Класифікації гіперболічних диференціальних рівнянь в приватних похідних

Зміст

Введення

1. Гіперболічні рівняння як підклас диференціальних рівнянь в приватних похідних. Класифікація рівнянь в приватних похідних

2. Класифікація рівнянь гіперболічного типу в контексті класифікації рівнянь математичної фізики

2.1 Хвильове рівняння

2.2 Рівняння теплопровідності

2.3 Інт е гро-дифференци а нений уравно е ня

3. Застосування різних методів рішення в залежності від видів гіперболічних рівнянь

3.1 Явна різницева схема

3.2 Неявна різницева схема

Висновок

Список літератури

Введення

Ця курсова робота присвячена класифікації гіперболічних диференціальних рівнянь в приватних похідних.

Актуальність тематики дослідження обумовлена ​​широким колом практичних додатків гіперболічних рівнянь.

Метою цієї курсової роботи є приведення класифікації гіперболічних диференціальних рівнянь в приватних похідних.

Завданнями роботи є:

1. Розглянути класифікацію гіперболічних рівнянь в рамках загальної класифікації рівнянь математичної фізики.

2. Привести власне класифікацію гіперболічних диференціальних рівнянь в приватних похідних.

3. У зв'язку з наведеною класифікацією гіперболічних диференціальних рівнянь в приватних похідних описати застосування методів рішення рівнянь.

Вивченням диференціальних рівнянь в приватних похідних займається математична фізика. Основи теорії цих рівнянь вперше були викладені в знаменитому «інтегральному численні» Л. Ейлера.

Класичні рівняння математичної фізики є лінійними. Особливість лінійних рівнянь полягає в тому, що якщо U і V - два рішення, то функція aU + bV за будь-яких постійних a і b знову є рішенням. Ця обставина дозволяє побудувати спільне рішення лінійного диференціального рівняння з фіксованого набору його елементарних рішень і спрощує теорію цих рівнянь.

Сучасна загальна теорія диференціальних рівнянь займається головним чином лінійними рівняннями і спеціальними класами нелінійних рівнянь. Основним методом вирішення нелінійних диференціальних рівнянь в приватних похідних виступає чисельне інтегрування.

Коло питань математичної фізики тісно пов'язаний з вивченням різних фізичних процесів. Сюди відносяться явища, що вивчаються в гідродинаміці, теорії пружності, електродинаміки і т.д. Виникаючі при цьому математичні завдання містять багато спільних елементів і складають предмет математичної фізики.

Постановка задач математичної фізики, будучи тісно пов'язаної з вивченням фізичних проблем, має свої специфічні риси. Так, наприклад, початкова та кінцева стадії процесу носять якісно різний характер і вимагають застосування різних математичних методів.

1. Гіперболічні рівняння як підклас диференціальних рівнянь в приватних похідних. Класифікація рівнянь в приватних похідних

Диференціальні рівняння в приватних похідних являють собою одну з найбільш складних і одночасно цікавих завдань обчислювальної математики. Ці рівняння характеризуються тим, що для їх вирішення не існує єдиного універсального алгоритму, і більшість завдань вимагає свого власного особливого підходу. Рівняннями в приватних похідних описується безліч різноманітних фізичних явищ, і з їх допомогою можна з успіхом моделювати найскладніші явища і процеси (дифузія, гідродинаміка, квантова механіка, екологія і т. д.).

Диференціальні рівняння в приватних похідних вимагають знаходження функції не однією, як для ОДУ, а декількох змінних, наприклад, f (х, у) або f (x, t). Постановка завдань включає в себе саме рівняння (або систему рівнянь), що містить похідні невідомої функції по різних змінних (приватні похідні), а також певну кількість крайових умов на межах розрахункової області.

Незважаючи на те, що Mathcad має досить обмеженими можливостями по відношенню до рівнянь в приватних похідних, в ньому є кілька вбудованих функцій. Вирішувати рівняння в приватних похідних можна і шляхом безпосереднього програмування користувальницьких алгоритмів.

Постановка завдань для рівнянь в приватних похідних включає визначення самого рівняння (або системи кількох рівнянь), а також необхідної кількості крайових умов (число і характер завдання яких визначаються специфікою рівняння). По своїй назві рівняння повинні містити приватні похідні невідомої функції та (або кількох функцій, якщо рівнянь кілька) з різних аргументів, наприклад, просторової змінної х і часу t. Відповідно, для вирішення завдання потрібно обчислити функцію декількох змінних, наприклад, u (x, t) в деякій області визначення аргументів 0 <x <L і 0 <t <T. Граничні умови визначаються як задані тимчасові залежності функції і, або похідних цієї функції, на кордонах розрахункової області 0 і L, а початкові - як задана і (х, 0).

