Класифікація і види потоків подій

Установа освіти
«Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки»
факультет телекомунікацій
кафедра мереж і пристроїв телекомунікацій
РЕФЕРАТ
На тему:
«Класифікація і види потоків подій»
МІНСЬК, 2008

Класифікація потоків подій
Потік викликів (вимог, заявок, подій) - є послідовність викликів, що надходять через будь-які інтервали або в будь-які моменти часу.
Потоки викликів бувають детерміновані і випадкові. Випадковий потік викликів відрізняється від детермінованого тим, що моменти надходження викликів і проміжки часу між викликами є не строго фіксованими (як це має місце для детермінованого потоку), а випадковими величинами.
Детерміновані потоки є окремий випадок випадкових потоків і зустрічаються на практиці рідко. У теорії телетрафіка основну увагу приділяють розгляду випадкових потоків викликів.
Потік викликів може бути визначений трьома еквівалентними способами:
1.) Послідовністю викликають моментів t _1, t _2, ..., t _n;
2.) Послідовність проміжків часу між викликають моментами z _1, z _2, ..., z _n;
3.) Послідовністю чисел k _1, k _2, ..., k _n, що визначають кількість викликів, що надходять протягом заданого відрізку часу [t _0, t _1), [t _0, t _2), ..., [t _0, t _n ).
Зухвалий момент - це момент одночасного надходження одного, двох і більше викликів.
Випадкові потоки викликів задаються імовірнісними характеристиками послідовності викликають моментів, або послідовності проміжків між викликами, або послідовності числа викликів, що надходять протягом відрізків часу [t _0, t _1), [t _0, t _2), ..., [t _0, t _n ).
Потоки викликів класифікуються за такими властивостями:
- Стаціонарність - незалежність ймовірності характеристик від часу. Така ймовірність надходження певного числа подій за проміжок часу довжиною t для стаціонарного потоку не залежить від вибору початку його вимірювання, а залежить тільки те довжини цього проміжку;
- Післядія - ймовірність надходження подій в інтервалі часу (t _1, t ₂₎ залежить від подій, які сталися до моменту t _1;
- Ординарність - ймовірність надходження двох і більше подій за нескінченно малий інтервал часу Δt, є величина нескінченно мала, більш високого порядку малості, ніж Δt.
Найважливішими чисельними параметрами випадкового потоку є інтенсивність потоку μ (t) і параметр потоку λ (t).
Інтенсивністю потоку називають математичне сподівання кількості подій в одиницю часу в даний момент:
,
тобто, це межа відносини середнього числа подій ( ) На інтервалі (t, t + Δt) до довжини цього інтервалу, що прагне до нуля.
Параметром потоку називається границя відношення ймовірності надходження хоча б однієї події на інтервалі (t, t + Δt) до довжини цього інтервалу, що прагне до нуля:
,
Для стаціонарного процесу інтенсивність і параметр потоку - величини постійні не залежать від часу, тобто λ (t) = λ і μ (t) = μ. Для ординарних потоків величина параметра потоку та інтенсивність потоку збігаються, тобто λ = μ.
Класифікацію потоків, представлену на рис.1, зручно здійснювати, беручи за основний ознака післядії потоку.

Рис. 1. Класифікація потоків викликів.
Найпростіший потік викликів або потік Пуассона.
Найпростішим потоком викликів називається стаціонарний ординарний потік без післядії. Основні характерні властивості найпростішого потоку висловлюють такі визначення цього потоку:
1.) Ординарний потік без післядії з постійним параметром λ (0 <λ <∞);
2.) Інтенсивність найпростішого потоку дорівнює його параметру μ = λ;
3.) Потік без післядії, для якого ймовірність P _i (t) надходження i викликів на проміжку довжиною t визначається формулою (розподілом) Пуассона:
,
4.) Потік з незалежними проміжками z _k (k = 1,2, ...) між викликами, розподіленими за однаковим експоненціальним законом:
,
5а.) Щільність розподілу ймовірностей проміжків часу між викликами:
,
5б.) Розподілу проміжку часу між викликами підпорядковане показовому закону і є достатньою умовою існування найпростішого потоку;
6.) Якщо відомо, що випадковий проміжок часу z, розподілений по показовому закону триває вже деякий час τ, то закон розподілу решти проміжку буде також показовим і з тим же параметром μ не буде залежати від τ;
7.) Об'єднання незалежних найпростіших потоків з параметрами λ _1, λ _2, λ ₃ очевидно, теж буде найпростішим потоком з параметром (λ ₁ + λ ₂ + λ _3);

