Федеральне Агентство з освіти
Московський державний індустріальний університет
РЕФЕРАТ З ФІЗИКИ
ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ
Москва, 2010
ЗМІСТ
Введення
1. Основні формули і поняття
2. Класифікація задач і рекомендації щодо методів їх вирішення
3. Приклади розв'язання типових завдань
Висновок
Список літератури
ВСТУП
Основне завдання динаміки матеріальної точки полягає в тому, щоб знайти закон руху матеріальної точки, знаючи додані до неї сили, або навпаки, за відомим законом руху визначити сили, що діють на цю точку.
Задачі на динаміку матеріальної точки зручно вирішувати в наступній послідовності:
Представивши за умовою завдання фізичний процес, слід зробити схематичне креслення і вказати на ньому всі тіла, що беруть участь в русі, і зв'язки між ними (нитки, пружини і т.д.). Зобразити напрями прискорень цих тіл, якщо це можливо за умовами задачі. В іншому разі направлення прискорень слід проставити довільним чином.
Зобразити всі сили, прикладені до тіл, рух яких вивчається. При цьому перш ніж малювати силу, треба відповісти подумки на питання: «А яке саме тіло (Земля, підставка, нитка або пружина) діє на дане тіло з силою, яку Ви намагаєтеся зобразити?» Якщо Ви не в змозі вказати таке тіло, то це означає, що сила реально не існує і її зображати не треба. Розставляючи сили, прикладені до тіла, необхідно весь час пам'ятати, що сили можуть діяти на дане тіло тільки з боку якихось інших тіл: з боку Землі - це сила тяжіння
, З боку нитки - сила натягу
, З боку пружини - сила пружності
; З боку підставки - сила реакції
і, якщо поверхні підставки і тіла шорсткі, сила тертя
. Крім цього, в деяких завданнях на тіло можуть діяти сили опору
і сили тяжіння (або відштовхування) з іншими тілами; якщо в умові завдання немає спеціальних застережень, цими силами зазвичай нехтують.
При зображенні сил слід пам'ятати, що:
а) сила тяжіння спрямована вертикально вниз (до центру Землі);
б) сила натягу нитки спрямована уздовж нитки від тіла;
в) сила пружності спрямована вздовж пружини від тіла, якщо пружина в процесі руху розтягнута, або до тіла, якщо пружина стиснута;
г) сила реакції опори спрямована перпендикулярно поверхні зіткнення тіла з підставкою;
д) сила тертя ковзання спрямована по дотичній до поверхні підставки у бік, протилежний швидкості руху точок поверхні тіла, що стикаються з підставкою;
е) сила опору спрямована в бік, протилежний вектору швидкості тіла.
При розстановці сил, прикладених до тіла, не обов'язково їх прикладати до строго певних точок тіла (наприклад, силу тяжіння до центру мас). Зазвичай, всі сили зображують прикладеними до якої-небудь довільній точці тіла, вибір якої визначається зручністю і наочністю малюнка.
Після того, як проставлені всі сили, бажано перевірити, чи є сила протидії кожній з сил, зображених на малюнку. Немає необхідності малювати сили протидії силі тяжіння, силам реакції опори і тертя
, Якщо підставкою, по якій рухається тіло, є інше нерухоме тіло, наприклад, Земля.
Вибрати інерційну систему відліку, осі координат якої направити найбільш зручним для вирішення завдання чином. У деяких завданнях буває зручним для кожного з тіл, які беруть участь в русі, вибрати свій напрям осей. Зазвичай зручно для кожного тіла одну з осей системи координат направити уздовж вектора прискорення.
Записати рівняння другого закону Ньютона для кожного тіла у векторній формі.
Записати рівняння другого закону Ньютона у проекціях на осі обраної системи координат. При наявності тертя ковзання, сили тертя, що входять у рівняння, потрібно представити через відповідні коефіцієнти тертя і сили нормального тиску.
