Зміст:
1. Введення1.1. Передмова
1.2. Екологічний аспект проблеми
1.3. Про дисперсних системах
1.4. Атмосферні аерозолі
1.5. Класифікація і розмір аерозолів
1.6. Основна характеристика часток дисперсної фази - функція розподілу частинок за розмірами
1.6.1. Зворотно-статечне розподіл
1.6.2. Гамма розподіл
1.6.3. Логарифмічно-нормальний розподіл
2. Стан проблеми та постановка задачі
2.1. Газокінетіческіе процеси в дисперсній системі
2.1.1. Безперервна і дискретна динаміка.
2.1.2. Безперервний режим.
2.1.3. Вільно - молекулярний (кінетичний) режим.
2.1.4. Перехідний режим
2.2. Підведення підсумків
2.3. Постановка завдання
3. Рішення завдання та результати дослідження
3.1. Лінеаризовані рівняння Больцмана для сферичної
геометрії в одношвидкісному наближенні.
3.2. Основні рівняння
3.3. Формальне рішення рівняння для функції розподілу
3.4. Точні результати вирішення рівнянь
3.5. Прикордонний шар
3.6. Наближення стрибка концентрації на поверхні частинки
3.7. Чисельні результати
4. Висновки і висновок
5. Список літератури
1. Введення
1.1 Представлення
Випаровування і конденсація частинок являють собою найбільш істотний фактор, що змінює спектр розмірів аеродісперсние системи. Особливо це стосується рідких частинок. Це проблема дуже актуальна як в різних технологічних додатках, так і в оточуючій нас природі. Досить сказати, що кругообіг води в природі відбувається через фази випаровування та об'ємної конденсації. Дисперсний склад аерозольних частинок при випаровуванні виявляється визначальною характеристикою системи в цілому. Саме розподіл за розмірами відповідально за радіаційний баланс сонячного випромінювання, що досягає поверхні землі і визначає всі земні процеси. У карбюраторних і дизельних двигунах розподіл за розмірами частинок палива визначає швидкість їх горіння, а значить і процес роботи двигуна. Конденсаційні тумани не тільки пари води утворюються при згорянні різних палив, при цьому утворюється безліч ядер конденсації, які можуть служити центрами конденсації для інших парів, в тому числі і води. Конденсація пересичених парів води на іонах, які утворюються при радіоактивному розпаді різних елементарних частинок, служить індикацією цих елементарних частинок в камерах Вільсона.Цей побіжний огляд може служити переконливим доказом актуальності проблеми.
1.2 Екологічний аспект проблеми
Усвідомлення важливості екологічних проблем, пов'язаних з впливом життєдіяльності людини на атмосферу і гідросферу Землі, є одним з найбільш серйозних стимулів до вивчення процесів, керуючих поведінкою дисперсних систем в цілому та аерозолів зокрема. Зараз вже зрозуміло, що ми живемо в епоху серйозної кризи технократичних ідей, що припускають необмежене вплив людини на середовище існування. Прагматично-споживацьке ставлення до природи виявляється настільки недалекоглядним, що в багатьох випадках мова йде буквально про виживання людства в перетвореному їм природному світі. Особливо показовими в цьому відношенні стають різного роду техногенні аварії та катастрофи, які почастішали останнім часом.Екологія - далеко не єдина сфера, де мають справу з дисперсними системами. Можна назвати масу природних об'єктів і безліч технологічних процесів, які пов'язані з присутністю і застосуванням аерозолів:
· Міжзоряні і допланетного хмари;
· Вулканічні викиди;
· Атмосферні процеси формування і випадання опадів;
· Двофазні течії, використовувані в технологічних процесах та установках;
· Дисперсні середовища для потреб харчової та автомобільної промисловості, медицини та сільського господарства.
Це різноманітність фізичних проблем і технічних програм, а також ціла сукупність незвичайних фізичних і хімічних властивостей фактично дозволяють віднести дисперсні системи до окремого агрегатним станом речовини, якому увага стала приділятися лише останнім часом.
Дуже важливою причиною підвищується інтересу до аерозолів є різноманітність і фундаментальний характер завдань, які виникають у фізиці дисперсних систем. Фізична кінетика, оптика, фізика атмосфери, багатофазна газодинаміка, теорія турбулентності - всі ці розділи механіки і фізики необхідні для кваліфікованого фізика-аерозолиціка і широко використовуються в класичних роботах Максвелла, Томсона, Айткен, Смолуховского, Ейнштейна, Колмогорова, Чандрасекара, Френкеля, Зельдовича і роботах сучасних дослідників з фізики дисперсних систем. Значний прогрес у моделюванні процесів формування та динаміки перенесення аерозольних домішок досягнутий останнім часом, завдяки застосуванню швидкодіючих ЕОМ і використання методології чисельного експерименту.
1.3 Про дисперсних системах
Дисперсні системи - системи, що представляють собою механічну суміш частинок дисперсної фази з середовищем-носієм. Такі системи є широко поширеним об'єктом в природі і повсякденній діяльності людини. Утворення хмар і випадання опадів, формування аерозольної компоненти земної атмосфери, еволюція допланетного рою і частинок міжзоряного пилу, міграція дефектів у твердих тілах, двофазні течії у фізичних і промислових установках, перенесення в атмосфері різного роду промислових та радіоактивних забруднень - все це далеко не повний коло явищ, в яких вирішальну роль відіграють процеси, що відбуваються з дисперсними системами.Зазвичай дисперсні системи поділяють, виходячи з агрегатного стану частинок дисперсної фази і середовища-носія. Ряд дисперсних систем отримав окремі назви:
· Аерозолі (суспензія твердих або рідких частинок в газовому середовищі, зазвичай, у повітрі);
· Емульсії (рідкі частинки, звичайно стабілізовані захисними оболонками, в рідкому середовищі)
· Колоїди (суспензія твердих частинок в рідкому середовищі);
· Астрозолі (тверді або рідкі частинки у вакуумі)
Крім того, існують дисперсні системи без усталених назв: ансамблі газових пухирців у твердому тілі або рідини, ансамблі рідких крапель у твердому тілі і т. д.
