Кінематичний розрахунок плоских шарнірних механізмів

Федеральне агентство з освіти

Міністерство освіти і науки РФ

Тульський державний університет

Кафедра теоретичної механіки

Курсова робота

Кінематичний розрахунок плоских шарнірних механізмів

Кафедра теоретичної механіки

Рецензія на курсову роботу

Студента _______________________

групи _________________________

Варіант № ___ кількість сторінок ___ Курсова робота за змістом відповідає / не відповідає виданим завданням і виконана в повному / не в повному обсязі.

КР може бути допущена до

Виконав:

Студент_________________________

Группи_________________________

Перевірив:

Тула 2008

Зміст

Вихідні дані

1. Аналітичний метод

1.1 Складання рівнянь геометричних зв'язків

1.2 Визначення законів руху ланок механізму

1.3 Визначення швидкостей і прискорень ланок

1.4 Визначення швидкостей і прискорень вузлових точок

2. Геометричні методи

2.1 Визначення швидкостей точок та кутових швидкостей ланок за допомогою миттєвих центрів швидкостей (МЦС)

2.2 Визначення прискорень точок та кутових прискорень ланок за допомогою теореми про складання прискорень.

2.3 Основні теореми складеного руху точки

2.4 Визначення швидкостей точок та кутових швидкостей ланок за допомогою теореми про складання швидкостей при переносному обертальному русі

3.Аналіз результатів обчислень.

Список літератури

Постановка завдання. Опис підходу до вирішення завдання, формулювання математичної моделі і методів вирішення, використаних у курсовому проекті.

Дослідити рух плоского шарнірного багатоланкового механізму з одним ступенем свободи (Мал. 1). Розміри механізму відомі. Закон руху провідної ланки механізму, визначається рівнянням

де φ ₀ - початкове значення кута повороту; ω ₀ - кутова швидкість.

Визначити, використовуючи різні методи, закони руху всіх ланок механізму, кутові швидкості і прискорення ведених ланок, а також лінійні швидкості і прискорення всіх вузлових точок механізму і ланки, що рухається поступально. Всі величини визначити при заданому значенні кута повороту ведучої ланки φ _k.

Провести візуалізацію механізму, а також зобразити швидкості і прискорення всіх заданих точок механізму

Обчислити кутові координати, швидкості і прискорення ланок механізму здійснюють обертальні і плоськопараллельниє руху, а також закони руху, швидкості і прискорення всіх вузлових точок механізму при заданих значеннях кута повороту ведучої ланки φ _k.

Вихідні дані

Рис.1 схема механізму

Дано:

ОА = 22см АВ = 60см О ₁ D = 20см АС = 30см CD = 50см а = 40см

СК = 0,5 * CD = 25см АМ = 0,5 * АС = 15см

1. Аналітичний метод

1.1 Складання рівнянь геометричних зв'язків

Рис. 2. Розрахункова схема механізму

Зобразимо плоский механізм в довільному положенні (рис. 2).

В якості системи відліку приймемо праву декартову систему координат. Початок системи координат розташуємо в підшипнику O. Позитивні кути повороту в цьому випадку спрямовані проти годинникової стрілки.

Зобразимо кути повороту ланок , K = 1,2,3 - відраховуючи їх від горизонтальної осі Ox в позитивному напрямку.

До складу даного багатоланкового механізму входять:

• два кривошипа OA і O ₁ D

• два шотуна AB і CD

• повзун У

• нерухоме ланка ГО ₁

Кривошипи ОА і О ₁ D здійснюють обертальний рух навколо нерухомих осей перпендикулярних площині xOy і проходять через точки O і O ₁ відповідно. Шатуни AB і CD здійснюють плоскопараллельной рух в площині xOy. Повзун У здійснює зворотно-поступальний рух уздовж напрямної паралельної осі O x.

Для складання рівнянь геометричних зв'язків знайдемо точки механізму, траєкторії яких відомі. До цих крапок відносяться шарніри A, B і D. Точки A, D рухаються по колах радіусів OA, O ₁ D, відповідно, а повзун В - по прямолінійній траєкторії паралельної осі O x (Мал. 2).

Шарнір A належить одночасно шатуна AB і кривошипа OA, для якого відомий закон обертального руху і, отже, закон руху точки A визначений. Шарнір З належить одночасно шатуна AB і кривошипа CD, а шарнір D - шатуна CD і кривошипа O ₁ D.

