Кінематика матеріальної точки

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

РЕФЕРАТ

На тему:

"Кінематика матеріальної точки"

Москва, 2010

Введення

Кінематика - це розділ фізики, присвячений математичному опису руху без аналізу причин, що призводять до його виникнення або зміни. Причиною зміни або виникнення руху є сила, а сила по II-у закону Ньютона пов'язана з масою. Тому для того, щоб виключити з розгляду силу досить не розглядати масу. При цьому крім сили з розгляду випадають багато механічні поняття: імпульс, енергія, момент імпульсу. А що залишається, то і розглядається в кінематиці. Таким чином, кінематику можна було б назвати механікою без маси.

Самий простий об'єкт, здатний рухатися - це матеріальна точка: тіло, розміри якого можна знехтувати малі в умовах даної фізичної задачі. Рухом матеріальної точки називається зміна її положення з плином часу. Тому перше кінематичне поняття, з яким ми стикаємося - це положення.

1. Вектор положення

Положення чого завгодно неможливо поставити саме по собі. Все знаходиться щодо чогось. Значить, ми повинні спочатку встановити початок відліку (точку О), а це неможливо зробити по-іншому, крім як поставивши туди якесь матеріальне тіло (тіло відліку). І від цього «головного» тіла вже можна проводити геометричні вектори, що з'єднують початок відліку з тим або іншим положенням матеріальної точки.

Геометричним вектором називається спрямований відрізок, що з'єднує положення двох матеріальних точок.

Геометричний вектор, що з'єднує тіло відліку з матеріальною точкою, називається вектором положення матеріальної точки.

При завданні положення матеріальної точки відносно тіла відліку останнє за визначенням вважається нерухомим. Тому всі можливі вектори положень починаються з однієї точки і називаються радіус-векторами .

Сукупність усіх можливих радіус-векторів утворює простір.

Зміна початку відліку приводить до зміни всіх радіус-векторів. Яким чином? Відповідь залежить від системи постулатів, якими ми збираємося користуватися. Класична механіка, яку ми в основному і вивчаємо, використовує постулати Галілея-Ньютона.

Якщо положення матеріальної точки М відносно тіла відліку в точці О позначити , Щодо іншого тіла відліку в точці О 'позначити , А геометричний вектор, що з'єднує точки О і О ', позначити , То спостерігач в точці О буде бачити три геометричних вектора: , і .

Нехай іншому спостерігачеві в точці О 'немає діла ні до чого, крім матеріальної точки М. Надалі системі відліку з допитливі спостерігачем приділятиметься «другорядна» роль. На противагу цьому система з спостерігачем, який бачить все, буде вважатися «основний». Загалом, спостерігач О 'бачить тільки один вектор . Як співвідноситься геометричний вектор , Видимий у просторі О 'з геометричним вектором , Дивись в просторі Про? Відповідь на це питання дає перший постулат Галілея: геометричні вектори в різних системах відліку однакові. Тобто . Тоді попередній малюнок можна переробити так:

І правило додавання векторів по трикутнику дозволяє записати співвідношення між трьома векторами:

.

Відповідно з цим співвідношенням можна знаходити положення в «основний» системі відліку, знаючи їх у «другорядної». Таке перетворення радіус-векторів будемо називати зворотним перетворенням Галілея. Відповідно, пряме перетворення дозволяє знаходити положення під «другорядної» системі відліку, знаючи їх в «основний»:

Надалі будь-яка величина в «основному» просторі буде називатися «абсолютної», у «другорядне» просторі - «відносної», а та, через яку вони пов'язані, - переносний. Значить

  • - «Абсолютний» радіус-вектор;

  • - «Відносний» радіус-вектор;

  • - Переносний радіус-вектор.

Отже, у відповідність з першим постулатом Галілея зміна початку відліку приводить до зміни простору, що описується перетворенням Галілея. Це означає, що простір відносно.

2. Траєкторія руху

Використовуючи поняття радіус-вектора, рух можна описати функціональною залежністю , Де t - час. Оскільки положення відносно, то і рух відносно. Відносні і всі поняття, пов'язані з ним. Першим з таких понять ми розглянемо траєкторію.

Траєкторією називається сукупність положень, пройдених тілом в процесі руху.

