РЕФЕРАТ
На тему:
"Кінематика матеріальної точки"
Москва, 2010
Введення
Кінематика - це розділ фізики, присвячений математичному опису руху без аналізу причин, що призводять до його виникнення або зміни. Причиною зміни або виникнення руху є сила, а сила по II-у закону Ньютона пов'язана з масою. Тому для того, щоб виключити з розгляду силу досить не розглядати масу. При цьому крім сили з розгляду випадають багато механічні поняття: імпульс, енергія, момент імпульсу. А що залишається, то і розглядається в кінематиці. Таким чином, кінематику можна було б назвати механікою без маси.
Самий простий об'єкт, здатний рухатися - це матеріальна точка: тіло, розміри якого можна знехтувати малі в умовах даної фізичної задачі. Рухом матеріальної точки називається зміна її положення з плином часу. Тому перше кінематичне поняття, з яким ми стикаємося - це положення.
1. Вектор положення
Положення чого завгодно неможливо поставити саме по собі. Все знаходиться щодо чогось. Значить, ми повинні спочатку встановити початок відліку (точку О), а це неможливо зробити по-іншому, крім як поставивши туди якесь матеріальне тіло (тіло відліку). І від цього «головного» тіла вже можна проводити геометричні вектори, що з'єднують початок відліку з тим або іншим положенням матеріальної точки.
Геометричним вектором називається спрямований відрізок, що з'єднує положення двох матеріальних точок.
Геометричний вектор, що з'єднує тіло відліку з матеріальною точкою, називається вектором положення матеріальної точки.
При завданні положення матеріальної точки відносно тіла відліку останнє за визначенням вважається нерухомим. Тому всі можливі вектори положень починаються з однієї точки і називаються радіус-векторами .
Сукупність усіх можливих радіус-векторів утворює простір.
Зміна початку відліку приводить до зміни всіх радіус-векторів. Яким чином? Відповідь залежить від системи постулатів, якими ми збираємося користуватися. Класична механіка, яку ми в основному і вивчаємо, використовує постулати Галілея-Ньютона.
Якщо положення матеріальної точки М відносно тіла відліку в точці О позначити , Щодо іншого тіла відліку в точці О 'позначити , А геометричний вектор, що з'єднує точки О і О ', позначити , То спостерігач в точці О буде бачити три геометричних вектора: , і .
Нехай іншому спостерігачеві в точці О 'немає діла ні до чого, крім матеріальної точки М. Надалі системі відліку з допитливі спостерігачем приділятиметься «другорядна» роль. На противагу цьому система з спостерігачем, який бачить все, буде вважатися «основний». Загалом, спостерігач О 'бачить тільки один вектор . Як співвідноситься геометричний вектор , Видимий у просторі О 'з геометричним вектором , Дивись в просторі Про? Відповідь на це питання дає перший постулат Галілея: геометричні вектори в різних системах відліку однакові. Тобто . Тоді попередній малюнок можна переробити так:
І правило додавання векторів по трикутнику дозволяє записати співвідношення між трьома векторами:
.
Відповідно з цим співвідношенням можна знаходити положення в «основний» системі відліку, знаючи їх у «другорядної». Таке перетворення радіус-векторів будемо називати зворотним перетворенням Галілея. Відповідно, пряме перетворення дозволяє знаходити положення під «другорядної» системі відліку, знаючи їх в «основний»:
Надалі будь-яка величина в «основному» просторі буде називатися «абсолютної», у «другорядне» просторі - «відносної», а та, через яку вони пов'язані, - переносний. Значить
- «Абсолютний» радіус-вектор;
- «Відносний» радіус-вектор;
- Переносний радіус-вектор.
Отже, у відповідність з першим постулатом Галілея зміна початку відліку приводить до зміни простору, що описується перетворенням Галілея. Це означає, що простір відносно.
2. Траєкторія руху
Використовуючи поняття радіус-вектора, рух можна описати функціональною залежністю , Де t - час. Оскільки положення відносно, то і рух відносно. Відносні і всі поняття, пов'язані з ним. Першим з таких понять ми розглянемо траєкторію.