Так як закон плоскопаралельного руху твердого тіла можна визначити за двома будь-яким точкам цього тіла, в якості базових точок, при складанні рівнянь геометричних зв'язків, приймемо точки B і D.

Побудуємо для цих точок векторні контури, за допомогою яких можна скласти рівняння геометричних зв'язків (рис. 3).

Рис.3 Векторні контури для точки В.

Ріс.3б Векторні контури для точки D.

Рівняння геометричних зв'язків у векторній формі будуть мати вигляд:

для точки B (рис. 3а)

(1.1)

для точки D (рис. 3 б)

(1.2)

Перетворимо (1.1) і (1.2) до вигляду:

(1.3)

тут - Вектор, який характеризує положення шарніра А щодо центру О _1. Проектуючи (1.3) на осі декартової системи координат, отримаємо рівняння геометричних зв'язків в координатній формі.

x _B = x _A + x _AB

y _B = y _A + y _AB

або в розгорнутому вигляді:

(1.4)

У вирівняних (1.4) задається функцією є закон обертання ведучого ланки φ (t), а визначаються функціями є φ ₁ (t), φ ₂ (t), φ ₃ (t), x _B (t).

Система (1.4), являє замкнуту систему рівнянь для визначення законів руху всіх ланок багатоланкового механізму.

Рішення рівнянь (1.4) можна знайти різними методами, як аналітичним, так і чисельним.

1.2 Визначення законів руху ланок механізму

Для знаходження законів руху ланок механізму в аналітичній

формі запишемо перші два рівняння системи (1.4) в наступному вигляді.

OA cosφ + AB cosφ ₁ = x _B

(1.5)

OAsinφ + ABsinφ ₁ = 0

Кутові координати ланок і переміщення ланки, які вчиняють поступальний рух, виражені в явному вигляді.

OAcosφ + ABcosφ ₁ = x _B (1.6)

=- 10,56 (1.7)

Тепер запишемо закон руху інших ланок механізму за допомогою третього і четвертого рівняння системи (1.4)

O ₁ Dcosφ ₃ - CDcosφ ₂ = O ₁ Acosα + ACcosφ ₁ = O ₁ Ccosα ₁

(1.8)

O ₁ Dsinφ ₃ - CDsinφ ₂ = O ₁ Asinα + ACsinφ ₁ = O ₁ Csinα ₁

Для знаходження кутових координат φ _2, φ ₃ наведемо рівняння (1.8) до вигляду:

O ₁ Dcosφ ₃ - CDcosφ ₂ = O ₁ Ccosα ₁

(1.8)

O ₁ Dsinφ ₃ - CDsinφ ₂ = O ₁ Csinα ₁

Висловимо додаткові невідомі величини для визначення кутів φ _2, φ _3.

Враховуючи, що довжина O ₁ A непостійна, визначимо її по теоремі косинусів

Обчислимо додатковий кут, який визначає положення ланки O ₁ A

Так само обчислимо додатковий кут, який визначає положення ланки O ₁ C

Враховуючи, що довжина O ₁ C непостійна, так само визначимо її по теоремі косинусів

Висловимо невідомі кутові координати, скориставшись відомої тригонометричної формулою cos ² + Sin ² = 1

Отримаємо

Так як cos γ ₂ є парною функцією кутового аргументу, то кут φ ₂ може мати два значення:

Φ ₂ = γ ₂ + α ₁ або φ ₂ = γ ₂ - α _1,

що відповідає двом становищем четирехзвенніка OA D O ₁ щодо O ₁ A при одній і тій же кутовий координаті провідної ланки φ.

Враховуючи початкове положення механізму приймаємо

(1.9)

Оскільки cosγ ₃ є парною функцією кутового аргументу, то кут φ ₃ може мати два значення

Φ ₃ = γ ₃ + α ₁ або φ ₃ = γ ₃ - α ₁

Що відповідає двом положенням четирехзвенніка OACO ₁ щодо O ₁ A при одній і тій же кутовий координаті провідної ланки φ.

Враховуючи початкове положення механізму, приймаємо

(1.10)

Рівняння (1.6), (1.7), (1.9), (1.10) дозволяють визначити кутові координати ланок здійснюють обертальні і плоськопараллельниє руху, а також закон руху ланки рухається поступально.