Тіло не може в один і той же момент часу знаходитися в різних положеннях. Тому траєкторія являє собою лінію, і при цьому лінію безперервну. Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний і криволінійний рух. Якщо криволінійна траєкторія лежить в одній площині, то рух називається плоским.

Якщо траєкторія являє собою просторову криву, то в кожній точці траєкторії можна ввести поняття дотичної площини.

Дотичної площиною у будь-якій точці траєкторії М називається граничне положення площини, що проходить через три точки N, M, P цієї траєкторії, коли точки N і P необмежено наближаються (прагнуть) до точки М.

Через три точки, що не лежать на одній прямій можна прости коло і при тому єдину. Тому для будь-якої точки криволінійної траєкторії можна ввести поняття дотичної кола.

Дотичної окружністю в будь-якій точці траєкторії М називається гранична окружність, що проходить через три точки N, M, P цієї траєкторії, коли точки N і P необмежено наближаються (прагнуть) до точки М.

Центром і радіусом кривизни траєкторії в точці М називається центр і радіус кривизни окружності, дотичної з траєкторією в точці М. Очевидно, що у випадку просторової траєкторії стична окружність лежить в дотичної площини. Прямолінійну траєкторію можна вважати траєкторією з нескінченним радіусом кривизни.

Орт - це вектор, що не володіє фізичної розмірністю (безрозмірний), модуль якого дорівнює одиниці. Будь-який вектор можна представити як добуток модуля на орт. Наприклад, радіус-вектор:

Значить, орт будь-якого вектора дорівнює частці від ділення вектора на його орт:

.

Нормаллю траєкторії в точці М називається орт, направлений з точки М в центр кривизни траєкторії в точці М.

Ортом дотичній в точці М називається орт, дотичний до дотичної кола в точці М і спрямований по руху.

Ясно, що .

Переміщенням називається вектор зміни стану або вектор різниці між подальшим становищем і попереднім:

У випадку, якщо жоден відрізок траєкторії не проходився матеріальної точкою двічі, то шлях або колійна координата S (t) - це довжина траєкторії від точки початку руху до даного моменту часу.

Відзначимо дві точки на траєкторії: M з радіусом-вектором і N з радіусом-вектором .

Тоді для переміщення і збільшення шляху D S завжди справедливо:

(Рівність виконується у разі прямолінійною траєкторії). При цьому

У разі криволінійної траєкторії елементарним переміщенням і збільшенням шляху dS називаються такі, для яких з заданою наперед точністю виконується

Очевидно, що

,

тобто .

Отже, ми маємо зв'язок між елементарними переміщенням і збільшенням шляху:

3. Швидкість і прискорення руху

Середньою швидкістю руху називається відношення переміщення до проміжку часу, протягом якого відбулося переміщення:

.

Середній шляхової швидкістю називається відношення приросту шляху до проміжку часу, протягом якого було пройдено це прирощення:

.

Оскільки , То .

Миттєвою швидкістю руху називається границя середньої швидкості при прагненні проміжку часу до 0:

.

Миттєвої шляхової швидкістю називається границя середньої шляхової швидкості при прагненні проміжку часу до 0:

.

Елементарним проміжком часу dt називається проміжок часу, для якого з заданою наперед точністю і середня, і середня шляхова швидкість збігаються з відповідними миттєвими швидкостями.

Елементарним переміщенням в кожному разі назвемо переміщення, що відбулося за елементарний проміжок часу dt. Елементарним збільшенням шляху dS в кожному разі назвемо прирощення, пройдена за елементарний проміжок часу dt.

Користуючись мовою вищої математики, ми можемо сказати, що миттєва швидкість руху або просто швидкість руху є першою похідною радіус-вектора за часом, а шляхова швидкість є першою похідною за часом шляхової координати.

; .

Для того щоб елементарне переміщення в кожному разі збігалося з елементарним переміщенням для криволінійної траєкторії потрібно, щоб точності обчислення співвідношень

; і

збігалися. Про це завжди можна домовитися. Тому ми завжди будемо вважати, що для елементарного проміжку часу , Отже, , Тобто

.

Отже,

.

Тобто модуль швидкості руху збігається з шляхової швидкістю. Кінцеве прирощення шляху по визначенню

.