Самі рівняння в приватних похідних (кілька умовно) можна розділити на три основні типи:

• параболічні - містять першу похідну по одній змінній і другу - за іншою, причому всі ці похідні входять в рівняння з однаковим знаком;

• гіперболічні-містять першу похідну по одній змінній і другу - за іншою, що входять в рівняння з різними знаками;

• еліптичні - містять тільки другі похідні, причому одного знака.

Деякі складніші рівняння не можна однозначно підігнати під наведену класифікацію, тоді говорять про гібридні типах рівнянь.

Будемо використовувати як приклад дуже наочне і має різні, від очевидних до найнесподіваніших, рішення рівняння теплопровідності.

Двовимірне динамічне рівняння

Розглянемо наступне параболічне рівняння в приватних похідних, залежне від трьох змінних - двох просторових х і у, а також від часу t:

, (1)

Вираз у дужках у правій частині рівняння (суму другого просторових похідних функції і часто, заради стислості, позначають за допомогою оператора Лапласа: Δu).

Це рівняння називається двовимірним рівнянням теплопровідності або, по-іншому, рівнянням дифузії тепла. Воно описує динаміку розподілу температури u (x, y, t) на плоскій поверхні (наприклад, на металевій пластині) залежно від часу (рис. 1). Фізичний зміст коефіцієнта про, який, взагалі кажучи, може бути функцією як координат, так і самої температури полягає в завдання швидкості перетікання тепла від більш нагрітих областей в менш нагріті. Функція φ (x, y, t, u) описує приплив тепла ззовні, тобто джерела тепла, які також можуть залежати як від просторових координат (що задає локалізацію джерел), так і від часу і від температури і.

Рис. 1. Фізична модель, що описується двовимірним рівнянням теплопровідності

Для того щоб правильно поставити крайову задачу для двовимірного рівняння теплопровідності, слід визначити наступні додаткові умови:

• граничні умови, тобто динаміку функції u (x, y, t) і (або) її похідних на кордонах розрахункової області;

• початкова умова, тобто функцію u (х, у, t).

Якщо розглядається не одне рівняння в приватних похідних, а система рівнянь, то відповідні початкові і граничні умови повинні бути поставлені для кожної з невідомих функцій.

Стаціонарне двовимірне рівняння

Окремий випадок рівняння теплопровідності визначає стаціонарну, тобто не залежну від часу, завдання. Стаціонарне рівняння описує фізичну картину розподілу температури по пластині, що не змінюється з часом. Така картина може виникнути за умови, що стаціонарне джерело тепла діє досить тривалий час, і перехідні процеси, викликані його включенням, припинилися. Приклад чисельного рішення такого рівняння зображений на рис. 2 в вигляді поверхні u (х, у).

Рис. 2. Рішення стаціонарного двовимірного рівняння теплопровідності

Як нескладно побачити, якщо шукана функція не залежить від часу, то приватна похідна за часом в лівій частині рівняння дорівнює нулю, і саме рівняння можна переписати (переобозначив заради спрощення φ <-φ / D) наступним чином:

(2)

Отримане рівняння, згідно класифікації попереднього розділу, є еліптичним. Його називають рівнянням Пуассона, а для його вирішення в Matcad передбачено дві вбудовані функції. Якщо, до того ж, джерела дорівнюють нулю, то рівняння (2), яка набирає вид Δu = 0, називають рівнянням Лапласа.

Одномірне динамічне рівняння

Припустимо, що ми розглядаємо завдання розподілу тепла не по плоскій поверхні, а по подовженому тілу типу металевого стержня (рис. 3). У цьому випадку залежність від координати у в загальному рівнянні теплопровідності пропадає, і виходить одномірне рівняння:

(3)

Одномірне рівняння набагато простіше двовимірного, оскільки обсяг обчислень для реалізації алгоритму його чисельного рішення не так великий. Типове рішення одновимірного рівняння дифузії тепла з коефіцієнтом дифузії о = 2, нульовим джерелом ф = о і початковим розподілом температури у формі нагрітої центральної області стрижня показано (у вигляді графіка поверхні) на рис. 3 та 4.

Рис. 3. Фізична модель одновимірного рівняння теплопровідності

Рис. 4. Рішення одновимірного рівняння теплопровідності

Лінійне і нелінійне рівняння

Якщо придивитися до рівняння дифузії тепла уважніше, то можна умовно розділити практичні випадки його використання на два типи.

