Геометричний спосіб додавання сходяться сил. Геометричне умова рівноваги системи збіжних сил
Припустимо, що до твердого тіла в точках А, В, С, Д включені сили F 1, F 2, F 3, F 4, лінії дії яких перетинаються в точці О (ріс.1.16 а). Перенесемо сили вздовж їх ліній дії в точку О і знайдемо їх рівнодіючу. Для визначення величини і напрямки рівнодіючої будемо послідовно складати сили за правилом силового трикутника (ріс.1.16, б). Спочатку знайдемо рівнодіючу R * 1 сили F 1 і F 2, потім R * 2 сил R * 1 і F 3 і т.д. Отримаємо наступне: R * 1 = F 1 + F 2, R * 2 = R * 1 + F 3 = F 1 + F 2 + F 3, R * = R * 2 + F 4 = F 1 + F 2 + F 3 + F 4
Якщо сил буде n, то
. (1.6)
Зробивши побудова, бачимо, що проведення проміжних векторів R * 1, R * 2 було зайвим, можна було, відклавши вектор F 1, до кінця його докласти вектор, рівний F 2, потім до кінця F 2 - вектор, рівний F 3, і т.д. Рівнодіюча R * з'єднує початок першого вектора з кінцем останнього. Отримана фігура називається силовим багатокутником.
Таким чином, рівнодіюча системи збіжних сил дорівнює геометричній сумі цих сил, лінія дії її проходить через точку перетину ліній дії доданків сил. Щоб знайти рівнодіючу сходяться сил геометричним способом, треба побудувати в точці перетинань їх ліній дії силовий многокутник на доданків силах; вектор R *, що з'єднує початок першої сили з кінцем останньої (тобто замикає сторона силового багатокутника), є рівнодіючої. В окремому випадку рівнодіюча трьох збіжних сил, які не лежать в одній площині, зображується діагоналлю паралелепіпеда, побудованого на цих силах (правило паралелепіпеда). Якщо сили взаємно перпендикулярні, то паралелепіпед буде прямокутним (ріс.1.17). Оскільки сходящаяся система сил може бути замінена однією силою - рівнодіючої, то необхідною умовою рівноваги тіла під дією сходяться сил є рівність нулю цієї рівнодіючої.
(1.7)
Геометричне умова рівноваги сходяться сил формулюється так: для рівноваги системи збіжних сил необхідно, щоб їх геометрична сума дорівнювала нулю, тобто щоб силовий многокутник, побудований на доданків силах, був замкнений.
Теорема. Якщо вільне тверде тіло перебуває в рівновазі під дією 3-х непаралельних сил, що лежать в одній площині, то лінії дії сил перетинаються в одній точці.
Доказ
Нехай на тіло діють 3 непаралельних сили F 1, F 2, F 3, що лежать в одній площині та додані в точках А 1, А 2, А 3 (ріс.1.18). Так як сили не паралельні, то, принаймні, лінії дії двох з них перетинаються в одній точці (точка О).
Знайдемо їх рівнодіючу R * 1:
R * 1 = F 1 + F 2.
Лінія дії рівнодіючої R * 1 пройде через точку О. Сила R * 1 повинна врівноважуватися силою F 3, а це можливо лише в тому випадку (див. аксіому 1), коли вони рівні за величиною і спрямовані вздовж однієї прямої в протилежні сторони. Отже, лінія дії сили F 3 пройде через точку перетину ліній дії сил F 1 і F 2, що потрібно було довести.
Зауваження. Три сходяться сили, не лежать в одній площині, перебувати в рівновазі не можуть, так як завжди існує їх рівнодіюча, яка визначиться як діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих силах.
Приклад. Визначити реакції двошарнірної арки, якщо на неї діє сила F. Опора в точці А - шарнірнонеподвіжная, а в точці В - шарнірна на ковзанках. Розміри вказані на ріс.1.19.
