Методи дослідження нелінійних систем

Предмет:

"Теорія автоматичного управління"

Тема:

"Методи дослідження нелінійних систем"

1. Метод диференціальних рівнянь

Диференціальне рівняння замкнутої нелінійної системи n-го порядку (рис. 1) можна перетворити до системи n-диференціальних рівнянь першого порядку у вигляді:

де: - Змінні, що характеризують поведінку системи (одна з них може бути регульована величина); - Нелінійні функції; u - задає вплив.

Зазвичай, ці рівняння записуються в кінцевих різницях:

,

де - Початкові умови.

Якщо відхилення не великі, то цю систему можна вирішувати, як систему алгебраїчних рівнянь. Рішення можна представити графічно.

2. Метод фазового простору

Розглянемо випадок, коли зовнішній вплив дорівнює нулю (U = 0).

Рух системи визначається зміною її координат - у функції часу. Значення в будь-який момент часу характеризує стан (фазу) системи і визначає координати системи має n - осей і можуть бути представлені як координати деякої (зображує) точки М (рис. 2).

Фазовим простором називається простір координат системи.

Зі зміною часу t точка М рухається по траєкторії, званої фазовою траєкторією. Якщо змінювати початкові умови отримаємо сімейство фазових траєкторій, званих фазовим портретом. Фазовий портрет визначає характер перехідного процесу в нелінійній системі. Фазовий портрет має особливі точки, до яких прагнуть або від яких йдуть фазові траєкторії системи (їх може бути декілька).

Рис. 2

Фазовий портрет може містити замкнуті фазові траєкторії, які називаються граничними циклами. Граничні цикли характеризують автоколивання в системі. Фазові траєкторії ніде не перетинаються, крім особливих точок, що характеризують рівноважні стану системи. Граничні цикли та стану рівноваги можуть бути стійкими чи не стійкими.

Фазовий портрет повністю характеризує нелінійну систему. Характерною особливістю нелінійних систем є наявність різних типів рухів, декількох станів рівноваги, наявність граничних циклів.

Метод фазового простору є фундаментальним методом дослідження нелінійних систем. Дослідити нелінійних систем на фазовій площині набагато простіше і зручніше, ніж за допомогою побудови графіків перехідних процесів в тимчасовій області.

Геометричні побудови в просторі менш наочні, ніж побудови на площині, коли система має другий порядок, при цьому застосовується метод фазової площини.

Застосування методу фазової площини для лінійних систем

Проаналізуємо зв'язок між характером перехідного процесу і кривими фазових траєкторій. Фазові траєкторії можуть бути отримані або шляхом інтегрування рівняння фазової траєкторії, або шляхом вирішення вихідного диференціального рівняння 2-го порядку.

Нехай задана система (рис. 3).

Розглянемо вільний рух системи. При цьому: U (t) = 0, e (t) =- x (t)

У загальному вигляді диференціальне рівняння має вигляд

де (1)

Це однорідне диференціальне рівняння 2-го порядку його характеристичне рівняння одно

. (2)

Коріння характеристичного рівняння визначаються зі співвідношень

(3)

Уявімо диференціальне рівняння 2-го порядку у вигляді системи

рівнянь 1-го порядку:

(4)

де швидкість зміни регульованої величини.

У розглянутій лінійної системі змінні x і y є фазові координати. Фазовий портрет будуємо в просторі координат x і y, тобто на фазовій площині.

Якщо виключимо час з рівняння (1), то отримаємо рівняння інтегральних кривих або фазових траєкторій.

. (5)

Це рівняння з відокремлюваними змінними

. (6)

Розглянемо кілька випадків

Нехай коріння характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(Тобто ). (7)

При цьому перехідний процес описується рівняннями

x = A sin (w t + j), (8)

y = A w cos (w t + j),

тобто являє собою незгасаючі коливання з постійною амплітудою А і початковою фазою - j.

На фазовій площині (рис. 4) ці рівняння представляють собою параметричні рівняння еліпса з півосями А і w A (де A - стала інтегрування).