Рис 1.4. Роз'єднання і об'єднання пуассоновского потоку.
8.) Сума великого числа малих станційних потоків близька до найпростішого;
9.) Математичне сподівання проміжку z між викликами:
,
10.) Дисперсія проміжку z між викликами:
,
11.) Середньоквадратичне відхилення проміжку t:
,
12.) Математичне сподівання кількості викликів за проміжок t:
,
13.) Дисперсія кількості викликів за проміжок t:
,
14.) Збіг за проміжок для найпростішого потоку на практиці зручно використовувати при перевірці відповідності реального потоку моделі найпростішого потоку часу між викликами підпорядковане показовому закону і є достатньою умовою існування найпростішого потоку.
Показово розподілу широко застосовується в теорії телетраффіка, теорії масового обслуговування завдяки властивості:
якщо відомо, що випадковий проміжок розподілений по показовому закону тривав уже деякий час , То закон розподілу решти проміжку також буде показовим і з тим же параметром і не буде залежати від .
Потоки з обмеженим післядією
Під потоком з обмеженим післядією розуміється потік викликів, у якого послідовність проміжків часу між викликами представляють послідовність взаємно незалежних випадкових величин, що мають будь-які функції розподілу. У потоку з обмеженим післядією ймовірність надходження нового виклику в проміжку залежить тільки від розташування цього проміжку по відношенню до моменту надходження останнього дзвінка і не залежить від часу надходження всіх інших.

Для цих потоків у момент надходження виклику майбутнє не залежить від минулого і все наслідок обмежена величиною проміжку між викликами.
Особливе місце серед потоків з обмеженим післядією займають рекурентні потоки, у яких усі проміжки між викликами, включаючи перший мають однакової розподіл при і рекурентні потоки з запізненням, у яких тільки перший проміжок має розподіл, відмінне від інших і вони задаються двома функціями розподілу і при . Функція характеризує розподіл проміжку часу від прозвольно обраного початку відліку до моменту надходження першого дзвінка.
До потоків з обмеженим післядією відносяться потоки Пальма, Ерланга, Бернуллі.
Потік Пальма
Потік Пальма - це стаціонарний ординарний рекурентний потік з запізнюваннями або стаціонарний ординарний потік з обмеженим післядією.
Задається потік Пальма умовною ймовірністю відсутності викликів в проміжку тривалістю , Тоді як початковий цього проміжку надійшов виклик:

,
де - Функція Пальма-Хинчина, що визначає ймовірність відсутності викликів на інтервалі довгою за умови, що на початку інтервалу був виклик;
- Параметр потоку Пальма або інтенсивність потоку і

Модель потоку Пальма - описуваний потік необслуженной комутаційною системою викликів.
Деякі властивості потоку Пальма:
1) об'єднання кількох незалежних потоків Пальма не дає знову потік Пальма;
2) поділ одного потоку Пальма на напрямів з ймовірністю надходження викликів у -Му напрямку дає потік Пальма в кожному з цих напрямків.
3)
Потік Ерланга
Потік Ерланга утворюється в результаті просіювання вихідного найпростішого потоку викликів.


Потік Ерланга -Го порядку утворюється шляхом відкидання -Го виклику і сохраненіея виклику.
Основні характерні властивості потоку Ерланга:
1) проміжки між викликами незалежні між собою й однаково розподілені, оскільки вони виходять підсумовуванням однакового числа незалежних проміжків вихідного найпростішого потоку;
2) закон розподілу з щільністю :

- Щільність розподілу величини проміжку між викликами .
3) параметр потоку -Го порядку:

4) математичне очікування величини (Проміжку між викликами)

5) дисперсія

Потік Бернуллі
Потік Бернуллі - це ординарний потік з обмеженим післядією для якого на заданому кінцевому інтервалі [0, T) випадковим чином поступає фіксоване (рівне n) число викликів. Моменти надходження викликів незалежні і рівномірно розподілені в інтервалі [0, T), тобто для цих дзвінків виконано властивість випадковості.

