Реферат
На тему «Складання коливань»Студента I-го курсу гр. 107
Шликовіча Сергія
Мінськ 2001
Векторна діаграмаКоливаннями називаються руху або процеси, які мають тієї чи іншої повторюваністю в часі.
Складання кількох гармонійних коливань одного напрямку і однакової частоти стає наочним, якщо зображати коливання графічно у вигляді векторів на площині. Отримана таким способом схема називається векторною діаграмою.
Візьмемо вісь, уздовж якої будемо відкладати коливну величину x. З взятої на осі точки О відкладемо вектор довжини A, утворює з віссю кут б. Якщо привести цей вектор в обертання з кутовою швидкістю щ0, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі x в межах від-А до + A, причому з координат проекції буде змінюватися з часом за законом
Отже, проекція кінця вектора на вісь буде здійснювати гармонічні коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, рівною кутовий швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу.
Таким чином, гармонійне коливання може бути задано за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям утворює з віссю x кут, рівний початковій фазі коливань.
Розглянемо додавання двох гармонійних коливань одного напрямку і однакової частоти. Результуюче коливання буде сумою коливань х1 і x2, які визначаються функціями
, (1)
Уявімо обидва коливання за допомогою векторів A1 та А2. Побудуємо за правилами додавання векторів результуючий вектор А. На малюнку видно, що проекція цього вектора на вісь x дорівнює сумі проекцій складаються векторів:
Тому, вектор A представляє собою результуюче коливання. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю щ0, як і вектори А1 і А2, так що сума x1 і х2 є гармонійним коливанням з частотою (щ0, амплітудою A і початковою фазою б. Використовуючи теорему косинусів отримуємо, що
(2)
Також, з малюнка видно, що
(3)
Представлення гармонійних коливань за допомогою векторів дозволяє замінити складання функцій складанням векторів, що значно простіше.
Додавання коливань у взаємно перпендикулярних напрямках.
Уявімо дві взаємно перпендикулярні векторні величини x і y, що змінюються з часом з однаковою частотою щ за гармонійним законом, то
(1)
Де ex і eу - орти координатних осей x і y, А і B - амплітуди коливань. Величинами x і у може бути, наприклад, зміщення матеріальної точки (частки) з положення рівноваги.
У разі частки, що коливається величини
, (2)
визначають координати частинки на площині xy. Частка буде рухатися по деякій траєкторії, вигляд якої залежить від різниці фаз обох коливань. Вирази (2) представляють собою задане в параметричній формі рівняння цієї траєкторії. Щоб отримати рівняння траєкторії в звичайному вигляді, треба виключити з рівнянь (2) параметр t. З першого рівняння випливає, що
(3) Відповідно (4)
Розгорнемо косинус в другому з рівнянь (2) за формулою для косинуса суми:
Підставимо замість cos щt і sinщt їх значення (3) і (4):
Перетворимо це рівняння
(5)
Це рівняння еліпса, осі якого повернені щодо координатних осей х і у. Орієнтація еліпса і його півосі залежать досить складним чином від амплітуд A і В і різниці фаз б.
Спробуємо знайти форму траєкторії для кількох окремих випадків.
1. Різниця фаз б дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння (5) спрощується наступним чином:
Звідси виходить рівняння прямої:
Результуюче рух є гармонійним коливанням вздовж цієї прямої з частотою щ і амплітудою, що дорівнює (Рис. 1 а).
2. Різниця фаз б дорівнює ± р. З рівняння (5) має вигляд
Отже, результуюче рух являє собою гармонійне коливання вздовж прямої
(Рис. 1 б)
Рис.13. При рівняння (5) переходить в рівняння еліпса, приведеного до координатним осям:
Півосі еліпса рівні відповідним амплітудам коливань. При рівності амплітуд А і В еліпс перетворюється в коло.
Випадки і відрізняються напрямком руху по еліпсу або кола.
Отже, рівномірний рух по колу радіуса R з кутовою швидкістю щ може бути представлено як сума двох взаємно перпендикулярних коливань:
,
(Знак плюс у виразі для у відповідає руху проти годинникової стрілки, знак мінус - руху за годинниковою стрілкою).
Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторії результуючого руху мають вигляд складних кривих, які називаються фігурами Ліссажу.
Фігура Ліссажу для
відносини частот 1:2 і
різниці фаз р / 2
Фігура Ліссажу для відносини частот 3:4 і різниці фаз р / 2