• Лінійна задача - якщо коефіцієнт дифузії про не залежить від температури і і, крім того, якщо джерело тепла ф або також не залежить від і, або залежить від і лінійно. У цьому випадку невідома функція u (x, t) і всі її похідні входять в рівняння тільки в першому ступені (лінійно).

• Нелінійна задача - якщо рівняння має нелінійну залежність від u (x, t), тобто або коефіцієнт дифузії залежить від і, і (або) джерело тепла нелінійно залежить від і.

Рішення лінійних рівнянь в приватних похідних, як правило, виходять цілком передбачуваними, і їх часто можна отримати аналітично (цим проблемам присвячені відповідні розділи науки, званої математичної фізикою). У разі рівняння теплопровідності лінійна завдання описує фізично очікуване рішення, що виражає охолодження пластини або стрижня у формі перетікання тепла від нагрітого центру до холодної периферії.

Нелінійні рівняння, навпаки, можуть демонструвати найнесподіваніші рішення, причому в переважній більшості практичних завдань їх можна одержати тільки чисельно, а ніяк не аналітично.

Різні лінійні і нелінійні варіанти даного рівняння теплопровідності описують різні моделі фізичних середовищ, які характеризуються певними залежностями D (u) і ф (и). Зокрема, для металів в більшості випадків можна вважати, що D = const, тоді як для плазми є специфічна залежність коефіцієнта дифузії від температури.

Зворотне рівняння теплопровідності

Чудовими властивостями володіє так зване зворотне рівняння дифузії тепла, яке виходить шляхом заміни у вихідному (прямому) рівнянні змінної t на-t. Згідно постановці завдання, зворотне рівняння теплопровідності описує реконструкцію динаміки профілю температури остигаючого стрижня, якщо відомо початкова умова у вигляді профілю температури в деякий момент часу після початку охолодження. Таким чином, потрібно визначити, як відбувалося охолодження стрижня. Ми обмежимося найпростішим лінійним рівнянням з D = const без джерел тепла:

(4)

Це рівняння гіперболічного типу і воно, незважаючи на уявну близькість до розглянутих варіантів рівняння теплопровідності, володіє чудовими властивостями.

Якщо спробувати здійснити розрахунок зворотного рівняння дифузії тепла по тим же самим алгоритмами, що і для звичайних, то ми отримаємо свідомо нефізічное рішення. Воно показано на рис. 5 у вигляді профілів розподілу температури для декількох послідовних моментів часу.

Рис. 5. Чисельне рішення зворотного рівняння теплопровідності дає абсолютно нефізічную картину динаміки температури

Як видно, рішення виражається в появі все більш швидких просторових осциляції профілю температури для кожного нового моменту часу. Дуже суттєво, що таке рішення є не проявом нестійкості чисельного алгоритму, а визначається специфікою самого завдання.

Виявляється, що зворотне рівняння теплопровідності належить до досить широкого класу задач, званих некоректними. Некоректні завдання не можна вирішувати стандартними методами, а для того, щоб з ними справитися (тобто, щоб отримати осмислене фізичне рішення), доводиться дещо змінювати саму їх постановку, вводячи в неї додаткову апріорну інформацію про будову рішення.

2. Класифікація рівнянь гіперболічного типу в контексті класифікації рівнянь математичної фізики

Уравно е ня математ і чеський ф і зікі, диференціальні рівняння з приватними похідними, а також деякі родинні рівняння інших типів (інтегральні, інтегро-диференціальні і т.д.), до яких призводить математичний аналіз фізичних явищ. Для теорії рівнянь математичної фізики характерна постановка завдань у такому вигляді, як це необхідно при дослідженні фізичного явища. Коло рівнянь математичної фізики з розширенням сфери застосування математичного аналізу також неухильно розширюється. При систематизації отриманих результатів з'являється необхідність включити в теорію В. м. ф. рівняння і завдання більш загального вигляду, ніж ті, які з'являються при аналізі конкретних явищ, а проте і для таких рівнянь і завдань характерно те, що їх властивості допускають більш-менш наочне фізичне тлумачення.