Траєкторією називається сукупність положень, пройдених тілом в процесі руху.
Тіло не може в один і той же момент часу знаходитися в різних положеннях. Тому траєкторія являє собою лінію, і при цьому лінію безперервну. Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний і криволінійний рух. Якщо криволінійна траєкторія лежить в одній площині, то рух називається плоским.
Якщо траєкторія являє собою просторову криву, то в кожній точці траєкторії можна ввести поняття дотичної площини.
Дотичної площиною у будь-якій точці траєкторії М називається граничне положення площини, що проходить через три точки N, M, P цієї траєкторії, коли точки N і P необмежено наближаються (прагнуть) до точки М.
Через три точки, що не лежать на одній прямій можна прости коло і при тому єдину. Тому для будь-якої точки криволінійної траєкторії можна ввести поняття дотичної кола.
Дотичної окружністю в будь-якій точці траєкторії М називається гранична окружність, що проходить через три точки N, M, P цієї траєкторії, коли точки N і P необмежено наближаються (прагнуть) до точки М.
Центром і радіусом кривизни траєкторії в точці М називається центр і радіус кривизни окружності, дотичної з траєкторією в точці М. Очевидно, що у випадку просторової траєкторії стична окружність лежить в дотичної площини. Прямолінійну траєкторію можна вважати траєкторією з нескінченним радіусом кривизни.
Орт - це вектор, що не володіє фізичної розмірністю (безрозмірний), модуль якого дорівнює одиниці. Будь-який вектор можна представити як добуток модуля на орт. Наприклад, радіус-вектор:
Значить, орт будь-якого вектора дорівнює частці від ділення вектора на його орт:
.
Нормаллю траєкторії в точці М називається орт, направлений з точки М в центр кривизни траєкторії в точці М.
Ортом дотичній в точці М називається орт, дотичний до дотичної кола в точці М і спрямований по руху.
Ясно, що .
Переміщенням називається вектор зміни стану або вектор різниці між подальшим становищем і попереднім:
У випадку, якщо жоден відрізок траєкторії не проходився матеріальної точкою двічі, то шлях або колійна координата S (t) - це довжина траєкторії від точки початку руху до даного моменту часу.
Відзначимо дві точки на траєкторії: M з радіусом-вектором і N з радіусом-вектором .
Тоді для переміщення і збільшення шляху D S завжди справедливо:
(Рівність виконується у разі прямолінійною траєкторії). При цьому
У разі криволінійної траєкторії елементарним переміщенням і збільшенням шляху dS називаються такі, для яких з заданою наперед точністю виконується
Очевидно, що
,
тобто .
Отже, ми маємо зв'язок між елементарними переміщенням і збільшенням шляху:
3. Швидкість і прискорення руху
Середньою швидкістю руху називається відношення переміщення до проміжку часу, протягом якого відбулося переміщення:
.
Середній шляхової швидкістю називається відношення приросту шляху до проміжку часу, протягом якого було пройдено це прирощення:
.
Оскільки , То .
Миттєвою швидкістю руху називається границя середньої швидкості при прагненні проміжку часу до 0:
.
Миттєвої шляхової швидкістю називається границя середньої шляхової швидкості при прагненні проміжку часу до 0:
.
Елементарним проміжком часу dt називається проміжок часу, для якого з заданою наперед точністю і середня, і середня шляхова швидкість збігаються з відповідними миттєвими швидкостями.
Елементарним переміщенням в кожному разі назвемо переміщення, що відбулося за елементарний проміжок часу dt. Елементарним збільшенням шляху dS в кожному разі назвемо прирощення, пройдена за елементарний проміжок часу dt.
Користуючись мовою вищої математики, ми можемо сказати, що миттєва швидкість руху або просто швидкість руху є першою похідною радіус-вектора за часом, а шляхова швидкість є першою похідною за часом шляхової координати.
; .
Для того щоб елементарне переміщення в кожному разі збігалося з елементарним переміщенням для криволінійної траєкторії потрібно, щоб точності обчислення співвідношень
; і
збігалися. Про це завжди можна домовитися. Тому ми завжди будемо вважати, що для елементарного проміжку часу , Отже, , Тобто
.
