Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
«Використання диференціальних рівнянь, передавальних і частотних передавальних функцій»
МІНСЬК, 2008
Будь-яка система, що розглядається з точки зору залежності вихідних і вхідних величин як функцій часу, носить назву динамічної системи. Система стеження і її окремі ланки відносяться до динамічних систем. Для дослідження динамічних систем використовуються тимчасові та частотні методи.
Тимчасові методи використовують диференціальні рівняння і отримані з їх допомогою передавальні функції, перехідні і вагові функції.
Частотні - використовують частотні передавальні функції і логарифмічні частотні характеристики.
Тимчасові методи використовуються при дослідженні лінійних нестаціонарних систем. Для стаціонарних систем переважно застосування частотних методів.
Завданням дослідження системи є визначення реакції системи на вхідний вплив, або визначення параметрів систем.
Використання диференціальних рівнянь
Для складання диференціального рівняння (ДР), що зв'язує вхідні і вихідні величини в системі, становлять диференціальні (або алгебраїчні) рівняння, для всіх ланок, що входять в систему, на основі фізики відбуваються в них процесів. Число таких диференціальних рівнянь дорівнює числу ланок системи. Потім, залишаючи вхідну і вихідну величини в якості основних, позбавляються від проміжних величин, виробляючи послідовну підстановку одного рівняння в друге. Для спрощення процесу підстановки рівняння записують у скороченій формі.
У загальному вигляді ДУ можна записати наступним чином:
x 2 (t), x 1 (t) - вихідні і вхідні величини відповідно; a, b - коефіцієнти.
ДУ може бути записано у скороченій формі.
Введемо позначення
Тепер ми можемо формально винести за знак суми значення x 2 (t) і x 1 (t).
або
або ж можна записати у скороченій формі:
де
Наведену форму запису визначають як алгебраізірованную (символічну).
Загальне рішення ДУ визначає зміну в часі керованої величини при заданому вхідній дії, і дозволяє, таким чином, повністю описати процеси в стежить системі. Загальне рішення ДУ є сумою загального розв'язку однорідного ДУ, одержуваного з рівняння (1) прирівнянням нуля його правій частині, і приватного рішення неоднорідного ДУ.
Однорідне ДУ визначає характер власних коливань в системі. Його рішення дозволяє досліджувати систему на стійкість.
Неоднорідне ДУ визначає реакцію системи на зовнішні впливи. Його рішення дозволяє оцінити точність відтворення задає впливу.
Використання передавальних функцій
Для отримання алгебраїчної форми запису треба перейти в область зображень по Лапласа.
Нехай система описується рівнянням (3.1).
Застосуємо перетворення Лапласа до обох частин рівняння (1), враховуючи, що:
де
і
звідси знайдемо х 2
де W (s) - передавальна функція ─ реакція системи на вхідний вплив в області зображень Лапласа.
Таким чином, передатна функція W (s) визначається як відношення зображень по Лапласа вихідний і вхідний величин при нульових початкових умовах.
У подальшому викладі W (s) і W (p) ми будемо іменувати передавальної функцією, маючи на увазі, що s-комплексна змінна, а p-оператор диференціювання.
У даному випадку ми отримали алгебраїчну форму запису ДУ. Формально вона може бути отримана із спрощеної символічної форми заміною оператора диференціювання на змінну s та оригіналів на зображення:
Для знаходження оригіналу може бути використано зворотне перетворення Лапласа:
Зворотне перетворення виконують шляхом розкладання зображення на найпростіші дроби і подальшого використання таблиць.
Використання перехідної та ваговій функцій
Перехідний функцією називають реакцію системи на східчасту одиничну функцію, яку визначають як 1 (t) (рис. 3.1):
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1. Одинична ступінчаста функція
Перехідна функція використовується при дослідженні перехідних режимів стежать систем. Перехідна характеристика - графічне зображення перехідної функції. Типові перехідні характеристики систем, що стежать зображені на рис. 2.
Стійкі системи
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Нестійкі системи
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 2. Перехідні характеристики
Перехідна характеристика може бути знайдена аналітично. Запишемо реакцію системи на 1 (t) у вигляді ДУ в скороченій формі:
де W (p) - операторний коефіцієнт передачі.
Перейшовши в область зображень по Лапласа, отримаємо такі вирази:
Здійснивши зворотне перетворення Лапласа, отримаємо перехідну функцію q (t).