Рішення
Лінію дії реакції опори У проводимо перпендикулярно до поверхні кочення ковзанок. Для визначення лінії дії реакції опори А застосуємо теорему про 3-х силах. Так як лінії дії сил F і R B перетинаються в точці О, то і лінія дії сили R A повинна пройти через цю точку. З точки О 1 відкладаємо силу F, з кінця якої проводимо лінію паралельну R B, а з початку лінію паралельну R A, отримаємо силовий трикутник. Напрямок сил R A і R A показуємо, виходячи з умови замкнутості силового трикутника.
Знаходимо величини сил:
Оновлено 28.07.2009 17: 02
Аналітично визначити рівнодіючу сходяться сил можна по проекціям цих сил на нерухомі осі.
Проекція сили на вісь, коли сила і вісь лежать в одній площині (ріс.1.20).
Проекцією сили на вісь називається скалярна величина, що дорівнює взятій зі знаком плюс або мінус довжині відрізка, укладеного між проекціями початку і кінця сили на цю вісь. Проекція сили на вісь має знак плюс, якщо переміщення від її початку до кінця збігається з позитивним напрямком осі, і знак мінус - якщо з негативним.
Проекція сили на вісь (за величиною і за знаком) дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між напрямком сили і позитивним напрямом осі . (1.8)
З малюнка 1.20 видно, що:
На практиці розглядають тільки гострі кути, а знак проекції визначають безпосередньо за кресленням. Наприклад, .
Проекція сили на площину. Проекцією сили F на площину Оxy називають вектор F xy, укладений між проекціями початку і кінця сили F на площину Оxy (ріс.1.21). Таким чином, на відміну від проекції сили на вісь, проекція сили на площину є величина векторна. За модулю F xy = F cosb де b - кут між напрямом сили F та її проекції F xy.
Проекція сили на вісь, коли сила і вісь не лежать в одній площині. У цьому випадку зручніше користуватися таким прийомом:
а) проектують силу F на площину, що містить дану вісь (наприклад, на вісь х-площину xOy);
б) знайдену проекцію сили на площину проектують на дану вісь (вісь х). Це і дає шукану проекцію сили на вісь. У випадку, зображеному на малюнку 1.21, знайдемо, що:
(1.9)
Цей метод називається методом подвійного проектування.
Розкладання сили по координатних осях. Операція розкладання сили обратна операції додавання сил (див. ріс.1.17). Отже, щоб розкласти силу F по координатному осях x, y, z, необхідно на силі F, як на діагоналі, побудувати прямокутний паралелепіпед, ребра якого паралельні даними осях x, y, z (ріс.1.22)
За формулою діагоналі паралелепіпеда маємо:
F = F 1 + F 2 + F 3 (1.10)
де F 1, F 2, F 3 - складові сили F паралельні осям x.
Якщо орти осей координат i, j, k то: F 1 = i F x, F 2 = j F y, F 3 = k F z (1.11) де F x, F y, F z - проекції сили F на осі x , y, z. Подcтавляя (1.11) в (1.10), отримуємо: F = i F x + j F y + k F z. (1.12)
Формула (1.12) називається формулою розкладання сили F по координатним осям. Проекції сили на осі координат визначаються за формулами:
. (1.13)
Формула (1.12) справедлива при розкладанні будь-якого вектора по координатному осях.
Аналітичний спосіб визначення сили за її проекціями на координатні осі x, y, z. Якщо відомі проекції сили на координатні осі x, y, z (ріc.1.22), то модуль сили визначимо по формулі як діагональ прямокутного паралелепіпеда:
, (1.14)
а її напрям - за трьома напрямні косинуси:
. (1.15)
Аналітичний спосіб визначення рівнодіючої системи збіжних сил. Нехай на тверде тіло діє сходящаяся система сил (F 1, F 2, ... F n). У такому випадку рівнодіюча цієї системи сил визначається за формулою (1.6), тобто дорівнює геометричній сумі даних сил:
.
