Дискретні сигнали

А. Т. Бізін

Сибірська Державна Академія телекомунікацій та інформатики

Новосибірськ 1998

Дискретизація неперервних сигналів

Обробка сигналів на цифрових ЕОМ починається з заміни безперервного сигналу X (t) на дискретну послідовність, для якої застосовуються такі позначення

x (nT), x (n), xn, {x0; x1; x2, ...}.

Дискретизація здійснюється електронним ключем (ЕК) через рівні інтервали часу T (Мал. 1.1).

Дискретна послідовність апроксимує вихідний сигнал X (t) у вигляді гратчастої функції X (nT). Частота перемикання електронного ключа fд і крок дискретизації T пов'язані формулою

fд = 1 / T. (1.1)

Дискретна послідовність або дискретний сигнал виражається через вихідний безперервний (аналоговий) сигнал наступним чином

x (nT) = x (t) d (t - nT), (1.2)

де d (t) - дискретна d - функція (Мал. 1.2, а),

d (t - nT) - послідовність d - функцій (Мал. 1.2, б).

Похибка, яка виникає при заміні аналогового сигналу дискретним сигналом, зручно оцінити порівнюючи спектри цих сигналів.

Зв'язок спектрів дискретного і безперервного сигналів.

Початкове вираз для спектру дискретного сигналу з урахуванням (1.2) запишеться наступним чином

X (jw) = x (nT) e-jwt dt = x (t) d (t - nT) e-jwt dt.

Періодичну послідовність d - функцій тут можна розкласти в ряд Фур'є

d (t - nT) = ,

де з урахуванням формули зв'язку спектрів періодичного і неперіодичного сигналів

, Оскільки Fd (jw) = 1

Після заміни у вихідному виразі періодичної послідовності d - функцій її розкладанням в ряд Фур'є отримаємо

X (jw) = x (t) ( ) E-jwt dt = x (t) e-jwt dt.

Враховуючи тут теорему зміщення спектрів, тобто :

якщо f (t) ® F (jw), то f (t) ® F [j (w ± w0)],

Останнім рівність можна представити у вигляді формули, що виражає зв'язок спектрів дискретного X (jw) і аналогового Xa (jw) сигналів

X (jw) = Xa [j (w - )]. (1.3)

На підставі формули (1.3) з урахуванням пояснювальних малюнків 1.3, а, б можна зробити наступні висновки:

Спектр дискретного сигналу складається з суми спектрів вихідного безперервного сигналу, зсунутих один щодо одного по осі частот на величину рівну частоті дискретизації wд

Спектри аналогового і дискретного сигналів збігаються у діапазоні частот [-0,5 wд; 0,5 wд], якщо задовольняється нерівність

wв Ј 0,5 wд, (1.4)

де wв - верхня частота спектру аналогового сигналу.

Рівність у (1.4) відповідає твердженням теореми Котельникова про мінімальну частоті wд.

Суміжні спектри Xa (jw) в (1.3) частково перекриваються, якщо умова (1.4) не виконується (Рис 1.3, б). У цьому випадку спектр дискретного сигналу спотворюється по відношенню до спектру аналогового сигналу. Ці спотворення є неусувними і називаються помилками накладання.

Аналоговий сигнал можна відновити повністю по дискретного сигналу за допомогою ФНЧ, частота зрізу якого wс = 0,5 wд. Це твердження засноване але збігу спектрів дискретного сигналу на виході ФНЧ і безперервного сигналу. Сигнал відновлюється без спотворень, якщо виконується умова (1.4). у противному випадку сигнал відновлюється з спотвореннями, зумовленими помилками накладення.

Вибір частоти дискретизації здійснюється відповідно до (1.4). якщо частота wв не відома, то вибір з wд визначається розрахунком за формулою (1.1), в якій інтервал T вибирається наближено з таким розрахунком, щоб аналоговий сигнал відновлювався без помітних спотворень плавним сполученням відліків дискретного сигналу.

Перетворення Фур'є і Лапласа для дискретних сигналів.

Для дискретних сигналів формули Фур'є і Лапласа представляється можливим спростити. Дійсно, оскільки

то після переходу до дискретної змінної пара перетворень Фур'є приймає вигляд

Тут застосовуються формули одностороннього перетворення Фур'є, так як початок відліку поєднується з початком дії дискретного сигналу.