1.3 Визначення швидкостей і прискорень ланок

Для визначення швидкостей ланок механізму продиференціюємо по часу систему рівнянь (1.4. Враховуючи, що і, переносячи доданки з невідомими швидкостями в один бік, отримаємо

(1.11)

Дана система рівнянь є системою лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих швидкостей ланок. Уявімо цю систему рівнянь у матричній формі

(1.12)

Де

- Матриця коефіцієнтів лівих частин рівнянь

- Вектор невідомих швидкостей ланок

- Вектор правих частин рівнянь.

Рішення рівнянь (1.12) буде мати вигляд

(1.13)

Для визначення прискорень ланок механізму продиференціюємо по часу систему рівнянь (1.11). Враховуючи, що , , , і, переносячи доданки з невідомими прискореннями в один бік, отримаємо

Або в матричній формі

(1.14)

Де

- Вектор правих частин прискорень ланок

- Вектор невідомих прискорень ланок.

Рішення системи рівнянь (1.14) буде мати вигляд

(1.15)

Таким чином, рішення (1.13) дозволяють визначити швидкості всіх ланок механізму, а рішення (1.15) - прискорення ланок.

1.4 Визначення швидкостей і прискорень вузлових точок

Вузловими і задаються точками багатоланкового шарнірного механізму є, згідно з вихідними даними, точки: A, B, C, D, M, K. Закон руху, швидкість та прискорення точки B визначений раніше:

(1.16)

Для інших точок закони руху запишемо у векторній формі:

Точка А

Точка C

Точка M

Точка D

Туга До

або в проекціях на осі декартової системи координат

Точка А

Точка C

Точка M (1.17)

Точка D

Точка До

Диференціюванням за часом (1.17) визначаємо проекції швидкостей точок механізму на декартових осі координат, а також модулі і напрямки векторів швидкостей точок.

Точка А

Точка В

Точка С (1.18)

Точка M

Точка До

Диференціюючи за часом проекції швидкостей точок (1.18) визначаємо прискорення точок механізму:

Точка А

Точка C

Точка M

(1.18)

Точка D

Точка До

Співвідношення (1.6) - (1.19) представляють математичну модель кінематичного поведінки механізму, яка дозволяє визначити закони руху всіх ланок механізму, координати вузлових точок, а також швидкості і прискорення ланок і вузлових точок.

2. Геометричні методи

Розрахунок швидкостей і прискорень точок і ланок багатоланкового шарнірного механізму будемо проводити двома методами:

- За допомогою основних теорем кінематики плоского руху твердого тіла;

- За допомогою основних теорем кінематики складеного руху точки при переносному обертальному русі.

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПЛЕСКАТОГО РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА

Зобразимо механізм у заданому положенні (Мал. 5). при значенні кута повороту ведучої ланки ОА - = 150 °. у вибраному масштабі довжин - M _L.

Визначимо точки механізму, траєкторії і можливі напрямки швидкостей яких відомі.

Шарнір А належить шатуна АВ і кривошипа ОА, яка вчиняє обертальний рух навколо центру О. Кривошип ОА є провідною ланкою, кутова швидкість якого відома. Отже, траєкторія точки А - коло радіуса ОА та швидкість шарніра дорівнює

(2.1)

Точка В належить шатуна АВ і кривошипа O ₁ B, коїть зворотно поступальний рух уздовж горизонтальної направляющей.Следовательно, траєкторія точки В - пряма лінія і швидкість повзуна .

Шарнір D належить шатуна CD і кривошипа O 1 D, яка вчиняє обертальний рух навколо підшипника О1. Отже, траєкторія точки D - коло радіуса O 1 D і швидкість шарніра

2.1 Визначення швидкостей точок та кутових швидкостей ланок за допомогою миттєвих центрів швидкостей (МЦС)

Визначимо положення МЦС для ланок А B і CD. здійснюють плоске рух. Для цього з точки А проведемо перпендикуляр до швидкості v _A, а з точки В - перпендикуляр до можливого напрямку швидкості v _B. Точка перетину перпендикулярів - P _AB є МЦС ланки АВ для заданого положення механізму.

Для визначення МЦС для ланки CD проведемо перпендикуляр до швидкості і продовжимо пряму, що сполучає точку С з МЦС ланки АВ, до перетину з перпендикуляром до швидкості . Отримаємо точку Р _CD - миттєвий центр швидкостей для ланки CD.

