Параметрична оптимізація в задачах проектування РЕЗ

1. Основні поняття та визначення
Оптимальне проектування - це процес прийняття найкращих (оптимальних у певному сенсі) рішень за допомогою ЕОМ. Дана проблема виникає і потребує вирішення на всіх етапах проектування і багато в чому визначає техніко-економічну ефективність і технологічність проектованих виробів.
Більшість задач прийняття рішень можна сформулювати у термінах теорії математичного програмування, тобто у вигляді сукупності критеріїв якості та обмежень / 1-8 /.
Відповідно до загальноприйнятих позначеннями виділимо керовані (внутрішні) параметри об'єкта проектування X = (x1, ..., xn) і вихідні параметри Y = (y1, ..., ym).
Як правило, при оптимізації доцільно змінювати не всі внутрішні параметри, а тільки ті з них, які чинять найбільш істотний вплив на вихідні параметри.
Вибір керованих параметрів здійснюють або за результатами аналізу чутливості, або в інтерактивному режимі за бажанням проектувальника / 2 /.
Для знаходження оптимальних рішень повинна бути відома математична модель об'єкта проектування, що задає залежність вихідних параметрів Y від керованих параметрів X, адекватно описує роботу об'єкта проектування:
Y = F (X), (1.1)
де вектор F = (f1, f2., ..., fm) як компонент може включати як функціональні, так і алгоритмічні залежності. У скалярному вигляді формула (1.1) прийме вигляд:
SHAPE \ * MERGEFORMAT

(

, ...,

)

(

, ...,

n),

(1.2)

. . .

(

, ...,

Оптимізаційна задача не може бути сформульована за відсутності математичної моделі об'єкта проектування, при цьому вигляд математичної моделі багато в чому визначає доцільність і можливість застосування того чи іншого методу.
На кожному етапі проектування конструкції або технології РЕЗ на початку роботи доводиться приймати рішення в умовах невизначеності. Частіше за все це відноситься до побудови або вибору варіанта структури об'єкта проектування в рамках блочно-ієрархічного підходу / 2, 3,7,8 /, тобто до завдань структурної оптимізації.
Вибір варіанта структури багато в чому знімає неопределeнность, що дозволяє будувати математичну модель (1.1), (1.2) та проводити на її основі параметричну оптимізацію, тобто підбір найкращого набору значень керованих параметрів (наприклад, номіналів індуктивностей, ємностей, резисторів, параметрів активних елементів, координат компонентів на платі і ін), при яких виконуються обмеження (технічні вимоги технічного завдання) і досягають своїх екстремальних значень (максимуму або мінімуму) критерії якості об'єкта проектування (найбільш важливі з точки зору проектувальника схемні та конструктивні вихідні параметри об'єкта проектування, за якими оцінюється його якість), наприклад, частотні характеристики, коефіцієнт передачі, споживана і вихідна потужності, габарити, довжина сполучних провідників, перегрів, температура і т. п.). Якщо параметрична оптимізація проходить достатньо з невеликими тимчасовими витратами (нескладні пристрої, використання спрощених математичних моделей, відсутність жорстких вимог на точність результатів і т. д.), може бути виконаний деякий перебір різних структур побудови проектованого об'єкта, тобто здійснена структурна оптимізація пристрою.
Рішення задачі проектування радіоелектронного пристрою з оптимальними характеристиками з використанням методів параметричної оптимізації / 2,8 / включає три етапи: 1 - комп'ютерне моделювання пристрою; 2 - складання цільової функції з вибором критеріїв оптимальності; 3 - пошук екстремуму отриманої цільової функції і визначення оптимальних внутрішніх параметрів пристрою.
Моделювання (аналіз) РЕЗ вимагає на відповідних рівнях наявності математичних моделей і проводиться в основному чисельними методами / 8 /. Головним критерієм моделювання поряд з необхідною точністю та адекватністю моделі є швидкодія, швидкість розрахунку на ЕОМ вихідних параметрів пристрою.
Етап складання цільової функції при оптимізації пристрою є самим творчим і неформальним / 2,7,8 /. Цільова функція будується на основі вихідних параметрів пристрою (характеристик), які необхідно оптимізувати.
Таким чином, оптимальне проектування РЕЗ зводиться до складання або вибору цільової функції, багаторазовому аналізу характеристик (вихідних параметрів) пристроїв і потім мінімізації або максимізації цільової функції з застосуванням у різних методів оптимізації, вибір конкретного з яких обумовлений специфікою даної розв'язуваної задачі.