Вагова функція (імпульсна характеристика) - реакція системи на вплив у вигляді δ-функції, яка визначається як
Відзначимо деякі властивості δ-функції:
Вагова функція h (t) дорівнює:
Переходячи в область зображень, отримаємо такі вирази:
Таким чином, вагова і передавальна функції пов'язані перетворенням Лапласа.
Вагова функція використовується для визначення вихідної величини за допомогою інтеграла Дюамеля:
У відповідності до розділу фізичної реалізованості: реакція системи на вхідний вплив з'являється не раніше впливу, тобто
можна записати:
Для визначення сталого значення можна вважати, що вплив почалося в момент
Використання частотних передавальних функцій
Частотна передатна функція (комплексний коефіцієнт передачі) визначає реакцію системи на гармонійний вхідний вплив і використовується для аналізу систем, що стежать. Її можна знайти, використовуючи ДУ (3.1), якщо вважати, що
де
Будемо шукати приватне рішення неоднорідного ДУ (1) у вигляді:
де
Підставляючи (3.5), (3.6) в (3.1) та враховуючи, що
отримаємо:
де
Приватна передатна функція - це відношення комплексних амплітуд вхідних і вихідних гармонійних впливів при нульових початкових умовах.
W (jω) можна отримати формально з W (s), заміною s на jω.
W (jω) можна представити а показовою та алгебраїчній формі:
W (jω) на комплексній площині зображується у вигляді вектора. При зміні частоти в інтервалі (
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 3. Амплітудно-фазова характеристика
АЧХ - залежність амплітуди вихідного сигналу від частоти при незмінній амплітуді вхідного сигналу.
ФЧХ визначає залежність фазового зсуву вихідного сигналу відносно вхідного від частоти. Вона симетрично відносно початку координат.
Годограф - крива, проведеної кінцем вектора, при зміні частоти ω в інтервалі (
ЛІТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Висш.шк., 2000.
2. Радіоавтоматики: Учеб. посібник для вузів. / За ред. В.А. Бесекерскій .- М.: Вищ. шк., 2005.
3 .. Первак. С.В радіоавтоматики: Підручник для вузів .- М.: Радіо і зв'язок, 2002.
4. Цифрові системи фазової синхронізації / Под ред. М.І. Жодзішского - М.: Радіо, 2000
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
«Використання диференціальних рівнянь, передавальних і частотних передавальних функцій»
МІНСЬК, 2008
Будь-яка система, що розглядається з точки зору залежності вихідних і вхідних величин як функцій часу, носить назву динамічної системи. Система стеження і її окремі ланки відносяться до динамічних систем. Для дослідження динамічних систем використовуються тимчасові та частотні методи.
Тимчасові методи використовують диференціальні рівняння і отримані з їх допомогою передавальні функції, перехідні і вагові функції.
Частотні - використовують частотні передавальні функції і логарифмічні частотні характеристики.
Тимчасові методи використовуються при дослідженні лінійних нестаціонарних систем. Для стаціонарних систем переважно застосування частотних методів.
Завданням дослідження системи є визначення реакції системи на вхідний вплив, або визначення параметрів систем.
Використання диференціальних рівнянь
Для складання диференціального рівняння (ДР), що зв'язує вхідні і вихідні величини в системі, становлять диференціальні (або алгебраїчні) рівняння, для всіх ланок, що входять в систему, на основі фізики відбуваються в них процесів. Число таких диференціальних рівнянь дорівнює числу ланок системи. Потім, залишаючи вхідну і вихідну величини в якості основних, позбавляються від проміжних величин, виробляючи послідовну підстановку одного рівняння в друге. Для спрощення процесу підстановки рівняння записують у скороченій формі.
У загальному вигляді ДУ можна записати наступним чином:
x 2 (t), x 1 (t) - вихідні і вхідні величини відповідно; a, b - коефіцієнти.
ДУ може бути записано у скороченій формі.
Введемо позначення
Тепер ми можемо формально винести за знак суми значення x 2 (t) і x 1 (t).
або
або ж можна записати у скороченій формі:
де
Наведену форму запису визначають як алгебраізірованную (символічну).
Загальне рішення ДУ визначає зміну в часі керованої величини при заданому вхідній дії, і дозволяє, таким чином, повністю описати процеси в стежить системі. Загальне рішення ДУ є сумою загального розв'язку однорідного ДУ, одержуваного з рівняння (1) прирівнянням нуля його правій частині, і приватного рішення неоднорідного ДУ.
Однорідне ДУ визначає характер власних коливань в системі. Його рішення дозволяє досліджувати систему на стійкість.