Спроектуємо це векторне рівність на осі прямокутних координат і знайдемо проекції рівнодіючої:
(1.16)
Величина рівнодіючої сили визначиться, згідно з формулою (1.14), так:
, (1.17)
а напрям - за трьома напрямні косинуси:
. (1.18)
Приклад. У точці А до тіла включені три сили: F 1 = 18H, F 2 = 24H, F 3 = 30H, що лежать в одній площині і утворюють між собою кути 105 °, 135 ° і 120 °. Визначити величину і напрям їх рівнодіючої (ріс.1.23)
Рішення
Направимо вісь y по лінії дії сили F 3, а вісь х перпендикулярно до неї. З малюнка 1.23 видно, що сила F 1 утворює з позитивними напрямками осей кути 30 ° і 60 °, сила F 2 - 135 ° і 45 ° і сила F 3 - 90 ° і 180 °. Користуючись формулами (1.16) отримуємо:
Отже, проекції рівнодіючої рівні:
Звідси за формулою (1.17) знаходимо
.
Для визначення кута a між рівнодіючої і віссю х маємо:
Так як і косинус, і синус цього кута негативні, то кут лежить у третій чверті. Знаходимо a = 251,1 °.
Рішення
Спочатку розглянемо рівновагу вузла L, в якому сходяться стержні 1,2,3. На вузол, крім заданої сили P, діють ще реакції S1, S2, S3, спрямовані від вузла в припущенні, що стрижні розтягнуті. Складаємо рівняння рівноваги просторової системи збіжних сил:
Вирішивши складені рівняння при заданому значенні сили Р і кутів, знайдемо:
S1 = - 172 Н, S2 = - 200 Н, S3 = 83 Н.
Тепер розглянемо рівновагу вузла М. На цей вузол, крім сили Q, діють реакції S4, S5, S6 і S'1. При цьому на підставі аксіоми взаємодії реакція S'1 спрямована протилежно S1, але чисельно S'1 = S1 = - 172 Н.
Для вузла М рівняння рівноваги будуть:
При проектуванні сили S4 на осі x і y використовувався метод подвійного проектування.
З останніх рівнянь знаходимо S4 = - 159Н, S5 = 399Н. S6 = - 179Н.
Негативні знаки у S1, S2, S4, S6 вказують, що ці стрижні стислі.
Завдання 1.2.1
Рівнодіюча плоскої системи збіжних сил F 1, F 2, F 3, F 4 дорівнює нулю. Визначити модуль сили F 1, якщо відомі проекції трьох інших сил на осі координат:
F 2x = 4H; F 2y = 7H; F 3x =- 5H; F 3y =- 5H; F 4x =- 2H; F 4y = 0. (Відповідь: 3,61 Н).
Завдання 1.2.2
Відомі проекції на осі координат R x = 18H і R y = 24H рівнодіючої R плоскої системи збіжних сил F 1, F 2, F 3, а також проекції сил F 2, F 3 на ці ж осі: F 2x =- 9H; F 2y = +7 H; F 3x =- 12H; F 3y = 0. Визначити модуль сили F 1. (Відповідь: 34,4 Н).
Завдання 1.2.3
Два невагомих стрижня АС і ВС з'єднані в точці С і шарнірно прикріплені до підлоги. До шарніру З підвішений вантаж 1 (ріс.1.26). Визначити реакцію стрижня ПС, якщо зусилля в стержні АС одно 43н, кути a = 60 °, b = 30 °. (Відповідь: - 24,8 Н).
Завдання 1.2.4
Однорідний кулю вагою 40 Н спирається на дві площини, що перетинаються під кутом a = 60 ° (ріс.1.27). Визначити тиск кулі на похилу площину. (Відповідь: 46,2 Н).
