Дискретні ланцюги

А. Т. Бізін

Сибірська Державна Академія телекомунікацій та інформатики

Новосибірськ 1998

Різницеве ​​рівняння і дискретна ланцюг

Безперервний сигнал на вході лінійної системи x (t) і відповідний сигнал y (t) на виході пов'язані диференціальним рівнянням. Заміна безперервної змінної t на дискретну змінну nT призводить до заміни диференціального рівняння різницевим рівнянням. Канонічна форма різницевого рівняння загального вигляду, що враховує в явному вигляді наявність в системі як прямих, так і зворотних зв'язків, запишеться так

y (nT) = am x (nT - mT) + y (nT - ), (2.1)

де (M + 1) - число прямих зв'язків,

Z - число зворотних зв'язків,

m, , N - цілі позитивні числа.

Аналітичні методи розв'язування різницевих рівнянь багато в чому повторюють методи рішення диференціальних рівнянь і дозволяють отримати рішення в загальному вигляді, придатному для аналізу роботи дискретної системи. Чисельні методи рішення призводять до результату у вигляді числової послідовності, тому різницеве ​​рівняння в цьому випадку сприймається як алгоритм функціонування дискретної системи, придатної для програмування на ЕОМ роботи такої системи.

Система робота якої описується різницевим рівняннями, є дискретною так як вона здатна впливати тільки на відліки сигналу. Дискретна система і дискретна ланцюг здійснює, згідно (2.1) наступні операції над дискретними сигналами.

Зрушення (запізнювання) на ціле число інтервалів T

Множення на певний коефіцієнт am або b

Додавання сигналів

Перераховані операції утворюють повний базис, в якому можна реалізувати задане вплив на сигнал.

Набору операцій базису відповідає набір типів елементів дискретної ланцюга: елементи пам'яті (затримки), помножувачі і суматори.

Канонічна схема дискретної ланцюга загального вигляду, відповідна різницевого рівняння (2.1), наведена на Рис. 2.1.

Різницеве ​​рівняння з постійними коефіцієнтами am, b описує лінійну дискретну ланцюг. Різницеве ​​рівняння з коефіцієнтами, залежними від рівня відліків дискретного сигналу, описує нелінійну дискретну ланцюг.

Різницеве ​​рівняння складається безпосередньо за схемою ланцюга, враховуючи можливі шляхи проходження сигналу, або за системним характеристикам ланцюга.

Приклад. Скласти різницеве ​​рівняння ланцюга, схема якої наведена на Рис. 2.2, а.

Рішення.

Тут є три шляхи проходження сигналу від входу до виходу ланцюга, по яких сигнали проходять і потім складаються в суматорі. Тому різницеве ​​рівняння має вигляд

y (nT) = 0,5 x (nT) - 0,7 x (nT - T) + 0,35 x (nT - 2T).

Приклад. Визначити y (nT) (Мал. 2.2, б), якщо x (nT) = {1,0, 0,5}.

Рішення.

Різницеве ​​рівняння ланцюга y (nT) = 0,5 x (nT - T) + 0,1 x (nT) чисельне рішення різницевого рівняння:

n = 0; y (0T) = 0,5 x (-T) + 0,1 x (0T) = 0,1;

n = 1; y (1T) = 0,5 x (0T) + 0,1 x (1T) = 0,55;

n = 2; y (2T) = 0,5 x (1T) + 0,1 x (2T) = 0,25;

n = 3; y (3T) = 0,5 x (2T) + 0,1 x (3T) = 0.

Отже y (nT) = {0,1; 0,55; 0,25}.

Графіки сигналів x (nT) і y (nT) наведено на рис (2.3, а, б).

Приклад. Визначити сигнал на виході ланцюга (рис 2.2, в), якщо y (nT) = {0,1; 0,1}.

Рішення.

Ланцюг містить зворотний зв'язок (ОС), тому сигнал на виході ланцюга формується як сигнал з боку входу, так і з боку виходу.

y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T)

n = 0 y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0

n = 1 y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4

n = 2 y (0T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = 0,368 і т.д. ...

Отже y (nT) = {0; 0,4; 0,368; ...}.

У даному випадку за рахунок циркуляції сигналу по ланцюгу ОС вихідний сигнал складається з нескінченного числа відліків.

Дискретна ланцюг, що містить ОС, називається рекурсивної. Дискретна ланцюг без ОС називається нерекурсивний.

Передавальна функція дискретної ланцюга

Заміна сигналів у різницевому рівнянні (2.1) на Z - зображення цих сигналів

,

призводить до алгебраизации різницевого рівняння

.

