Короткий доказ гіпотези Білля

Короткий доказ гіпотези Білля
Гіпотеза Білля формулюється наступним чином: невизначений рівняння:
А ^x + В ^y = С ^z           / 1 /
не має розв'язку в цілих позитивних числах А, В, С, x, y і z за умови, що x, y і z більше 2.
Суть гіпотези Білля не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
А ^x = З ^z - У ^y           / 2 /
Рівняння / 2 / розглядаємо як параметричне рівняння з параметром A і змінними B і С.
Рівняння / 2 / запишемо в наступному вигляді:
А ^x = (З ^{0,5 z) 2} - (В ^{0,5 y) 2} / 3 /
Позначимо:
У ^{0,5 y} = V / 4 /
З ^{0,5 z} = U / 5 /
Звідси:
У ^y = V ² / 6 /
З ^z = U ² / 7 /
В = / 8 /
С = / 9 /
Тоді з рівнянь / 2 /, / 6 / і / 7 / слід:
А ^x = С ^z - У ^y = U ^{2-V 2} / 10 /
Рівняння / 10 / згідно з відомою залежністю для різниці квадратів двох чисел запишемо у вигляді:
А ^x = (UV) ∙ (U + V) / 11 /
Для доказу гіпотези Білля використовуємо метод заміни змінних. Позначимо:
UV = X / 12 /
З рівняння / 12 / маємо:
U = V + X / 13 /
З рівнянь / 11 /, / 12 / і / 13 / маємо:
А ^x = X · (V + X + V) = X (2V + X) = 2VХ + X ² / 14 /
З рівняння / 14 / маємо:
А ^x - X ² = 2VХ / 15 /
Звідси:

V = / 16 /
З рівнянь / 13 / і / 16 / маємо:
U = / 17 /
З рівнянь / 8 /, / 9 /, / 16 / і / 17 / маємо:
B = / 18 /
C = / 19 /
Алгебраїчний вираз включає в собі зведення чисел у ступінь, віднімання одного числа з іншого і розподіл їх різниці на число.
Алгебраїчний вираз включає в собі зведення чисел у ступінь, їх додавання і розподіл суми цих чисел на число.
З аналізу цих алгебраїчних виразів випливає, що за допомогою вказаних математичних дій не можна отримати числа, рівні і відповідно, тобто:
; / 20 /
, / 21 /
де: S і R - Повинні бути цілими числами.
Тому відповідно до рівняннями / 18 /, / 19 /, / 20 / і / 21 /:
- Дробове число;
- Дробове число.
Таким чином, числа В і С - дробові числа.
Отже, гіпотеза Білля немає рішення на цілих позитивних числах.