Класифікація рівнянь математичної фізики. Значна частина рівнянь математичної фізики складають лінійні рівняння з приватними похідними 2-го порядку загального вигляду:

, (5)

де всі коефіцієнти a _ij (a _ij = a _ij), b _i, с і права частина f є задані функції незалежних змінних x _1, x _2, .., х _п (n ³ 2), а u - шукана функція тих ж аргументів. Властивості розв'язків рівняння (5) істотно залежать від знаків коренів (алгебраїчного щодо l) рівняння

= 0, (6)

і тому класифікація рівнянь (5) проводиться відповідно до цих знаками. Якщо все n коренів рівняння (6) мають однаковий знак, то говорять, що рівняння (5) належить до еліптичному типу; якщо один з коренів має знак, протилежний знаку інших n - 1 коріння, - до гіперболічного типу, нарешті, якщо рівняння ( 6) має один нульовий корінь, а інші коріння однакового знаку, - до параболічного типу. Якщо коефіцієнти a _ij постійні, то рівняння (5) належить до певного типу незалежно від значень аргументів, коли ж ці коефіцієнти залежать від x _1, .., х _п, то і коріння рівняння (6) залежать від x _1, .., х _п, а тому рівняння (5) може належати до різних типів при різних значеннях аргументів. В останньому випадку (рівняння змішаного типу) досліджувана область зміни аргументів складається із зон, в яких тип рівняння (5) зберігається. Якщо корінь рівняння (6), переходячи від позитивних значень до негативних, звертається в нуль, то між зонами еліптичності і гіперболічністю розташовані зони параболічності (треба відзначити, що і в ряді інших відносин параболічного рівняння займають проміжне положення між еліптичними і гіперболічними).

Для лінійних рівнянь з приватними похідними вище 2-го порядку і для систем рівнянь з декількома шуканими функціями класифікація більш складна.

Основні приклади рівнянь математичної фізики.

2.1 Хвильове рівняння

Хвилею про е уравно е ние, диференціальне рівняння з приватними похідними, що описує процес поширення збурень у деякому середовищі ^1.

- Найпростіше рівняння гіперболічного типу, а також відповідні неоднорідні рівняння (у правій частині яких додані відомі функції) - телеграфне рівняння і т.д. Рівняння і системи цього типу з'являються при аналізі різних коливань і хвильових процесів. Властивості рівнянь і систем гіперболічного типу багато в чому аналогічні властивостям наведених найпростіших таких рівнянь.

У разі малих обурень і однорідного ізотропного середовища хвильове рівняння має вигляд:

де х, у, z - просторові змінні, t - час, u = u (х, у, z) - шукана функція, що характеризує обурення в точці (х, у, z) в момент t, а - швидкість поширення обурення. Хвильове рівняння є одним з основних рівнянь математичної фізики і широко використовується в додатках. Якщо u залежить тільки від двох (одній) просторових змінних, то хвилеве рівняння спрощується і називається двовимірним (одновимірним). Хвильове рівняння допускає рішення у вигляді «розходиться сферичної хвилі»:

u = f (t - r / a) / r,

де f - довільна функція, a

Особливий інтерес представляє так зване елементарне рішення (елементарна хвиля):

u = δ (t - r / a) / r

(Де δ - дельта-функція), що дає процес поширення обурення, виробленого миттєвим точковим джерелом (діяли на початку координат при t = 0). Образно кажучи, елементарна хвиля являє собою «нескінченний сплеск» на колі r = at, хто від початку координат із швидкістю а з поступовим зменшенням інтенсивності. За допомогою накладення елементарних хвиль можна описати процес поширення довільного обурення.

Малі коливання струни описуються одновимірним В. у.:

Ж. Д'Аламбер запропонував (1747) метод вирішення цього В. у. у вигляді накладення прямої і зворотної хвиль: u = f (x - at) + g (x + at), а Л. Ейлер (1748) встановив, що функції f і g визначаються завданням так званих початкових умов.

2.2 Рівняння теплопровідності

Рівняння теплопровідності - диференціальне рівняння з приватними похідними параболічного типу, що описує процес поширення теплоти в суцільному середовищі (газі, рідині або твердому тілі); основне рівняння математичної теорії теплопровідності. Рівняння теплопровідності висловлює тепловий баланс для малого елемента об'єму середовища з урахуванням надходження теплоти від джерел і теплових втрат через поверхню елементарного об'єму внаслідок теплопровідності. Для ізотропного неоднорідного середовища рівняння теплопровідності має вигляд ^2:

,

де r - щільність середовища; c _v - теплоємність середовища при постійному обсязі; t - час; х, у, z - координати; Т = Т (х, у, z, t) - температура, яка обчислюється за допомогою Т. в. ; l - коефіцієнт теплопровідності; F = F (x, y, z, t) - задана щільність теплових джерел. Величини r, C _v, l залежать від координат і, взагалі кажучи, від температури. Для анізотропного середовища Т. в. замість l містить тензор теплопровідності l _ir, де i, k = 1, 2, 3.

