Додавання коливань

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Реферат

На тему «Складання коливань»

Студента I-го курсу гр. 107

Шликовіча Сергія

Мінськ 2001

Векторна діаграма

Коливаннями називаються руху або процеси, які мають тієї чи іншої повторюваністю в часі.

Складання кількох гармонійних коливань одного напрямку і однакової частоти стає наочним, якщо зображати коливання графічно у вигляді векторів на площині. Отримана таким способом схема називається векторною діаграмою.

Додавання коливань Візьмемо вісь, уздовж якої будемо відкладати коливну величину x. З взятої на осі точки О відкладемо вектор довжини A, утворює з віссю кут б. Якщо привести цей вектор в обертання з кутовою швидкістю щ0, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі x в межах від-А до + A, причому з координат проекції буде змінюватися з часом за законом

Додавання коливань

Отже, проекція кінця вектора на вісь буде здійснювати гармонічні коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, рівною кутовий швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу.

Таким чином, гармонійне коливання може бути задано за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям утворює з віссю x кут, рівний початковій фазі коливань.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань одного напрямку і однакової частоти. Результуюче коливання буде сумою коливань х1 і x2, які визначаються функціями

Додавання коливань , (1)

Уявімо обидва коливання за допомогою векторів A1 та А2. Побудуємо за правилами додавання векторів результуючий вектор А. На малюнку видно, що проекція цього вектора на вісь x дорівнює сумі проекцій складаються векторів:

Додавання коливань

Додавання коливань Тому, вектор A представляє собою результуюче коливання. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю щ0, як і вектори А1 і А2, так що сума x1 і х2 є гармонійним коливанням з частотою (щ0, амплітудою A і початковою фазою б. Використовуючи теорему косинусів отримуємо, що

Додавання коливань (2)

Також, з малюнка видно, що

Додавання коливань (3)

Представлення гармонійних коливань за допомогою векторів дозволяє замінити складання функцій складанням векторів, що значно простіше.

Додавання коливань у взаємно перпендикулярних напрямках.

Уявімо дві взаємно перпендикулярні векторні величини x і y, що змінюються з часом з однаковою частотою щ за гармонійним законом, то

Додавання коливань (1)

Де ex і - орти координатних осей x і y, А і B - амплітуди коливань. Величинами x і у може бути, наприклад, зміщення матеріальної точки (частки) з положення рівноваги.

У разі частки, що коливається величини

Додавання коливань , (2)

визначають координати частинки на площині xy. Частка буде рухатися по деякій траєкторії, вигляд якої залежить від різниці фаз обох коливань. Вирази (2) представляють собою задане в параметричній формі рівняння цієї траєкторії. Щоб отримати рівняння траєкторії в звичайному вигляді, треба виключити з рівнянь (2) параметр t. З першого рівняння випливає, що

Додавання коливань (3) Відповідно (4)

Розгорнемо косинус в другому з рівнянь (2) за формулою для косинуса суми:

Додавання коливань

Підставимо замість cos щt і sinщt їх значення (3) і (4):

Додавання коливань

Додавання коливань

Перетворимо це рівняння

Додавання коливань

Додавання коливань

Додавання коливань

Додавання коливань (5)

Це рівняння еліпса, осі якого повернені щодо координатних осей х і у. Орієнтація еліпса і його півосі залежать досить складним чином від амплітуд A і В і різниці фаз б.

Спробуємо знайти форму траєкторії для кількох окремих випадків.

1. Різниця фаз б дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння (5) спрощується наступним чином:

Додавання коливань

Звідси виходить рівняння прямої:

Додавання коливань

Результуюче рух є гармонійним коливанням вздовж цієї прямої з частотою щ і амплітудою, що дорівнює Додавання коливань (Рис. 1 а).

2. Різниця фаз б дорівнює ± р. З рівняння (5) має вигляд

Додавання коливань

Отже, результуюче рух являє собою гармонійне коливання вздовж прямої

Додавання коливань (Рис. 1 б)

Додавання коливань

Рис.1

Додавання коливань 3. При рівняння (5) переходить в рівняння еліпса, приведеного до координатним осям:

Додавання коливань

Півосі еліпса рівні відповідним амплітудам коливань. При рівності амплітуд А і В еліпс перетворюється в коло.

Випадки Додавання коливань і відрізняються напрямком руху по еліпсу або кола.

Отже, рівномірний рух по колу радіуса R з кутовою швидкістю щ може бути представлено як сума двох взаємно перпендикулярних коливань:

Додавання коливань ,

(Знак плюс у виразі для у відповідає руху проти годинникової стрілки, знак мінус - руху за годинниковою стрілкою).

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторії результуючого руху мають вигляд складних кривих, які називаються фігурами Ліссажу.


Додавання коливань

Фігура Ліссажу для

відносини частот 1:2 і

різниці фаз р / 2

Фігура Ліссажу для відносини частот 3:4 і різниці фаз р / 2


Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Виробництво і технології | Реферат
11.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Додавання і віднімання десяткових дробів
Додавання давньоєгипетського мистецтва 4 тисячоріччя до н.е.
Додавання в текстах рекламних оголошеннях
Методика навчання письмового додавання і віднімання
Геометричний спосіб додавання сходяться сил
Додавання і віднімання цілих невід`ємних чисел у двійковому коді
Відкритий урок математики у 2 У класі на тему Усна додавання і віднімання в межах 100
Додавання в XVII-XVIII ст єдиного комплексу предметів матеріальної культури корінного і російського населення
Світ коливань
© Усі права захищені
написати до нас