Якщо позначити

Рівняння еліпса можна отримати рішенням рівняння фазових траєкторій

(9)

Стан рівноваги визначається з умови

,

при цьому x ₀ = y ₀ = _0.

Точка називається "центр" і відповідає сталого рівноваги, так як фазові траєкторії від неї не видаляються.

2. Нехай коріння характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(10)

При цьому перехідний процес описується рівняннями:

З рівняння фазових траєкторій одержимо рівняння

Це рівняння сімейства гіпербол при зміні A (рис 5).

Рис. 5

Точка називається "сідло". Рівняння асимптот (сепаратріс) при А = 0 мають вигляд:

Нехай коріння характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(11)

Фазова траєкторія має вигляд сворачивается спіралі (рис. 6), а точка рівноваги називається "стійкий фокус".

Рис. 6

Нехай коріння характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(12)

Перехідний процес являє собою розбіжні коливання, фазова траєкторія - розгортається спіраль. Точка називається "нестійкий фокус" (рис. 7).

Рис. 7

5. Нехай коріння характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(13)

Перехідний процес має аперіодичний характер. Точка називається "стійкий вузол" (рис. 8).

Рис. 8

6. Нехай коріння характеристичного рівняння (3) мають вигляд

(14)

Точка називається "нестійкий вузол" (рис. 9).

Рис. 9

4. Методи побудови фазових портретів

Для побудови фазових портретів можна використовувати різні методи: метод диференціальних рівнянь, метод ізоклін, та ін

Метод диференціальних рівнянь. Суть методу полягає в тому, що з диференціальних рівнянь окремих ділянок нелінійного елемента будують відповідні фазові портрети на площині.

Метод ізоклін - це метод ліній постійного нахилу.

Нехай дано рівняння нелінійної системи:

(15)

де: - Довільні функції.

Щоб отримати фазовий портрет виключимо час:

. (16)

Нехай , При цьому - Це рівняння лінії в площині (x 0 y). Кожному значенню константи с відповідає деяка лінія, що володіє наступною властивістю: в кожній точці лінії , Тобто якщо фазова траєкторія перетинає ізокліну, то вона має постійний нахил рис. 10.

y

Рис. 10

Якщо провести достатню кількість таких ліній з відповідними нахилами, то можна побудувати фазовий портрет системи. При цьому точність залежить від числа ізоклін. Напрямок руху визначається за правилом: якщо похідна , X> 0, то рух таке, що x зростає.

5. Побудова фазового портрету нелінійної системи

Розглянемо релейну систему, що стежить, схема якої наведена на рис. 11.

+

x ₁ НЕ У U _піт Д ТГ PU ₀

-

x

Рис. 11

Якщо a ¹ b на вхід НЕ з релейного характеристикою (рис. 12) подається сигнал При цьому: b - кут повороту задає осі; a - кут повороту відпрацьовує потенціометра.

z

- A ₂ - a ₁

0 a ₁ a ₂ x ₁

Рис. 12

Внаслідок цього на двигун подається напруга ± , Двигун обертається в певному напрямку, згідно з полярністю напруги, що подається до тих пір, поки воно не стане рівним нулю.

Для поліпшення якості перехідного процесу в систему може бути включена негативний зворотний зв'язок по швидкості двигуна з допомогою тахогенератора (ТГ).

Запишемо рівняння елементів системи. Для двигуна постійного струму з незалежним збудженням

(17)

Так як потік порушення = Const, то . Припустимо, момент навантаження малий, при цьому = 0.

Передавальну функцію для якірного ланцюга K ₁ (p) можна отримати з її диференціального рівняння

(18)

Нехай

Для редуктора і кута повороту вала двигуна

(19)

Для тахогенератора

. (20)

На підставі функціональної схеми та отриманих передавальних функцій елементів системи складаємо структурну схему рис. 13

Для побудови фазового портрету необхідно записати систему диференціальних рівнянь.

Розглянемо вільний рух системи (b = 0) при цьому x = a.