Дисперсні системи володіють багатьма незвичайними фізичними властивостями, які вимагають окремого вивчення і позначаються на практиці. Так, окремо взята молекула речовини в газовому стані має одні властивості, в суцільному стані - інші властивості, а в стані аерозолю (дисперсна фаза) вже зовсім інші властивості, які є плавним переходом від газоподібної до твердої фази. Можна назвати своєрідну газодинаміку, обумовлену різним рухом середовища-носія і частинок дисперсної фази; незвичайні оптичні властивості, викликані порівнянністю розмірів часток з довжинами хвиль світла і впливом форми частинок; підвищену здатність до взаємодій, викликану надзвичайно розвиненою поверхнею частинок. Особливе місце серед дисперсних систем займають аерозолі.
1.4 Атмосферні аерозолі
Зазвичай класифікація атмосферних аерозолів проводиться на основі їх поділу за способами створення, матеріалами і характерним розмірами частинок. При цьому до аерозолів зазвичай відносять частинки зі швидкостями осадження не більше, ніж у крапельок води діаметром 100 мкм (великі дощові краплі і опади тим самим відносять до окремого класу).Пилу складаються з твердих частинок, диспергованих в результаті механічного подрібнення твердих тіл (вибухи, гірничі роботи і т. д.) або висихання крапельок з розчиненими речовинами або частками (сольові частки над океаном). У повсякденній понятті пилом називають осад твердих частинок на різних поверхнях, що легко переходить у завислий стан. Матеріали пилу самі різні, а розміри також коливаються в широких межах - від субмікронних (0,01 мкм) до мікроскопічних (100 мкм).
Дими утворюються при горінні або сублімації летучих речовин, а також в результаті хімічних і фотохімічних реакцій. Розміри димових частинок - від субмікронних до 5 мкм.
Тумани складаються з крапельок рідини, що утворюються при конденсації пари або розпиленні рідини. Сюди також включаються краплі з розчиненими речовинами або містяться в них частками. Природні тумани звичайно складаються з крапельок з діаметром до 10 мкм і більше.
Крапельки, а також частки різних атмосферних забруднень і пилу іноді називають серпанком, яка, насправді являє собою комбінацію з трьох названих вище основних класів аерозолів. Систему, що утворюється в результаті взаємодії природних туману з газоподібними забрудненнями, називають смогом. Розміри частинок димки і смогу звичайно - 1 мкм.
Промислові аерозолі, які утворюються при одержанні й обробці горючих матеріалів, здатні за рахунок розвинутої поверхні до більш інтенсивного запаленню, ніж вихідні речовини. При скупченні дрібнодисперсного пилу таких матеріалів у замкнутих приміщеннях і наявності джерел займання може статися вибух.
У цілому використання технологічних процесів і робота виробництв, пов'язаних з виходом аерозолів в робочі приміщення або атмосферу, вимагає ретельної оцінки екологічної небезпеки та застосування різних засобів очищення. Особлива чистота всередині приміщень потрібно при роботі з радіоактивними матеріалами і в мікроелектроніці. Допустимий вміст аерозолів регламентується при цьому відповідними нормативними документами. Ряд засобів очищення та принципи їх роботи описані у виданнях (Спурний та ін, 1964; Грін, Лейн, 1972; Петрянов-Соколов, Сутугін, 1989).
Частинки атмосферних аерозолів грають важливу роль у процесах конденсації водяної пари і тим самим у формуванні опадів. У метеорології їх просто називають ядрами конденсації, незалежно від фізичних і хімічних властивостей, а класифікацію проводять за характерними розмірами:
· Частки Айткен -
· Великі частки - r = 0,1 + 1 мкм;
· Гігантські частки - r> 1 мкм.
Джерела атмосферних аерозолів прийнято ділити на:
· Природні (вулканічні виверження, конденсація водяної пари в атмосфері, вивітрювання порід, розбризкування крапельок води над океаном, космічний пил)
Для ілюстрації наведемо деякі цифри (Хргіан, 1986). За рахунок космічного пилу на Землю надходить на рік (1,4-2,0) · 10 7 т речовини при загальній масі атмосфери 5.10 15 т. При пилових бурях концентрація пилу в пустельних районах може досягати 300 мкг / м 3, у Підмосков'ї до 30 мкг / м 3, в районах Уралу понад 5 мкг / м 3. За рахунок розбризкування крапельок води при вітрі зі швидкістю близько 12 м / с над океаном утворюється до 500 мкг / м 3 сольових частинок - цілком відчутні кількості.
· Антропогенні - джерела, зумовлені життєдіяльністю людини (промислові викиди з димових труб, токсичні викиди від автомобілів, пожежі, вибухи, вивітрювання грунту в результаті землеробства і відкритого видобутку копалин).
Це дає надходження (3-4) · 10 8 т аерозолів в атмосферу за рік. Концентрація аерозольного смогу, обумовлена фотохімічними реакціями з вихлопними газами, у промислових центрах сягає 200 мкг / м 3 (Хргіан, 1986), що цілком порівнянно з наслідками пилових бур. Промислові та аварійні викиди шкідливих речовин в атмосферу представляють собою безпосередню небезпеку для навколишнього середовища та населення. По-перше, процеси переносу домішок в атмосфері настільки динамічні, що наслідки таких викидів позначаються практично відразу. По-друге, при викидах в атмосферу забруднюється приземний шар повітря і подстилающая поверхню (грунт, водойми, рослинність), що призводить до безпосереднього впливу на навколишнє середовище і представляє собою подальшу загрозу надходження шкідливих речовин в організм людини і тварин.
