Реферат
на т ем в:
"Рішення систем диференціальних рівнянь"
1. Диференціальна лінійна алгебра
З власними значеннями і векторами матриці доводиться мати справу в задачах, пов'язаних з рішенням систем лінійних диференціальних рівнянь і дослідженням стійкості цих рішень. Диференціальна векторно-матрична алгебра включає в себе операції інтегрування і диференціювання, які в безлічі випадків у своїй нотації нагадують відповідні операції звичайного диференціального числення. Похідна за скалярної змінної та інтеграл від вектора і матриці в заданих межах зміни скалярної змінної визначені так:
Похідні від векторних і векторно-матричних виразів визначаються наступними правилами:
2. Векторне рішення однорідного рівняння
Нехай система лінійних однорідних диференціальних рівнянь задана у векторній формі:
Якщо рівняння записано у формі однорідного диференціального рівняння n-го порядку і його характеристичний многочлен має різні коріння, то загальне рішення представляється сумою n приватних рішень з експоненціальними базовими функціями:
де
Можна припустити, що векторне рівняння, що представляє спільне рішення, має аналогічну форму
Для з'ясування питання, що є в такому поданні
Звідси видно, що
Таким чином, якщо матриця A має власні значення та вектори
Використовуючи значення рішення при t = 0, знаходимо
Матрична експонента виражається через проектори і власні значення матриці за формулами спектрального розкладання:
Після підстановки X у вирішення замість експоненти отримаємо:
У випадках, коли власні значення та вектори знайти не вдається, матричну функцію можна розкласти в ряд за ступенями матриці:
що дозволяє чисельно отримувати багатовимірний перехідний процес, якщо ряд сходиться.
Матричний ряд сходиться, якщо існує границя послідовності часткових сум. Достатньою умовою є збіжність ряду з норм членів степеневого матричного ряду. Використовуючи, наприклад, ознака збіжності Даламбера ряд, що представляє матричну експоненту, сходиться, якщо існує і менше одиниці межа відносини
де R - радіус збіжності.
Обсяг обчислювальної роботи при оцифрування багатовимірного перехідного процесу істотно залежить від числа членів у матричному ряді. Для підвищення швидкості збіжності застосовують різні апроксимації цього ряду. Зокрема, для експоненти широко використовуються апроксимації відрізків ряду дробово-раціональними функціями Паде види:
Так, матрична експонента для трьох і чотирьох членів має вигляд:
У світлі наведених розкладів матричної експоненти спільне рішення лінійного векторно-матричного диференціального рівняння наближено можна обчислити за формулою:
3. Рішення неоднорідних диференціальних рівнянь
Познайомившись із загальним підходом до побудови розв'язків лінійних векторних диференціальних рівнянь, покажемо тепер, як виходять рішення неоднорідних рівнянь.
Уявімо вихідне рівняння з неоднорідністю, локалізованої в правій частині рівняння, і помножимо обидві частини рівняння на матричну експоненту
Звертаючись до правил диференціювання векторно-матричних виразів, наведених вище, нескладно помітити, що зліва від знаку рівності знаходиться похідна від твору матричної експоненти
Зробимо відповідну заміну і проінтегруємо ліву і праву частини з незалежної змінної t:
Множачи зліва обидві частини рівності на матрицю
Формула загального рішення у своїй нотації точно відповідає випадку скалярного рівняння. При неможливості аналітичного рішення перехідний процес можна обчислити по точках, замінивши безперервний час дискретним
У інтегралі можна замінити незалежну змінну на дискретну з тим же кроком, що і при розкладанні експоненти:
Зручно з формули обчислення дискретних значень векторного перехідного процесу отримати рекуррентную формулу. Цього можна домогтися, якщо знайти в виразі для
Підвищення точності обчислення перехідного процесу досягають за рахунок заміни інтеграла квадратурами більш високого порядку, наприклад, першого - формула трапецій, або другого - формула парабол (Сімпсона).