Диференціальне рівняння нелінійної системи має вигляд

(21)

Уявімо рівняння у вигляді системи рівнянь:

(22)

Побудуємо фазовий портрет. Для простоти побудови фазового портрету робимо деякі спрощення:

1) Нехай зворотній зв'язок по швидкості - відсутній (К = 0).

2) Характеристика нелінійного елемента однозначна (рис. 14).

При цьому:

(23)

З урахуванням прийнятих припущень система рівнянь спрощується.

(24)

Побудуємо характеристику для кожної зони.

Нехай - a £ x £ a, | (x) = 0.

При цьому вихідна система має вигляд:

(25)

Рішення цього рівняння має вигляд , Тобто нахил фазових траєкторій всюди постійний (негативний).

Визначимо рівноважний стан системи з умови:

(26)

Ця умова виконується при y = 0, тобто точка вироджується в пряму лінію y = 0 на інтервалі [- а, а]. Фазові траєкторії на ділянці - а <x <a представляють собою прямі з коефіцієнтом нахилу -1 / Т ₁ при різних значеннях початкових умов.

На прямих лініях проставляємо стрілки таким чином, щоб кінцеве рух прагнуло до початку координат.

Нехай х> a, . При цьому вихідна система нелінійних рівнянь має вигляд

(27)

де c _i - сімейство ізоклін, яке представляє собою прямі паралельні осі х, тобто , Де визначається з виразу для

. (28)

Таким чином

. (29)

Переймаючись значеннями , Будуємо сімейство ізоклін. Визначаємо кути перетину ізоклін фазовими траєкторіями.

Так як . Наприклад, якщо , То a = 90 °.

Нехай х <- a, . Побудова виконуємо аналогічно, так як знак змінився, то будуть інші кути перетинань ізоклін фазовою траєкторією. Фазовий портрет системи наведено на рис. 15.

Рис. 14 Мал. 15

Знімемо спрощення К = 0, тобто розглянемо вплив негативного зворотного зв'язку по швидкості двигуна на характер фазової траєкторії.

При цьому рівняння мають вигляд:

(30)

Нехай , При цьому перемикання буде відбуватися за умови (А не умови x = а), це рівняння лінії (рис. 16)

. (31)

При цьому кількість перерегулювання зменшується; можна підібрати такий нахил, при якому немає переколебаній.

Розглянемо фазовий портрет без обмежень. У системі без обмежень фазовий портрет можна представити на трилистий поверхні з похилими гранями (рис. 17.) При цьому лист 2 відповідає зоні нечутливості z = 0, лист 1 відповідає негативним значенням z, а лист 3 позитивним. Внаслідок гістерезису має місце часткове накладення аркушів.

Рис. 16 Рис. 17

Досліджуємо систему. Досліджуємо вплив негативного зворотного зв'язку по швидкості двигуна (тобто вплив величини - К). Нехай значення До збільшується, при цьому нахил прямих зменшується, і може вийти, що зріз буде більш пологим ніж нахил характеристики в середній частині. Це призводить до частих перемиканням. Такий режим називається ковзаючим. Якщо зона дуже вузька, то рух як би зісковзує до сталому режиму (рис. 18а).

Якщо змінити знак зворотного зв'язку з негативною зв'язку на позитивний зв'язок, то при цьому зміниться нахил ліній перемикання, і кількість коливань буде збільшуватися, система буде "розгойдуватися". Система працює, як генератор і може з'явитися або замкнутий цикл - автоколивання, або розходиться перехідний процес (рис. 18б).

а) б)

Рис. 18

Переваги методу: простота і наочність для систем 2-го порядку; придатність для будь-якого типу нелінійних елементів.

Недоліки: метод громіздкий для систем вище 2-го порядку, тому при n> 2 не застосовується.

Розглянемо кілька прикладів побудови фазових портретів нелінійних систем управління

Приклад 1. Нехай задана система, що складається з лінійної частини і нелінійного елемента (підсилювач з обмеженням по модулю) (рис. 19). Це кусково-лінійна система, так як на окремих ділянках вона веде себе як лінійна (в області) - а, + а [). Припустимо в області (] - а, + а [) коефіцієнт посилення великий і система нестійка а фазовий портрет характеризується особливою точкою "нестійкий фокус". За межами області коефіцієнт посилення малий, припустимо, що при цьому система стійка і характеризується особливою точкою - "стійкий фокус".