Вимірюємо на кресленні відстані від вузлових точок механізму до МЦС відповідної ланки. У відповідність з вибраним масштабом довжин ці відстані рівні

AP _AB = 68,5 см BP _AB = 22,5 см

MP _AB = 54,5 см KP _CD = 23см

CP _AB = 42см DP _CD = 39см

CP _CD = 29см

Так як швидкість точки А відома (2.1). то миттєву кутову швидкість ланки АВ обчислюємо відповідно до виразу

Тоді

Напрямок миттєвої кутової швидкості ланки визначаємо по напрямку швидкості точки А при миттєвому обертанні ланки навколо МЦС. У даному випадку кутова швидкість спрямована за годинниковою стрілкою.

Модулі швидкостей точок С, В, і М дорівнюють

а напрямок швидкостей визначається напрямом обертання ланки АВ навколо МЦС Р _АВ.

Кутову швидкість ланки CD визначимо з співвідношень

Напрямок миттєвої кутової швидкості ланки визначаємо по напрямку швидкості точки С при миттєвому обертанні ланки навколо МЦС

За знайденою миттєвої кутової швидкості знайдемо миттєві швидкості точок K і D

Напрямок швидкостей визначається напрямом обертання ланки CD навколо МЦС Р _CD.

Залишилося визначити миттєву кутову швидкість ланки O 1 D сщгласно формулою

Напрямок визначаємо за напрямком вектора швидкості точки D.

Визначення швидкостей точок та кутових прискорень ланок за допомогою теореми про складання швидкостей

При невідомою кутовий швидкості твердого тіла, що здійснює плоскопараллельной рух, теорему про складання швидкостей можна застосовувати для тих точок ланки, у якого відомі: для однієї - модуль і напрям вектора швидкості, а для іншої - можливий напрям вектора швидкості, тобто траєкторія руху.

Так як для ланки АВ вектор швидкості шарніра А відомий і за модулем і але напряму (2.1), а для шарніра У відома траєкторія руху, запишемо теорему про складання швидкостей для точки В, прийнявши точку А за полюс:

(2.2)

де см / с, , - Швидкість полюса,

см / с, - Швидкість точки В при обертальному русі ланки АВ навколо полюса А (відносна швидкість точки В в поступальному переносному русі)

Зображуємо у вибраному масштабі швидкостей M _v (Рис 6) векторний трикутник швидкостей, відповідний рівнянню (2.2).

Відкладаємо в точці В вектор швидкості полюси - . З кінця вектара проводимо можливий напрям вектора - Пряму, перпендикулярну ланці АВ. З точки В проводимо напрям вектора до перетину з прямою, що визначає напрямок вектора в точці перетину даних прямих сходяться кінці невідомих векторів і .

Вимірюючи зазначені вектори, у відповідності з обраним масштабом швидкостей, отримуємо

1,5 см / с, 4,05 см / с

Кутова швидкість ланки АВ дорівнює

з

Так як кутова швидкість ланки знайдена, для точки С можна записати теорему про складання швидкостей, прийнявши точку А за полюс:

де см / с, ,

см / с, ,

Для знаходження швидкості зображуємо в точці С вектор швидкості полюси - , А з його кінця проводимо перпендикулярно АС вектор відносної швидкості (Мал. 6). Поєднуючи точку С з кінцем вектора , Знаходимо вектор швидкості точки С - . Після вимірювання отримаємо

= 2,75 см / с

Для точки M можна записати теорему про складання швидкостей, прийнявши точку А за полюс:

де см / с, ,

Для знаходження швидкості зображуємо в точці M вектор швидкості полюси - , А з його кінця проводимо перпендикулярно А B вектор відносної швидкості (Мал. 6). Поєднуючи точку M з кінцем вектора , Знаходимо вектор швидкості точки M - . Після вимірювання отримаємо

V _M = 3.7 см / с

Прийнявши точку С за полюс, застосуємо теорему про складання швидкостей до точки D ланки CD.

тут =? см / с, - Відносна швидкість точки D. Швидкості , визначаємо графічно, аналогічно методу, викладеному раніше, побудувавши в масштабі трикутник швидкостей (Мал. 6)

3.45 см / с, 4.6 см / с

Отже, кутова швидкість ланки CD дорівнює

з

Кутова швидкість ланки O 1 D дорівнює

Швидкість точки До обчислюємо за аналогією з визначенням швидкості точки М.

де см / с,

см / с, .

У цьому випадку (Рис.6)

2,1 см / с

Наступний метод, який є графічною інтерпретацією теореми про складання швидкостей, називається планом швидкостей. Особливістю методу є можливість швидкого визначення швидкості будь-якої точки механізму.