2. Постановка задачі параметричної оптимізації на основі аналізу вимог ТЗ
Критерії якості та обмеження задачі параметричної оптимізації прямо або опосередковано залежать від вихідних параметрів об'єкта проектування Y = (y1, y2., ..., Ym).
У найпростішому випадку в якості критеріїв якості можуть бути обрані найбільш суттєві з точки зору проектувальника вихідні параметри.
Всі інші вихідні параметри при цьому необхідно врахувати у вигляді обмежень.
Критерії якості в літературі прийнято називати також цільовими функціями, критеріями оптимальності, приватними критеріями якості, функціями цілі і т.п. / 2, 5-8 /.
Позначимо критерії якості Ki = Ki (x1, x2., ..., Xn), i = 1, ..., s, де s - кількість критеріїв якості, а Ki (X) - або один з вихідних параметрів Y = (y1, y2. , ..., ym), або Ki (X) =  (Y), де  (Y) - задана функціональна залежність.
Всі обмеження задачі параметричної оптимізації отримуємо на основі аналізу технічних вимог до параметрів об'єкта проектування, що містяться в ТЗ. Розглянемо формалізацію обмежень на прикладі вихідних параметрів Y (для внутрішніх параметрів Х справедливі аналогічні міркування).
Технічні вимоги зазвичай мають вигляд yj = TTj +  j, де TTj - бажане значення параметра yj,  а  j - його допустимий розкид (j = 1, ..., m). Таким чином, справедливі подвійні нерівності TTj -  j   yj  TTj +  j (j = 1, ..., m), тобто Yj-TTj -  j    TTj -  j - yj     ( j = 1, ..., m). Таким чином, отримуємо L = 2  m нерівностей виду gl (X)   , l = 1, ..., L.
Загальна математична постановка задачі параметричної оптимізації, як задачі математичного програмування / 2, 5-8 /, має вигляд
SHAPE \ * MERGEFORMAT

(

)

extr

(

)

(1.3)

= 1, ...,

Безліч наборів значень керованих параметрів Х, які відповідають обмеженням gl (X)   , l = 1, ..., L, називають областю працездатності, або областю допустимих значень керованих параметрів: XР = {X = x1, x2, ..., xn)
gl (X)   , l = 1, ..., L}.
Якщо функція Ki (X) має один мінімум або максимум в заданій області працездатності, то її називають одноекстремальной (унімодальної), якщо кілька, то - багатоекстремального. Кожен мінімум (максимум) багатоекстремального функції називають локальним, найменший (найбільший) з них - глобальним.
Якщо обмеження на внутрішні параметри gl (X) відсутні, то завдання оптимізації називається безумовною, в іншому випадку - умовною.
При практичному проектуванні РЕЗ постають завдання пошуку як безумовних, так і умовних екстремумів унімодальних і багатоекстремального функцій.
Розглянемо як приклад типове ТЗ на розробку аналогового пристрою - підсилювача: "Коефіцієнт посилення Кo на середніх частотах повинен бути не менше 10000, вхідний опір R-вих не менше 1 МОм, вихідний опір R-вих не більше 200 кОм, верхня гранична частота fв не менше 100 кГц, температурний дрейф нуля Uдр не більше 50 мкВ / град; підсилювач повинен нормально функціонувати в діапазоні температур від -50 до +60 градусів Цельсія, напруги джерел живлення +5 і -5 В, граничні відхилення напруги не більше +0, 5%, підсилювач експлуатується в стаціонарній установці, габарити плати 60х40 мм ". У даному випадку вихідними параметрами є Y = {Кo, Rвх, Rвих, fв, Uдр}.
До зовнішніх впливів відносяться температура навколишнього середовища і напруги джерел живлення. Керованими параметрами є параметри елементів схеми.
Область працездатності XР = {X  10000 - Кo    ,
1-Rвх  , Rвих-200   , 100 - fв    , 50 - Uдр   }. Особливість технічного завдання для дискретних об'єктів (наприклад, цифрових пристроїв) укладається у формі запису обмежень (умов працездатності), які можуть мати вигляд логічних рівнянь, таблиць істинності або навіть текстову форму.
Метою рішення задачі параметричної оптимізації (1.3) є визначення такого набору значень параметрів X *= (x1 *, x2 *., ..., xn *), X *  ХР, при якому критерії якості Ki (X *), i = 1, ..., s досягають своїх найкращих (мінімальних або максимальних) значень.