Потужні або регулярні викиди в атмосферу можуть мати і глобальні наслідки. Надходження в атмосферу оксидів сірки, азоту та хлору призводить до утворення водяних крапель, що містять кислоту, і до випадання кислотних опадів. Викиди окисів вуглецю позначаються на теплообміні в нижніх шарах атмосфери і сприяють глобальному потеплінню клімату. Проведений у 40-60-х роках повітряні ядерні вибухи на десятиліття змінили баланс радіоактивних речовин в атмосфері і викликали випадання радіоактивних опадів (Юнге, 1965; Стир, 1968; Грін, Лейн, 1972; Кароль, 1972). Широке застосування хлор-(бром)-містять фреонів, а також викид сполук азоту вплинули на склад аерозолів в тропосфері і озонового шару земної атмосфери (Петрянов-Соколов, Сутугін, 1989; Владимиров та ін, 1991). Викиди радіоактивних речовин у результаті Киштимському та Чорнобильської аварій надовго порушили нормальну життєдіяльність в районах цих аварій (Владимиров та ін, 1991; Кабакчі, Путілов, 1995). З цих прикладів видно, що екологічна небезпека різного роду газоподібних і аерозольних викидів в атмосферу полягає не тільки в безпосередньому впливі шкідливих викидаються речовин на здоров'я людини, але і має глобальний аспект, пов'язаний з довготривалими процесами зміни хімічного та дисперсного складу забруднень, переносом речовин у тропосфері і стратосфері, впливом забруднень на масові баланси речовин і температурні режими в атмосфері.
Однак не слід вважати, що аерозолі завдають тільки шкоди і повинні застосовуватися лише з відомими запобіжними заходами. Вони широко використовуються в технологічних процесах харчової промисловості, застосовуються в медицині, служать для боротьби з сільськогосподарськими шкідниками, є необхідним елементом у фізичних установках і промислових процесах, використовуються для виготовлення матеріалів з багатьма корисними властивостями [33]. Цікаву історію має діяльність, пов'язана із застосуванням аерозолів для активного впливу на хмарні процеси (засів хмар) і боротьби з посухою. В основі цієї ідеї лежало бажання використовувати нестійкість і величезні запаси енергії атмосферних хмарних систем шляхом засіву хмар штучними ядрами конденсації. Однак після постійного застосування засіву хмар протягом кількох років цей метод перестав приносити результати і навіть спостерігалася зворотна картина з підвищенням тривалості посушливих періодів.
1.5 Класифікація і розміри аерозолів.
За типом походження і за розмірами аерозолі зазвичай поділяють на дві великі групи: мікро і макрочастки [1]. Мікрочастинки радіусу менше 0,5-1,0 мкм утворюються в процесах конденсації і коагуляції, тоді як макрочастки виникають в основному при дезінтеграції поверхні Землі.Можливо, також класифікувати частинки просто в залежності від розміру. Нагадаємо, що розмір середньої по величині молекули чи атома складає, коливається в районі 0,1 нм. Концентрація частинок радіусу близько 1 нм зазвичай вимірюється за допомогою розширювальних камер (камери Вільсона), перша конструкція яких була запропонована Айткеном, тому частинки називаються ядрами, або частками Айткен. Вони були виміряні експериментально, і, на думку ряду авторів, представляють собою найменші, але розміром частинки, які можуть бути виявлені за допомогою таких камер. Частинки таких розмірів у значній мірі схильні до броунівського руху, що дозволяє їм досягти стінок будь-якої камери розумних розмірів протягом декількох секунд або, в крайньому випадку, хвилин. Тому для них важко відібрати представницьку пробу, при консервації проб спостерігаються значні втрати. Частинки малих розмірів дуже швидко коагулюють з частинками великих розмірів. При розгляді долі частинок слід мати на увазі, що частинки, які досягли стінок камери, залишаються на них внаслідок дії сил адгезії. Це відрізняє поведінку частинок від поведінки молекул, проте класифікація на такій основі не отримала розвитку через малу вивченості природи адгезійних взаємодій.
Розмір 10 -
Частки розміром 10 -
Розмір 10 -
Розмір 10 -
Розмір 10 -
Розмір 10 -
Розмір
Розмір
Розмір>
Отже, навіть сама коротка класифікація за розмірами займає область від 10 -
1.6 Основна характеристика часток дисперсної фази - функція розподілу частинок за розмірами.
Окремі частки характеризуються так званими морфологічними ознаками: розмір, щільність, форма, структура, хімічний склад. За формою розрізняють три види часток:• ізометричні (з приблизно однаковими розмірами в трьох напрямках),
• платівки (з одним розміром, набагато меншим, ніж два інших),
• волокна або ланцюжка (протяжні в одному напрямку).
Форму платівок зазвичай мають частинки пилу, цепочечниє агрегати часто утворюються при горінні. Тверді аерозольні частки в основному мають неправильну форму, і їм приписується якийсь середній розмір, наприклад, за об'ємом або за проекційної площі.
Дуже корисним є поняття еквівалентного аеродинамічного діаметру, за який приймається діаметр сферичної частки щільністю 1г/см 3, що має таку ж швидкість осадження, як і дана частка. Це означає, що частинки різної щільності і форми мають один і той же аеродинамічний діаметр, якщо їх швидкості осадження рівні. Застосування цієї величини зручно для розрахунків випадання частинок в полі тяжіння, наприклад, стосовно до перенесення аерозолів в атмосфері.
Хімічний склад частинок може бути найрізноманітнішим і визначається як вихідними матеріалами, так і способами створення цих частинок. У деяких випадках доводиться мати справу з композитними частинками, складеними з декількох хімічних речовин. Наприклад, кислотні опади складаються з розчину кислоти у воді; радіоактивні частинки, що утворюються при аваріях з диспергированием ядерних матеріалів, включають в себе не тільки радіоактивні речовини, а й матеріали теплоносія або грунт і т. д.
У дійсності, сферичну форму мають рідкі частинки і субмікрочастіци, спостережувані за допомогою електронної мікроскопії. Як правило, тверді частинки мають відмінну від сферичної форму. На рівні молекулярних утворень сферичні молекулярні кластери теж зустрічаються досить рідко. Незважаючи на це, теоретичні побудови трактують аерозолі як сферичні освіти і часто характеризують їх радіусом або діаметром, про який було сказано вище.
Аерозольні частинки, які спостерігаються під мікроскопом, також розрізняють за кольором, структурі, ступеня однорідності, розчинності у воді і сорбційним характеристикам.