Алгебраізація здійснюється застосуванням теорем лінійності і запізнювання.

Перехід до області Z - зображень дозволяє ввести поняття передавальної функції дискретної ланцюга H (Z), яка визначається як відношення Z - зображення сигналу на виході ланцюга до Z - зображенню сигналу на вході ланцюга. Тому, враховуючи алгебраїчну форму різницевого рівняння загального вигляду, можна записати загальний вигляд передавальної функції дискретної ланцюга

. (2.3)

Звідси, зокрема, для нерекурсивний ланцюга

. (2.4)

Якщо нерекурсивний ланцюг складається всього з одного елемента запізнювання, то ,

що знаходить своє відображення в позначенні елементів пам'яті на схемах дискретних ланцюгів.

Передавальна функція конкретного ланцюга формується за передавальним функцій її елементів відповідно до загальних правил лінійних ланцюгів. Зокрема, для ланцюга містить ОС застосовується відома формула

, (2.5)

де - Передатна функція ланцюга

прямого проходження сигналу,

- Предаточная функція ланцюга ОС.

Приклад. Оперделить передавальну функцію ланцюга на рис. (2.4, а).

Рішення.

, Де , .

Приклад. Визначити передавальну функцію на рис. (2.4, б).

Рішення.

,

де - Передатна функція рекурсивної частини схеми,

- Передатна функція нерекурсивний частини ланцюга.

За відомою передавальної функції можна легко визначити різницеве ​​рівняння ланцюга.

Приклад. Скласти різницеве ​​рівняння ланцюга на рис. (2.2, в).

Рішення.

Тут .

Тому .

Звідси .

Отже переходячи до оригіналів: y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Загальні властивості передавальної функції.

Критерій стійкості дискретної ланцюга збігається з критерієм стійкості аналогового ланцюга: полюси передавальної функції повинні розташовуватися в лівій півплощині комплексного змінного , Що оответствует положенню полюсів в межах одиничного кола площині

z = x + jy.

Передавальна функція ланцюга загального вигляду записується, згідно (2.3), наступним чином:

, (2.6)

де знаки доданків враховуються в коефіцієнта ai, bj, при цьому b0 = 1.

Властивості передавальної функції ланцюга загального вигляду зручно сформулювати у вигляді вимог фізичної реалізованості раціональної функції від Z: будь-яка раціональна функція від Z може бути реалізована у вигляді передавальної функції стійкої дискретної ланцюга з точністю до множника H0ЧHQ, якщо ця функція задовольняє вимогам:

коефіцієнти ai, bj - дійсні числа,

корені рівняння V (Z) = 0, тобто полюси H (Z), розташовані в межах одиничного кола площині Z.

Множник H0ЧZQ враховує постійне посилення сигналу H0 і постійний зсув сигналу по осі часу на величину QT.

Частотні характеристики.

Комплекс передавальної функції дискретної ланцюга

визначає частотні характиристики ланцюга

- АЧХ, - ФЧХ.

На підставі (2.6) комплекс передавальної функції загального вигляду запишеться так

.

Звідси формули АЧХ і ФЧХ

, (2.7)

, (2.8)

Частотні характеристики дискретної ланцюга є періодичними функціями. Період повторення дорівнює частоті діскретезаціі wд.

Частотні характеристики прийнято нормувати по осі частот до частоти діскретезаціі

, (2.9)

де W - нормована частота.

У розрахунках із приенения ЕОМ нормування за частотою стає необхідністю.

Приклад. Визначити частотні характеристики ланцюга, передатна функція якої

H (Z) = a0 + a1ЧZ-1.

Рішення.

Комплекс передавальної функції: H (jw) = a0 + a1e-jwT.

з урахуванням нормування за частотою: wT = 2p Ч W.

Тому

H (jw) = a0 + a1e-j2pW = a0 + a1 cos 2pW - ja1 sin 2pW.

Формули АЧХ і ФЧХ

H (W) = , J (W) = - arctg .

графіки АЧХ і ФЧХ для позитивних значень a0 і a1 за умови a0> a1 наведено на рис. (2.5, а, б.)

Логарифмічний масштаб АЧХ - ослаблення А:

; . (2.10)

Нулі передавальної функції можуть розташовуватися в будь-якій точці площини Z. Якщо нулі розташовані в межах одиничного кола, то характеристики АЧХ і ФЧХ такого ланцюга зв'язані перетворенням Гільберта і однозначно можуть бути визначені одна через іншу. Така ланцюг називається ланцюгом мінімально-фазового типу. Якщо хоча б один нуль з'являється за межами одиничного кола, то ланцюг відноситься до ланцюга нелінійно-фазового типу, для якого перетворення Гільберта не застосовується.