У разі ізотропного однорідного середовища рівняння теплопровідності приймає вид ^3:

,

де DT - оператор Лапласа, a ² = l / (rc _v) - коефіцієнт температуропровідності; f = F / (rc _v). У стаціонарному стані, коли температура не змінюється з часом, Т. в. переходить в рівняння Пуассона DТ = f / a ² = F / l або, за відсутності джерел теплоти, в Лапласа рівняння DТ = 0. Основними завданнями для рівняння теплопровідності є Коші завдання і змішана крайова задача.

Перші дослідження Т. в. належать Ж. Фур'є (1822) і С. Пуассону (1835). Важливі результати в дослідженні Т. в. були отримані І. Г. Петровським, А. Н. Тихоновим, С. Л. Соболєвим.

- Простий приклад рівняння параболічного типу. Рівняння і системи параболічного типу з'являються зазвичай при аналізі процесів вирівнювання.

Першим прикладом рівнянь змішаного типу стало т. н. рівняння Трікомі:

Для цього рівняння полуплоскость служить зоною еліптичності, полуплоскость у <0 - зоною гіперболічністю, а пряма у = 0 - зоною параболічності.

2.3 Інт е гро-дифференци а нений уравно е ня

Ряд завдань математичної фізики приводить до інтегральних рівнянь різних типів. Так, наприклад, інтегральні рівняння Вольтерра виникають в тих завданнях фізики, в яких існує переважний напрям зміни незалежного змінного (наприклад, часу, енергії і т.д.). У задачі про крутильних коливаннях виникає деяке інтегро-диференціальне рівняння.

Постановка завдань і методи розв'язання рівнянь математичної фізики. На першому етапі розвитку теорії В. м. ф. багато зусиль було витрачено на пошук їх спільного вирішення. Вже Ж. Д'Аламбер (1747) отримав спільне рішення хвильового рівняння. Грунтуючись на підстановках, що застосовувалися Л. Ейлером (1770), П. Лаплас запропонував (1773) «каскадний метод», що дає загальне рішення деяких ін лінійних однорідних гіперболічних рівнянь 2-го порядку з двома аргументами. Однак таке загальне рішення вдалося знайти в дуже рідкісних випадках; на відміну від звичайних диференціальних рівнянь, для рівнянь з приватними похідними не виділено жодного скільки-небудь значного класу рівнянь, для яких загальне рішення може бути отримано у вигляді досить простої формули. Крім того, виявилося, що при аналізі фізичних процесів В. м. ф. зазвичай з'являються разом з додатковими умовами, характер яких корінним чином впливає на напрям дослідження.

Широке поширення одержали методи наближеного розв'язання крайових задач, в яких завдання зводиться до розв'язання системи алгебраїчних (зазвичай лінійних) рівнянь. При цьому за рахунок збільшення числа невідомих в системі можна досягти будь-якого ступеня точності наближення.

Інт е гро-дифференци а нений уравно е ня, рівняння, що містять невідому функцію під знаком інтеграла і під знаком похідної. Наприклад, рівняння, отримане італійським математиком В. Вольтерра в задачі про крутильних коливаннях:

Іноді інтегро-диференціальні рівняння можна звести до інтегральних рівнянь або диференціальних рівнянь. Рішення інтегро-диференціальних рівнянь можна шукати по методу послідовних наближень ^4.

Інтегр а нений уравно е ня, рівняння, що містять невідомі функції під знаком інтеграла. Численні завдання фізики і математичної фізики приводять до інтегральних рівнянь різних типів. Нехай, наприклад, потрібно з допомогою деякого оптичного приладу отримати зображення лінійного об'єкта А, що займає відрізок 0 £ x £ l осі Ox, причому освітленість об'єкта характеризується щільністю u (x). Зображення В являє собою певний відрізок іншої осі x _1; останній шляхом відповідного вибору початку відліку та одиниці довжини також можна поєднати з відрізком 0 £ x ₁ £ l. Якщо диференційно малий ділянку (х, х + D х) об'єкта А викликає освітленість зображення В з щільністю K (x _1, x) u (x) dx, де функція K (x _1, x) визначається властивостями оптичного приладу, то повна освітленість зображення матиме щільність

Залежно від того, чи хочуть домогтися заданої освітленості v (x ₁₎ зображення або «точного» фотографічного зображення [v (x) = ku (x), де постійна k заздалегідь не фіксується], або, нарешті, визначеної різниці освітленості А і В [u (x) - v (x) = f (x)], приходять до різних інтегральних рівнянь щодо функції u (x):

Взагалі, лінійним інтегральним рівнянням 1-го роду називається рівняння виду

лінійним інтегральним рівнянням 2-го роду, або рівнянням Фредгольма, - рівняння виду

[При f (x) = 0 воно називається однорідним рівнянням Фредгольма]; зазвичай розглядаються рівняння Фредгольма з параметром l:

У всіх рівняннях функція

- Так зване ядро інтегрального рівняння - відома, так само, як функція f (x) (а £ х £ b); шуканої є функція u (x) (а £ х £ b).

