косинусів. Якщо ж трикутник виходить прямокутним, рішення спрощується (використовуються співвідношення сторін і кутів прямокутного трикутника, теорема Піфагора). Таким чином, при застосуванні векторних багатокутників для вирішення деяких завдань механіки відпадає необхідність у проекцірованіі векторних величин на осі координат, що, в першу чергу, і спрощується рішення конкретного завдання.

2. Про векторних способи розв'язання задач механіки

2.1 Векторні трикутники швидкостей і переміщень в задачах

Кінематика вивчає "геометрію" руху - математичний опис руху без аналізу причин, його викликають. Іншими словами, без з'ясування питання, чому розглядається рух відбувається саме так, а не інакше, встановлюється математичне співвідношення між його різними характеристиками, такими як переміщення, пройдений шлях, швидкість, прискорення, час руху.
При русі тіла (матеріальної точки) його переміщення можна розглядати як геометричну суму декількох послідовних переміщень, наприклад,
. (2.1 1)
Відповідний (2.1 1) багатокутник (трикутник) переміщень представлений на рис.1. Зміна швидкості тіла
; (2.1 2)
цього виразу відповідає трикутник швидкостей (рис.2).
Якщо тіло рухається з постійним по величині і напрямку прискоренням , То вираз для швидкості в будь-який момент t часу має вигляд:
; (2.1 3)
де при t = 0. У загальному випадку напрями векторів початкової швидкості і прискорення можуть не збігатися. Трикутник швидкостей, відповідний виразу (2.1 3), наведено на рис.3. Вектор переміщення при цьому визначається наступним чином:
. (2.1 4)



Малюнок 1. Малюнок 2. Малюнок 3.
Векторні трикутники переміщень представлені на рис.4 - 6.




Малюнок 4. Малюнок 5. Малюнок 6.
Найбільш ефективним є застосування векторного способу, заснованого на побудові векторних трикутників швидкостей і переміщень, у тих випадках, коли відомі напрями векторів прискорення і однієї зі швидкостей (наприклад, початковою). Це відноситься, зокрема, до завдань про рух тепа під дією сипи тяжкості.
При русі двох тіл (матеріальних точок), знаючи їх переміщення і щодо деякої системи відліку, можна обчислити переміщення другого тепа щодо першого:
. (2.1 5)
Різниця швидкостей теп (відносна швидкість) визначається при цьому виразом:
, (2.1 6)
відповідним законом складання швидкостей Галілея:
, (2.1 7)
де і v 2 - швидкості першого і другого теп в нерухомій системі відліку ("нерухомість" системи відносна), - Швидкість другого тіла відносно першого. Векторні трикутник і паралелограми швидкостей, відповідні формулами (2.1 6) і (2.1 7), представлені на рисунку 7.
а) б) в)



Малюнок 7.
Зауважимо, що в задачах про одночасне русі двох або декількох тіл доцільно, як правило, пов'язувати систему відліку з одним з цих тіл і використовувати поняття відносних швидкості і переміщення.

2.2 Векторні багатокутники сил в задачах

Основне рівняння динаміки матеріальної точки є математичним виразом другого закону Ньютона і має вигляд:
, (2.2.1)
де - Маса матеріальної точки, - Її прискорення, - Діюча на матеріальну точку сила (або рівнодіюча декількох сил, обумовлена ​​їх геометричній сумою). Таким чином, за наявності декількох складаються сил можна побудувати їх векторний багатокутник. При цьому прискорення дорівнює нулю, якщо рівнодіюча сила дорівнює нулю.

2.3 Векторні багатокутники імпульсів в задачах

Як відомо, одна з форм другого закону Ньютона має вигляд:
(2.3.1)
де - Імпульс тепа (матеріальної точки), - Його зміна за час - Середня за час сича, що діє на тіло. Формула (2.3.1) являє собою математичний вираз так званої теореми про зміну імпульсу: зміна імпульсу тепа одно імпульсу середньої сипи, прикладеної до тіла.
Аналогічні формула і теорема мають місце і для системи теп, але в цьому випадку - Сумарний імпульс тіл системи, - Середня за час геометрична сума зовнішніх сил, діючих на тепа системи (так званий головний вектор зовнішніх сил). При імпульс тепа (або системи тіл) зберігається: , .