Використання формули трапецій приводить після відповідних перетворень до наступної рекуррентной формулою:
Якщо використовувати формулу Сімпсона, то рекурентна формула для розрахунку перехідного процесу від точки до точки буде такою:
У наведених рекурентних формулах матричні експоненти мають такий вигляд:
4. Приклади чисельного рішення векторно-матричних рівнянь
Як приклад побудуємо перехідний процес для системи рівнянь:
Ця система може бути представлена диференційним рівнянням другого порядку щодо змінної
або щодо змінної
Характеристичне рівняння
де
Нескладні перетворення приводять до наступних точним рішенням цього рівняння для двох різних наборів початкових умов:
Отримаємо таке ж аналітичне рішення векторного перехідного процесу у формі експоненційної функції, використовуючи спектральне розкладання матриці за власним значенням.
Характеристичний поліном заданої матриці має вигляд:
Власні значення матриці (коріння характеристичного рівняння) і власні вектори рівні:
Проектори знаходимо матричним твором лівих і правих власних векторів. Для цього звернемо матрицю
Векторне аналітичне рішення має вигляд:
Рішення збігається з точним розв'язком рівнянь другого порядку.
Для чисельного побудови векторного перехідного процесу по заданому векторно-матричному рівнянню з використанням Паде-апроксимації матричної експоненти дробово-раціональними виразами першого, другого і третього порядків, обчислимо спочатку ці апроксимуючі матриці:
Вектор наближеного рішення обчислимо за рекуррентной формулою, в яку, для демонстрації впливу на точність результату, по черзі підставимо кожне з трьох наведених вище наближень до матричної експоненті:
У таблиці поміщені чисельні значення перехідних процесів, отримані для трьох названих випадків апроксимації матричної експоненти разом з точним аналітичним рішенням.
З зіставлення результатів можна зробити висновок, що апроксимація експоненти дробово-раціональної матричної функцією другого порядку дозволяє при інших рівних умовах отримувати рішення з 5-6-ю достовірними десятковими знаками.
Чисельне рішення неоднорідного диференціального рівняння у векторно-матричному представленні проведемо з колишньою однорідної частиною в рівнянні, але застосуємо рекурентні формули з інтегруванням за методом прямокутників, трапецій і парабол:
Матрична експонента для рекурентних формул в даному прикладі бралася в абсолютно точній аналітичному поданні, отриманому для цієї матриці вище (числове подання для h = 0.1):
Аналітичне рішення у векторно-матричній формі запису має наступний вигляд:
У таблиці наведено результати обчислення перехідних процесів для векторно-матричного неоднорідного диференціального рівняння за формулою аналітичного рішення і трьом рекурентним виразами, які використовують різні квадратурні формули інтегрування. Для заповнення таблиці з кроком 0.1 по третій рекуррентной формулою друге значення (для t = 0.1) було отримано обчисленням з кроком 0.05. Ці перші два значення використовувалися в якості початкових значень двох рекурентних процесів, що обчислюються чергові значення з кроком 0.2.
Аналогічні формули побудови обчислювальних процедур можуть бути виведені для рівнянь зі змінними коефіцієнтами та нелінійних рівнянь. Однак забезпечення стійкості і точності побудови перехідних процесів у таких випадках вирішується для кожної конкретної задачі окремо.
Література
1. Бахвалов І.В. Чисельні методи. БІНОМ, 2008. - 636c.
2. Ізмаїлів А.Ф., Солодов М.В. Чисельні методи оптимізації. Видавництво: Фізматліт, 2003. - 304c.
3. Куликівський А.Г., Погорєлов М.В., Семенов А.Ю. Математичні питання чисельного рішення гіперболічних систем рівнянь. - М.: Фізматліт, 2001. - 608 с.
4. Мудров А.Є. Чисельні методи для ПЕОМ на мовах Паскаль, Фортран та Бейсік. МП «Раско», Томськ, 1991.