3. Класифікація задач параметричної оптимізації
Завдання параметричної оптимізації (1.3) є багатопараметричної, багатокритеріальної і містить обмеження, всі ці фактори визначають особливості, що виникають у процесі її рішення. Залежно від виду критеріїв якості та обмежень проводять класифікацію завдань параметричної оптимізації (завдань математичного програмування) / 2,5-8 /.
Якщо цільова функція та обмеження лінійні функції виду
С0 + С1  Х1 + С2  Х2 + ... + Сn  Хn., (1.4)
то завдання оптимізації виду (1.3) називається задачею лінійного програмування, в іншому випадку - завданням нелінійного програмування.
Якщо цільова функція квадратична, а обмеження - лінійні функції, то завдання (1.3) називається задачею квадратичного програмування.
Якщо цільова функція та обмеження мають вигляд Х1  Х2  ...  Хn., То завдання (1.3) - це завдання геометричного програмування.
Якщо цільову функцію можна представити у вигляді суперпозиції функцій, то завдання (1.3) - це завдання динамічного програмування.
Якщо цільова функція та обмеження цілочисельні функції, то завдання (1.3) - це завдання цілочисельного програмування.
У більшості випадків при проектуванні РЕЗ цільова функція нелінійно залежить від внутрішніх параметрів, тому відповідні задачі параметричної оптимізації відносяться до завдань нелінійного програмування, для вирішення яких використовуються методи математичного нелінійного програмування / 2, 5-8 /. Крім того, в деяких окремих випадках (наприклад, при топологічному проектуванні РЕЗ) в силу високої трудомісткості задач застосування методів математичного програмування утруднено, тоді використовуються різні наближені способи отримання рішень, що наближаються до оптимальних, наприклад, евристичні алгоритми і т. д. / 8 - 12 /.
     Крім того, в залежності від виду використовуваних математичних моделей, завдання оптимізації може бути детермінованою або стохастичною, безперервною або дискретною, аналітичної або алгоритмічної, при цьому для кожного класу задач є свій, в достатній мірі апробований, математичний апарат / 2 ,5-10 /. Так, для задач лінійного програмування успішно застосовується симплекс-метод / 7, 8 /.

Характерною особливістю задач оптимізації в САПР є той факт, що класичні методи знаходження екстремуму, що вимагають аналітичного виразу для цільової функції, практично не застосовуються, тому що в більшості випадків використовуються алгоритмічні моделі, в яких обчислення значень цільових функцій (критеріїв оптимальності) та їх похідних проводиться чисельними методами. Тому найбільш універсальними та ефективними для задач нелінійного програмування є методи пошукової оптимізації / 2,7,8 /.
Для забезпечення можливості застосування методів пошуку до вирішення завдання оптимізації в постановці (1.3) необхідно певним чином спростити математичну постановку задачі: перейти від багатокритеріальної задачі оптимізації до однокритерійним і від завдання з обмеженнями - до задачі безумовної оптимізації.