За визначенням прискоренням матеріальної точки називається перша похідна за часом швидкості руху, тобто друга похідна за часом радіус-вектора:

.

Отже,

Перший доданок пов'язано тільки із швидкістю зміни величини швидкості руху. Оскільки ця частина повного прискорення спрямована по дотичній, то вона називається дотичним прискоренням .

Другий доданок пов'язано тільки із зміною напрямку швидкості руху. Зобразимо два положення матеріальної точки на траєкторії, розділені елементарним збільшенням шляху dS, і відповідні орти дотичній і . З'єднаємо положення з центром кривизни траєкторії в точці dS.

Малий кут d a між радіусами збігається з кутом між ортами дотичній як гострі кути із взаємно перпендикулярними сторонами. З другого малюнка видно, що направлений перпендикулярно , Тобто по Орту нормалі, а його величина

,

отже,

.

Кут d a пов'язаний з елементарним збільшенням шляху dS = R × d a, де R - радіус кривизни траєкторії. Звідси . Підставимо:

.

Тоді друга частина повного прискорення має вигляд:

.

Оскільки ця частина прискорення спрямована по нормалі, то вона називається нормальним прискоренням.

Зведемо усі формули разом:

4. Відносність швидкості руху

Ми вже користувалися поняттям системи відліку, хоча робити цього не мали права. З усіх атрибутів системи відліку був введений тільки один: початок відліку. Інший атрибут - годинник, що знаходяться на початку відліку. Нехай двоє годин перебували в одній системі відліку, а потім «розійшлися» по різним. Перебуваючи в одному місці, вони були синхронізовані. Як вплине на їх свідчення відносна швидкість? Відповідь на це знову залежить від вибору системи постулатів. У механіці Ньютона-Галілея «працює» другий постулат Галілея: про абсолютність проміжків часу. Згідно цього постулату, якщо годинники були синхронізовані, то їх відносна швидкість не впливає на їх свідчення. Згадаймо зворотне перетворення Галілея для радіус-векторів: . Візьмемо елементарні зміни (диференціали) від обох частин цієї рівності.

.

Поділимо це рівність на елементарний проміжок часу щогодини «основного» спостерігача, протягом якого відбулися елементарні переміщення, рівність залишиться вірним:

.

У відповідність з другим постулатом Галілея dt = dt ', де dt' - проміжок часу щогодини «другорядного» спостерігача, протягом якого матеріальна точка перемістилася щодо нього на . Значить, можна записати:

.

Це зворотне перетворення швидкості по Галілею:

.

Пряме перетворення швидкості:

5. Система координат

Для кількісного опису руху в просторі необхідно введення координат точки, тобто сукупності чисел, однозначно визначає положення матеріальної точки відносно початку відліку. Це можливо тільки у випадку введення третього атрибуту системи відліку: системи координат. Тепер можна дати визначення системи відліку: системою відліку називається система координат, на початку якої знаходиться тіло відліку, забезпечене годинами.

У одномірному просторі для завдання «адреси» матеріальної точки досить одного числа, в двовимірному просторі - двох чисел, в тривимірному - трьох чисел. Способів введення адресації - не один. Наприклад, на площині можна задати полярну систему координат (кут, довжина радіус-вектора), в просторі сферичну (довжина радіус-вектора, азимутальний кут і кут горизонту). Ми зупинимося на докладному розгляді системи координат, пов'язаної з розкладанням радіус-вектора.

Відомо, що будь-який вектор може бути представлений як сума трьох векторів, спрямованих за трьома наперед заданих напрямках, не лежать в одній площині.

.

Тут - Сукупність ортов, які задають напрямки. Вона називається базисом системи відліку. - Сукупність координат радіус-вектора в цьому базисі. Оскільки вектор за трьома обраними напрямками розкладається однозначно, то однозначно і визначення координат точки простору.

Розглянемо операцію скалярного множення двох векторів і (Наприклад, радіус-векторів точок простору А і В):

=

Усього дев'ять доданків. Оскільки , То сума діагональних елементів зовсім проста: . Усі інші (перехресні члени) крім твори координат містять множники типу

.

Вираз скалярного добутку можна істотно спростити, якщо вибрати кути . У цьому випадку говорять, що базис системи координат ортогональний. Тільки в ортогональному базисі

,

тому що і всі перехресні члени рівні 0. Саме в силу простоти запису скалярного твори ортогональний базис є кращим.