Імпульсна характеристика. Згортка.

Передавальна функція характеризує ланцюг в частотній області. У тимчасовій області ланцюг характеризується імпульсною характеристикою h (nT). Імпульсна характеристика дискретної ланцюзі є реакцію ланцюга на дискретну d - функцію. Імпульсна харакетерістіка і передавальна функція є системними характеристиками і пов'язані між собою формулами Z - перетворення. Тому імпульсну реакцію можна розглядати як певний сигнал, а передавальну функцію H (Z) - Z - зображення цього сигналу.

Передавальна функція є основною характеристикою при проектуванні, якщо норми задані относітеольно частотних характерітік системи. Відповідно, основною характеристикою є імпульсна характеристика, якщо норми задані в тимчасовій обрости.

Імпульсну характеристику можна визначити безпосередньо за схемою як реакцію ланцюга на d - функцію, або рішенням різницевого рівняння ланцюга, вважаючи, x (nT) = d (t).

Приклад. Визначити імпульсну реакцію ланцюга, схема якої наведена на рис.2.6, б.

Рішення.

Різницеве ​​рівняння ланцюга y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Рішення різницевого рівняння в чисельному вигляді за умови, що x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256, і т.д. ...

Звідси h (nT) = {0; 0,4; -0,032; 0.00256; ...}

Для стійкої ланцюга відліки імпульсної реакції з плином часу прагнуть до нуля.

Імпульсну характеристику можна визначити за відомою передавальної функції, застосовуючи

а. обернене Z-перетворення,

б. теорему розкладання,

в. теорему запізнювання до результатів поділу полінома чисельника на поліном знаменника.

Останній з перерахованих способів відноситься до чисельних методів рішення поставленої задачі.

Приклад. Визначити імпульсну характеристику ланцюга на рис. (2.6, б) по передавальної функції.

Рішення.

Тут H (Z) = .

Розділимо чисельник на знаменник

Застосовуючи до результату поділу теорему запізнювання, отримуємо

h (nT) = {0; 0,4; -0,032; 0.00256; ...}

Порівнюючи результат з розрахунками за різницевого рівняння в попередньому прикладі, можна переконатися в достовірності розрахункових процедур.

Пропонується визначити самостійно імпульсну реакцію ланцюга на рис. (2.6, а), застосовуючи послідовно обидва розглянутих методи.

Відповідно до визначення передавальної функції, Z - зображення сигналу на виході ланцюга можна визначте як твір Z - зображення сигналу на вході ланцюга і передавальної функції ланцюга:

Y (Z) = X (Z) ЧH (Z). (2.11)

Звідси, по теоремі про згортку, згортка вхідного сигналу з імпульсною характеристикою дає сигнал на виході ланцюга

y (nT) = x (kT) Чh (nT - kT) = h (kT) Чx (nT - kT). (2.12)

Визначення вихідного сигналу за формулою згортки знаходить застосування не тільки в розрахункових процедурах, але і в якості алгоритму функціонування технічних систем.

Приклад.

Визначити сигнал на виході ланцюга, схема якої наведена на рис. (2.6, б), якщо x (nT) = {1,0, 0,5}.

Рішення.

Тут h (nT) = {0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...}

Розрахунок за (2.12)

n = 0: y (0T) = h (0T) x (0T) = 0;

n = 1: y (1T) = h (0T) x (1T) + h (1T) x (0T) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1T) x (1T) + h (2T) x (0T) = 0,168;

Таким чином y (nT) = {0; 0,4; 0,168; ... }.

У технічних системах замість лінійної згортки (2.12) частіше застосовується кругова або циклічна згортка.

Кругова згортка

Реальним сигналам відповідають числові послідовності кінцевої довжини. Кінцеву числову послідовність можна продовжити по осі часу шляхом періодичного повторення та отримати періодичну числову послідовність. Періодичної числової послідовності відповідає спектр у вигляді періодичної числової послідовності. Обидві послідовності мають однаковий період N і пов'язані формулами ДПФ.