5. Пантелєєв А.В., Кірєєв В.І., Пантелєєв В.І., Кірєєв А.В. Чисельні методи в прикладах і задачах. М: Вища школа, 2004. - 480c.
6. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мизникова Б.І. Чисельні методи лінійної алгебри. Навчальний посібник. Видавництво: ИНФРА-М, 2008.
на т ем в:
"Рішення систем диференціальних рівнянь"
1. Диференціальна лінійна алгебра
З власними значеннями і векторами матриці доводиться мати справу в задачах, пов'язаних з рішенням систем лінійних диференціальних рівнянь і дослідженням стійкості цих рішень. Диференціальна векторно-матрична алгебра включає в себе операції інтегрування і диференціювання, які в безлічі випадків у своїй нотації нагадують відповідні операції звичайного диференціального числення. Похідна за скалярної змінної та інтеграл від вектора і матриці в заданих межах зміни скалярної змінної визначені так:
Похідні від векторних і векторно-матричних виразів визначаються наступними правилами:
2. Векторне рішення однорідного рівняння
Нехай система лінійних однорідних диференціальних рівнянь задана у векторній формі:
Якщо рівняння записано у формі однорідного диференціального рівняння n-го порядку і його характеристичний многочлен має різні коріння, то загальне рішення представляється сумою n приватних рішень з експоненціальними базовими функціями:
де
Можна припустити, що векторне рівняння, що представляє спільне рішення, має аналогічну форму
Для з'ясування питання, що є в такому поданні
Звідси видно, що
Таким чином, якщо матриця A має власні значення та вектори
Використовуючи значення рішення при t = 0, знаходимо
Матрична експонента виражається через проектори і власні значення матриці за формулами спектрального розкладання:
Після підстановки X у вирішення замість експоненти отримаємо:
У випадках, коли власні значення та вектори знайти не вдається, матричну функцію можна розкласти в ряд за ступенями матриці:
що дозволяє чисельно отримувати багатовимірний перехідний процес, якщо ряд сходиться.
Матричний ряд сходиться, якщо існує границя послідовності часткових сум. Достатньою умовою є збіжність ряду з норм членів степеневого матричного ряду. Використовуючи, наприклад, ознака збіжності Даламбера ряд, що представляє матричну експоненту, сходиться, якщо існує і менше одиниці межа відносини
де R - радіус збіжності.
Обсяг обчислювальної роботи при оцифрування багатовимірного перехідного процесу істотно залежить від числа членів у матричному ряді. Для підвищення швидкості збіжності застосовують різні апроксимації цього ряду. Зокрема, для експоненти широко використовуються апроксимації відрізків ряду дробово-раціональними функціями Паде види:
Так, матрична експонента для трьох і чотирьох членів має вигляд:
У світлі наведених розкладів матричної експоненти спільне рішення лінійного векторно-матричного диференціального рівняння наближено можна обчислити за формулою:
3. Рішення неоднорідних диференціальних рівнянь
Познайомившись із загальним підходом до побудови розв'язків лінійних векторних диференціальних рівнянь, покажемо тепер, як виходять рішення неоднорідних рівнянь.
Уявімо вихідне рівняння з неоднорідністю, локалізованої в правій частині рівняння, і помножимо обидві частини рівняння на матричну експоненту
Звертаючись до правил диференціювання векторно-матричних виразів, наведених вище, нескладно помітити, що зліва від знаку рівності знаходиться похідна від твору матричної експоненти
Зробимо відповідну заміну і проінтегруємо ліву і праву частини з незалежної змінної t:
Множачи зліва обидві частини рівності на матрицю
Формула загального рішення у своїй нотації точно відповідає випадку скалярного рівняння. При неможливості аналітичного рішення перехідний процес можна обчислити по точках, замінивши безперервний час дискретним
У інтегралі можна замінити незалежну змінну на дискретну з тим же кроком, що і при розкладанні експоненти:
Зручно з формули обчислення дискретних значень векторного перехідного процесу отримати рекуррентную формулу. Цього можна домогтися, якщо знайти в виразі для
Підвищення точності обчислення перехідного процесу досягають за рахунок заміни інтеграла квадратурами більш високого порядку, наприклад, першого - формула трапецій, або другого - формула парабол (Сімпсона).
