ЗАДАЧА № 1
Підприємство випускає чотири види продукції П1, П2, П3, П4, при обмежених запасах сировини С1, С2, С3, використовуваних для виробництва продукції. Відома прибуток, одержуваний від реалізації кожного виду продукції. Потрібно визначити обсяги випуску кожного виду продукції, які забезпечать підприємству одержання найбільшого прибутку при реалізації продукції.
Витрата сировини на виробництво одиниці продукції, запаси сировини і прибуток, одержуваний від реалізації одиниці продукції, наведені в таблиці.
Рішення
Нехай Х1, Х2, Х3, Х4 - кількість одиниць продукції, що випускається П1, П2, П3, П4 відповідно.
Тоді функція прибутку прийме вигляд:
F (х) = 8х1 +6 Х2 +7 Х3 +9 Х4 → max
Запишемо обмеження по витраті сировини у вигляді системи нерівностей:
2х1 + Х3 +2 Х4 ≤ 800
Х1 +2 Х2 +3 Х4 ≤ 900
2х1 + Х2 +2 Х3 +3 Х4 ≤ 1500
Х1, 2,3 ≥ 0
Перейдемо від нерівностей до равенствам:
2х1 + Х3 +2 Х4 + Х5 = 800
Х1 +2 Х2 +3 Х4 + Х6 = 900
2х1 + Х2 +2 Х3 +3 Х4 + Х7 = 1500
Рішення будемо вести у формі симплекс-таблиць.
Як бачимо, в останньому рядку всі числа позитивні, отже отриманий план є оптимальним.
Для отримання максимального прибутку необхідно випускати 450 од. продукції П2 і 525 од. продукції П3. Максимальний прибуток в цьому випадку складе 6375 ден. од.
ЗАДАЧА № 2
Є 4 постачальника і 4 споживача. Відомі тарифи на перевезення одиниці вантажу від кожного постачальника до кожного споживача. Знайти оптимальний план перевезення вантажів від постачальників до споживачів, що забезпечує мінімальні витрати.
Так як кількість вантажу у постачальників (1220) перевищує необхідну споживачами кількість вантажу (1130) на 1220 - 1130 = 90 од., То введемо фіктивного споживача з кількістю вантажу 90 од. і нульовими тарифами на перевезення. Початковий опорний план складемо методом подвійного переваги, далі будемо його поліпшувати методом потенціалів. У правому верхньому кутку вказані тарифи на перевезення, в лівому верхньому кутку - сума потенціалів, внизу по центру - кількість перевезеного вантажу.
В отриманому плані перевезень для всіх осередків сума потенціалів (Ui + Vj) не перевищує тарифи. Отже цей план перевезень є оптимальним і його не можна поліпшити.
Мінімальні витрати на перевезення складуть:
210 * 1 +210 * 5 +180 * 2 +140 * 7 +10 * 4 +110 * 8 +90 * 0 +270 * 2 = 4 060 ден. од.
ЗАДАЧА № 3
Потрібно розставити 5 робочих по технологічному ланцюжку так, щоб час виконання всього циклу операцій було мінімальним. Час, що витрачається кожним робочим при виконанні будь-якої операції наведено в таблиці.
Рішення
Zmin = 4
Zmin = 1
Zmin = 1
У кінцевому вигляді:
або:
Час виконання циклу: 6 +8 +5 +6 +4 = 29 од. часу.
Підприємство випускає чотири види продукції П1, П2, П3, П4, при обмежених запасах сировини С1, С2, С3, використовуваних для виробництва продукції. Відома прибуток, одержуваний від реалізації кожного виду продукції. Потрібно визначити обсяги випуску кожного виду продукції, які забезпечать підприємству одержання найбільшого прибутку при реалізації продукції.
Витрата сировини на виробництво одиниці продукції, запаси сировини і прибуток, одержуваний від реалізації одиниці продукції, наведені в таблиці.
| Види сировини | Витрата сировини | Запаси сировини | |||
| П1 | П2 | П3 | П4 | ||
| С1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 800 |
| С2 | 1 | 2 | 0 | 3 | 900 |
| С3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 1500 |
| Прибуток | 8 | 6 | 7 | 9 | --- |
Нехай Х1, Х2, Х3, Х4 - кількість одиниць продукції, що випускається П1, П2, П3, П4 відповідно.
Тоді функція прибутку прийме вигляд:
F (х) = 8х1 +6 Х2 +7 Х3 +9 Х4 → max
2х1 + Х3 +2 Х4 ≤ 800
Х1 +2 Х2 +3 Х4 ≤ 900
2х1 + Х2 +2 Х3 +3 Х4 ≤ 1500
Х1, 2,3 ≥ 0
Перейдемо від нерівностей до равенствам:
Х1 +2 Х2 +3 Х4 + Х6 = 900
2х1 + Х2 +2 Х3 +3 Х4 + Х7 = 1500
Рішення будемо вести у формі симплекс-таблиць.