Побудуємо план швидкостей в масштабі M _{v 1} (Мал. 7).

З довільно вибраного полюса Про проводимо промінь Оа, що зображає у вибраному масштабі швидкість точки А - . Для визначення швидкості точки В через полюс Про проводимо пряму, паралельну швидкості ( ), А через крапку "а" - пряму, перпендикулярну АВ, тобто паралельну швидкості . Отримуємо крапку "b"; відрізок Ob визначає швидкість точки В, а відрізок ab - швидкість . Вимірюємо довжину променів Ob, ab і, користуючись масштабом швидкостей знаходимо

= 1,55 см / с,

= 4 см / с.

Для визначення кутової швидкості ланки АВ знайдемо з урахуванням обраного масштабу швидкостей ставлення

0.067 з .

Для визначення швидкості точки М ділимо відрізок ab плану швидкостей щодо

Промінь Про m зображує швидкість точки M - , А відрізок -Відносну швидкість . Користуючись масштабом швидкостей, отримуємо

3,7 см / с, 1 см / с.

Для визначення швидкості точки С добудовуємо відрізок ab в співвідношенні

Продовжуючи побудова плану швидкостей на Рис. 7, знаходимо швидкості точок , , , А також кутові швидкості ланок, .

2,75 см / с, 0.175 з

= 3. 5 см / с, 0,092 з

= 2.1 см / с.

2.2 Визначення прискорень точок та кутових прискорень ланок за допомогою теореми про складання прискорень

Прискорення точок і кутові прискорення ланок, що здійснюють плоскопараллельной рух, будемо визначати з використанням теореми про складання прискорень в плоскому русі. Дану теорему реалізуємо графічно, у вигляді окремих багатокутників прискорень на схемі механізму (Мал. 8) і з допомогою плану прискорень (Мал. 9), побудованих в масштабі прискорень М _A. І М _А1 відповідно.

Обертання провідної ланки ОА є рівномірним з кутовою швидкістю = / 15 с , Тому повне прискорення точки А одно її доцентрової складової

, см / с , (2.3)

Визначення прискорень починаємо з точки _В; траєкторія якої відома. Взявши за полюс точку А, застосуємо, з урахуванням (2.3), теорему про складання прискорень до точки В ланки АВ:

(2.4)

де - Прискорення точки В при обертальному русі ланки АВ

навколо полюса А.

- Доцентрове прискорення точки В при обертальному

русі ланки АВ навколо полюса А.

- Обертальний прискорення точки В при обертальному русі ланки АВ навколо полюса А.

Точка В здійснює зворотно поступальний рух уздовж горизонтально направляющей.Следовательно, нам відома пряма, на якій лежить вектор прискорення точки В. Знайдемо прискорення:

= см / с ,

= см / с ,

Побудувавши в точці В механізму замкнутий багатокутник прискорень на Рис. 8 в масштабі прискорень, вимірюємо значення невідомих векторів:

= 0,44 см / с , 0.63 см / с .

Побудова багатокутника прискорень проводимо наступним чином:

З точки В проводимо, в масштабі прискорень, вектор прискорення полюса

.

З кінця вектора відкладаємо паралельно ВА вектор прискорення , З кінця якого проводимо лінію АВ, визначальну можливий напрям вектора .

З точки В, у напрямі прямої OB відкладаємо лінію визначальну можливий напрям вектора .

Дана лінія проводиться до перетину з прямою, перпендикулярної АВ, що характеризує напрям вектора .

Точка перетину цих прямих є точкою, в якій сходяться кінці векторів і .

Кутові прискорення ланок визначаємо за формулами

0,00733 з ,

Напрямки кутових прискорень, які визначаємо за напрямком вектора , Показано на Рис. 8.

Тепер знаючи кутове прискорення ланки АВ ми можемо знайти прискорення точок С і М. Спочатку знайдемо прискорення точки С.

Взявши за полюс точку А, застосуємо, з урахуванням (2.3), теорему про складання прискорень до точки З ланки АС:

(2.6)

де - Прискорення точки С при обертальному русі ланки АС

навколо полюса А.

- Доцентрове прискорення точки С при обертальному

русі ланки АС навколо полюса А.

- Обертальний прискорення точки С при обертальному русі ланки АС навколо полюса А.