Використання формули трапецій приводить після відповідних перетворень до наступної рекуррентной формулою:
Якщо використовувати формулу Сімпсона, то рекурентна формула для розрахунку перехідного процесу від точки до точки буде такою:
У наведених рекурентних формулах матричні експоненти мають такий вигляд:
4. Приклади чисельного рішення векторно-матричних рівнянь
Як приклад побудуємо перехідний процес для системи рівнянь:
Ця система може бути представлена диференційним рівнянням другого порядку щодо змінної
або щодо змінної
Характеристичне рівняння
де
Нескладні перетворення приводять до наступних точним рішенням цього рівняння для двох різних наборів початкових умов:
Отримаємо таке ж аналітичне рішення векторного перехідного процесу у формі експоненційної функції, використовуючи спектральне розкладання матриці за власним значенням.
Характеристичний поліном заданої матриці має вигляд:
Власні значення матриці (коріння характеристичного рівняння) і власні вектори рівні:
Проектори знаходимо матричним твором лівих і правих власних векторів. Для цього звернемо матрицю
Векторне аналітичне рішення має вигляд:
Рішення збігається з точним розв'язком рівнянь другого порядку.
Для чисельного побудови векторного перехідного процесу по заданому векторно-матричному рівнянню з використанням Паде-апроксимації матричної експоненти дробово-раціональними виразами першого, другого і третього порядків, обчислимо спочатку ці апроксимуючі матриці:
Вектор наближеного рішення обчислимо за рекуррентной формулою, в яку, для демонстрації впливу на точність результату, по черзі підставимо кожне з трьох наведених вище наближень до матричної експоненті:
У таблиці поміщені чисельні значення перехідних процесів, отримані для трьох названих випадків апроксимації матричної експоненти разом з точним аналітичним рішенням.
| t | Аналітичне рішення | Апроксимація Паде порядку 1 | Апроксимація Паде порядку 2 | Апроксимація Паде близько 3 | ||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0.1 | 1.066 | 0.3475 | 1.0670 | 0.3483 | 1.0660 | 0.3475 | 1.066 | 0.3475 |
| 0.2 | 1.072 | -0.2023 | 1.0740 | -0.2018 | 1.0720 | -0.2023 | 1.072 | -0.2023 |
| 0.3 | 1.029 | -0.6434 | 1.0320 | -0.6440 | 1.0290 | -0.6434 | 1.029 | -0.6434 |
| 0.4 | 0.9478 | -0.9755 | 0.9513 | -0.9778 | 0.9478 | -0.9755 | 0.9478 | -0.9755 |
| 0.5 | 0.8380 | -1.203 | 0.8420 | -1.207 | 0.8380 | -1.203 | 0.8380 | -1.203 |
| 0.6 | 0.7103 | -1.335 | 0.7145 | -1.341 | 0.7102 | -1.335 | 0.7102 | -1.335 |
| 0.7 | 0.5737 | -1.383 | 0.5779 | -1.391 | 0.5737 | -1.383 | 0.5737 | -1.383 |
| 0.8 | 0.4360 | -1.360 | 0.4398 | -1.369 | 0.4360 | -1.360 | 0.4360 | -1.360 |
| 0.9 | 0.3035 | -1.280 | 0.3068 | -1.290 | 0.3035 | -1.280 | 0.3035 | -1.280 |
| 1.0 | 0.1814 | -1.156 | 0.1839 | -1.167 | 0.1814 | -1.156 | 0.1814 | -1.156 |
З зіставлення результатів можна зробити висновок, що апроксимація експоненти дробово-раціональної матричної функцією другого порядку дозволяє при інших рівних умовах отримувати рішення з 5-6-ю достовірними десятковими знаками.
