Фінансова математика 2

Завдання 1

Правило торговця.
Кредит в Z = 15 000 руб. виданий на N = 10 місяців під i = 10% річних. Договір передбачає погашення двома проміжними платежами. Перша виплата в сумі R1 = 600 руб. проводиться через n1 = 6 місяців, друга виплата в сумі R2 = 9 000 руб. - Через n2 = 9 місяців. Знайти виплату в кінці терміну кредиту.
Рішення.
Тривалість кредиту в частках року дорівнює
T = 10/12 = 5 / 6.
Тоді борг (кредит з відсотками) складе 15 000 (1 + 0,1 ⋅ 0,83) = 16 245.
Інтервал часу (у частках року) від моменту першого платежу до закінчення терміну кредиту
t1 = (10-6) / 12 = 1 / 3.
Сума першого платежу з відсотками дорівнює
R1 = (1 + i t1) = 600 (1 +0,1 · 1 / 3) = 620.
Залишок боргу після першого платежу буде дорівнює
Z1 = 16245-620 = 15625.
Інтервал часу (у частках року) від моменту другого платежу до закінчення терміну кредиту
t2 = (10-9) / 12 = 1 / 12.
Сума другого платежу з відсотками дорівнює
R2 = (1 + i t2) = 9000 (1 +0,1 · 1 / 12) = 9075.
Залишок боргу дорівнюватиме
Z2 = 15625-9075 = 6550.
Звідси випливає, що в кінці терміну кредиту погашає платіж дорівнює
R3 = 6550 руб.
Таким чином, позичальником буде виплачена сума
R1 + R2 + R3 = 600 +9000 +6550 = 16150 руб.
При цьому його борг кредитору становить 16 245 руб.

Завдання 2

Клієнт отримав позику Р = 200000 руб. строком на n = 8 років під 6% відсотків річних. Погашення кредиту проводиться в кінці кожного року рівними частками.
Обчислити розмір щорічного платежу і його розбиття на погашення основного боргу та погашення відсотків. Обчислення за формулами перевірити за допомогою функцій ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ.
Рішення.
Клієнт повинен щороку виплачувати банку суму
R = P ∙ i / (1 - (1 + i) - n) = 200000 ∙ 0,06 / (1 - (1 +0,06) - 8) = 32 207, 19
Ця відповідь можна отримати, використовуючи таблицю коефіцієнтів приведення a (i, k),
R = P / (a ​​(6%, 8)) = 200000 / 6, 20979 = 32207, 19
знайдемо виплати за відсотками і основного боргу наприкінці першого року, тобто при j = 1, Z0 = P = 200 000:
D1 = i · Z0 = 0,06 · 200 000 = 12 000, B1 = R - D1 = 32207,19 - 12000 = 20207, 19.
Тоді залишок боргу в кінці першого року дорівнюватиме
Z1 = Z0 - B1 = 200 000 - 20207,19 = 179792,81.
Наприкінці другого року, тобто при j = 2 виплати за відсотками
D2 = i · Z1 = 0,06 · 179792,81 ≈ 10787,57, виплати основного боргу
B2 = R - D2 = 32207,19 - 10787,57 = 21419,62.
Тоді залишок боргу в кінці другого року дорівнюватиме
Z2 = Z1 - B2 = 179792,81 - 21419,62 = 158 373, 19.
В кінці третього року, тобто при j = 3 виплати за відсотками
D3 = i · Z2 = 0,06 · 158373,19 ≈ 9502,39,
виплати основного боргу
B3 = R - D3 = 32207,19 -9502,39 = 22704,8.
Тоді залишок боргу в кінці третього року дорівнюватиме
Z3 = Z2 - B3 = 158373,19 - 22704,8 = 135668,39.
В кінці четвертого року, тобто при j = 4 виплати за відсотками
D4 = i · Z3 = 0,06 · 135668,39 = 8140,10, виплати основного боргу
B4 = R - D4 = 32207,19 -8140,10 = 24067,08.
Тоді залишок боргу наприкінці четвертого року дорівнюватиме
Z4 = Z3 - B4 = 135668,39 - 24067,08 = 111601,31.
В кінці п'ятого року, тобто при j = 5 виплати за відсотками
D5 = i · Z4 = 0,06 · 111601,31 = 6696,08, виплати основного боргу
B5 = R - D5 = 32207,19 -6696,08 = 25511,11.
Тоді залишок боргу в кінці п'ятого року дорівнюватиме
Z5 = Z4 - B5 = 111601,31 - 25511,11 = 86090,2.
В кінці шостого року, тобто при j = 6 виплати за відсотками
D6 = i · Z5 = 0,06 · 86090,2 = 5165,41, виплати основного боргу
B6 = R - D6 = 32207,19 -5165,41 = 27041,78.
Тоді залишок боргу наприкінці шостого року дорівнюватиме
Z6 = Z5 - B6 = 86090,2 - 27041,78 = 59048,42.
Наприкінці сьомого року, тобто при j = 7 виплати за відсотками
D7 = i · Z6 = 0,06 · 59048,42 = 3542,91, виплати основного боргу
B7 = R - D7 = 32207,19 -3542,91 = 28664,28.
Тоді залишок боргу наприкінці сьомого року дорівнюватиме
Z7 = Z6 - B7 = 59048,42 - 28664,28 = 30384,14.
Наприкінці восьмого року, тобто при j = 8 виплати за відсотками
D8 = i · Z7 = 0,06 · 30384,14 = 1823,05, виплати основного боргу
B8 = R - D8 = 32207,19 -1823,05 = 30384,14.
Тоді залишок боргу наприкінці восьмого року дорівнюватиме
Z8 = Z7 - B8 = 30384,14 - 30384,14 = 0.
Тепер перевіримо обчислення за допомогою функцій ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ

