Аналітична математика

Глава 1. Рівняння, системи рівнянь.
1. Лінійні рівняння.
1. Рівняння першого ступеня виду , Називається лінійним рівнянням. Де - Змінні, числа і стоять перед змінними називаються коефіцієнтами, а і - Вільні члени. Запишемо лінійне рівняння
(1)
Для рішення рівняння (1) перенесемо змінні містять коефіцієнти, в ліву частину рівняння з позитивним знаком, а вільні члени в праву частину рівняння з негативним знаком, отримаємо рівняння виду
(2)
Нехай , А , Тоді рівняння (2) буде мати вигляд
(3)
Приклади.
1) Розв'язати рівняння
Перенесемо невідомі з коефіцієнтами в ліву частину рівняння, а вільні члени в праву частину, одержимо

Використовуючи рівняння (3) отримаємо

Відповідь:
2) Розв'язати рівняння
Видно, що в цьому рівнянні є один негативний вільний член - 4. Але, переносячи його в праву частину рівняння ще з одним негативним знаком, отримаємо , Тоді

Звідси

Відповідь:
3) Розв'язати рівняння
У цьому рівнянні один коефіцієнт негативний, переносячи його і ще з позитивним знаком у ліву частину немає сенсу, тому що , Тоді

Звідси

Відповідь:
4)
Використовуючи пояснення до рівняння 2), отримаємо

Звідси

Відповідь:
5)
Використовуючи пояснення, наведені до рівнянь 1), 2), 3), 4), отримаємо

Звідси

Відповідь:
4
2. Нехай дано лінійне рівняння виду
(4)
На відміну від рівняння (1) змінні, що містять коефіцієнти, переносяться в ліву частину з негативним знаком, в праву частину вільні члени переносяться теж зі знаком негативним. Але вільний член в рівнянні (4) і так стоїть в правій частині, тому він не буде міняти знак, поміняє знак лише член . І так, вирішимо рівняння (4).
Перенесемо змінні з коефіцієнтами в ліву частину з негативним знаком, а член в праву частину теж з негативним знаком, отримаємо
(5)
Звідси

Якщо , То
Рішення рівняння (4) можна записати у вигляді системи
(6)
Приклад. Розв'язати рівняння
Перенесемо невідомі з коефіцієнтами в ліву частину з негативним знаком, а член в праву частину зі знаком «мінус», тоді

Звідси

Відповідь:
3. Лінійне рівняння з двома змінними має вид:
(7)
Для рішення рівняння (7) виразимо змінну через змінну , Тобто отримаємо рівняння виду
(8)
Для знаходження розв'язку рівняння (7) в рівнянні (8) вибирається довільне (будь-яке) значення . Таким чином, рівняння (7) має безліч рішень.
Приклад. Розв'язати рівняння
Скористаємося формулою (8), тоді

Тепер виберемо абсолютно будь-яке значення ікса, наприклад, при
, Отримаємо

Відповідь:
2. Квадратні рівняння.
Рівняння другого ступеня виду називається квадратним. Для вирішення такого рівняння скористаємося наступними формулами:
і (9)
Де і - Коріння квадратного рівняння
Нехай , Тоді якщо , То можна записати
(10)
Якщо , То рівняння не має рішень.
Приклад. Розв'язати рівняння
Користуючись формулами (9) отримаємо

Відповідь: і
3. Рівняння третього ступеня.
Рівняння третього ступеня виду називається кубичной рівнянням. Для вирішення такого рівняння замінимо невідоме - на коефіцієнт і вводячи підстановку
Отримаємо більш спрощене рівняння третього ступеня
(11)
Оскільки рівняння в третього ступеня, то відповідно рішеннями цього рівняння будуть три корені, які зараз визначимо з наступної системи
(12)
Коріння - Є рішення рівняння, де - Комплексне число.

4. Рівняння вищих ступенів зводяться до квадратних.
1.Рассмотрім рівняння, у якого одна змінна знаходиться в четвертого ступеня, тобто дано рівняння виду
(13)
Для вирішення такого рівняння, висловимо через , Отримаємо,
(14)
Вирішуючи це рівняння за наступними формулами, маємо
і (15)
Приклад. Розв'язати рівняння.
Висловимо через , Отримаємо , Вирішуючи це рівняння за формулами (19) отримаємо


Звідси отримуємо безліч коренів (рішень)
Відповідь:
2. Розглянемо рівняння, у якого одна ступінь знаходиться в п'ятому ступені, тобто є рівняння виду
(16)
Для вирішення такого рівняння виберемо змінну, у якій ступінь сама менша, в порівнянні з іншими ступенями, це буде мінлива , Виносячи її за дужку отримаємо
(17)
Звідси , Тобто ми отримали деяке безліч нулів. Рівняння , Вирішується через дискримінант.
Приклад. Розв'язати рівняння
Винесемо за дужку, отримаємо , Звідси , Який має безліч коренів (0; 0; 0). Далі, вирішуючи рівняння отримаємо і . Таким чином, отримали безліч рішень (0, 0, 0; -2; ).
5. Системи рівнянь.
Нехай дана система рівнянь
(18)
де - Коефіцієнти при невідомих і , і - Вільні члени.
Система (18) вирішується трьома способами 1) Графічний спосіб; 2) Спосіб підстановки; 3) Спосіб складання. Перший спосіб розглядати не будемо. Інші способи розглянемо при вирішенні таких систем рівнянь.
1) Спосіб підстановки.