Формули Фур'є для дискретних сигналів застосовуються в нормованому вигляді, тому після заміни X (nT) ® X (nT) / T перетворення Фур'є приймає остаточний вигляд

(1.5)

Формули Лапласа для дискретних сигналів утворюються на підставі (1.5) після узагальнення частоти на всю площину комплексного змінного, тобто jw ® P = d + jw

(1.6)

Z - перетворення.

Ефективність частотного аналізу дискретних сигналів істотно зростає, якщо замінити перетворення Лапласа Z - перетворенням. У цьому випадку зображення сигналу X (p), яке представляє собою трансцендентну функцію змінної P = d + jw, замінюється Z - зображенням сигналу X (Z), яке є раціональною функцією змінної Z = x + jy.

Формули Z - перетворення виходять з формули Лапласа (1.6) заміною змінних

epT = Z. (1.7)

Підстановка (1.7) та її похідної

dZ / dp = TepT

в (1.6) приводить до формул прямого і зворотного Z - перетворення

(1.8)

Точки на уявної осі комплексного змінного p = d + jw, тобто точки p = jw, визначають реально частотні характеристики сигналу. Уявної осі відповідає на площині Z одиничне коло, тому що в цьому випадку згідно (1.7)

Z = ejwT = (1.9)

Тому безперервного росту змінної на уявної осі площині p = d + jw, відповідає багаторазовий обхід одиничному колі на площині z = x + jy (Мал. 1.4). Цим фактом пояснюється, зокрема, та обставина, що інтегрування у формулі зворотного z - перетворення (1.8) здійснюється уздовж одиничному колі площині z замість інтегрування уздовж прямої паралельної уявної площини p.

Враховуючи вищевикладене та формули (1.7), (1.9) можна стверджувати, що ліва полуплоскость змінного p = d + jw відображається на площину одиничного кола змінного z = x + jy, права полуплоскость - на площину z за межами одиничного кола.

Підстановка (1.9) в z - зображення сигналу призводить до спектру цього сигналу, підстановка (1.7) дає зображення по Лапласа.

Приклад. Визначити спектр та побудувати графіки модуля й аргументу спектральної щільності сигналу x (nT) = {a; b} (Мал. 1.5, а).

Рішення.

Z - зображення сигналу згідно (1.8)

X (Z) = x (nT) Zn = x (0T) Z-0 + x (1T) Z-1 = a + bZ-1

Звідси підстановкою (1.9) визначаємо спектр сигналу

X (jw) = a + be-jwT.

Графіки модуля й аргументу спектральної щільності наведені на малюнку 1.6, а, б на інтервалі частот [0; wд].

Поза інтервалу частот [0; wд] частотні залежності повторюються з періодом wд.

Основні теореми Z - перетворення.

Перерахуємо без доведення теореми z - перетворення, які потрібні в наступних розділах.

1. Теорема лінійності.

Якщо x (nT) = ax1 (nT) + bx2 (nT),

то X (Z) = a X1 (Z) + bX2 (Z).

Теорема запізнювання.

Якщо x (nT) = x1 (nT - QT),

то X (Z) = X1 (Z) ZQ.

Теорема про згортку сигналів.

Якщо X (nT) = x1 (kT) x2 (nT - kT),

то X (Z) = X1 (Z) X2 (Z).

Теорема про примноження сигналів.

Якщо x (nT) = x1 (nT) x2 (nT),

то X (Z) = X1 (V) X2 ( ) V-1 dV,

де V, Z - змінні на площині Z.

Теорема енергій (рівність Парсеваля).

x2 (nT) = X (Z) X (Z-1) Z-1 dZ.

Z - перетворення дискретних сигналів має значення рівне значенню перетворення Лапласа безперервних сигналів.

Дискретне перетворення Фур'є.

Якщо сигнал обмежений у часі значенням tu, а його спектр - частотою wв, то він повністю характеризується кінцевим числом відліків N як в тимчасовій, так і в частотній областях (Мал. 1.7, а, б):

N = tu / T - в тимчасовій області, де T = 1/fд,

N = fд/f1 - в частотній області, де f1 = 1/tu.

Дискретного сигналу відповідає періодичний спектр, дискретного спектру буде відповідати періодичний сигнал. В цьому випадку відліки X (nT) = {X0; X1; ... XN-1} є коефіцієнтами ряду Фур'є періодичної послідовності X (jkw1), період, який дорівнює wд. Відповідно, звіти X (jkw1) = {X0; X1; ... XN-1} є коефіцієнтами ряду Фур'є періодичної послідовності X (nT), період, який дорівнює tu.