Неоднорідне ДУ визначає реакцію системи на зовнішні впливи. Його рішення дозволяє оцінити точність відтворення задає впливу.
Використання передавальних функцій
Для отримання алгебраїчної форми запису треба перейти в область зображень по Лапласа.
Нехай система описується рівнянням (3.1).
Застосуємо перетворення Лапласа до обох частин рівняння (1), враховуючи, що:
де
і
звідси знайдемо х 2
де W (s) - передавальна функція ─ реакція системи на вхідний вплив в області зображень Лапласа.
Таким чином, передатна функція W (s) визначається як відношення зображень по Лапласа вихідний і вхідний величин при нульових початкових умовах.
У подальшому викладі W (s) і W (p) ми будемо іменувати передавальної функцією, маючи на увазі, що s-комплексна змінна, а p-оператор диференціювання.
У даному випадку ми отримали алгебраїчну форму запису ДУ. Формально вона може бути отримана із спрощеної символічної форми заміною оператора диференціювання на змінну s та оригіналів на зображення:
Для знаходження оригіналу може бути використано зворотне перетворення Лапласа:
Зворотне перетворення виконують шляхом розкладання зображення на найпростіші дроби і подальшого використання таблиць.
Використання перехідної та ваговій функцій
Перехідний функцією називають реакцію системи на східчасту одиничну функцію, яку визначають як 1 (t) (рис. 3.1):
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1. Одинична ступінчаста функція
Перехідна функція використовується при дослідженні перехідних режимів стежать систем. Перехідна характеристика - графічне зображення перехідної функції. Типові перехідні характеристики систем, що стежать зображені на рис. 2.
Стійкі системи
SHAPE \ * MERGEFORMAT
а) |
б) |
Нестійкі системи
SHAPE \ * MERGEFORMAT
в) |
г) |
Рис. 2. Перехідні характеристики
Перехідна характеристика може бути знайдена аналітично. Запишемо реакцію системи на 1 (t) у вигляді ДУ в скороченій формі:
де W (p) - операторний коефіцієнт передачі.
Перейшовши в область зображень по Лапласа, отримаємо такі вирази:
Здійснивши зворотне перетворення Лапласа, отримаємо перехідну функцію q (t).
Вагова функція (імпульсна характеристика) - реакція системи на вплив у вигляді δ-функції, яка визначається як
Відзначимо деякі властивості δ-функції:
Вагова функція h (t) дорівнює:
Переходячи в область зображень, отримаємо такі вирази:
Таким чином, вагова і передавальна функції пов'язані перетворенням Лапласа.
Вагова функція використовується для визначення вихідної величини за допомогою інтеграла Дюамеля:
У відповідності до розділу фізичної реалізованості: реакція системи на вхідний вплив з'являється не раніше впливу, тобто
можна записати:
Для визначення сталого значення можна вважати, що вплив почалося в момент
Використання частотних передавальних функцій
Частотна передатна функція (комплексний коефіцієнт передачі) визначає реакцію системи на гармонійний вхідний вплив і використовується для аналізу систем, що стежать. Її можна знайти, використовуючи ДУ (3.1), якщо вважати, що
де
Будемо шукати приватне рішення неоднорідного ДУ (1) у вигляді:
де
Підставляючи (3.5), (3.6) в (3.1) та враховуючи, що
отримаємо:
де
Приватна передатна функція - це відношення комплексних амплітуд вхідних і вихідних гармонійних впливів при нульових початкових умовах.
W (jω) можна отримати формально з W (s), заміною s на jω.
W (jω) можна представити а показовою та алгебраїчній формі:
W (jω) на комплексній площині зображується у вигляді вектора. При зміні частоти в інтервалі (
SHAPE \ * MERGEFORMAT
U |
V |
Рис. 3. Амплітудно-фазова характеристика
АЧХ - залежність амплітуди вихідного сигналу від частоти при незмінній амплітуді вхідного сигналу.
ФЧХ визначає залежність фазового зсуву вихідного сигналу відносно вхідного від частоти. Вона симетрично відносно початку координат.
Годограф - крива, проведеної кінцем вектора, при зміні частоти ω в інтервалі (
ЛІТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Висш.шк., 2000.
2. Радіоавтоматики: Учеб. посібник для вузів. / За ред. В.А. Бесекерскій .- М.: Вищ. шк., 2005.
3 .. Первак. С.В радіоавтоматики: Підручник для вузів .- М.: Радіо і зв'язок, 2002.
4. Цифрові системи фазової синхронізації / Под ред. М.І. Жодзішского - М.: Радіо, 2000