4. Багатокритеріальна оптимізація в задачах з обмеженнями
4.1. Методи переходу від багатокритеріальної задачі оптимізації до однокритерійним
Для того, щоб оцінити наскільки добре задовольняють вимогам ТЗ значення окремих критеріїв якості при заданому наборі значень внутрішніх параметрів X = (x1, x2., ..., Xn), потрібно побудувати узагальнений критерій якості (узагальнену цільову функцію) f (Х), яка одночасно враховує вимоги до всіх приватним критеріям.
Іншими словами, від багатокритеріальної задачі параметричної оптимізації у вигляді:
SHAPE \ * MERGEFORMAT

₁ (Х)

extr,

. . .

(1.5)

(X)

extr

(

)

= 1, ...,

необхідно перейти до однокритеріальних задач:
SHAPE \ * MERGEFORMAT

f (X)

extr,

(X)

l = 1, ..., L, (1.6)

= (

, ...,

)

Найбільш часто на практиці використовуються такі методи побудови цільової функції (методи векторної згортки приватних критеріїв): метод головного критерію, адитивний, мультиплікативний, Мінімакс та імовірнісний / 7-9 /.
У методі виділення головного критерію проектувальник вибирає один, найбільш важливий з його точки зору приватний критерій якості, який і приймається за узагальнену цільову функцію, а вимоги до інших приватним критеріям враховують у вигляді обмежень f (X) = Kt (X), (1.7)
де t - номер найбільш важливого приватного критерію. Наприклад, задана принципова електрична схема логічного елемента і умови працездатності на наступні вихідні параметри: y1 - коефіцієнт навантаження, y2 - запас завадостійкості, y3 - середня розсіює потужність, y4-затримка поширення сигналу. Необхідно розрахувати параметри пасивних елементів, тобто керовані параметри - це опору резисторів. В якості цільової функції може бути вибраний один з вихідних параметрів, наприклад, y4 (f (X) = y4).
У аддитивном методі кожному з приватних критеріїв якості ставиться у відповідність ваговий коефіцієнт (вага i-го приватного критерію 0      1   i = 1, ..., s,), що характеризує важливість даного критерію з точки зору проектувальника (сума вагових коефіцієнтів повинна бути дорівнює 1).
При побудові цільової функції в аддитивном методі використовується співвідношення: якщо f (X)    max, то-f (X)    min. Кожен приватний критерій можна включити в адитивну цільову функцію за правилом: помножити на ваговий коефіцієнт і включити в цільову функцію зі знаком плюс або мінус.
Щоб побудувати мінімізіруемую цільову функцію f ^¯ (X)   min, всі мінімізіруемие приватні критерії K ^¯ i (X) (K ¯ i (X)    min, i = 1, ..., t) включають в адитивну функцію зі знаком плюс, тобто додають до цільової функції, а всі максімізіруемие критерії K ⁺ i (X) (K ⁺ i (X)    min, i = t +1, ..., s) включають в адитивну функцію зі знаком мінус, то є віднімають з цільової функції:
SHAPE \ * MERGEFORMAT

(

) =

(

)

(

))

min

(1.8)

або для максімізіруемой цільової функції:
t _ s +
f (X) =  -      Ki (X) +       Ki (X))    max, (1.9)
i = 1 i = t +1
де s - загальна кількість приватних критеріїв, а t - кількість мінімізіруемих критеріїв.
У нашому прикладі чотири приватні критерію, тобто s = 4, t = 2:
K1 (X)    max,
K2 (X)    max,
K3 (X)    min,
K4 (X)   min.
Нехай              0      тоді
  f (X) =      K1 (X)        K2 (X)         K3 (X)        K4 (X)   max,
або
f (X) =        K1 (X)        K2 (X)        K3 (X)        K4 (X)   min.
У мультиплікативному методі використовується правило: якщо f (X)    max, то 1 / f (X)    min за умови, що f (X)      
На відміну від адитивного методу, приватні критерії не складають, а перемножують. Крім того, в мультиплікативному методі не використовують вагові коефіцієнти. Цільова функція будується у вигляді дробу.
Якщо f (X)   min, то в чисельник дробу включають твір всіх мінімізіруемих критеріїв, а в знаменник - добуток максімізіруемих критеріїв:

(1.10)

SHAPE \ * MERGEFORMAT

t _