Опції K (x, y), f (x), u (x) і параметр рівняння l можуть приймати як дійсні, так і комплексні значення. В окремому випадку, коли ядро K (x, y) звертається в нуль при у> х, виходить рівняння Вольтерра:

Інтегральне рівняння називається особливим, якщо хоча б один з меж інтегрування нескінченний або ядро K (x, y) звертається в нескінченність в одній або декількох точках квадрата а £ х £ b, а £ y £ b або на деякій лінії. І. у. може ставитися і до функцій кількох змінних: таке, наприклад, рівняння

Розглядаються також нелінійні І. в., Наприклад рівняння виду

Або

Лінійні інтегральні рівняння 2-го роду вирішуються наступними методами:

1) вирішення u (x) виходить у вигляді ряду за ступенями l (сходящегося в деякому колі | l | <K) з коефіцієнтами, залежними від х (метод Вольтерра - Неймана);

2) рішення u (x), при тих значеннях l, при яких воно взагалі існує, виражається через деякі цілі функції від l (метод Фредгольма);

3) у випадку, коли ядро симетрично, тобто К (х, y) º К (у, x), рішення u (x) виражається у вигляді ряду по ортогональним функціям u _к (х), що є ненульовими рішеннями відповідного однорідного рівняння

(Останнє має відмінні від нуля рішення лише за деяких спеціальних значеннях параметра l = l _к, k = 1, 2, ..) (метод Гільберта - Шмідта);

4) у деяких окремих випадках рішення порівняно просто виходить за допомогою перетворення Лапласа;

5) у випадку, коли

(Так зване вироджені ядро), відшукання u (х) зводиться до розв'язання системи алгебраїчних рівнянь. Наближені рішення можна отримати, або застосувавши до

будь-яку формулу чисельного інтегрування, або замінивши дане ядро К (х, y) деяким виродженим ядром, мало відрізняється від К (х, у). До інтегральних рівнянь часто зводяться крайові задачі для диференціальних рівнянь, звичайних і з приватними похідними; таке зведення має і теоретичну і практичну цінність ^5.

3. Застосування різних методів рішення в залежності від видів гіперболічних рівнянь

3.1 Явна різницева схема

Розглянемо спочатку математичні аспекти побудови різницевої схеми для рівняння дифузії тепла, а потім приведемо приклади роботи розробленого алгоритму стосовно до лінійного і нелінійного рівнянь.

Побудова різницевої схеми

Використовуємо для вирішення рівняння теплопровідності шаблон, зображений на рис. 6. Для дискретизації другої похідної по просторовій координаті необхідно використовувати три послідовних вузла, в той час як для різницевої запису першої похідної за часом достатньо двох вузлів. Записуючи на підставі даного шаблону дискретне уявлення для (i, k)-го вузла, отримаємо різницеве ​​рівняння:

(7)

Наведемо в різницевої схемою (7) подібні доданки, перенісши в праву частину значення сіткової функції з індексом k (як часто кажуть, з попереднього шару за часом), а в ліву - з індексом k + i (тобто з наступного тимчасового шару ). Крім цього, введемо коефіцієнт с, який буде характеризувати ставлення кроків різницевої схеми за часом і простором

Кілька забігаючи наперед, зауважимо, що значення параметра с, званого коефіцієнтом Куранта, має велике значення для аналізу стійкості різницевої схеми. З урахуванням цих зауважень, різницева схема (7) запишеться у вигляді:

(8)

Рис. 6. Шаблон апроксимації явної схеми для рівняння теплопровідності

Множники для кожного із значень сіткової функції у вузлах шаблону, відповідні разностному рівнянню (8), наведені поруч з кожною точкою шаблону на рис. 6. Фактично геометрія шаблону і ці множники задають побудовану нами різницеву схему.

Нескладно переконатися в тому, що для отримання замкнутої системи різницевих рівнянь алгебри систему (8) необхідно доповнити дискретним уявленням початкового і граничних умов. Тоді число невідомих буде в точності дорівнює числу рівнянь, і процес формування різницевої схеми буде остаточно завершено.