Візьмемо перше рівняння системи і з цього рівняння висловимо через , Отримаємо

Підставивши цей вираз в друге рівняння системи, отримаємо

Звідси,

Запишемо останнє рівняння і вирішимо його

Підставивши тепер знайдене значення в вираз, що стоїть вище, отримаємо

Відповідь: і
2) Спосіб складання.

Помножимо перше і друге рівняння система на 2, отримаємо

Потім, склавши почленно рівняння системи, отримаємо . Знайдемо значення ігрек, для цього знайдене значення ікса підставимо в будь-яке рівняння вихідної (початкової) системи, отримаємо

3) Метод складання.

Запишемо систему

Помножимо перше рівняння на 2, а друге на 2, отримаємо:

Складемо 6x і 8x, отримаємо 14x і 12 +6 = 18, звідси . Підставивши тепер значення x в будь-яке рівняння системи, отримаємо

Відповідь:
7. Система трьох рівнянь з трьома змінними.
(19)
де - Коефіцієнти при невідомих , - Вільні члени.
Для вирішення системи (19) складемо визначник
(20)
Перше число в індексу вказує число (номер) рядка, друге число - номер стовпця. Сам визначник позначається літерою d.
Для обчислення визначника користуються правилом Крамера, тобто
d = =
Коріння системи (24) знаходяться за формулами

Де - Числа, які слід визначити за наступним правилом

Таким же методом визначаються інші визначники

Глава 2. Графік функції
1. Графік функції.
Функція називається лінійною функцією. Для знаходження точок перетину графіка функції потрібно вирішити два рівняння:

Приклад. Функція задана рівнянням , Знайти точки перетину з осями координат.
Вирішимо два рівняння
Відповідь: точки x =- 2 і y = 4 є точками перетину з осями координат.
2. Квадратична функція.
Функція виду називається квадратичною. Для знаходження точок перетину графіка з осями координат, потрібно вирішити квадратне рівняння

Глава 3 Межі
1. Межа функції
Приклад. Знайти межа функції

Оскільки ікс прагне до двох, тобто , То в чисельнику і знаменнику замінюємо всі ікси на 2, таким чином, отримуємо

Відповідь:
Розглянемо випадок, коли ікс прагне до нескінченності. Нехай
Розділимо чисельник і знаменник на високу ступінь аргументу , Отримаємо

Відповідь:
Нехай , Розділимо чисельник і знаменник на , Отримаємо

Відповідь: 4
Знайти межа
Звідси
Відповідь: 5

Глава 4 Похідні
1. Звичайні похідні
Нехай дана функція , Потрібно знайти похідну. Згідно зі слів , Отримаємо .
Приклад: Знайти похідну функції

Звідси

Відповідь:
2. Похідна функції однієї змінної.
Функція однієї змінної має вигляд , Відповідно функція постійно змінюється зі швидкістю, кожної кордоном зміни цієї функції є межа, яку можна записати у вигляді
(21)
Функція називається диференційованою в точці x якщо межа (21)
існує.
3. Похідні виду
У курсі диференціальних рівнянь часто можна бачити вираз .
Мова йде про приватне похідної, в цьому виразі мінлива x диференціюється за змінної y. Розглянемо вираз виду , В такому випадку змінну x диференціюють два рази по змінній y.
Приклад. Знайти похідну , Якщо

Відповідь:

РОЗДІЛ 5. Інтегральне числення
1. Невизначені і визначені інтеграли.
Безліч первісних функції називається невизначеним інтегралом. Такий невизначений інтеграл позначається таким чином:

Де - Підінтегральна функція, - Фундаментальний вираз, - Стала інтегрування.
Приклад: Обчислити інтеграл
Знаходимо первісну для функції , Отримаємо , Тому

Приклад: Знайти
Знайдемо первісну для функції , Отримаємо , Тому
Приклад: Знайти
Застосовуємо метод безпосереднього інтегрування, отримаємо

Приклад: Знайти
Скористаємося методом підстановки, одержимо

Тоді

Приклад: Знайти
Скористаємося методом інтегрування по частинах, отримаємо

Звідси
Приклад. Знайти
Застосуємо метод інтегрування частинами, отримаємо

Звідси

Розглянемо інтеграл виду , Такий інтеграл називається визначеним. Число а - називається нижньою межею, а число b - верхньою межею.
Приклад: Знайти
1. Знаходимо невизначений інтеграл, методом інтегрування по частинах,

Звідси,

Тоді

Приклад: Знайти

Звідси,

Тоді