Отже,
.
Тобто модуль швидкості руху збігається з шляхової швидкістю. Кінцеве прирощення шляху по визначенню
.
За визначенням прискоренням матеріальної точки називається перша похідна за часом швидкості руху, тобто друга похідна за часом радіус-вектора:
.
Отже,
Перший доданок пов'язано тільки із швидкістю зміни величини швидкості руху. Оскільки ця частина повного прискорення спрямована по дотичній, то вона називається дотичним прискоренням .
Другий доданок пов'язано тільки із зміною напрямку швидкості руху. Зобразимо два положення матеріальної точки на траєкторії, розділені елементарним збільшенням шляху dS, і відповідні орти дотичній і . З'єднаємо положення з центром кривизни траєкторії в точці dS.
Малий кут d a між радіусами збігається з кутом між ортами дотичній як гострі кути із взаємно перпендикулярними сторонами. З другого малюнка видно, що направлений перпендикулярно , Тобто по Орту нормалі, а його величина
,
отже,
.
Кут d a пов'язаний з елементарним збільшенням шляху dS = R × d a, де R - радіус кривизни траєкторії. Звідси . Підставимо:
.
Тоді друга частина повного прискорення має вигляд:
.
Оскільки ця частина прискорення спрямована по нормалі, то вона називається нормальним прискоренням.
Зведемо усі формули разом:
4. Відносність швидкості руху
Ми вже користувалися поняттям системи відліку, хоча робити цього не мали права. З усіх атрибутів системи відліку був введений тільки один: початок відліку. Інший атрибут - годинник, що знаходяться на початку відліку. Нехай двоє годин перебували в одній системі відліку, а потім «розійшлися» по різним. Перебуваючи в одному місці, вони були синхронізовані. Як вплине на їх свідчення відносна швидкість? Відповідь на це знову залежить від вибору системи постулатів. У механіці Ньютона-Галілея «працює» другий постулат Галілея: про абсолютність проміжків часу. Згідно цього постулату, якщо годинники були синхронізовані, то їх відносна швидкість не впливає на їх свідчення. Згадаймо зворотне перетворення Галілея для радіус-векторів: . Візьмемо елементарні зміни (диференціали) від обох частин цієї рівності.
.
Поділимо це рівність на елементарний проміжок часу щогодини «основного» спостерігача, протягом якого відбулися елементарні переміщення, рівність залишиться вірним:
.
У відповідність з другим постулатом Галілея dt = dt ', де dt' - проміжок часу щогодини «другорядного» спостерігача, протягом якого матеріальна точка перемістилася щодо нього на . Значить, можна записати:
.
Це зворотне перетворення швидкості по Галілею:
.
Пряме перетворення швидкості:
5. Система координат
Для кількісного опису руху в просторі необхідно введення координат точки, тобто сукупності чисел, однозначно визначає положення матеріальної точки відносно початку відліку. Це можливо тільки у випадку введення третього атрибуту системи відліку: системи координат. Тепер можна дати визначення системи відліку: системою відліку називається система координат, на початку якої знаходиться тіло відліку, забезпечене годинами.
У одномірному просторі для завдання «адреси» матеріальної точки досить одного числа, в двовимірному просторі - двох чисел, в тривимірному - трьох чисел. Способів введення адресації - не один. Наприклад, на площині можна задати полярну систему координат (кут, довжина радіус-вектора), в просторі сферичну (довжина радіус-вектора, азимутальний кут і кут горизонту). Ми зупинимося на докладному розгляді системи координат, пов'язаної з розкладанням радіус-вектора.
Відомо, що будь-який вектор може бути представлений як сума трьох векторів, спрямованих за трьома наперед заданих напрямках, не лежать в одній площині.
.
Тут - Сукупність ортов, які задають напрямки. Вона називається базисом системи відліку. - Сукупність координат радіус-вектора в цьому базисі. Оскільки вектор за трьома обраними напрямками розкладається однозначно, то однозначно і визначення координат точки простору.