2.4 Векторні діаграми імпульсів в задачах про зіткнення частинок

Зупинимося на механічному описі процесів непружного і пружного зіткнень, що має прикладне значення в різних розділах фізики. Розглянемо спочатку "мимовільний" (без впливу зовнішніх сил) розпад частки на дві складові частини - на дві частинки, що рухаються після розпаду незалежно один від одного. Найбільш просто процес виглядає в системі відліку, в якій частка до розпаду спочивала; в цій системі буде спочивати центр мас двох утворилися після розпаду частинок. Назвемо цю систему відліку Ц-системою. За законом збереження імпульсу сума імпульсів обох утворилися після розпаду частинок в Ц-системі дорівнює нулю, тобто імпульси частинок рівні по модулю і спрямовані в протилежні сторони Модуль імпульсу кожної частки визначається із закону збереження енергії:
(2.4 1)
де і - Маси утворилися частинок, і - Їх внутрішні енергії, - Внутрішня енергія вихідної частинки. Тоді енергія розпаду
. (2.4 2)
Розпад можливий при ε> 0. З (2.4 1) і (2.4 2) знаходимо:
(2.4 3)
де - Приведена маса утворилися частинок. Швидкості частинок після розпаду в Ц-системі: і .
Перейдемо до системи відліку, в якій первинна частинка рухається до розпаду зі швидкістю . Цю систему відліку зазвичай називають лабораторної системою (JI-системою). Нехай швидкість однієї з частинок після розпаду в JI-системі дорівнює , А в Ц-системі дорівнює . Тоді
або ; (2.4 4), , (2.4 5)
де - Кут випета частки по відношенню до напрямку швидкості . Залежність швидкості розпадного частки від напрямку її вильоту в JI-системі може бути представлена ​​за допомогою діаграм (малюнок 8).


A А
Про Про
Малюнок 8.
З малюнка 8 видно, що при частка може вилетіти під будь-яким кутом ; При - Тільки вперед під кутом, де
. (2.4 6)
Легко встановити зв'язок між кутами вильоту в JI-системі і в Ц-системі:
, (2.4 7)
причому якщо при кожному значенню відповідає одне значення , То при кожному значенню відповідає два значення (За винятком випадку ).
Перейдемо до вивчення зіткнень часток. Задача про неупругом зіткненні двох частинок обратна задачі про розпад частки на дві, розглянутої вище. У Ц-системі справедливий вираз (2.4 1), а величина в цьому випадку дорівнює приросту внутрішньої енергії складовою частинки, що утворилася в результаті непружного зіткнення.
Розглянемо задачу про пружному зіткненні двох частинок, при якому не змінюється їх внутрішній стан. Як відомо, в JI-системі швидкість центру мас двох частинок з масами і швидкостями і визначається виразом:
. (2.4 8)
Швидкості частинок до зіткнення в Ц-системі пов'язані з їх швидкостями в JI-системі відомими співвідношеннями
, , (2.4 9)
де . У силу закону збереження імпульсу імпульси обох частинок в Ц-системі залишаються після зіткнення рівними за модулем і спрямованими в протилежні сторони, в силу закону збереження енергії модулі імпульсів в Ц - системі при зіткненні не змінюються. Таким чином, в Ц-системі результат зіткнення зводиться лише до повороту швидкостей обох частинок, причому після повороту швидкості залишаються спрямованими в протилежні сторони. Якщо одиничний вектор висловлює напрям швидкості перший частки після зіткнення, то в Ц-системі.
, . (2.4 10)
Щоб повернутися до JI-системі, потрібно до цих виразів додати швидкість центру мас:
(2.4 11)
Цим вичерпуються відомості, які можна отримати з одних лише законів збереження імпульсу та енергії. Напрямок вектора залежить від умов взаємодії частинок (від взаємного розташування під час зіткнення і т.п.).
Для геометричної інтерпретації результатів перейдемо знову до імпульсів. З (2.4 11) отримаємо:
(2.4 12)
де - Приведена маса частинки. Векторна діаграма імпульсів, відповідна (2.4 12), наведена на рисунку 9. Тут
, , .
При заданих і радіус кола і положення точок А і В незмінні, а точка С може мати будь-яке положення на колі.
З