? Або?

Основні характерні властивості потоку Бернуллі:
1) Можливість надходження рівно k викликів в будь-які проміжки [0, t), де t <T визначається:
,
де -Число сполучень із n за k:
,
n - кількість викликів на проміжку [0, T)
2) Параметр потоку Бернуллі

3) Розподіл проміжків між викликами потоку Бернуллі


4) Потік Бернуллі використовується для опису потоків звільнення
Потоки з простим післядією
Ординарний потік, параметр якого визначається станом S (t) обслуговуючої системи в даний момент t називається потоком з простим післядією або пуассоновским потоків з умовним параметром.
Під станом системними розуміється інформація про кількість, про номери зайнятих виходів, входом і сполучних колій між ними, щодо числі вільних обслуговуються, які очікують з'єднання або повторюють виклики джерел. Оскільки стан обслуговуючої системи S (t) в момент t залежить від процесу надходження обслуговування викликів до моменту t , То аналізований потік називається потоком з простим післядією, т.к для визначення параметра потоку в момент t достатньо інформації про стан системи тільки в даний момент часу t.
Потоки з простим післядією нестаціонарні, тому що параметр залежить від t через стан системи.
Більшість потоків в мережах зв'язку - це потоки з простим післядією. Типи потоків з простим післядією:
· Примітивний
· Згладжений
· З повторними викликами
Примітивний потік (потік Егсета)
Ординарний потік, параметри якого пропорційний числу вільних джерел в стані обслуговуючої системи i, називається примітивним:
, Де
- Параметр (інтенсивність) джерела у вільному стані;
N - загальне число джерел;
i - Число зайнятих джерел;
(N - i) - кількість вільних джерел;
Примітивний потік - це Пуассонівський потік другого роду, а також енгсетовскій потік.
Основні характерний властивості потоку Енгсета:
1) середня величина параметра потоку:
,
де - Імовірність того, що зайняте i джерел у системі
2) середня інтенсивність одного джерела :

3) розподіл проміжку вільності (проміжку часу між моментом закінчення одного заняття і моментом надходження від джерела нового виклику) підпорядкована показовому закону з параметром .

4) При N = 100 і менш доцільно використовувати для дослідження систем примітивний потік.
5) Модель примітивного потоку зручна для представлення абонентського навантаження на телефонний комутатор. Кожен абонент є джерел незалежного пуассоновского потоку заявок дзвінків. Сукупна навантаження на комутатор визначається сумою таких потоків. Коли абонент отримує обслуговування свого дзвінка, його потік зникає з сукупного вхідного потоку, і інтенсивність вхідного потоку зменшується стрибком.
Згладжений потік
Потік, пропущений через j (j = 1,2,3 ...) ступенів спотворення й чинить на (j +1) щабель комутаційної системи називається згладженим і плавним пуассоновским, якщо на першу сходинку надходить найпростіший потік.
Потік з повторними викликами
Найбільш реальний потік до систем телефонного зв'язку. Цей потік складається з потоку первинних викликів і потоку повторних спроб встановлення з'єднання.
Параметр потоку дорівнює сумі параметрів потоків первинних і повторних викликів:
,
де - Число джерел, зайнятих обслуговуванням;
- Число джерел, які повторюють викликів;
- Інтенсивність джерела повторює виклики;
N - загальне число джерел.

ЛІТЕРАТУРА
1. Л.М. Волков, М.С. Немирівський, Ю.С. Шинака. Системи цифрового радіозв'язку: базові методи і характеристики. Навчальний посібник.-М.: Еко-Трендз, 2005.
2. М.В. Гаранін, В.І. Журавльов, С.В. Кунегін. Системи і мережі передачі інформації. - М.: Радіо і зв'язок, 2001.
3. Передача дискретних сообщеній. / Под ред. В.П. Шувалова. - М.: Радіо і зв'язок, 1990.
4. Основи передачі дискретних сообщеній. / Под ред. В.М. Пушкіна. - М.: Радіо і зв'язок, 1992.
5. Н.В. Захарченко, П.Я. Нудельман, В.Г. Кононович. Основи передачі дискретних повідомлень. -М.: Радіо і зв'язок, 1990.
6. Дж. прокис. Цифрова зв'язок. - М.: Радіо і зв'язок, 2000.