Спростивши, якщо можна, рівняння динаміки, доповнити їх необхідними співвідношеннями кінематики для отримання замкнутої системи рівнянь, яку вирішити щодо шуканих невідомих величин.
1. Основні формули і поняття
Сили
Сила тертя ковзання
де коефіцієнт тертя ковзання;
абсолютна величина сили нормального тиску;
одиничний вектор у напрямку швидкості тіла.
Сила пружності
де коефіцієнтами жорсткості;
- Коефіцієнт жорсткості при послідовному з'єднанні пружин з коефіцієнт жорсткості і
відповідно;
=
+
коефіцієнт жорсткості при паралельному з'єднанні пружин з коефіцієнтами жорсткості
і
відповідно;
координата незакріпленого кінця пружини;
вона ж для нерастянутой пружини. Знак мінус показує, що сила спрямована в бік, зворотний деформації.
Сила гравітаційного взаємодії (закон всесвітнього тяжіння)
,
де Н
м / кг 2 - гравітаційна стала;
;
радіус вектор тіла 2 щодо тіла 1. Знак мінус вказує на притягання тіл.
Сила тяжіння
,
де прискорення вільного падіння (поблизу поверхні Землі);
м / с 2;
,
де маса і радіус Землі (планети, зірки) відповідно;
висота над поверхнею Землі.
Принцип незалежності дії сил: якщо на матеріальну точку діють одночасно кілька сил, то кожна з цих сил повідомляє матеріальної точці прискорення згідно з другим законом Ньютона, як ніби інших сил не було. Згідно з цим принципом, сили і прискорення можна розкладати на складові. Сила, що діє на матеріальну точку, що рухається по кривій, може бути розкладена на дві складові - тангенціальну і нормальну.
Тангенціальна (або дотична) сила
,
де одиничний вектор спрямований по дотичній до траєкторії.
Нормальна (або доцентрова) сила
,
де радіус кривизни траєкторії;
одиничний вектор, спрямований по нормалі до траєкторії.
Імпульс
Імпульс матеріальної точки
,
де - Швидкість матеріальної точки.
Імпульс системи матеріальних точок
,
де - Маса
-Ої частки,
- Її швидкість в інерціальній системі відліку.
Другий закон Ньютона
,
де геометрична сума сил, діючих на матеріальну точку;
- Її імпульс;
- Число сил, що діють на точку.
Якщо маса постійна, то другий закон Ньютона класичної механіки може бути виражений формулою
.
Якщо не відомий точний закон, за яким змінюється повна сила
,
що діє на тіло, то можна використовувати поняття середньої сили за якийсь проміжок часу
від моменту
до
:
.
Тоді рівняння другого закону Ньютона можна записати у вигляді
,
де - Зміна імпульсу за той же проміжок часу, іноді твір
називають середнім імпульсом сили.
Другий закон Ньютона в координатній (скалярної) формі
,
,
,
або
,
,
,
де під знаком суми стоять проекції сил на відповідні осі координат.
Третій закон Ньютона
,
де - Сила, діюча на i-ту матеріальну точку з боку k-ої матеріальної точки;
- Сила, діюча на k-ту матеріальну точку з боку i-ої матеріальної точки. Сили, з якими діють один на одного матеріальні точки, завжди рівні за модулем, включені до різних матеріальних точок, протилежно спрямовані, завжди діють парами і діють вздовж прямої, що з'єднує ці точки.
2. Класифікація задач і рекомендації щодо методів їх вирішення
Задачі на динаміку прямолінійного руху матеріальної точки, виходячи з методики їх вирішення, можна розбити на наступні основні типи.
Всі сили
, Що діють на тіло збігаються з прямої, уздовж якої спрямований вектор прискорення. У цьому випадку рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді
і рішення у скалярній формі проводиться з урахуванням напрямку сил.