Вирішуємо векторне рівняння (2.6) з урахуванням обраного масштабу прискорень, де -

= см / с ,

= см / с ,

Отримаємо см / с ²

Аналогічно для точки М

= см / с ,

= см / с ,

см / с

Прискорення точки D ланки CD визначимо з використанням теореми про складання прискорень, прийнявши точку С за полюс

Для точки D ланки O ₁ D маємо

де - Доцентрове прискорення точки D при обертальному русі ланки O ₁ D;

- Обертальний прискорення точки D при обертальному русі ланки O ₁ D.

Прирівнюючи (2.6) і (2.7), отримаємо векторне рівняння, яке вирішуємо графічним методом з урахуванням обраного масштабу прискорень (Мал. 8):

Тут

см / с ²

см / с ²

см / с ²

см / с ²

Побудова багатокутника прискорень проводимо наступним чином:

З точки D проводимо, в масштабі прискорень, вектор прискорення полюса , З кінця якого проводимо лінію CD, визначальну можливий напрям вектора .

З точки D, у напрямі прямої O 1 D, відкладаємо вектор , А з його кінця лінію перпендикулярну O 1 D визначальну можливий напрям вектора .

Дана лінія проводиться до перетину з прямою, перпендикулярної CD, що характеризує напрям вектора .

Точка перетину цих прямих є точкою, в якій сходяться кінці векторів . Вимірюючи невідомі вектори, отримуємо значення прискорень

Потім обчислюємо кутове прискорення ланки CD

Обчислюємо кутове прискорення ланки O 1 D

Прискорення точки До знаходимо аналогічно прискорень точок С і М, але прийнявши за полюс точку З

Отримуємо

Наступний метод, який є графічною інтерпретацією теореми про складання прискорень, називається планом прискорень. Особливістю методу є можливість швидкого визначення прискорення будь-якої точки механізму.

Побудуємо план прискорень в масштабі M _А1 (Мал. 9).

Побудова плану прискорень проводимо наступним чином: З довільної точки О проводимо, в масштабі прискорень М _А, відрізок оа, що визначає модуль і напрям вектора прискорення полюса . З кінця вектора _А ^ц відкладаємо вектор прискорення _ВА ^ц, з кінця якого проводимо лінію АВ, визначальну можливий напрям вектора .

З точки О, у напрямі прямої ОВ, відкладаємо лінію, що визначає можливий напрям вектора .

Дана лінія проводиться до перетину з прямою, перпендикулярної АВ, що характеризує напрям вектора .

Точка перетину цих прямих «b» є, точкою, в якій сходяться кінці векторів і . Відрізок про b визначає модуль і напрям вектора прискорення точки В. Вимірюючи довжини відрізків, знаходимо, з урахуванням обраного масштабу

Для знаходження прискорення точки М і С ланки АВ розділимо відрізок а b точками m і з у співвідношенні

Вимірюючи довжини відрізків om і ос, обчислюємо, з використанням масштабу прискорень, прискорення

= 0.84 см / с і = 0.78см / с ²

Трикутник oam на плані прискорень визначає теорему про складання прискорень для точки М

Кутові прискорення ланки АВ визначимо за формулою

Для знаходження прискорення точки D побудуємо багатокутник прискорень, аналагічно побудови для точки В. Вимірявши довжини відрізків,

отримаємо

Прискорення точки С дорівнює

Для знаходження прискорення точки D побудуємо багатокутник прискорень аналогічно побудові для точки В. Вимірявши довжини відрізків, отримаємо

Кутове прискорення ланки CD одно

см / с ²

Обчислюємо кутове прискорення ланки O 1 D

Для знаходження прискорення точки До ланки CD розділимо відрізок cd точкою "k" у співвідношенні

Вимірюючи довжину відрізка ok, обчислюємо, з використанням масштабу прискорень, прискорення

= 0.56 см / с .

2.3 Основні теореми складеного руху точки

Зобразимо механізм у заданому положенні при значенні кута повороту ведучої ланки ОА - f _к - 150, в обраному масштабі довжин - М _L.

Визначимо, вимірявши в масштабі довжини М _L, положення вузлових точок базових механізмів;

ОА = 22см ВВ = 40см О ₁ D = 40см

ОМ = 9,3 см О ₁ С = 36см AD = 54см

ОС = 12см О ₁ К = 15см

Для визначення швидкостей і прискорень цих точок, а також кутових швидкостей і прискорень ланок представимо плоский рух шатунів AB і CD у вигляді двох обертань.