Якщо поставити перед дослідником завдання описати кожну аерозольну частку, що міститься в 1 см 3 міського повітря, то на це буде потрібно ціле життя. Робота такого типу позбавлена сенсу ще й тому, що система є нерівноважної і піддається змінам в результаті випаровування і конденсації, коагуляції, адсорбції і десорбції, а також хімічних процесів у масі і на поверхні. Отже, необхідно знизити наші вимоги до класифікації і спробувати значно спростити її, групуючи частки по єдиному параметру - розміром.
Сутність поняття "розмір" у відношенні аерозолів дуже розпливчаста. В одних випадках можна визначити масу або обсяг частки і з них розрахувати радіус еквівалентної сфери. В інших випадках фундаментальною характеристикою, що визначає розподіл часток за розміром, є вимірюваний коефіцієнт дифузії. Тоді частку описують як сферу, що характеризується цим коефіцієнтом дифузії. Додаткові труднощі виникають і внаслідок того, що частки радіусом від 10 -7 до 10 -
Отже, надалі ми постараємося описати аерозолі з точки зору того, скільки частинок має радіусом (в широкому тлумаченні цього терміна), що потрапляють у заданий нами інтервал. Залишається тим не менш, ще ряд можливостей навіть при такому обмеженому виборі опису. Найбільш очевидно використовувати функцію розподілу по радіусах v (r), яка передбачає, що v (r) Δr - частинок має радіус в інтервалі (r, r + Δr). Функція v (r) проста для розуміння, але має ряд принципових недоліків. Покажемо це на прикладі. Нехай у пробі повітря об'ємом 1 см 3 міститься 5.10 3 часток радіуса r <10 -
Ясна і «природна» функція розподілу v (r), віднесена до
одиничного обсягу, може бути легко знайдена з співвідношень:
n (x) · Δ x = v (r) · Δ r, (1.1)
Δ x = Δ ln (r) = r -1 · Δ r. (1.2)
Звідси випливає, що
n (x) = r · v (r), (1.3)
v (r) = e - x · n (x). (1.4)
У теоретичних роботах з конденсації дуже зручно використовувати обсяг, а не ln (r) як вимірюваного параметра, але в практичних цілях як шкали для вимірювання масштабу це вкрай незручно.
Зовсім по-іншому можна використовувати обсяг, ввівши об'ємний розподіл V (x), яке показує, що в одиничному об'ємі повітря приватний об'єм V (x) Δ x представлений частинками з радіусами в діапазоні (x, x + Δ x).
Між чисельними значеннями n (x) і v (r) різниця значна, тому графічне представлення результатів або їх табличне оформлення представляє значні труднощі. Набагато легше інтерпретувати інтегральні розподілу, незважаючи на те, що в залежності від їх визначення вони можуть зменшуватися або зростати, залишаючись монотонними (тобто необхідно завжди чітко уявляти собі, як визначено дане розподіл).
Інтегральний розподіл характеризує загальне число часток в одиничному об'ємі повітря, розмір яких більше або менше заданої величини. Остання алгебраїчно дещо легше і симбатно зміни розміру.
Ввівши для інтегрального розподілу позначення N (r), отримаємо:
Для заданого граничного розміру N (r) і N (x) чисельно рівні, тому їх можна позначити просто N. Однак для обробки експериментальних даних більш інформативним є розподіл види:
характеризує загальне число часток з розмірами, більш заданої величини. Обумовлено це наступними причинами:
· У природі зустрічається значно більше дрібних частинок, ніж великих, тому якщо проводити інтегрування, то на верхній межі будуть дуже малі зміни, особливо в логарифмічних координатах;
· Строго кажучи, відповідний (1.5) інтеграл повинен бути записаний як
Аналогічно (1.7) можна визначити і інтегральні об'ємні розподілу як
1.6.1 Зворотно-статечне розподіл.
Експериментальні спостереження за атмосферними аерозолями дозволили сформулювати ряд емпіричних закономірностей, що описують їх розподіл.У роботах Юнга (Junge), виконаних наприкінці 40-х - початку 50-х років, було показано, що для атмосферних аерозолів розміром від десятих часток мікрометра до декількох десятків мікрометрів величина ΔV / Δln (r) залишається постійною. Це означає, що загальний обсяг Δ V, займаний частинками, з радіусами від 0,4 до 0,6 мкм або від 0,6 до 0,9 мкм, від 1 до 1,5 мкм або від 4 до б мкм, приблизно однаковий. Оскільки фізичний обсяг частки радіусом 4-6 мкм в 10 3 разів більше обсягу частки з радіусом 0,4-0,6 мкм, сталість ΔV / Δln (r) вимагає, щоб концентрація часток більшого радіуса була в 10 3 разів менше. Хоча зустрічається велика кількість відхилень від цього правила, тим не менш, загальноприйнято в даний час, що для природних аерозолів, що утворилися в основному в результаті дезінтеграції земної поверхні, справедлива формула:
Парціальний об'єм частинок, що припадають на одиничний інтервал радіусів, пропорційний, таким чином, r -4. Пізніші дослідження показали, що показник ступеня при r може бути в загальному випадку як більше 3, так і менше 3. Будь-який розподіл, яке може бути лінеаризована в логарифмічних координатах, описується таким зворотним степеневим розподілом:
або
де B = const. Розподілу такого типу використовують вельми широко, але ними також часто зловживають. Тому обговоримо деякі їхні переваги й недоліки.
• Загальне число частинок. Для його визначення необхідно обчислити
Таким чином, загальна концентрація визначається величиною r min. Для a = 3 розраховане загальне число часток зростає в 8 разів при дворазовому зменшенні r min.
• Середній радіус. Інтеграл у цьому випадку також розходиться, тому необхідно ввести r min. Тоді отримаємо:
Якщо a = 3, то середній радіус близький до r min. Якщо a = 1, то інтеграл розходиться і середній радіус невизначений.