При великих відхиленнях x> | a | загальний коефіцієнт посилення системи малий, система стійка, процес загасає.

При малих відхиленнях загальний коефіцієнт посилення системи великий - процес розходиться до замкнутої траєкторії, яка характеризує наявність стійких автоколивань (рис. 20).

У цій системі три типи рухів: автоколивання; сходяться коливання; розходяться коливання

Приклад 2. Нехай задана система з характеристикою нелінійного ланки типу "зона нечутливості" (рис. 21). Необхідно побудувати фазовий

портрет даної системи, визначити наявність граничних циклів і проаналізувати їх стійкість.

Рис. 21 Рис. 22

Нехай в області [- b, + b] система стійка, при цьому коефіцієнт підсилення - До малий, перехідний процес загасає, особлива точка "стійкий фокус" поза регіоном - великий, перехідний процес розходиться (рис. 22). Ця система має нестійкий граничний цикл, тобто автоколивання нестійкі.

Для більш складних нелінійних елементів може бути кілька граничних циклів.

Приклад Для заданої системи (рис. 23) побудувати приблизний фазовий портрет.

Рис. 23

Рішення: Вихідну схему можна представити у вигляді (рис. 24).

Побудуємо фазовий портрет

1) При - a <x <+ af (x) = 0, а система рівнянь має вигляд

Фазовий портрет в цій області представляє сімейство прямих з коефіцієнтом к = -1, а стан рівноваги стійко за Ляпуновим і представляє відрізок осі y = 0 на інтервалі - a <x <+ a (рис 25).

2) При x> + af (x) = x - a, а система рівнянь має вигляд

Для кожного з _i визначимо кутовий коефіцієнт нахилу ізокліни - до за формулою і кут перетину фазовою траєкторією ізокліни за формулою a = arctg c, результати наведені в таблицях 1 і 2.

Таблиця 1

Таблиця 2

3) При x <- af (x) = x + a, а система рівнянь має вигляд

Ліва частина фазового портрету будується аналогічно правою.

Приклад 4. Для заданої системи (рис. 26) побудувати приблизний фазовий портрет.

Вихідну схему можна представити у вигляді (рис. 27).

Побудуємо фазовий портрет.

1) При -1 <x <+1 f (x) = x, а система рівнянь має вигляд

Для кожного з _i визначимо кутовий коефіцієнт нахилу ізокліни - до за формулою і кут перетину фазовою траєкторією ізокліни за формулою a = arctg c.

2) При x> +1 f (x) = 1, а система рівнянь має вигляд

Для кожного з _i визначимо кутовий коефіцієнт нахилу ізокліни - до за формулою і кут перетину фазовою траєкторією ізокліни за формулою a = arctg c.

3) При x <-1 f (x) = -1.

Ліва частина фазового портрету будується аналогічно правою.

Література

Атабеков Г.І., Тимофєєв А.Б., Купалян С.Д., Хухріков С.С. Теоретичні основи електротехніки (ТОЕ). Нелінійні електричні кола. Електромагнітне поле. 5-е вид. Вид-во: Лань, 2005. - 432 с.

Гаврилов Нелінійні ланцюга в програмах схемотехнічного моделювання. Вид-во: СОЛОН-ПРЕС, 2002. - 368 с.

Дорф Р., Бішоп Р. Автоматика. Сучасні системи управління. 2002 р. - 832 с.

Теорія автоматичного керування. Учеб. для вузів за спец. "Автоматика та телемеханіка". У 2-х ч. / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов та ін: Під ред. А.А. Воронова. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 1986. - 367 с., Іл.

Харазов   В.Г. Інтегровані системи управління технологічними процесами: Довідник. Видавництво: ПРОФЕСІЯ, ВИДАВНИЦТВО, 2009. - 550 с.