В якості переносного обертання приймемо:

Для шатуна АВ - обертання разом з кривошипом ОА навколо нерухомої осі OZ з переносною кутовий швидкістю

Для шатуна З, D - обертання разом з кривошипом O ₁ D навколо нерухомої осі O ₁ z з невідомої поки переносний кутовий швидкістю

Відносним обертанням в цьому випадку є:

Для шатуна АВ - обертання ланки навколо рухомий осі Az з відносною кутовий швидкістю ;

Для шатуна CD - обертання ланки навколо рухомий осі Cz з відносною кутовий швидкістю .

2.4 Визначення швидкостей точок та кутових швидкостей ланок за допомогою теореми про складання швидкостей при переносному обертальному русі

Так як закон руху кривошипа ОА заданий, а для повзуна У відома траєкторія руху, обчислення швидкостей почнемо з точки В, вектор швидкості якої, визначимо згідно теоремі про складання швидкостей при складеному русі:

(2.6)

Де

- Переносна швидкість т. У

- Відносна швидкість т. У

- Абсолютна швидкість т. В.

Напрямок переносний швидкості , Визначається напрямом кутовий переносний швидкості.

Рішення рівняння (2.6) знайдемо графічно, побудувавши векторний трикутник швидкостей.

Для цього, з точки В проводимо вектор переносний швидкості - .

З кінця вектора проводимо лінію, перпендикулярну ланці АВ, що характеризує можливий напрям вектора відносної швидкості .

З точки В проводимо паралель до кривошипа ОВ, яка визначає можливий напрямок абсолютної швидкості шарніра У, до перетину з прямою, що характеризує напрям вектора .

Точка перетину даних прямих визначає кінці невідомих векторів відносної і абсолютної швидкості шарніра В.

Вимірюючи зазначені вектори, у відповідності з обраним масштабом швидкостей, отримуємо

= 1.5см / с, = 8.5см / с,

Напрямок відносної кутової швидкості шатуна АВ, що визначається напрямом відносної швидкості точки В - .

Так як відносна і переносна кутові швидкості спрямовані в різні сторони, то абсолютна кутова швидкість ланки АС дорівнює:

Знак «+» у величини кутової швидкості шатуна АВ показує, що спрямоване проти годинникової стрілки. Миттєвий центором обертання ланки АВ лежить на прямій ОА і його положення визначається співвідношенням

Вирішуючи дане рівняння відносно невідомої АР, отримаємо

см

Величина АР визначає положення миттєвого центру обертання ланки АВ МЦС при заданому положенні механізму.

Знаючи величину і напрям відносної кутової швидкості ланки АВ, швидкість точки М знайдемо з рівняння

(2.7)

Де

- Переносна швидкість Т. М.

- Відносна швидкість т. М

- Абсолютна швидкість точки М.

Напрямок векторів переносний і відносній швидкостей точки М показано на Рис.9 Рішення рівняння (2.7) знайдемо, побудувавши векторний трикутник швидкостей. Виміром отримано

V _M = 3,65 см / с.

Швидкість точки С знайдемо з рівняння

(2.9)

де см / с, -Переносна швидкість точки С,
см / с, -Відносна швидкість точки С,

см / с-абсолютна швидкість точки С.

Знаючи швидкість точки С, ми побудуємо її переносну і відносні швидкості: . Побудувавши даний трикутник ми запишемо значення цих швидкостей:

Висловимо кутові швидкості ланок через знайдені нами швидкості точки С:

Кутову швидкість ланки Про D знайдемо за формулою

з .

Напрямок кутовий швидкості за годинниковою стрілкою у бік швидкості .

Швидкість точки D знайдемо з рівняння

(2.8)

Напрямок відносної кутової швидкості шатуна З D, обумовлений напрямком відносної швидкості точки С - , Показано на Рис. 9. Так як відносна і переносна кутові швидкості спрямовані в різні сторони, то абсолютна кутова швидкість ланки CD дорівнює

= = - =- 0,09266 з .

Знак "-" у величини кутової швидкості шатуна CD показує, що направлено за годинниковою стрілкою. Миттєвий центр обертання ланки CD лежить перпендикулярно і його положення визначається співвідношенням

Величина O 1 P _CD визначає положення миттєвого центру обертання ланки З D (МЦС) при заданому положенні механізму.

Знаючи величину і напрям відносної кутової швидкості ланки CD, швидкість точки K знайдемо з рівняння

(2.9)

Де - Переносна швидкість точки K

см / с, -Відносна швидкість точки K,

см / с

Напрямок векторів переносний і відносній швидкостей точки K показано на Рис.9.