• Загальний обсяг частинок. Загальний обсяг частинок задається величиною
яка не визначена при a = 3. Хотілося б відзначити, що саме a = 3 було передбачено на підставі сталості ΔV / Δln (r). Якщо взяти інтеграл від r min до r m ax, то загальний обсяг часток складе:
Якщо a> 3, то отримаємо:
А якщо a <3, то:
Якщо r min багато менше r max, тоді з рівняння (16) випливає, що обсяг
пропорційний
• Загальна площа. У деяких випадках ця характеристика дуже важлива. У залежності від того, a <2 або a> 2, домінують великі або менші частки. Коефіцієнт оптичної екстинкції в грубому наближенні пропорційний площі поверхні частинки аж до r min ≈ 0.5λ, де λ - довжина хвилі. Склад частинок (з оптичних вимірів) буде визначатися кінцем інтервалу радіусів для a ≈ 3 (тобто оптичне поведінку системи буде визначатися розміром в десяті частки мкм). Якщо a <2, то відбувається зсув у бік великих часток.
1.6.2 Гамма-розподіл.
Закон розподілу має вигляд:він забезпечує екстремум функції розподілу при r extr = b -1 і спадання функції - повільне при зменшенні радіусу і експоненціально швидке при r> r extr. Проте теоретичне дослідження в області сухих аерозолів та експериментальні дані підтверджують, що при r <r extr функція розподілу також убуває по експоненті. Краще наближення до експериментальних даних можна отримати, якщо в якості аргументу взяти зворотний радіус або яку-небудь іншу негативну ступінь.
Такі розподілу, відомі як гамма - розподілу, зручні для машинних розрахунків, проте представляють усього лише зручну апроксимацію експериментальних даних і не мають під собою ніякої теоретичної основи.
Можна легко отримати вираз для визначення першого моменту гамма - розподілу. Якщо прийняти, що
то легко взяти інтеграл виду
де Г - відповідне значення γ-функції:
в точці
1.6.3 Логарифмічно-нормальний розподіл.
Гауссова (нормальне) розподіл симетрично щодо свого середнього значення (яке одночасно є модою і медіаною) і приймає ненульові значення, коли модуль аргументу прямує до нескінченності. Нормальна крива, в якій аргументом є радіус, за вищезазначеною, а також по ряду інших причин погано апроксимує розподілу за розмірами, що спостерігаються в природних і штучних аерозолях. Тут і закладена логічна причина, по якій використовують логарифмічний аргумент. Інша причина може бути сформульована наступним чином. Нехай ми вирішуємо завдання синтезу штучного аерозолю, склад якого заданий середнім розміром частинок. З викладеного в попередніх розділах випливає, що при середньому розмірі частинок в 1 мкм неможливо очікувати рівномірного утворення часток з радіусом 0,1 мкм і 1,9 мкм. Безсумнівно, більшою мірою однакова ймовірність знайти частинки з радіусом ar і a 1 r. Таким чином, нормальне логарифмічний розподіл - це просто нормальна крива, аргументом якої є ln (r). Нормальне розподіл по аргументу x, що задається формулою:де N 0 - загальна кількість частинок; σ - стандартне відхилення, може бути записано в одиницях r. Зауважимо, що σ, будучи середнім ln (x), в одиницях радіуса відповідає відношенню r. Так σ = 0, 3 означає, що точки з
Природні аерозолі в більшості випадків не характеризуються симетрією, притаманною нормальному логарифмическому розподілу. Штучні системи добре їм описуються, оскільки при одержанні штучних аерозолів звичайно переслідується одна мета - отримати частки певного середнього розміру в рамках вузької фракції.
Ще раз підкреслимо, що розподілу Юнга грунтується на експериментальних даних про природні аерозолях. Математичні операції з такими розподілами найчастіше можливі тільки з певним наближенням, а рішення рівнянь є чисельними. Математично суворі назад-статечне, гамма, і логарифмічний нормальний розподілу зручні з точки зору математичної обробки, але, за винятком цього сенсу, їх використання не обгрунтовано ні експериментально, ні теоретично. Розподіл Юнга, особливо у випадку, якщо a - змінна величина і нижня межа r min мінімальна, забезпечує досить гнучке подання з хорошими коефіцієнтами кореляції.
2. Стан проблеми та постановка задачі.
2.1 Газокінетіческіе процеси в дисперсній системі
2.1.1 Безперервна і дискретна динаміка.
Дослідження динаміки аерозолів в середовищі (в тому числі в повітрі), необхідно визначити, з точки зору процесів переносу. У вільно - молекулярному режимі молекули середовища переміщуються по прямій, поки не зіткнуться з іншою молекулою, після чого, молекула змінює напрямок, до того моменту, поки знову не зіткнеться з іншою молекулою, і так далі. Середня відстань, пройдена молекулою між зіткненнями з іншими молекулами, називається довжиною вільного го пробігу. У залежності від відносного розміру частки, що знаходиться в середовищі і середньої довжини вільного пробігу, відрізняють два випадки.· Якщо розмір частки набагато більше, ніж середня довжина вільного пробігу оточуючих молекул, система веде себе, як безперервна середовище. Рух такий частки підпорядковується законам дифузії.
· В іншому випадку, якщо частка набагато менше, ніж середня довжина вільного пробігу оточуючих молекул, то вона (частка) веде себе як велика молекула. У цьому випадку говорять про вільно - молекулярний режим.
Ключовою у нашому випадку, безрозмірний параметр, який визначає характерні властивості середовища щодо частки, - число Кнудсена.
де λ-довжина вільного пробігу, D - діаметр частинки, а R, відповідно, її радіус. Таким чином, число Кнудсена - відношення двох метричних параметрів.
Перш, ніж обговорювати роль числа Кнудсена, ми повинні розглянути обчислення середньої довжини вільного пробігу для пари. Так само необхідно обчислити середню довжину вільного пробігу для чистого газу і для газів, складених із сумішей декількох компонентів. Зауважимо, що повітря, в основному, складається з суміші кисню з азотом, проте загальноприйнято говорити про середній довжині вільного пробігу повітря,
Почнемо з найпростішого випадку, коли частка, знаходиться в чистому газі B. Якщо нас цікавить природа газу - носія, то ми повинні розрахувати середній шлях вільного пробігу, який з'являється при визначенні числа Кнудсена, -
де M B - молекулярна вага молекули B. Зазначимо, що великі молекули переміщуються більш повільно, в той час як середня швидкість газу збільшується з температурою. Середня швидкість молекули азоту при температурі 298К, згідно (8.2) дорівнює 474 м / c, а кисню - 444 м / c.