Чисельне рішення неоднорідного диференціального рівняння у векторно-матричному представленні проведемо з колишньою однорідної частиною в рівнянні, але застосуємо рекурентні формули з інтегруванням за методом прямокутників, трапецій і парабол:
Матрична експонента для рекурентних формул в даному прикладі бралася в абсолютно точній аналітичному поданні, отриманому для цієї матриці вище (числове подання для h = 0.1):
Аналітичне рішення у векторно-матричній формі запису має наступний вигляд:
У таблиці наведено результати обчислення перехідних процесів для векторно-матричного неоднорідного диференціального рівняння за формулою аналітичного рішення і трьом рекурентним виразами, які використовують різні квадратурні формули інтегрування. Для заповнення таблиці з кроком 0.1 по третій рекуррентной формулою друге значення (для t = 0.1) було отримано обчисленням з кроком 0.05. Ці перші два значення використовувалися в якості початкових значень двох рекурентних процесів, що обчислюються чергові значення з кроком 0.2.
| t | Точне рішення | Інтегрування за формулою прямокутників | Інтегрування за формулою трапецій | Інтегрування за формулою парабол | ||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0.1 | 1.16576 | 0.328872 | 1.16422 | 0.302569 | 1.16514 | 0.330031 | 1.16576 | 0.328872 |
| 0.2 | 1.26681 | -0.271328 | 1.26234 | -0.318851 | 1.26567 | -0.269062 | 1.26680 | -0.271346 |
| 0.3 | 1.31004 | -0.785828 | 1.30176 | -0.849621 | 1.30849 | -0.782554 | 1.31125 | -0.802579 |
| 0.4 | 1.30354 | -1.20604 | 1.29100 | -1.28147 | 1.30167 | -1.20189 | 1.30354 | -1.20605 |
| 0.5 | 1.25599 | -1.52886 | 1.23917 | -1.61178 | 1.25389 | -1.52399 | 1.25944 | -1.55740 |
| 0.6 | 1.17619 | -1.75579 | 1.15542 | -1.84257 | 1.17395 | -1.75039 | 1.17618 | -1.75580 |
| 0.7 | 1.07265 | -1.89209 | 1.04854 | -1.97973 | 1.07033 | -1.88633 | 1.07991 | -1.92961 |
| 0.8 | 0.953246 | -1.94585 | 0.926640 | -2.03193 | 0.950907 | -1.93991 | 0.953243 | -1.94586 |
| 0.9 | 0.825009 | -1.92713 | 0.796891 | -2.00986 | 0.822699 | -1.92120 | 0.837584 | -1.97248 |
| 1.0 | 0.693974 | -1.84722 | 0.665412 | -1.92534 | 0.691726 | -1.84145 | 0.693977 | -1.84722 |
Література
1. Бахвалов І.В. Чисельні методи. БІНОМ, 2008. - 636c.
2. Ізмаїлів А.Ф., Солодов М.В. Чисельні методи оптимізації. Видавництво: Фізматліт, 2003. - 304c.
3. Куликівський А.Г., Погорєлов М.В., Семенов А.Ю. Математичні питання чисельного рішення гіперболічних систем рівнянь. - М.: Фізматліт, 2001. - 608 с.
4. Мудров А.Є. Чисельні методи для ПЕОМ на мовах Паскаль, Фортран та Бейсік. МП «Раско», Томськ, 1991.
5. Пантелєєв А.В., Кірєєв В.І., Пантелєєв В.І., Кірєєв А.В. Чисельні методи в прикладах і задачах. М: Вища школа, 2004. - 480c.
6. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мизникова Б.І. Чисельні методи лінійної алгебри. Навчальний посібник. Видавництво: ИНФРА-М, 2008.