см / с.

Визначення прискорень точок та кутових прискорень ланок за допомогою теореми про складання прискорень при переносному обертальному русі

Так як для шарніра У відома траєкторія руху, а закон руху кривошипа ОА заданий, обчислення прискорень починаємо з точки В. Абсолютне прискорення точки В визначимо згідно теоремі про складання прискорень при непоступательном переносному русі:

(2.10)

Де - Переносне прискорення точки,

- Відносне прискорення точки,

прискорення Коріоліса,

см / с ²

= 1,7528 см / с , - Переносне доцентрове прискорення точки

тому що - Переносне обертальний прискорення точки,

- Відносне обертальний прискорення точки,

= 1,2042 см / с - Відносне доцентрове прискорення точки,

Напрямок прискорення Коріоліса , Яке можна визначити за правилом векторного добутку векторів або методом Жуковського, показано на Рис. 11.

У рівнянні (2.10) враховано, що переносне та відносне руху шатуна АВ є обертаннями навколо осей Oz і Az відповідно.

Рішення рівняння (2.10) знайдемо, побудувавши векторний багатокутник прискорень (Мал. 11).

Для цього, з точки В проводимо в бік точки О вектор переносного доцентровий прискорення - .

З кінця вектора проводимо паралельно АВ вектор відносного доцентровий прискорення - .

З кінця вектора відкладаємо вектор прискорення Коріоліса , З кінця якого проводимо лінію AB, визначальну можливий напрям вектора .

З точки В, у напрямі прямої ОВ, відкладаємо вектор можливого напрямку вектора .

У точці перетину цих прямих сходяться кінці векторів і . Вимірюючи дані вектори в масштабі прискорень, отримаємо

= 0.45 см / с , = 0.65 см / с .

Кутові прискорення ланок визначаємо за формулами

= 0.0075с ^-2

Напрямки кутових прискорень, які визначаємо за напрямком векторів і відповідно, показані на рис.11.

Так як кутове відносне прискорення шатуна AB визначено, знайдемо прискорення точки M:

(2.11)

, - Прискорення Коріоліса,

см / с ²

- Переносне доцентрове прискорення точки,

, Т. к. w _AB ^e = const - переносний обертальний прискорення точки,

| | A М-відносне доцентрове прискорення точки,

, - Відносне обертальний прискорення точки.

Зображуємо багатокутник прискорень для точки М (рис.11). Вимірюючи невідомий вектор прискорення , Отримаємо

Аналогічно для точки С маємо

(2.12)

, - Прискорення Коріоліса,

- Переносне доцентрове прискорення точки,

, Т. к. w _AB ^e = const - переносний обертальний прискорення точки,

| | A С-відносне доцентрове прискорення точки,

, - Відносне обертальний прискорення точки.

Зображуємо багатокутник прискорень для точки С (рис.12). Вимірюючи невідомий вектор прискорення , Отримаємо

Тому що крапка З належить одночасно шатуна АВ і CD, то прискорення точки С можна записати наступним чином:

(2.12)

, - Прискорення Коріоліса,

- Переносне доцентрове прискорення точки,

, - Переносний обертальний прискорення точки,

| | D З-відносне доцентрове прискорення точки,

, - Відносне обертальний прискорення точки.

- Повне прискорення точки С

Зображуємо багатокутник прискорень для точки С (рис.13). Вимірюючи невідомий вектора прискорень і , Отримаємо

Знаючи прискорення, обчислимо кутові прискорення за формулами:

Повне кутове прискорення ланки CD знайдеться зі співвідношення:

Знайдемо прискорення точки ДО із всіх відомих нам вже величин, побудувавши багатокутник прискорень за формулою:

(2.11)

, - Прискорення Коріоліса,

см / с ²

- Переносне доцентрове прискорення точки,

- Переносне обертальний прискорення точки,

- Відносне доцентрове прискорення точки,

, - Відносне обертальний прискорення точки.

Зображуємо багатокутник прискорень для точки К. Вимірюючи невідомий вектор прискорення, отримаємо

3.Аналіз результатів обчислень

C ведемо результати обчислень, отримані різними методами, в таблиці. Точність обчислень проведених графічними методами будемо оцінювати позитивною величиною відносної похибки δ, визначається співвідношенням

Тут x - досліджувана величина, x _T - точне значення досліджуваної величини.

Для оцінки точності швидкостей вузлових точок і кутових швидкостей ланок заданого механізму складемо таблицю