Вперше ортогональну систему координат (СК) ввів Р. Декарт, і вона називається декартовій. Тільки в декартовій СК

  • координати вектора є його проекціями на відповідну вісь:

;

доведемо це для першої координати:

  • координати вектора пов'язані з його модулем співвідношенням Піфагора:

,

тому що у відповідність з виразом скалярного твори в декартовій системі.

Існують традиційні позначення декартовій СК.

Вісь

Позначення координати

Позначення орта

1

r 1 = х

2

r 2 = у

3

r 3 = z

Таким чином, розкладання радіус-вектора в декартовій СК буде мати вигляд:

.

Векторну функцію руху можна замінити трьома скалярними залежностями, які називаються законами руху: x (t), y (t), z (t). Закони руху містять всю інформацію про рух. Тобто якщо відомі закони руху, то можна відповісти на будь-яке питання, що стосується руху матеріальної точки.

  • Швидкість.

Таким чином, проекції вектора швидкості рівні похідним відповідних законів руху.

  • Прискорення.

.

Таким чином, проекції вектора прискорення рівні другого похідним законів руху.

А як знайти дотичне і нормальне прискорення? Вони є результатом розкладання вектора повного прискорення за напрямками дотичної та нормалі:

.

Дотичний орт і орт нормалі є осями двовимірного ортогонального базису. Тобто алгебраїчне значення дотичного прискорення являє собою проекцію повного прискорення на орт :

.

Але дотичний орт можна виразити через вектор швидкості:

.

Отже,

.

Тоді легко отримати:

.

А знайшовши нормальне прискорення, легко знайти радіус кривизни:

Висновок

Підіб'ємо деякі підсумки. Матеріальна точка являє собою ключову фізичну модель. На прикладі цієї моделі розглядаються дуже багато фізичних явищ. Описавши рух матеріальної точки, можна потім перейти і до опису руху твердого тіла, але не навпаки.

Основними поняттями кінематики матеріальної точки є поняття положення точки, її швидкості і прискорення. Але всі ці поняття не мають сенсу поза системою відліку, що включає в себе систему координат і годинник.

Найважливішу роль в кінематиці матеріальної точки грають векторна алгебра і принцип відносності руху.

Складний рух матеріальної точки завжди можна розкласти на складові, причому не однозначно: за координатами, на дотичне і нормальний рух, прямолінійний і обертальний.

Л ітература

  1. Мякишев Г.Я. Фізика - 10. Механіка. - М.: Дрофа. 2002.

  2. Мякишев Г.Я., Синців О.З. Фізика - 10. Молекулярна фізика. Термодинаміка. - М.: Дрофа. 2002.

  3. Мякишев Г.Я., Синців О.З., Слобідка Б.А. Фізика - 10-11. Електродинаміка. - М.: Дрофа. 2002.

  4. Мякишев Г.Я., Синців О.З. Фізик - 11. Коливання і хвилі. - М.: Дрофа. 2002.

  5. Демков В.П., Третьякова О.Н. На допомогу вступникам до ВНЗ. Фізика. Механіка. - М.: Видавництво МАІ, 1996.

  6. Калашников Н.П., Смондирев М.А. Основи фізики. Т.1. М.: Дрофа, 2003

  7. Калашников Н.П., Смондирев М.А. Основи фізики. Вправи і завдання. М.: Дрофа, 2004.

  8. Касаткіна І.Л. Репетитор з фізики. Т.1. Ростов н / Д: Фенікс, 2002.

  9. Новодворська Є.М., Дмитрієв Е.М. Збірник задач з фізики з рішеннями для втузів. М.: ТОВ Видавництво «Світ та Освіта», 2003.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Реферат
79.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Кінематика і динаміка матеріальної точки
Динаміка матеріальної точки
Інтегрування рівнянь руху матеріальної точки що знаходиться під дією змінних сил
Кінематика обертання
Кінематика і формули
Кінематика хімічних реакцій
Кінематика і динаміка поступального руху
Механіка кінематика коливання і хвилі
Межі матеріальної та дисциплінарної відповідальності
© Усі права захищені
написати до нас