Завдання 1.2.5
Три стрижня AD, BD, CD з'єднані в точці D шарнірно (ріс.1.28). Визначити зусилля в стержні CD, якщо сила F = 8H знаходиться в площині Oyz і кут a = 20 °. (Відповідь: 0).
Рівновага тіла під дією плоскої системи сил.
Для рівноваги твердого тіла, що знаходиться під дією плоскої системи сил, необхідно і достатньо, щоб головний вектор цієї системи сил і її алгебраїчний головний момент були рівні нулю, тобто R = 0, L O = 0, де О - будь-який центр, розташований в площині дії сил системи.
Випливають звідси аналітичні умови рівноваги (рівняння рівноваги) плоскої системи сил можна сформулювати в наступних трьох формах:
Основна форма рівнянь рівноваги:
для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на кожну з координатних осей і сума їх алгебраїчних моментів щодо будь-якого центру, що лежить в площині дії сил, були рівні нулю:
F ix = 0; F iy = 0; M O (F i) = 0. (I)
Друга форма рівнянь рівноваги:
для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми алгебраїчних моментів всіх сил щодо двох центрів А і В і сума їх проекцій на вісь Ox, не перпендикулярну осі Ox, були рівні нулю:
F ix = 0; M А (F i) = 0; M В (F i) = 0. (II)
Третя форма рівнянь рівноваги (рівняння трьох моментів):
для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми алгебраїчних моментів всіх сил щодо будь-яких трьох центрів А, В і С, які не лежать на одній прямій, були рівні нулю:
M А (F i) = 0; M В (F i) = 0; M С (F i) = 0. (III)
Рівняння рівноваги в формі (I) вважаються основними, оскільки при їх використанні немає ніяких обмежень на вибір координатних осей та центру моментів.
З використанням поняття бівектора плоскої системи сил умови рівноваги у формі (I) можуть бути сформульовані наступним чином:
Для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб бівектор цієї системи сил дорівнював нулю: W c = W (F i) = 0.
На цій підставі розвинений матричний метод складання рівнянь рівноваги плоскої системи сил, орієнтований на застосування комп'ютерних систем математичних обчислень.
У всіх вищевикладених формах умови рівноваги плоскої системи сил виражаються трьома рівняннями.
Завдання статики, в яких число скалярних невідомих (зазвичай вони представляють собою невідомі реакції зв'язків) дорівнює числу рівнянь рівноваги, що містять ці невідомі, називаються статично визначених. У цьому випадку і саму конструкцію (одне тверде тіло або систему тіл) також називають статично визначної.
Завдання ж (а також розглянуті конструкції), для яких число невідомих більше числа рівнянь рівноваги, називають статично визначити неможливо. Такі завдання не можуть бути вирішені з використанням тільки рівнянь рівноваги.
Таким чином, щоб завдання статики на рівновагу тіла під дією довільної плоскої системи сил була статично визначної, число невідомих має дорівнювати трьом.
Розглянемо тепер окремі випадки плоских систем сил, для яких умови рівноваги виражаються двома рівняннями.
Плоска система паралельних сил.
У цьому випадку, коли всі діють на тіло сили паралельні один одному, можна для зручності направити вісь Ox перпендикулярно силам. Тоді проекція кожної з сил на вісь Ох дорівнюватиме нулю і перше з рівнянь (I) звернеться до тотожність.
В результаті для плоскої системи паралельних сил залишаються два рівняння рівноваги:
F iy = 0; M O (F i) = 0.
Інша форма рівнянь для такої системи сил, що випливає із загальних рівнянь (II), має вигляд:
M А (F i) = 0; M В (F i) = 0.
При цьому точки А і В не повинні лежати на прямій, паралельній силам.
Плоска система збіжних сил.
У цьому випадку, коли лінії дії всіх сил перетинаються в одній точці, їх моменти щодо цієї точки рівні нулю.
В результаті отримуємо наступні рівняння рівноваги:
F ix = 0; F iy = 0;
тобто для рівноваги плоскої системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій цих сил на координатні осі Ox і Oy були рівні нулю.