Давайте оцінимо те, що трапляється з молекулою B протягом одиниці часу, скажімо, секунди. Протягом цієї секунди молекула переміщається, в середньому, на відстань, рівне цьому проміжку часу (секунда), помноженому на швидкість молекули. Якщо протягом тієї секунди молекула піддається деякому числу зіткнень - Z bb, то її середня довжина вільного пробігу буде дорівнює, за визначенням,
Таким чином, щоб обчислити середню довжину вільного пробігу молекули, ми повинні спочатку обчислити число зіткнень Z bb. Нехай,
і середня довжина вільного пробігу:
Видно, що чим більше розмір молекули,
На жаль, навіть при тому, що (2.5) забезпечує досить непогану залежність довжини вільного пробігу від газової концентрації і розміру молекули, вона не зручна для використання, тому що необхідно знати діаметр молекули
де
Таким чином, для стандартних атмосферних умов, якщо діаметр частинки є більшим, ніж приблизно 0.2
Тепер перейдемо до розгляду більш цікавого випадку - визначення довжини вільного пробігу газу в бінарній суміші. Якщо ми цікавимося дифузією молекули пари до частинки, які містяться у фоновому газі B (наприклад, в повітрі), тоді опис дифузійного процесу, залежить від значення числа Кнудсена, визначення якого засноване на середньому довжині вільного пробігу
тепер ми повинні оцінити
де
і
Відзначимо, що молекулярна концентрація
2.1.2 Безперервний режим.
Несталих дифузія молекул виду A до поверхні частки радіусаде c (r, t) - концентрація молекул А, а
де
Тепер, комбінуючи (2.11) і (2.13), отримаємо:
Якщо
рішення (2.14) в граничних умовах (2.5) - (2.17), буде виглядати так:
Тимчасова залежність концентрації в будь-якому радіальному положенні r дається третім членом на правій стороні (2.18). Відзначимо, що для великих значень t, значення верхньої межі інтегрування наближається до нуля і профіль концентрації наближається до сталого стану, що задається
Повний потік молекул А (молей в секунду) до частинки позначений Jc, індекс c показує, що режим безперервний (continuum), і задається, як:
або, використовуючи (2.19) і (2.13), як
Якщо
Масовий баланс на зростаючої або випаровується частці:
де
Коли
Використання незалежного від часу усталеного профілю, заданого (2.19), для обчислення розміру частки у часі (11.24) може здаватися суперечливим. Використання усталеного дифузійного потоку, для обчислення темпу зростання частки увазі, що профіль концентрації пари близько частинки досягає сталої величини перш, ніж відбудеться помітне зміна величини молекули. Так як зростання дійсно відбувається в сотні разів повільніше ніж дифузія, профіль близько частки фактично завжди залишається в її стаціонарному значенні.
2.1.3 Вільно - молекулярний (кінетичний) режим.
У тривимірному випадку число зіткнень молекул з одиницею поверхні в одиницю часу дорівнюєде
З огляду на це, молярний потік
де
2.1.4 Перехідний режим.
Сталий потік молекул пари до сфери, коли частка є досить великий у порівнянні із середньою довжиною вільного пробігу молекул пари, задається рівнянням Максвелла (2.20). Так як це рівняння грунтується на рішенні рівняння переносу в безперервному режимі, воно перестає діяти, коли середня довжина вільного пробігу молекул пари стає порівнянним діаметру частинки. В іншому випадку, вираз, засноване на кінетичної теорії газів (2.27) також не справедливо в цьому випадку, деРозподіл концентрації дифузійних молекул і фонового газу в перехідному режимі суворо описується рівнянням Больцмана. На жаль, не існує загального рішення рівняння Больцмана, справедливого для всього діапазону чисел Кнудсена. Як наслідок, більшість досліджень явищ переносу уникає вирішувати безпосередньо рівняння Больцмана і обмежують себе підходом, заснованим на так званому методі підгонки потоків. Підгонка потоків передбачає, що кінетичні ефекти обмежені областю
Відстань
• Теорія Фукса Відповідність безперервних і свободномолекулярних потоків молекули відноситься до часу Миколи Альбертовича Фукса, який запропонував, що підгонкою двох потоків у
Тоді вирішуючи стаціонарне рівняння переносу для розведеної системи,
використовуючи як граничні умови (11.27) і
де поправочний коефіцієнт
Зв'язавши бінарну дифузію і середню довжину вільного пробігу, використовуючи
Зауважимо, що визначення середньої довжини вільного пробігу
і ставлення Фукса (2.33) перетворюється, використовуючи (2.34),
Значення
• Підхід Фукса і Сутугіна. Фукс і Сутугін в 1971 році пішли рішенням рівняння Больцмана, даного Сахни в 1966 році, для
Рівняння (2.36) засновано на результатах для
• Підхід Дахнеке. Дахнеке (Dahneke) у 1983 використовував потік, відповідний підходу Фукса, але, припускаючи що -
де
• Підхід Лоялкі. Лоялка в 1983 побудував поліпшені інтерполяційні формули для перехідного режиму, вирішуючи лінеаризовані рівняння Больцмана за допомогою БГК моделі (Bhatnagar, Gross, Krook - 1954):
Середня довжина вільного пробігу, використовувана Лоялкой:
2.2 Підведення підсумків
Для отримання максимально точних результатів по випаровуванню і конденсації частинок застосовуються самі різні підходи: від напівемпіричних, деякі з яких перераховані вище, до досить обгрунтовані з математичної точки зору. До цих робіт, зокрема, відноситься серія робіт [16] - [21]. В основі цих робіт лежить розрахунок потоку пари на частку інтегруванням функції розподілу, отриманої в результаті рішення Лінеаризовані рівняння Больцмана:тут:
З точки зору коректності постановки задачі та знаходження її вирішення слід відзначити роботу Сахни [24]. Взагалі кажучи, ця робота належить до розрахунку потоку нейтронів - в сповільнювачі реактора з урахуванням поглинання їх чорними сферами. Тим не менш, вона повністю застосовна для випаровування і конденсації частинок сферичної форми. По суті справи ця робота - рішення задачі Мілна для сферичної геометрії. Це завдання було зведена до інтегрального рівняння першого роду, потім перетворено до сингулярного рівняння типу Коші, яку було потім вирішено чисельними методами. Ці результати, зокрема, були використані Фуксом і Сутугіним [8] для отримання апроксимаційною формули перехідного режиму. Очевидно, що для отримання точних співвідношень для потоку молекул на поверхню частинки, необхідно розв'язувати рівняння для функції розподілу Больцмана. Усе визначається тим, в якому вигляді брати праву частину цього рівняння, нижче ми повернемося до цього.