Якщо діють на тіло сили різноспрямовані (а тим більше деякі з них не збігаються за напрямком з
, Наприклад, рух тіла по похилій площині):
вибрати дві довільні осі ОХ і OY (для спрощення вирішення бажано одну з них направити уздовж вектора прискорення);
спроектувати всі діючі сили на осі ОХ і OY;
записати другий закон Ньютона відповідно для осей ОХ:
OY: ;
вирішити систему рівнянь спільно (при необхідності доповнити відповідними кінематичними рівняннями руху).
Рух декількох сил, пов'язаних невагомими і нерозтяжних нитками (рух кількох тіл по горизонтальній і похилій площинах; завдання на блоки, через які перекинута нитка - мотузка, канат, шнур і т.д.).
Основні закономірності при вирішенні завдань на блоки можна сформулювати наступним чином:
блок вважати невагомим (або його масою можна знехтувати);
нитки між тілами вважати невагомими і нерозтяжних;
сили натягу нитки по обидві сторони блоку однакові;
другий закон Ньютона записувати для кожного тіла окремо (з урахуванням обраного напрямку руху системи тіл);
якщо нитка перекинута, наприклад, через 2 невагомих блоку (один - рухливий, другий - нерухомий), сила натягу нитки буде по всій довжині однакова, але прискорення вантажів внаслідок руху рухомого блоку різні.
3. Приклади розв'язання типових завдань
Приклад 1
Аеростат масою m 250 кг почав опускатися з прискоренням
0,2 м / с 2. Визначити масу баласту, який потрібно скинути, щоб аеростат отримав таке ж прискорення, але спрямоване вгору. Прискорення вільного падіння
9,8 м / с 2. Опором повітря знехтувати.
Дано:
250 кг;
0,2 м / с 2;
9,8 м / с 2.
_______________
m
?
Рис. 2.1.
Рішення: Так як аеростат опускається з прискоренням , Меншим прискорення вільного падіння
, І за умовою завдання опір повітря відсутній, то це означає, що на нього, крім сили тяжіння
діє підйомна сила
, Спрямована вертикально вгору.
Діючі на аеростат сили спрямовані вертикально, отже, рівняння руху
(1)
досить спроектувати тільки на одну вісь системи координат OY:
. (2)
Звідки підйомна сила . (3)
Якщо скинути баласт масою , То рівняння руху можна записати у вигляді
, (4)
або з урахуванням отриманого виразу для підйомної сили (3)
(5)
Отже, маса скинутої баласту дорівнює
10 кг.
Приклад 2
Автомобіль, рушаючи з місця, за час 5с рівноприскореному набирає швидкість
72 км / ч.
Знайти мінімально можливий коефіцієнт тертя між колесами автомобіля і дорогою при такому русі.
Який найменший гальмівний шлях автомобіля, який набрав цю швидкість?
Дано:
5с;
72 км / год
20 м / с;
9,8 м / с 2.
_________________
?
?
Рис. 2.2
Рішення: При русі автомобіля, як при розгоні, так і при гальмуванні, на нього діють три сили: сила тяжіння
, Сила нормальної реакції з боку дороги
і сила тертя
а) При прискореному русі автомобіля сила тертя перешкоджає прослизанню ведучих коліс по поверхні дороги, тому, вона спрямована в бік руху і є силою тертя спокою. Саме сила тертя спокою в даному випадку буде рушійною силою. Виходячи з обраної системи координат XOY, рівняння руху має вигляд
(1)
У проекціях на осі системи координат:
ДГ: , (2)
Про Y: . (3)
Висловивши силу тертя через силу реакції і коефіцієнт тертя
між колесами і дорогою
, (4)
з рівняння руху визначимо прискорення автомобіля:
. (5)
З іншого боку, тому що за умовою задачі автомобіль рухаючись рівноприскореному за час придбав швидкість
, То його прискорення дорівнює
. (6)
З виразів (5) і (6) маємо 0,41. Отже,
0,41. (7)
б) При гальмуванні сила тертя спрямована в бік, протилежний руху і є силою тертя ковзання. Рівняння руху автомобіля в цьому випадку в проекціях на осі координат
Рис. 2.3.