Розглянемо операцію скалярного множення двох векторів і (Наприклад, радіус-векторів точок простору А і В):
=
Усього дев'ять доданків. Оскільки , То сума діагональних елементів зовсім проста: . Усі інші (перехресні члени) крім твори координат містять множники типу
.
Вираз скалярного добутку можна істотно спростити, якщо вибрати кути . У цьому випадку говорять, що базис системи координат ортогональний. Тільки в ортогональному базисі
,
тому що і всі перехресні члени рівні 0. Саме в силу простоти запису скалярного твори ортогональний базис є кращим.
Вперше ортогональну систему координат (СК) ввів Р. Декарт, і вона називається декартовій. Тільки в декартовій СК
координати вектора є його проекціями на відповідну вісь:
;
доведемо це для першої координати:
координати вектора пов'язані з його модулем співвідношенням Піфагора:
,
тому що у відповідність з виразом скалярного твори в декартовій системі.
Існують традиційні позначення декартовій СК.
Вісь | Позначення координати | Позначення орта |
1 | r 1 = х |
|
2 | r 2 = у |
|
3 | r 3 = z |
|
Таким чином, розкладання радіус-вектора в декартовій СК буде мати вигляд:
.
Векторну функцію руху можна замінити трьома скалярними залежностями, які називаються законами руху: x (t), y (t), z (t). Закони руху містять всю інформацію про рух. Тобто якщо відомі закони руху, то можна відповісти на будь-яке питання, що стосується руху матеріальної точки.
Швидкість.
Таким чином, проекції вектора швидкості рівні похідним відповідних законів руху.
Прискорення.
.
Таким чином, проекції вектора прискорення рівні другого похідним законів руху.
А як знайти дотичне і нормальне прискорення? Вони є результатом розкладання вектора повного прискорення за напрямками дотичної та нормалі:
.
Дотичний орт і орт нормалі є осями двовимірного ортогонального базису. Тобто алгебраїчне значення дотичного прискорення являє собою проекцію повного прискорення на орт :
.
Але дотичний орт можна виразити через вектор швидкості:
.
Отже,
.
Тоді легко отримати:
.
А знайшовши нормальне прискорення, легко знайти радіус кривизни:
Висновок
Підіб'ємо деякі підсумки. Матеріальна точка являє собою ключову фізичну модель. На прикладі цієї моделі розглядаються дуже багато фізичних явищ. Описавши рух матеріальної точки, можна потім перейти і до опису руху твердого тіла, але не навпаки.
Основними поняттями кінематики матеріальної точки є поняття положення точки, її швидкості і прискорення. Але всі ці поняття не мають сенсу поза системою відліку, що включає в себе систему координат і годинник.
Найважливішу роль в кінематиці матеріальної точки грають векторна алгебра і принцип відносності руху.
Складний рух матеріальної точки завжди можна розкласти на складові, причому не однозначно: за координатами, на дотичне і нормальний рух, прямолінійний і обертальний.
Л ітература
Мякишев Г.Я. Фізика - 10. Механіка. - М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синців О.З. Фізика - 10. Молекулярна фізика. Термодинаміка. - М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синців О.З., Слобідка Б.А. Фізика - 10-11. Електродинаміка. - М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синців О.З. Фізик - 11. Коливання і хвилі. - М.: Дрофа. 2002.
Демков В.П., Третьякова О.Н. На допомогу вступникам до ВНЗ. Фізика. Механіка. - М.: Видавництво МАІ, 1996.
Калашников Н.П., Смондирев М.А. Основи фізики. Т.1. М.: Дрофа, 2003
Калашников Н.П., Смондирев М.А. Основи фізики. Вправи і завдання. М.: Дрофа, 2004.
Касаткіна І.Л. Репетитор з фізики. Т.1. Ростов н / Д: Фенікс, 2002.
Новодворська Є.М., Дмитрієв Е.М. Збірник задач з фізики з рішеннями для втузів. М.: ТОВ Видавництво «Світ та Освіта», 2003.