2.2 Постановка завдання.
Наука про аерозольні частинках почалася c вирішення проблеми випаровування в газоподібному середовищі.Припустимо, нам відомий радіус частинки - a, і концентрація молекул пари навколо цієї частки - n (r), де r - радіус-вектор, побудований з точки початку координат (центр частки). Потрібно знайти залежність радіусу частинки від часу - a (t). Отже, масу частинки можна виразити як
де j - щільність потоку конденсується молекул пари, m 0 - маса молекули. Продифференцировав ліву частину і спростивши рівняння (2.39) отримаємо:
Проінтегрувавши цей вираз, отримаємо:
Видно, що для розрахунку швидкості випаровування або конденсації, що і складає нашу задачу, необхідно знати величину потоку молекул пари на поверхню частинки. Вперше її записав Максвелл в кінці 19-го століття:
тут j - це щільність потоку конденсується молекул пари (кількість молекул осаждающихся на одиниці площі часток в одиницю часу); D - коефіцієнт дифузії молекул пари в газі-носії,
Інший граничний випадок був отриманий значно пізніше для вільно молекулярного режиму: конденсаційний потік пропорційний твору теплової швидкості молекул
Як вже зазначалося вище, для перехідного режиму, коли рівняння для потоку молекул перетвориться з виду (33) до форми (34), запропоновано досить багато підходів [2] - [11]. З цих формул можна виділити вираз, запропоноване Фуксом і Сутугіним, оскільки воно найбільш часто цитується:
де х = а / l і l відносна і розмірна довжина вільного пробігу. Якщо ввести термін - ефективність конденсації а - то завдання буде зведена до знаходження цієї величини, через яку визначається потік молекул на поверхню частинки:
Таким чином, всі зусилля експериментаторів і теоретиків зводилися до визначення саме цієї величини.
Пропонований нижче підхід заснований на розрахунку ефективності конденсації а за допомогою розподілу молекул пари за швидкостями і координатами, як це було зроблено у Сахни [24]. Для отримання цієї функції розподілу необхідно вирішувати рівняння Больцмана. Щоб спростити отримання цього рішення, права частина рівняння Больцмана - інтеграл зіткнення - був лінеаризована. Такий прийом був зроблений Бхатнагаром, Гроссом та Круком [27] - так зване БГК наближення. У цьому БГК наближенні використовуються найбільш прості граничні умови. Передбачається, що частково молекули відчувають дзеркальне відображення, а деякі з молекул осідають на поверхні. У цьому наближенні інтеграл зіткнень представлений в досить простому вигляді:
тут
· Задовольняють рівнянням збереження маси, імпульсу і енергії;
· Задовольняє Н - теоремі.
Простота рівняння (2.46) оманлива. Це рівняння має сильну нелінійність, таким чином, локальні параметри - маса, імпульс і енергія повинні визначатися через одночасткові функцію розподілу
3. Рішення завдання та результати дослідження
3.1 Лінеаризовані рівняння Больцмана для сферичної геометрії в одношвидкісному наближенні.
Розглянемо отримання лівій частині рівняння для функції розподілу Больцмана - знайдемо вираз оператораЗв'язок вводиться системи координат - вона також ортогональна - з декартовій може бути представлена системою рівнянь:
Для обчислення градієнта в цій системі координат знайдемо метричний тензор:
Після простих обчислень можна отримати:
Тоді для градієнта довільної функції в цій системі координат:
Де
Для розглянутої функції розподілу Больцмана, як це було зроблено в одношвидкісному наближенні, відповідним завданню Мілна:
Тоді ліва частина рівняння для функції розподілу Больцмана в системі координат, описаної раніше, буде виглядати наступним чином:
3.2 Основні рівняння
Припустимо, що є сферична частка (крапля рідини), яка оточена молекулами газу-носія, концентрація якихТут
це чисельна концентрація молекул пари. Для простоти будемо працювати в системі одиниць, де l = 1.
При інтегруванні (3.8) по
Функцію розподілу зручно розбити на дві частини:
де
Функції
Система рівнянь (3.13) і (3.14) повинна бути доповнена граничними умовами:
Це найбільш прості граничні умови, які встановлюють зв'язок між функціями
3.3 Формальне рішення рівняння для функції розподілу.
Введемо нові змінніУ цих змінних рівняння (3.6) і (3.7) приймають форму:
Припустимо, що
де
У змінних
Тепер
3.4 Точні результати вирішення рівнянь
Подальші кроки пов'язані з отриманням явного виду рішення (3.24). Для цього необхідно отримати залежністьЦя функція призначена для того, щоб плавно перейти від значень концентрації пари на поверхні частинки до концентрації на далеких від частки відстанях. Природно,
Тут введено позначення
Другий теж легко призвести до зручного для використання увазі, для цього введемо заміну змінних:
У результаті для
Тепер вирази для розподілу концентрації
Тут введено такі позначення
У відповідності з рівнянням (3.11) можна записати, що
де D коефіцієнт дифузії (D = 1 / 3 у БГК наближенні) і введемо позначення
Щоб встановити форму цієї залежності,
Тут функція
де
і
При підстановці співвідношення (3.34) в рівняння (3.30) і (3.31) можна отримати:
де
Рішення цих рівнянь можна представити через детермінанти:
Остаточно отримаємо:
Можна отримати і явну форму цих виразів:
3.5 Прикордонний шар.