ДГ: , (8)
Про Y: . (9)
Враховуючи, що , Прискорення автомобіля при гальмуванні
. (10)
Шлях, пройдений автомобілем, що рухається равнозамедленно з початковою швидкістю дорівнює
(11)
Час руху до зупинки можна визначити з умови, що кінцева швидкість автомобіля
отже,
(12)
Тоді (13)
Враховуючи вирази для коефіцієнта тертя (7), отримуємо
50 м.
Приклад 3
На гладкій похилій площині з кутом при основі лежить дошка масою М, а на дошці - брусок масою m. На дошку діє сила, спрямована вгору по схилу. При якій величині цієї сили, вантаж почне зісковзувати? Коефіцієнт тертя між дошкою і бруском
. Прискорення вільного падіння
.
Дано:
;
М;
m;
;
.
___________
F ?
Рішення: Сили, що діють на кожне з тіл, в інерціальній системі відліку XOY вказані на Рис.2.4.
Рис. 2.4
На брусок діє сила тяжіння , Сила тертя
, Сила
і сила реакції
; На дошку діє сила тяжіння
, Сила реакції
, Сила тертя
і вага бруска рівний по величині
. Врахуємо, що
. (1)
Запишемо другий закон Ньютона у проекціях на осі обраної системи координат за умови, що брусок по дошці не ковзає:
(2)
(3)
. (4)
Вирішуючи систему рівнянь (2) та (3), отримаємо .
Використовуємо умова (1): .
Отже, при брусок буде зісковзувати з дошки.
Приклад 4
На похилій площині з кутом при основі нерухомо лежить кубик. Коефіцієнт тертя між клином і кубиком дорівнює
. Похила площина рухається з прискоренням
в напрямку, показаному на рис. 2.5. При якому мінімальному значенні цього прискорення кубик почне зісковзувати?
Дано:
;
;
.
________
?
Рис. 2.5
Рішення: Запишемо другий закон Ньютона у проекціях на осі ОХ і Про Y інерціальної системи відліку, пов'язаної з Землею, вважаючи, що кубик щодо клину спочиває:
(1)
(2)
Звідки
Так як кубик спочиває щодо клину, то і
зв'язані співвідношенням
, Тобто
Звідки отримаємо .
Отже, при кубик почне зісковзувати при прискоренні клина, що дорівнює
.
Якщо , То тіло почне зісковзувати при будь-якому як завгодно малому прискоренні.
Висновок
При вирішенні задач динаміки потрібно в першу чергу вибрати систему координат і задати початок відліку часу.
Опис руху в різних системах координат еквівалентні між собою в тому сенсі, що при відомому розташуванні двох систем координат відносно один одного по величинам, знайденим в першій системі, можна визначити відповідні величини у другій.
При вирішенні завдань слід вибрати таку систему координат, в якій рівняння, що описують рух, виходять простіше. При прямолінійному русі система рівнянь виходить простіше, якщо одна з осей координат спрямована уздовж руху.
При вирішенні задач на рух декількох тіл рекомендується користуватися однією системою координат.
Список літератури
Калашников Н.П., Смондирев М.А.. Основи фізики. Т.1.
М.: Дрофа, 2003
Калашников Н.П., Смондирев М.А. Основи фізики. Вправи і завдання.
Чортів А.Г., Воробйов А.А. Задачник з фізики.
Новодворська Є.М., Дмитрієв Е.М. Збірник задач з фізики з рішеннями для втузів.
Демков В.П., Третьякова О.Н. На допомогу вступникам до ВНЗ. Фізика. Механіка. - М.: Видавництво МАІ, 1996.
Касаткіна І.Л. Репетитор з фізики. Т.1.