Короткий доказ гіпотези Біля
Гіпотеза Біля формулюється наступним чином: невизначений рівняння:А x + В y = С z / 1 /
не має розв'язку в цілих позитивних числах А, В, С, x, y і z за умови, що x, y і z більше 2.
Суть гіпотези Біля не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
А x = С z - У y / 2 /
Рівняння / 2 / розглядаємо як параметричне рівняння з параметром A і змінними B і С.
Рівняння / 2 / запишемо в наступному вигляді:
А x = (С 0,5 z) 2 - (В 0,5 y) 2 / 3 /
Позначимо:
У 0,5 y = V / 4 /
З 0,5 z = U / 5 /
Звідси:
У y = V 2 / 6 /
З z = U 2 / 7 /
В =
С =
Тоді з рівнянь / 2 /, / 6 / і / 7 / слід:
А x = З z-В y = U 2-V 2 / 10 /
Рівняння / 10 / згідно з відомою залежністю для різниці квадратів двох чисел запишемо у вигляді:
А x = (UV) ∙ (U + V) / 11 /
Для доказу гіпотези Біля використовуємо метод заміни змінних. Позначимо:
UV = X / 12 /
З рівняння / 12 / маємо:
U = V + X / 13 /
З рівнянь / 11 /, / 12 / і / 13 / маємо:
А x = X · (V + X + V) = X (2V + X) = 2VХ + X 2 / 14 /
З рівняння / 14 / маємо:
А x - X 2 = 2VХ/15 /
Звідси:
V =
З рівнянь / 13 / і / 16 / маємо:
U =
З рівнянь / 8 /, / 9 /, / 16 / і / 17 / маємо:
B =
C =
З рівнянь / 18 / і / 19 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа А на число X, тобто число X має бути одним із множників, що входять до складу множників числа А. Іншими словами, число А має дорівнювати:
A = N ∙ X, / 20 /
де N - просте чи складене ціле позитивне число.
З рівнянь / 18 / і / 19 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є також однакова парність чисел A і X: обидва числа повинні бути парними або обидва непарними.
З рівнянь / 18 /, / 19 / і / 20 / слід:
В =
C =
Позначимо:
P =
Q =
Тоді:
B =
С =
З рівнянь / 23 / і / 24 / маємо:
Q =
Таким чином, з рівнянь / 26 / і / 27 / слід:
С =
З аналізу рівнянь / 25 / і / 28 / випливає, що оскільки різниця між числами P і Q дорівнює всього лише:
Q - P = P + 1 - P = 1, / 29 /
то щонайменше одне з чисел В або С є дробовим числом.
Припустимо, що кількість В - ціле число.
ПРИКЛАДИ: X = 3 3 = 27; P = 5 3 = 125; y = 6.
За формулою / 25 / маємо:
B =
Тоді:
при z = 6: З =
при z = 5: С =
при z = 4: С =
при z = 3: С =
при z = 7: С =
Очевидно, що якщо (a m) 2 = a 2 m, то (a m + 1) 2 ≠ b 2 m,
де: a - ціле число;
b - ціле число.
Таким чином, одне з чисел В або С - дробове число. Отже, гіпотеза Біля немає рішення на цілих позитивних числах.