А О В
Малюнок 9.
В окремому випадку, коли частинка з масою до зіткнення покоїться в JI-системі, маємо:
, , (2.4 13)
тобто на діаграмі т. У лежить на колі; ОВ = ОС - радіус, вектор збігається з імпульсом перший частинки до удару. При цьому точка А може знаходитися всередині (якщо ) Або поза (якщо ) Кола (рисунок 10). Нескладно показати, що кути і відхилення часток після зіткнення по відношенню до (До напрямку удару) можуть бути виражені через кут повороту перший частки в Ц-системі:
, , (2.4 14)
З З




А О У А О У
Малюнок 10.
Модулі швидкостей частинок після удару в Л-системі також можуть бути виражені через кут і модуль відносної швидкості до удару:
,
. (2.4 15)
Відзначимо, що сума визначає кут розльоту часток після зіткнення. При ця сума більше , При - Менше , Кут розльоту часток рівної маси прямій.

Висновок

У ряді випадків векторний спосіб має перевагу перед координатним, не тільки спрощуючи рішення конкретної задачі, а й перетворюючи іноді складні на перший погляд завдання в символи, які вирішуються практично усно.
У роботі розглянуті можливості використання одного з не-стандартних методів розв'язання задач механіки в курсі фізики середньої школи. Основні результати можна сформулювати наступним обра-зом:
1. Показано роль вирішення завдань при навчанні фізиці, наведені алгоритми розв'язання задач координатним способом.
2. Сформульовано теоретичні основи векторних способів розв'язання вибраних задач кінематики і динаміки.
3. Підібрано та складено завдання, для вирішення яких доцільне застосування векторних способів.
Дані завдання можуть бути використані на уроках фізики загальноосвітньої школи, для формування навичок в учнів застосування векторних способів для вирішення завдань.

Література

1. Секержіцкій, В.С. Векторні способи розв'язання вибраних задач механіки / В.С. Секержіцкій, І.В. Секержіцкій [Електронний ресурс]. - Електрон. текстові, граф., дан. (4 Мб). - Брест: БрДУ імені А.С. Пушкіна, 2009. - Рег. № 88 від 19.11.2009.
2. Бугайов О.І. Методика викладання фізики в середній школі. / Бугайов О.І. / / Освіта. - 1981. - С.211-218.
3. Кабушкин В.К. Методика розв'язування задач з фізики. / Кабушкин В.К. / / Вид-во Ленінградського ун-та - 1972. - З 132-140.
4. Каменецький С. Е Методика викладання фізики в середній школі. / Каменецький С.Є., Іванова Л.А. / / Освіта. - 1987. - С. 204-212.
5. Перишкін А.В. Основи методики викладання фізики. / Перишкін А.В. / / Освіта. - 1984. - С.92-108.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Курсова
78.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Векторні лінії у векторному полі
Векторні аналізатори ланцюгів Контроль і діагностика компонентів циф
Векторні аналізатори ланцюгів Контроль і діагностика компонентів цифрових мереж і систем телекомунікацій
Використання розрахункових формул в задачах
Наближені обчислення в розрахункових хімічних задачах
Параметрична оптимізація в задачах проектування РЕЗ
Послідовність Використання техніки дисконтування в економічних задачах
Деякі властивості многочленів та їх використання в задачах зв`язку
Підсистема виділення текстильних волокон в задачах експертизи
© Усі права захищені
написати до нас