| № п / п | Х баз | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Вi | Вi / аiк |
| 1 | Х5 | 2 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 800 | 800 |
| 2 | Х6 | 1 | 2 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 900 | - |
| 3 | Х7 | 2 | 1 | 2 | 3 | 0 | 0 | 1 | 1500 | 750 |
| «0» | F (х) | -8 | -6 | -7 | -9 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | Х5 | 1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 0 | -0,5 | 50 | -100 |
| 2 | Х6 | 1 | 2 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 900 | 450 |
| 3 | Х3 | 1 | 0,5 | 1 | 1,5 | 0 | 0 | 0,5 | 750 | 1500 |
| «0» | F (х) | -1 | -2,5 | 0 | 1,5 | 0 | 0 | 3,5 | 5250 | |
| 1 | Х5 | 1,25 | 0 | 0 | 1,25 | 1 | 0,25 | -0,5 | 275 | |
| 2 | Х2 | 0,5 | 1 | 0 | 1,5 | 0 | 0,5 | 0 | 450 | |
| 3 | Х3 | 0,75 | 0 | 1 | 0,75 | 0 | -0,25 | 0,5 | 525 | |
| «0» | F (х) | 0,25 | 0 | 0 | 5,25 | 0 | 1,25 | 3,5 | 6375 | |
Для отримання максимального прибутку необхідно випускати 450 од. продукції П2 і 525 од. продукції П3. Максимальний прибуток в цьому випадку складе 6375 ден. од.
ЗАДАЧА № 2
Є 4 постачальника і 4 споживача. Відомі тарифи на перевезення одиниці вантажу від кожного постачальника до кожного споживача. Знайти оптимальний план перевезення вантажів від постачальників до споживачів, що забезпечує мінімальні витрати.
| 1130 1220 | Споживачі | ||||
| 320 | 280 | 210 | 320 | ||
| Постачальники | 420 | 5 | 8 | 1 | 5 |
| 180 | 2 | 6 | 5 | 7 | |
| 350 | 7 | 4 | 9 | 8 | |
| 270 | 6 | 2 | 7 | 9 | |
| 320 | 280 | 210 | 320 | 90 | Ui | |
| 420 | 4 Травня | 1 серпня | 1 січня 210 | 5 травня 210 | -3 0 | 0 |
| 180 | 2 лютого 180 | -1 6 | -1 5 | 7 березня | -5 0 | -2 |
| 350 | 7 липня 140 | 4 квітня 10 | 9 квітень | 8 серпня 110 | 0 0 90 | 3 |
| 270 | 5 червня | 2 лютого 270 | 2 липня | 9 червня | -2 0 | 1 |
| Vj | 4 | 1 | 1 | 5 | -3 |
Мінімальні витрати на перевезення складуть:
210 * 1 +210 * 5 +180 * 2 +140 * 7 +10 * 4 +110 * 8 +90 * 0 +270 * 2 = 4 060 ден. од.
ЗАДАЧА № 3
Потрібно розставити 5 робочих по технологічному ланцюжку так, щоб час виконання всього циклу операцій було мінімальним. Час, що витрачається кожним робочим при виконанні будь-якої операції наведено в таблиці.
| 1-а | 2-а | Третя | 4-а | 5-а | |
| 1-й | 7 | 8 | 6 | 9 | 7 |
| 2-й | 8 | 7 | 9 | 8 | 7 |
| Третя | 9 | 8 | 6 | 7 | 5 |
| 4-й | 7 | 6 | 8 | 9 | 8 |
| 5-й | 8 | 9 | 5 | 4 | 9 |
Рішення
| 1-а | 2-а | Третя | 4-а | 5-а | |
| 1-й | 7 | 8 | 6 | 9 | 7 |
| 2-й | 8 | 7 | 9 | 8 | 7 |
| Третя | 9 | 8 | 6 | 7 | 5 |
| 4-й | 7 | 6 | 8 | 9 | 8 |
| 5-й | 8 | 9 | 5 | 4 | 9 |
| qimin | 7 | 6 | 5 | 4 | 5 |
| 1-а | 2-а | Третя | 4-а | ||
| 1-й | 3 | 4 | 2 | 5 | 3 |
| 2-й | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 |
| Третя | 5 | 4 | 2 | 3 | 1 |
| 4-й | 3 | 2 | 4 | 5 | 4 |
| 5-й | 5 | 1 | 0 | 5 | |
| qimin | 3 | 2 | 2 | 1 |
| 1-а | 2-а | Третя | 4-а | 5-а | |
| 1-й | 2 | 3 | 1 | 5 | 2 |
| 2-й | 3 | 2 | 4 | 4 | 2 |
| Третя | 3 | 1 | 3 | 0 | |
| 4-й | 2 | 1 | 3 | 5 | 3 |
| 5-й | 5 | 1 | 0 | 5 | |
| qimin | 2 | 1 | 1 |
| 1-а | |||||
| 1-й | 2 | 0 | 5 | 2 | |
| 2-й | 2 | 1 | 3 | 4 | 2 |
| Третя | 3 | 1 | 3 | 0 | |
| 4-й | 0 | 2 | 5 | 3 | |
| 5-й | 5 | 1 | 0 | 5 | |
| qimin | 2 | 1 | 1 |
У кінцевому вигляді:
або:
| 1-а | 2-а | Третя | 4-а | 5-а | |
| 1-й | 7 | 8 | 6 | 9 | 7 |
| 2-й | 8 | 7 | 9 | 8 | 7 |
| Третя | 9 | 8 | 6 | 7 | 5 |
| 4-й | 7 | 6 | 8 | 9 | 8 |
| 5-й | 8 | 9 | 5 | 4 | 9 |