Завдання статики на рівновагу тіла під дією плоскої системи паралельних або сходяться сил будуть статично визначених, якщо в них міститься тільки дві скалярних невідомих. Детальний виклад матричного методу складання рівнянь рівноваги твердого тіла під дією плоскої системи сил, а також приклади і вихідні дані для виконання індивідуальних завдань, дано в навчальному посібнику (глава 2):
Приклад. Визначити реакції шарнірних опор А і В балки, що знаходиться під дією зосередженої сили F = 60 Н, рівномірно розподіленого навантаження з інтенсивністю q = 15 Н / м і пари сил з моментом М = 40 Н · м; відстань а = 1 м.
Рішення. Введемо систему координат Oxy, поєднавши початок координат О з нерухомим шарніром А і направивши осьOx уздовж балки.
Для визначення опорних реакцій розглянемо рівновагу балки. До неї включені активні сили: F, пара сил з моментом М і рівномірно розподілене навантаження. Замінимо розподілене навантаження її рівнодіючої Q, рівної по модулю Q = q · 2a = 30 Н і прикладеної в середній точці ділянки її дії.
На балку накладені дві зв'язку: нерухома шарнірна опора в точці А і рухома шарнірна опора (каток) в точці В. Відкинемо подумки ці зв'язки, замінивши їх відповідними реакціями. Реакція R A невідома по величині і напряму, тому розкладемо її на дві невідомі за величиною складові X A, Y A, спрямовані по координатних осях. Опора в точці В не перешкоджає її переміщення уздовж похилій площині і, отже, реакцію R B слід направити перпендикулярно похилій площині, тобто ця реакція відома за напрямком, але невідома за величиною.
Таким чином, в задачі є три невідомих скалярних величини: X A, Y A, R B. Оскільки для довільної плоскої системи сил є три незалежних рівняння рівноваги, дана задача є статично визначної. Складемо рівняння рівноваги балки під дією плоскої системи сил, яка містить задані активні сили і невідомі реакції зв'язків, у формі (II):
F ix = 0; M А (F i) = 0; M В (F i) = 0.
Ці рівняння рівноваги записуються в розглянутому прикладі наступним чином:
F ix = X A - R B sin 30 ° = 0; (1)
M А (F i) = - Q · a + F · 2a + M + (R B cos 30 °) · 3a = 0, (2)
M В (F i) = - Y A · 3a + Q · 2a - F · a + M = 0. (3)
Ця форма рівнянь у даному випадку має тим перевагою, що кожне з двох рівнянь моментів не містить реакцій, прикладених відповідно до моментних точок А і В (так як їх плечі щодо цих точок дорівнюють нулю). Нагадаємо, що алгебраїчні моменти сил беруться зі знаком плюс, якщо вони спрямовані проти годинникової стрілки. При обчисленні моменту реакції R B відносно точки А виділена її вертикальна складова, рівна R B cos 30 ° і має плече 3a, а горизонтальна складова має нульовий момент відносно точки А.
З рівнянь (2) і (3) знаходимо
R B = (Q - 2F - M / a) / (3cos 30 °) -50.0 Н;
Y A = (2Q - F + M / a) / 3 13.3 Н.
Отримане негативне значення R B означає, що сила R B спрямована протилежно тому напрямку, який показано на малюнку.
Для перевірки можна скласти рівняння проекцій сил на вісь Oy, яке має задовольнятися при знайдених значеннях Y A і R B:
F iy = Y A - Q + F + R B cos 30 ° = 13.3 - 30 + 60 - 43.3 = 0.
З рівняння (1) знаходимо
X A = R A sin 30 ° -25 Н.
Знак мінус означає, що складова X A насправді спрямована в негативному напрямі осі Ox.
Модуль реакції R A = (X A 2 + Y A 2)
28.3 Н.