Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Дискретні системи радіоавтоматики"
МІНСЬК, 2008

Передавальні функції дискретних систем

Передавальна функція дискретної системи визначається як відношення z-зображень вихідний і вхідний величин при нульових початкових умовах:
; .
Передавальні функції дискретної системи при нульовому значенні флюктуаціоної складової визначаються виразами
; (1)
. (2)
Якщо в системі використовується фіксатор, то передатна функція наведеної безперервної частини системи визначається виразом
,
де ─ передатна функція послідовного з'єднання фіксатора і формуючого фільтра.
;
.
Множення зображення по Лапласа на відповідає затримці оригіналу на величину Т. З урахуванням теореми зсуву та позначення
(3)
отримаємо
(4)
─ визначається за таблицями z - зображень.

Різницеві рівняння

Різницеві рівняння визначають зв'язок між дискретними значеннями вихідної та вхідної величин в тактових точках.
Щоб скласти різницеве ​​рівняння, треба уявити дискретну передавальну функцію в наступному вигляді:
. (5)
Якщо ─ значення вихідної величини, а ─ вхідний у вигляді
z-зображення, то зв'язок між ними визначається виразом
. (6)
Підставимо (5) в (6):

(7)
Застосуємо до лівої і правої частин рівняння (7) теорему звернення. З урахуванням теореми запізнювання оригіналу можна записати
, (8)
де ;
.
З рівняння (8) можна визначити значення оригіналу в тактових точках:
. (9)
Рівняння (9) є різницевим рівнянням, що визначає зв'язок між вхідний і вихідний величинами в тактових точках.
Операторний коефіцієнт передачі дискретної системи
Для складання операторного коефіцієнта передачі вводиться оператор запізнювання - с.
Дія його на тимчасову функцію приводить її до зрушення за часом на величину Т:
;
;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
.
При використанні оператора з різницеве ​​рівняння записується у вигляді
,
де
.
Щоб перейти від дискретної ПФ до операторними коефіцієнтами передачі, необхідно зробити заміну:
.
Комплексний коефіцієнт передачі дискретної системи
Комплексний коефіцієнт передачі дискретної системи (частотну передавальну функцію) можна отримати з передавальної функції дискретної системи шляхом заміни :
.
Комплексний коефіцієнт передачі дискретної системи визначається як відношення комплексних амплітуд керованої величини Y (kT) і задає впливу в тактових точках kT. За формування значень вихідного процесу в тактових точках дискретна система еквівалентна безперервної з комплексним коефіцієнтом передачі Hд (jw).
Комплексний коефіцієнт передачі є періодичною функцією змінної з періодом зміни, рівним
.

Стійкість дискретних систем

Стійкість дискретної системи пов'язана з розташуванням полюсів її передавальної функції на комплексній площині. Якщо все полюса розташовані в лівій півплощині, система стійка. Таким чином, замінивши в передавальної функції H (z) z на esT і вирішивши характеристичне рівняння, можна визначити стійкість.
При переході від s-площини до z-площині ліва полуплоскость площині s трансформується в коло одиничного радіусу. Тому дискретна система стійка, якщо полюси її передавальної функції H (z) розташовані всередині кола одиничного радіуса, тобто задовольняють умові
| Zi | <1, i = 1,2 ... n,
де zi ─ коріння характеристичного рівняння:
A (z) = an zn + an-1z n-1 + ... + a0 = 0.
Характеристичне рівняння складається шляхом прирівнювання до нуля знаменника передавальної функції:
.
Для визначення стійкості дискретних систем використовують алгебраїчні та частотні критерії.
Алгебраїчний критерій полягає в перевірці виконання системи нерівностей, складених з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
При n = 1: .
При n = 2: .
При n = 3 зазначена система нерівностей приймає вигляд

Частотний критерій (критерій Найквіста): якщо годограф комплексного коефіцієнта передачі розімкнутої системи при зміні частоти від 0 до 2π / Т не охоплює точку c координатами (-1; j0), то система стійка.
Проаналізуємо стійкість системи, представленої структурною схемою (рис.1).

Рис.1. Структурна схема дискретної системи.
Передавальна функція від впливу до помилки
,
Характеристичне рівняння:
.
Враховуючи загальну форму запису характеристичного рівняння ,
знайдемо коефіцієнти

Умова стійкості для систем з n = 1:

Таким чином, у дискретній системі накладаються обмеження на період дискретизації Т і на коефіцієнт посилення Kv.
Безперервна система з одним інтегратором не має таких обмежень.
Нехай при t = 0, а на виході інтегратора є напруга U, рівне х (0); тоді при t = 0 отримаємо:
- На вході інтегратора;
- На виході інтегратора.
Відповідно
,
а через такт, при t = T:

Графік залежно х (t) наведено на рис.2.

Рис.2. Графіки зміни помилки в перехідному режимі.

Аналіз детермінованих процесів в дискретних системах

Завданням аналізу є визначення динамічної помилки або залежності вихідної величини від вхідних. Аналіз може бути проведений за допомогою z-перетворень.
Якщо маємо z-зображення

і необхідно визначити оригінал за z-зображенню вихідної величини, то можна скористатися теоремою звернення:

Для обчислення інтеграла звернення використовують теорему про відрахування, відповідно до якої для простого полюса
.
Для полюса порядку m:
.
Для визначення сталого значення величини використовують теорему про граничний значенні оригіналу:

У деяких випадках можна використовувати таблиці, якщо вираз, що визначає z-зображення, просте, або розкласти його на прості складові і потім використовувати таблиці.
Для визначення реакції системи на детерміноване вплив можна також використовувати різницеве ​​рівняння. При високому порядку різницевого рівняння для його вирішення застосовують обчислювальні засоби.
Аналіз випадкових процесів дискретних систем
Найбільш часто використовується характеристикою є дисперсія випадкового процесу, зокрема, дисперсія помилки стеження. Дисперсія вихідного процесу в тактових точках (t = kT) і стаціонарному випадковому впливі u (t) на вході з відомою кореляційною функцією і спектральною щільністю S (w) визначається виразом
.
Фундаментальний вираз є дрібно-раціональною функцією змінної jw. Обчислення інтеграла проводиться за методикою, яка використовується при розрахунку дисперсії в лінійних безперервних системах.

ЛІТЕРАТУРА

1. Коновалов. Г.Ф. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Вищ. шк., 2000.
2. Радіоавтоматики: Учеб. посібник для вузів. / Под ред. В.А. Бесекерскій. - М.: Вищ. шк., 2005.
3. Первак С.В радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 2002.
4. Цифрові системи фазової синхронізації / Под ред. М.І. Жодзішского - М.: Радіо, 2000.