Заміна реальних послідовностей періодичними дозволяє підвищити ефективність використання обчислювальної техніки стосовно до дискретним сигналам (швидкісна згортка, ШПФ і ін)

Згортка періодичних послідовностей називається круговою і визначається на інтервалі рівному одному періоду.

y (nT) = x (kT) Чh (nT - kT), (2.13)

Лінійна і кругова згортки дають однаковий результат, якщо відповідним чином вибрати в круговій згортку розмір вихідних послідовностей. Справа в тому, що згортка кінцевих послідовностей призводить до послідовності, розмір якої N перевищує довжину кожної з вихідних послідовностей і, за визначенням, дорівнює

N = N1 + N2 - 1, (2.14)

де N1 - довжина послідовності x (nT),

N2 - довжина послідовності h (nT).

Тому заміна вихідної послідовності на періодичну виконується з таким розрахунком, щоб довжина періоду вийшла рівною N, додаючи з цією метою нулі в якості відсутніх елементів.

Приклад.

Обчислити кругову згортку за даними прикладу в параграфі 2.4.

Рішення.

Тут, нехтуючи малими значеннями відліків представимо імпульсну реакцію у вигляді кінцевої числової послідовності h (nT) = {0; 0,4; -0,032}.

Звідси, оскільки x (nT) = {1,0, 0,5}, з урахуванням (2.14)

N1 = 2, N2 = 3, N = 4.

Отже вихідні числові послідовності запишуться так

x (nT) = {1,0; 0,5; 0; 0}, h (nT) = {0; 0,4; -0,032; 0}.

Звідси, застосовуючи (2.13), отримуємо

n = 0: y (0T) = x (0T) h (0T) + x (1T) h (-1T) + x (2T) h (-2T) + x (3T) h (-3T) = 0;

n = 1: y (1T) = x (0T) h (1T) + x (1T) h (0T) + x (2T) h (-1T) + x (3T) h (-2T) = 0,4 ;

n = 2: y (0T) = x (0T) h (2T) + x (1T) h (1T) + x (2T) h (0T) + x (3T) h (-1T) = 0,168;

n = 3: y (0T) = x (0T) h (3T) + x (1T) h (2T) + x (2T) h (1T) + x (3T) h (0T) = -0,016;

Отже y (nT) = {0; 0,4; 0,168; -0,016}, що збігається з розрахунками за лінійною згортку в прикладі параграфа 2.4.

Графіки періодичних числових послідовностей x (nT), h (nT), y (nT) наведено на рис. (2.7).

До періодичних числовим послідовностей, отриманим викладеним вище способом, можна застосувати ДПФ, перемножити результати і після виконання зворотного ДПФ отримати послідовність y (nT), збігається з результатами розрахунків за коловою згортку.

Енергія дискретного сигналу

Кореляція і енергетичний спектр.

В якості енергії дискретного сигналу прийнята міра

Wx = x2 (nT), (2.15)

відповідно в частотній області, згідно рівності Парсеваля,

Wx = X2 (w) dw = X (jw) X * (jw) d (jw), (2.16)

де X (jw) = X (w) ejj (w) - спектр сигналу x (nT),

X * (jw) = X (w) e-jj (w) - спектр x (-nT) відповідно до теореми про спектр інверсного сигналу,

X2 (w) = X (jw) ЧX * (jw) = Sx (jw) - енергетичний спектр сигналу x (nT).

На рис. (2.8) показаний в якості прикладу сигнал x (nT) і його інверсна копія x (-nT) для деякого окремого випадку

Енергетичний спектр висловлює середню потужність сигналу x (nT), що припадає на вузьку смугу частот в околиці змінної w.

У тимчасовій області енергетичному спектру відповідає згортка Інверн сигналів, що визначає кореляційну функцію Sx (nT) сигналу x (nT).

. (2.17)

Згідно (2.17) і (2.15) кореляційна функція в точці n = 0 дорівнює енергії сигналу, тобто

(2.18)

Для періодичних дискретних сигналів кореляційна функція та енергетичний спектр пов'язані формулами ДПФ

. (2.19)

Звідси виходять розрахункові формули енергії періодичних дискретних послідовностей

, (2.20)

що відповідає рівності Парсеваля для дискретних періодичних сигналів. Кореляційна функція таких сигналів визначається за формулою кругової згортки

.

Розрахунок енергії дискретного сигналу можна виконати при необхідності, застосовуючи рівність Парсеваля щодо Z - зображень сигналу і його інверсної копії (теорема енергій)

, (2.21)

де - Z - зображення кореляційної функції.

Доречно зауважити, що стосовно до випадкових сигналів кореляційна функція частіше визначається формулою з ваговим множником , Тобто

,

відповідно для енергетичного спектру

,

що призводить до результату, при якому середнє значення випадкової величини із зростанням N сходиться до постійної величини.

