Тема 1. Процентні та дисконтні розрахунки
Задача 1
Умова:
Капітал, величиною $ 2000 вкладено з 6.07.93 по 6.07.96 під 100% річних. Знайти величину нарощеної капіталу.
Рішення:
Припустимо, що використовується простий відсоток.
Тоді F = P * (1 + N * i),
де F - величина нарощеного капіталу.
F = 2000 * (1 +3 * 1) = $ 8000.
Задача 2
Умова:
На скільки років потрібно вложіть5000000 рублів при ставці 50% річних, щоб отримати 80000000 рублів, за умови щорічної капіталізації відсотків.
Рішення:
Термін N обчислювався з використанням засобів Microsoft Excel згідно такою формулою:
Кпер (j / m, 0,-P, F) / m, де
J - номінальна ставка
M - число нарахувань на рік
Р - початкова сума
F - кінцева сума
Значення функції Кпер (0,5 / 1, 0, -5000000,80000000) / 1 = 1,15
Задача 3
Умова:
16.09.96 врахований вексель строком погашення 28.11.96. Обчисліть номінальну вартість векселя, якщо процентна ставка дисконтування 100% річних, а клієнт отримав 12000000.
Рішення:
P =?
F = 12000000
D = 1
N = 0.4
Розрахунок ведеться в табличному процесорі за формулою багаторазової капіталізації:
P = ПЗ (i / m, N * m, 0,-F) = ПЗ (1,0.4,0, -12000000) = 9 094 299,40 р.
Задача 4
Умова:
Клієнт вклав у банк 80 млн р на 6 років. Визначити складну процентну ставку, якщо через шість років клієнт отримав 500 млн р..
Рішення:
Р = 80000000
N = 6
F = 500000000
I =?
Процентна ставка розраховувалася в табличному редакторі за формулою
I = НОРМА (N, 0,-P, F) = НОРМА (6,0, -80000000,500000000) = 36%.
Задача 5
Умова:
Визначте ставку безперервних відсотків за умови, що за 6 років сума зросла на 110%.
Рішення:
J =?
N = 6
F = 1.1P
J = LN (F / P) / N * 100% = LN (1.1P / P) / N * 100% = LN (1.1) / 6 * 100% = 1.59%
Задача 6
Умова:
Знайти ефективну ставку нарощення відповідну ставкою безперервної капіталізації, яка дорівнює 50% річних.
Рішення:
Складний відсоток нарощення розглянемо у формулі:
F = P (1 + i) ^ N, де
F - нарощена сума
P - початкова сума
I - відсоток
N - термін
Формула для безперервної капіталізації:
F = P * exp (j * N), де
J - ставка безперервної капіталізації і дорівнює 0,5 е.
N приймемо за одиницю, так як ефективна ставка - це річна ставка складних відсотків з капіталізацією відсотків раз на рік.
Таким чином, маємо дві формули:
F = P * exp (0.5) і F = P * (1 + i),
звідки видно, що ставка нарощення, відповідна ставкою капіталізації може бути отримана наступним чином: exp (0.5) = 1 + i або i = exp (0.5) -1 = 1.64-1 = 0.64
Таким чином I = 64%
Задача 7
Умова:
Знайти ставку нарощення за складними відсотками, відповідну ефективною ставкою, що дорівнює 80% річних.
Рішення:
Оскільки ефективна ставка - це і є річна ставка складного відсотка з капіталізацією раз на рік, то відповіддю буде 80%.
Задача 8
Умова: Клієнт вклав у банк 12000000 рублів на 3 роки під 70% річних з капіталізацією відсотків 1 раз на півроку. За який період він отримав би таку ж суму (при початковому вкладенні 12000000 рублів під 70% річних), якщо капіталізація проводилася безупинно?
Рішення:
За формулою
F = P * (1 + j / m) (N * m),
отримаємо
F = 12000000 * (1 +0.7 / 2) 3 * 2 = 72641341,69 рублів - нарощена сума.
Для безперервної капіталізації строк розраховується за формулою
N = LN (F / P) / j = LN (72641341,69 / 12000000) / 0.7 = 2,572325078 року.
Таким чином, при безперервній капіталізації, достатньо було б двох з половиною років.
Тема 2. Рентні розрахунки
Задача 1
Умова:
Нарощена сума ренти дорівнює 500000, рента виплачується щорічно. Ставка 25% річних, що нараховуються в кінці року. Знайти сучасну величину ренти за умови, що рента виплачується 7 років.
Рішення:
Розглядається випадок звичайної ренти. Розрахунок ведеться в табличному редакторі Microsoft Excel. Спочатку розраховується виплата
Pmt = ППЛАТ (I; N; 0;-S),
яка підставляється у формулу розрахунку сучасної величини ренти
А = ПЗ (I; N;-Pmt).
Підсумкова таблиця розрахунків:
S | 500000 |
I | 0,25 |
N | 7 |
Pmt | 33 170,83 р. |
A | 104 857,60 р. |
Задача 2
Умова: На рахунок фонду на початку кожного року протягом п'яти років вступають внески по 1500 де. Нарахування відсотків поквартальне, номінальна ставка 25%. Визначити накопичену суму до кінця терміну.
Рішення:
Маємо звичайну ренту з багаторазової капіталізацією.
Pmt = 1500
M = 4
J = 0.25
N = 5
S =?
Формула розрахунку в табличному процесорі:
БЗ (j / m; N * m;-Pmt)
S =------------------
БЗ (j / m; m; -1)
Підсумкова таблиця розрахунку:
j | 0,25 |
N | 5 |
Pmt | 1 500 |
m | 4 |