Якщо придивитися до різницевим рівнянням (8) уважніше, то можна відразу запропонувати нескладний алгоритм реалізації цієї різницевої схеми. Дійсно, кожне невідоме значення сіткової функції з наступного тимчасового шару, тобто ліва частина співвідношення (8) явно виражається через три її значення з попереднього шару (права частина), які вже відомі. Таким чином, у разі рівняння теплопровідності нам дуже пощастило. Для розрахунку першого шару за часом слід просто підставити в (8) початкова умова (відомі значення і з нульового шару у вузлах сітки), для розрахунку другого шару досить використовувати обчислений таким чином набір і з першого шару і т. д. Через те що різницева схема зводиться до такої явної підстановці, її і називають явною, а завдяки перерахунку значень з поточного шару через раніше обчислені шари - схемою біжить рахунку.

Лінійне рівняння

Зроблені зауваження щодо реалізації явної схеми для рівняння дифузії тепла відразу визначають алгоритм її програмування в Mathcad. Для вирішення завдання потрібно акуратно ввести в лістинг відповідні формули за допомогою елементів програмування.

Рішення системи різницевих рівнянь (8) для моделі без джерел тепла, тобто ф (x, T, t) = 0 і постійного коефіцієнта дифузії D = const приведено в лістингу 1. В його перших трьох рядках задані кроки по тимчасовій і просторовій змінним t і А, а також коефіцієнт дифузії про, рівний одиниці. У наступних двох рядках задані початкові (нагрітий центр області) і граничні (постійна температура на краях) умови відповідно. Потім наводиться можливе програмне рішення різницевої схеми, причому функція користувача v (t) задає вектор розподілу шуканої температури в кожен момент часу (іншими словами, на кожному шарі), що задається цілим числом t.

Початковий розподіл температури вздовж розрахункової області і вирішення для двох моментів часу показано на рис. 7 суцільний, пунктирною і штриховий лініями відповідно. Фізично така поведінка цілком природно - з часом тепло з більш нагрітої області перетікає в менш нагріту, а зона спочатку високої температури остигає і розмивається.

Лістинг 11. Явна схема для лінійного рівняння теплопровідності

Рис. 7. Рішення лінійного рівняння теплопровідності (продовження лістингу 1)

Нелінійне рівняння

Набагато цікавіші рішення можна отримати для нелінійного рівняння теплопровідності, наприклад, з нелінійним джерелом тепла ф (u) = 10 ³ (uu ^3). Зауважимо, що в лістингу 1 ми завбачливо визначили коефіцієнт дифузії і джерело тепла як для користувача функцій, що залежать від аргументу і, тобто від температури. Якби ми збиралися моделювати явну залежність їх від координат, то слід було б ввести в призначену для користувача функцію як аргумент змінну х, як це зроблено для джерела тепла ф. Тому немає нічого простішого заміни визначення цих функцій з констант D (U) = 1 і ф (х, u) = о на нові функції, які стануть описувати інші моделі дифузії тепла. Почнемо з того, що поміняємо четвертий рядок лістингу 1 на ф (х, и) = Ю3-(і-і3), не змінюючи поки постійного значення коефіцієнта дифузії.

Рис. 7. Рішення рівняння теплопровідності з нелінійним джерелом (тепловий фронт)

Рис. 8. Рішення рівняння теплопровідності з нелінійним джерелом і коефіцієнтом дифузії (режим локалізації горіння)

Читачеві пропонується поекспериментувати з цим та іншими нелінійними варіантами рівняння теплопровідності. Істотно, що такі цікаві результати вдається отримати лише чисельно, а в Mathcad тільки із застосуванням елементів програмування.

3.2 Неявна різницева схема

На відміну від явної схеми Ейлера, неявна є безумовно-стійкою (тобто не видає "разболткі" ні за яких значеннях коефіцієнта Куранта). Проте ціною стійкості є необхідність рішення на кожному кроці за часом системи алгебраїчних рівнянь.

Побудова неявної різницевої схеми

Щоб побудувати неявну різницеву схему для рівняння дифузії, використовуємо шаблон, зображений на рис. 9, т. е. для дискретизації просторової похідної братимемо значення сіткової функції з верхнього (невідомого) шару за часом. Таким чином, різницеве ​​рівняння для (i, k)-ro вузла відрізнятиметься від рівняння для явної схеми (7) тільки індексами по тимчасовій координаті в правій частині:

(9)

Якщо привести подібні доданки, то вийде система рівнянь, що зв'язує для кожного 1-го вузла три невідомі значення сіткової функції (в самому цьому вузлі і в сусідніх з ним зліва і справа вузлах). Множники при невідомих значеннях сіткової функції в кайданах шаблону показані на рис. 9 у вигляді підписів, подібно тому, як це було зроблено для явної схеми.