Згортка сигналу з інверсною копією іншого сигналу називається взаємної кореляцією цих сигналів.

Розрахунок енергії сигналу в дискретної ланцюга.

У будь-якій точці дискретної ланцюга енергію сигналу можна обчислити за відомим сигналом або за кореляційної функції сигналу в цій точці. Кореляційну функцію сигналу в деякій точці ланцюга можна визначити не тільки за відомим сигналом, але і за відомою кореляційної функції вхідного сигналу і імпульсної реакції

, (2.22)

де - Кореляційна функція сигналу на вході ланцюга,

- Кореляційна функція імпулсного відгуку в даній точці,

- Умовний знак згортки.

Доведемо рівність (2.22).

.

У цьому виразі в силу лінійності ланцюга сигнали можна поєднувати різними способами. Тому

,

що доводить справедливість (2.22). Отже

. (2.23)

Автокорреляционная функція є парною функцією, тому застосовуючи кругову згортку (2.22), періоди і необхідно вирівняти з таким розрахунком, щоб зберегти парний характер цих функцій.

Приклад. Визначити енергію сигналу на виході ланцюга, якщо

x (nT) = {0,5, 0,5}, h (nT) = {1,0, 0,5}.

Рішення.

1. Розрахунок в тимчасовій області.

Визначаємо сигнал на виході ланцюга за формулою кругової згортки

Звідси .

2. Розрахунок в частотній області.

Спочатку необхідно визначити відліки спектру сигналу за формулою прямого ДПФ

.

Звідси, згідно рівності Парсеваля,

.

3. Розрахунок за формулою (2.23).

Визначаємо кореляційні функції і .

Отже, .

збільшуючи період і до N = 5, отримуємо

, .

На рис. (2.9, а) показана періодична послідовність до збільшення періоду, на рис. (2.9, б) - після збільшення періоду.

Згідно (2.22)

.

Звідси .

Наприкінці розглянемо важливий приватний випадок застосування формули (2.23).

Для випадкових сигналів з нульовим середнім

, (2.24)

де - Дисперсія випадкового сигналу x (nT).

Звідси, враховуючи (2.23),

.

Отже

, (2.25)

Формула (2.25) застосовується, зокрема, для розрахунку шумів квантування в цифрових ланцюгах.

Секціонування.

Реальні сигнали можуть мати значну протяжність в часі, тому обробка таких сигналів на ЕОМ здійснюється посекційно. Розрахунки по кожній секції виконуються за формулою кругової згортки

,

де h (nT) - імпульсна характеристика, що визначає спосіб обробки сигналу.

Кожна секція поєднується з предидущую секцією з урахуванням зсуву між секціями вхідного сигналу.

Застосовуються два основні методи секціонування: метод перекриття з підсумовуванням і метод перекриття з накопиченням.

1. Метод перекриття з підсумовуванням.

Сигнал x (nT) розбивається на секції довжиною L. Звідси - Довжина секції , - Довжина секції , - Довжина .

Довжина секції більше довжини секції на . Тому суміжні секції вихідного сигналу перекриваються на інтервалі довжиною . На інтервалі перекриття необхідно виконати арифметичні операції з підсумовування відліків.

2. Метод перекриття з накопиченням.

Сигнал x (nT) розбивається на секції довжиною L. Потім кожна секція нарощується зліва ділянкою предидущую секції довжиною . Тому

- Довжина , - Довжина , - Довжина .

Штучне подовження кожної секції приводить до того, що перші і останні відліків секції є помилковими і тому відкидаються. Решта L відліків кожної секції, є щирими, тому суміжні секції поєднуються без перекриття і без зазору.

Приклад. Здійснити посекційно обробку сигналу

x (nT) = {1,0, 0,5}, якщо h (nT) = {1,0, 0,5}.

Рішення.

Застосуємо метод перекриття з накопиченням.

Нехай L = 1. Звідси ;

, Тому після штучного подовження секцій:

.

Вирівнюємо періоди сигналів для застосування кругової згортки:

N = N1 + N2-1 = 3. Отже x0 (nT) = {0; 0,4; 0}, x1 (nT) = {0,4; 0,8; 0}, x2 (nT) = {0,8; 0; 0} Після згортки з кожної секції і відкидання відліків одержуємо: звідси

y (nT) = {0,4, 1,0, 0,4}.

Метод перекриття з накопиченням отримав переважне поширення, оскільки тут не потрібно проведення додаткових аріфметічкскіх операцій після обробки кожної секції.