Завдання 3

Проект розрахований на два роки і вимагає інвестиції в I0 = $ 15 000. В кінці першого року дохід складе R1 = $ 7 000, а в кінці другого року - R2 = $ 12 000.
Знайти при заданій ставці приведення i = 10%:
1) чистий приведений дохід NPV;
2) чистий нарощений дохід NFV;
3) Термін окупності без урахування і з урахуванням часу;
4) внутрішню ставку доходу.
Обчислення за формулами перевірити допомогою функцій ЧПС і ВСД.
Рішення.
З формули при n = 2, i = 10% знайдемо чистий приведений дохід n
NPV = Σ * Rk / (1 + i) k-I0
k = 1
NPV = 7000 / 1,1 +12000 / 1,12-15000 = 6363,64 +9917,36-15000 = 1281
або NPV = R1 * v (10%, 1) + R2 * v (10%, 2) - I0
= 7000 * 0,909091 +12000 * 0,826446-15000 = 6363,64 +9917,36-15000 = 1281
Зауважимо, що величина $ 6363,64 відповідає сучасній вартості $ 7 000, а величина інвестиції $ 9 917,36 відповідає сучасній вартості $ 12 000.
NFV = (1 + i) 2 · NPV = 1,12 · 1 281 = 1550,01
Знайдемо термін окупності без урахування часу за формулою
R1 + R2 + ... + R [nok] + R [nok] +1 = I0,
що призводить до рівняння
7000 + 12000x = 15 000.
Звідси дробова частина терміну окупності
x = 7000/12000 = 0,58
Термін окупності дорівнює 1 + x = 1,58.
Термін окупності з урахуванням часу за формулою:
v (i, 1) R1 + v (i, 2) R2 + ... + v (i, [nok]) R [nok] + xv (i, [nok] +1) R [nok] +1 = I0
призводить до рівняння
7000 / 1,1 +12000 / 1,12 x = 15000; 7000 * v (10%, 1) +12000 * v (10%, 2) x = 15000;
6363,64 +9917,36 x = 15000; x = (15000-6363,64) / 9917,36 = 0,87
Термін окупності з урахуванням часу надходження доходів дорівнює 1,87.
Внутрішню ставку доходу за визначенням знаходимо з рішення рівняння щодо i.
7000 / (1 + i) +12000 / (1 + i) 2 = 15000 або
15000х2-7000х-12000 = 0
де x = 1 + i. Скорочуючи на 1000, одержимо квадратне рівняння
15x2 - 7x - 12 = 0.
Позитивний корінь цього рівняння x1 = 1,1577
Звідси знаходимо, що внутрішня ставка доходу
IRR = x1-1 = 1,1577 - 1 = 0,1577.
Обчислення за формулами перевіримо в Excel за допомогою функцій ЧПС і ВСД.

Завдання 4

На фінансовому ринку може скластися одна з чотирьох ситуацій A1, A2, A3, A4.
В умовах повної невизначеності інвестор вибирає з чотирьох фінансових операцій F1, F2, F3, F4. Доходи інвестора визначаються матрицею


Визначити оптимальний вибір фінансової операції за критеріями Вальда та Севіджа.
1. Оптимальний вибір фінансової операції за критерієм Вальда.
Знайдемо найгірший результат кожної фінансової операції, тобто визначимо найменше число у кожному рядку матриці доходів:
a1 = 14, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 12.
Згідно з правилом Вальда, найбільше серед знайдених чисел визначає оптимальний дохід. Отже, оптимальний дохід дорівнює 14, і він гарантується вибором фінансової операції F1.
2. Оптимальний вибір фінансової операції за критерієм Севіджа.
Спочатку отримаємо з матриці доходів матрицю ризиків. Для цього в кожному стовпці матриці доходів знайдемо найбільше число
b1 = 17, b2 = 18, b3 = 18, b4 = 17.
Віднімаючи з найбільшого значення стовпця всі його елементи, отримуємо стовпець матриці ризиків. Отже, матриця ризиків має вигляд
Q =
Знайдемо найгірший результат кожної фінансової операції, тобто визначимо найбільший ризик у кожному рядку матриці ризиків:
q1 = 4, q2 = 9, q3 = 7, q4 = 6.
Згідно з правилом Севіджа найменше серед знайдених чисел визначає оптимальний дохід. Отже, оптимальний дохід дорівнює 4, і він гарантується вибором фінансової операції F1.