Рис. 9. Шаблон неявної схеми для рівняння теплопровідності

Дуже важливо, що якщо саме рівняння теплопровідності лінійно, то з в лівій частині різницевого рівняння є константою, а ф у його правій частині може залежати тільки від першого ступеня і. Тому система рівнянь (10) для всіх просторових вузлів 1 = 1. . М-l є лінійною системою, що істотно спрощує її рішення (оскільки відомо, що для лінійних систем з ненульовим визначником рішення існує і є єдиним). Нагадаємо, що для отримання замкнутої системи лінійних рівнянь необхідно доповнити даний набір різницевих рівнянь граничними умовами, тобто відомими значеннями сіткової функції для i = 0 і i = M.

Рис. 9. Рішення лінійного рівняння теплопровідності за допомогою неявної схеми на першому шарі за часом (лістинг 2)

Лістинг 2. Неявна схема для лінійного рівняння теплопровідності

Для реалізації неявної схеми, таким чином, можна використовувати комбінацію засобів програмування Mathcad та вбудованої функції вирішення системи лінійних рівнянь isolve. Один з можливих способів вирішення запропонований в лістингу 2. Більша частина цього лістингу є введенням параметрів завдання (кроків, початкових і граничних умов), і лише в останній його рядку визначається функція користувача, що обчислює сіткову функцію на кожному часовому шарі (за допомогою вбудованої функції вирішення системи лінійних рівнянь isolve). У кількох попередніх рядках лістингу (після розрахунку коефіцієнта Куранта) формується матриця системи рівнянь, яка записується у відповідному для Mathcad вигляді, як це зроблено в лістингу 2. Як нескладно переконатися, стовпець правих частин різницевих рівнянь виражається обчисленими значеннями сіткової функції з попереднього шару.

Висновок

У даній роботі наведені деякі приклади застосування диференціальних рівнянь для моделювання таких реальних процесів, як коливання струни, електричні коливання в проводах, поширення тепла в стержні і просторі, поширення температурних хвиль у грунті, дифракція випромінювання на сферичної частинки.

У багатьох галузях фізики, математики та інших природничих наук часто використовуються чисельні та емпіричні методи для розв'язання прямих і обернених задач. Слід відзначити особливу роль диференціальних рівнянь при вирішенні таких завдань, оскільки не завжди вдається встановити функціональну залежність між шуканими та даними змінними величинами, але зате часто вдається вивести диференціальне рівняння, що дозволяє точно передбачити перебіг певного процесу при певних умовах.

Диференціальні рівняння мають величезне прикладне значення, будучи потужним знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і техніки: вони широко використовуються в механіці, астрономії, фізики, у багатьох задачах хімії, біології. Це пояснюється тим, що досить часто закони, яким підпорядковуються ті чи інші процеси, записуються у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння, таким чином, є засобом для кількісного вираження цих законів.

На закінчення хотілося б відзначити особливу роль диференціальних рівнянь при вирішенні багатьох задач математики, фізики та техніки, тому що часто не завжди вдається встановити функціональну залежність між шуканими та даними змінними величинами, але зате вдається вивести диференціальне рівняння, що дозволяє точно передбачити перебіг певного процесу за певних умовах.

Список літератури

1. Будак Б.М., Самарський А.А., Тихонов А.Н. Збірник завдань по математичній фізиці: Учеб. посібник. М.: Наука, 1980. 686 с.

2. Біцадзе А.В. Рівняння математичної фізики: Учеб. М.: Наука, 1982. 336 с.

3. Біцадзе А.В., Калініченко Д.Ф. Збірник завдань по рівняннях математичної фізики: Учеб.пособие. М.: Наука, 1977. 222 с.

4. Владимиров В. С., Рівняння математичної фізики, М., 1967.

5. Карслоу Г. С., Теорія теплопровідності, пров. з англ., М.: Пріор, 2002.

6. Канторович Л. В. та Крилов В. І., Наближені методи вищого аналізу, 5 видавництво., Л. - М., 1962.

7. Михайлов В.П. Диференціальні рівняння в приватних похідних: Учеб.пособие. М.: Наука, 1983. 424 с.

8. Петровський І. Г., Лекції з теорії інтегральних рівнянь, 3 вид., М., 1999.

9. Смирнов В.І. Курс вищої математики: Учеб.: В 4 т. Т. 2. М.: Наука, 1981. 655 с. Т.4. М.: Наука, 1981. Ч. 2.

10. Тихонов А.Н., Самарський А.А. Рівняння математичної фізики: Учеб.пособие. М.: Наука, 1977. 735 с.