Зв'язок відліків сигналу і спектру встановлюється формулами дискретного перетворення Фур'є (ДПФ). Формули ДПФ випливають з формул Фур'є для дискретних сигналів (1.5), якщо безперервну змінну w замінити дискретної змінної kw1, тобто

w ® kw1, dw ® w1.

Після заміни змінної в (1.5) отримаємо

X (jkw1) = x (nT) ,

x (nT) = X (jkw1) .

Звідси після підстановки w1 = wд / N, T = 2p/wд формули ДПФ приймають остаточний вигляд

X (jkw1) = x (nT) - Пряме ДПФ,

x (nT) = X (jkw1) - Зворотне ДПФ (1.10)

Сигнал з обмеженим спектром має, строго кажучи, нескінченну довжину в часі і, відповідно нескінченне число відліків і безперервний спектр. Спектр залишиться безперервним, якщо число відліків сигналу обмежити кінцевим числом N. Формули (1.10) в цьому випадку будуть висловлювати зв'язок між N відліками дискретного сигналу та N відліками його безперервного спектру, який можна повністю відновити за його відліками.

Приклад. Визначити відліки спектру сигналу на Рис. 1.5, а.

Тут N = 2 тому X (jkw1) = x (nT) e-jpkn отже

X (j0w1) = x (nT) e-j0 = x (0T) + x (1T) = a + b

X (j1w1) = x (nT) e-jpn = x (0T) e-j0 + x (1T) e-jp a = - b

графік відліків спектру наведено на Рис. 1.5, б, де w1 = wд / N = 0,5 wд.

Сигнал з кінцевим числом відліків N має спектр, який повторює з кінцевою похибкою спектр сигналу з нескінченним числом відліків: спектри співпадають на відлікових частотах kw1 і відрізняються на інших частотах. Відмінність спектрів тим менше, чим більше N. Справді, реальні сигнали мають кінцевою енергією і, отже, починаючи з деякого номера відліку іншими номерами можна знехтувати через їх малості, що не матиме помітного впливу на спектр сигналу.

Приклад. Здійснити дискретизацію експоненціального імпульсу X (t) = Ae-at = 1 e-10t і порівняти спектри вихідного і дискретного сигналів.

Рішення.

Графік сигналу X (t) представлений на Рис. 1.8

Нехай T = 0,02 с. У цьому випадку плавним сполученням відліків сигналу (штрихова лінія на Рис. 1.8) сигнал відновлюється задовільно хоча помітні спотворення в околиці точки t = 0, тому помилки накладення будуть певним чином впливати на спектральні характеристики.

Нехай tu = 0,4 с. У цьому випадку

N = tu / T = 20.

Розрахунок спектру за формулою прямого ДПФ в точці w = 0 (k = 0) запишеться так

X (j0w1) = 1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 05488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 + 0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0 , 09072 + 0,07427 + 0,06081 + 0,04979 + 0,04076 + 0,03337 + 0,02732 + 0,02237 = 5,41

Істинне значення спектру в точці w = 0 можна визначити знаючи спектр аналогового експоненціального імпульсу

Xa (jw) = , Отже Xa (j0) = = 0,1.

щоб порівняти спектри дискретного і безперервного сигналів, дискретний спектр необхідно денорміровать множенням на T, так як формули Фур'є для дискретних сигналів застосовуються в нормованому вигляді. Тому

X (jow1) = 5,41 T = 5,42 ч0, 02 = 0,1082.

Таким чином збіг спектрів Xa (jw) і X (jw) в точці w = 0 цілком задовільний. Деяка неточність пояснюється впливом помилок накладення.

Доречно зауважити, що вибір кроку дискретизації досить контролювати в точках максимальної крутості вихідної функції X (t). У розглянутому прикладі такою точкою є момент часу t = 0.

На закінчення відзначимо, що формули ДПФ спрощують розрахункові процедури за взаємною перетворенню сигналів та їх спектрів, що особливо важливо для технічних систем, що функціонують У реальному масштабі часу. В таких випадках застосовується алгоритм швидкого перетворення Фур'є (ШПФ), заснований на формулах ДПФ. Прискорена процедура розрахунків за алгоритмом ШПФ досягається за рахунок виключення повторних арифметичних операцій, характерних для розрахунків за формулами ДПФ.