Слід враховувати, що, незважаючи на те, що всі вище отримані вирази точні, поки немає рецепту, як рахувати інтеграли, що входять у вирази (3.42-3.44). Для цього треба зрозуміти, як вибрати конкретний вид функціїде величина параметра
Представлена інтерпретація досить прямолінійна, чутливість остаточного результату до величини
Рис. 1. Профіль концентрації поблизу поверхні частки (див. рівняння (3.25), (3.34) і (3.47)). Концентрації нормовані на 1, відстань виміряна в довжинах вільного пробігу. Криві 1-4 розраховані для
Отже, знайдемо параметр
У результаті перетворення отримаємо:
Тепер можна записати функціонал, який треба мінімізувати щодо параметра
де
Вищеописана модель була реалізована у двох видах: як програма на мові C з використанням бібліотеки GSL, а так само у вигляді додатку пакету Mathcad. Розглянемо отримані результати:
Рис. 2. Значення функціонала (3.51) в дифузійному (безперервному) режимі
Рис. 3. Значення функціонала (3.51) в перехідному режимі
Рис. 4. Значення функціонала (3.51) в свободномолекулярном (кінетичному) режимі
Ми бачимо, що функціонал зменшується із зростанням
Розглянемо вплив параметра на остаточний результат:
Рис. 5. Залежність потоку конденсується парів
З малюнка 5 видно, що остаточний результат не сильно залежить від параметра
3.6. Наближення стрибка концентрації на поверхні частинки
Розглянемо випадок, колиПри виведенні цих рівнянь було використано те, що
3.7 Чисельні результати
Залежності j від імовірності прилипанняРис. 6. Залежність відносного потоку конденсується парів (
Потік
Відповідність між формулами, як можна бачити з малюнків 8 і 9, не потребує коментарів за винятком того, що при малих
Рис. 7. Потік конденсується парів: порівняння наближення стрибка концентрації з формулою Фукса-Сутугіна при ймовірності прилипання
Рис. 8. Потік конденсується парів: порівняння наближення стрибка концентрації з формулою Фукса-Сутугіна при ймовірності прилипання
Графік зростання частки для різних ймовірностей прилипання представлена на рисунку 9 і малюнку 10 була знайдена з рівнянь (2.41) і (3.59).
Рис. 9. Розмір частки a (t), знайдений з рівнянь (2.41) і (3.59). Маса і густина налітають частинок взяті рівними одиниці.
Рис. 10. Розмір частки a (t), знайдений з рівнянь (2.41) і (3.59). Маса і густина налітають частинок взяті рівними одиниці.
4. Висновки і висновок.
У результаті роботи над дипломом було зроблено:
1. Досліджено процес конденсації при різних числах Кнудсена.
2. Для розрахунку густини потоку молекул пари на частку було використано вирішення Лінеаризовані рівняння Больцмана.
3. Оцінено значення параметра рішення рівняння Больцмана для широкого діапазону значень чисел Кнудсена.
4. Виявлено, що модель односкоростного наближення дає стрибок концентрації на поверхні. Це означає, що значення параметра рішення має бути дуже великим.
5. Чисельні експерименти показали, що найбільш важливі величини, потік молекул пари, швидкість зростання частки, слабо залежать від значення визначається параметра.
6. При малих значеннях імовірності прилипання ця залежність стає ще менше.
7. Запропоновано і реалізовано алгоритм розрахунку конденсаційного росту частинок при різних числах Кнудсена ймовірностях прилипання молекул пари до поверхні частинки.
Список літератури
1. JC Maxwell Collected Scientific Papers, Cambridge, 11, 625, 1890.
2. Фукс Н.А. Випаровування і зростання крапель в газоподібному середовищі. - Вид. АН СРСР, Підсумки науки, с. 90, 1958.
3. М. Фукс,: рис, т.4, вип. 7, 1934.
4. Li YQ, Davidovits P., Shi Q., Jayne JT, Kolb CE, Worsnop DR Mass and Thermal Accomodation Coefficients of H2O (g) on Liquid Water as Function of Temperatrue. - J.Phys.Chem.A, 105, 29, 10627-10634, 2001.
5. Heidenreich S., Buttner H. Investigation about the infuence of the Kelvin effect on droplet growth rate. - J. Aerosol Sci., V.26, n.2, 335 - 339, 1995.
6. Shi Q., Davidovits P., Jayne JT, Worsnop DR, Kolb CE Uptake of gas-phase ammonia. 1. Uptake by aqueous surfases as function of pH. - Mass and Thermal Accomodation Coefficients of H2O (g) on Liquid J.Phys.Chem.A, 103, 29, 8812-8823, 1999.
7. Swartz E., Shi Q., Davidovits P., Jayne JT, Worsnop DR, Kolb CE Uptake of gas-phase ammonia. 2. Uptake by sufuric acid surfaxres J.Phys.Chem.A, 103, 29, 8824-8833 1999
8. Widmann JF, Davis EJ Mathemetical models of the uptake of C1ONO2 and other gases by atmospheric aerosols. - J. AerosoI Sci., V.28, n.2, pp. 87 - 106, 1997.
9. Fuchs NA, Sutugin AG Highly dispersed aerosols, in Topicsin Current Aerosol Research (Part 2), ed. by CM. Hidy and JR Brock, New York, pp. 1-200, 1971.
10. Dahneke B. Simple kinetic theory of Brownian diffusion in vapor and aerosols, in Theory of Dispersed Multiphase Flow, ed. by RE Meyer Academic Press, New York, pp. 97 - 133, 1983.
11. Loyalka SK Modelling of condensation in aerosols. - Prog. Nucl.Energy, v.12, pp.1-? 1983.
12. Sitarski M., Nowakowski B. Condensation rate of trace vapor on Knudsen aerosols from solution of the Boltzmann equation. - J. Colloid Interface Sci., V.72, pp.113-122, 1979.
13. Лушников А.А., Загайнов В.А. Кінетичні ефекти конденсації при довільній ймовірності прилипання молекул до частинок. - Изв. АН, сер. ФАС), Т.38, № 2, с. 192 - 199.
14. К. Черчіньяні. Теорія і додатки рівняння Больцмана. - Вид. Світ. Москва, 1978.
15. Резібуа П., Де Ленер П. Класична кінетична теорія рідин і газів. - Вид. Світ, Москва, 1980.
16. Bhatnagar PL, Gross EP, Krook M. A model for collision processes in gases.