Зміст:
Анотація
Вихідні дані
Застосування основних теорем динаміки механічної системи
Постановка другий основний задачі динаміки системи
Визначення закону руху системи
Визначення реакцій зовнішніх і внутрішніх зв'язків
2. Побудова алгоритму обчислень
Застосування принципу Даламбера-Лагранжа і рівнянь Лагранжа другого роду.
Складання диференціального рівняння руху механізму за допомогою принципу Даламбера-Лагранжа.
Аналіз результатів
Анотація
Дана механічна система з одним ступенем свободи, що представляє собою сукупність абсолютно твердих тіл, пов'язаних один з одним за допомогою невагомих розтяжних ниток, паралельних відповідним площинах. Система забезпечена зовнішньої пружною зв'язком з коефіцієнтом жорсткості с. На перше тіло системи діє сила опору і збурювальна гармонійна сила
. Тертям кочення і ковзання нехтуємо. Кочення ковзанок відбувається без ковзання, прослизання ниток на блоках відсутня. Застосовуючи основні теореми динаміки системи та аналітичні методи теоретичної механіки, визначений закон руху першого тіла і реакції зовнішніх і внутрішніх зв'язків. Проведено чисельний аналіз отриманого рішення з використанням ЕОМ.
Вихідні дані:
m = 1 кг | ||
r = 0.1 м | з = 4000 H / м | |
Частина 1. Застосування основних теорем динаміки механічної системи
1.1 Постановка другий основний задачі динаміки системи.
Розрахункова схема представлена на малюнку 1.
Тут позначено:
;
;
- Сили тяжіння;
- Нормальна реакція опорної площини;
- Сила зчеплення;
- Пружна реакція пружини;
- Реакція підшипників;
- Сила в'язкого опору;
- Збурювальна сила.
Розглянута механічна система має один ступінь свободи (нитки нерозтяжних, кочення ковзанки (3) відбувається без ковзання). Будемо визначати її положення за допомогою координати S. Початок відліку координати сумісний з положенням статичної рівноваги центру мас вантажу (1).
Для побудови диференціального рівняння руху системи використовуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи у формі:
- Сума потужностей зовнішніх сил;
- Сума потужностей внутрішніх сил;
Тоді кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій тіл,
(1.2)
(1.3) Вантаж (1) здійснює поступальний рух, ;
(1.4) Блок (2) робить обертовий рух, , Де
(1.5) Каток (3) здійснює плоскопараллельной рух, , Де
Кінетична енергія всього механізму дорівнює:
(1.6) ;
Висловимо - через швидкість вантажу (1)
(1.7) ;
;
Підставляючи кінематичні співвідношення (1.7) у вираз (1.6), отримуємо:
(1.8)
(1.9)
;
Знайдемо похідну від кінетичної енергії за часом:
(1.10)
Обчислимо суму потужностей зовнішніх і внутрішніх сил. Потужність сили дорівнює скалярному добутку вектора сили на швидкість в точці її застосування;
(1.11)
Розглянута нами механічна система є незмінною, тобто тіла, що входять в систему, не деформуються і швидкості їх точок відносно один одного дорівнюють нулю. Тому сума потужностей всіх внутрішніх сил буде дорівнювати нулю:
(1.12) = 0;
Будуть дорівнювати нулю і потужності наступних зовнішніх сил, прикладених в точках, швидкості яких дорівнюють нулю:
Сума потужностей інших зовнішніх сил:
(1.13)
З урахуванням кінематичних співвідношень (1.7) суму потужностей зовнішніх сил визначимо:
(1.14)
де наведена сила.
Пружну силу вважаємо пропорційної подовженню пружини, яка дорівнює сумі статичного і динамічного
подовжень:
(1.15)
Сила в'язкого опору , Тоді
(1.16)
У стані спокою системи наведена сила дорівнює нулю. Вважаючи в (1.16) S = 0, = 0 і F (t) = 0, отримуємо умову рівноваги системи:
(1.17)
Звідси статичне подовження пружини дорівнює:
(1.18)
Підставляючи (1.18) в (1.16), отримуємо остаточний вираз для наведеної сили:
(1.19)
Підставивши вирази для похідної від кінетичної енергії і суму потужностей всіх сил з урахуванням (1.19) в (1.1), отримуємо диференціальне рівняння руху системи:
(1.20)
(1.21)
де k циклічна частота вільних коливань;
n - показник ступеня затухання коливань;
1.2 Визначення закону руху системи
Проінтегруємо диференціальне рівняння (1.20). спільне рішення цього неоднорідного рівняння складається з загального рішення однорідного рівняння і приватного рішення неоднорідного
:
S = +
;
Однорідне диференціальне рівняння, відповідне даному неоднорідного, має вигляд:
Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
тому що n <k => рішення однорідного рівняння має вигляд:
де приватне рішення диференціального рівняння шукаємо у вигляді правої частини:
далі отримуємо:
Порівнюючи коефіцієнти при відповідних тригонометричних функціях праворуч і ліворуч, отримуємо систему алгебраїчних рівнянь для визначення стану А і В
Вирішуючи цю систему отримуємо наступні вирази:
А = 0.04 м;
У = - 0.008 м;
Загальне рішення диференціального рівняння:
Постійні інтегрування визначаємо з початкових умов, при t = 0 маємо:
Вирішуючи цю систему отримуємо:
Визначення реакцій зовнішніх і внутрішніх зв'язків
Для вирішення цього завдання розчленуємо механізм на окремі частини і зобразимо розрахункові схеми окремо для кожного тіла. Визначення реакцій зв'язків проведемо за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту і теореми про зміну кількості руху.
Тіло № 1:
Тіло № 2:
Тіло № 3:
C урахуванням кінематичних співвідношень (1.7) отриману систему рівнянь перетворимо до вигляду:
Вирішуючи цю систему, одержуємо вираз для визначення реакцій зв'язків:
Побудова алгоритму обчислень:
(2.1) Вихідні дані:
(2.2) Обчислення констант:
(2.3) Завдання початкового часу: t = 0;
(2.4) Обчислення значень функцій у момент часу t = 0;
(2.5) Обчислення реакцій зв'язків:
(2.6) Висновок на друк значень шуканих функцій в момент часу t;
(2.7) Визначення значення часу на наступному кроці
(2.8) Перевірка умови закінчення циклу:
(2.9) Повернення до пункту (2.4).
3. Застосування принципу Даламбера-Лагранжа та рівняння Лагранжа другого роду
3.1 Застосування принципу Даламбера-Лагранжа
Загальне рівняння динаміці системи є математичне вираження принципу Даламбера-Лагранжа.
сума елементарних робіт всіх активних сил на можливе переміщення системи;
сума елементарних робіт всіх інерції сил на можливе переміщення системи.
Зобразимо на малюнку активні сили і сили інерції (рис.3)
Ідеальні зв'язку:
Не враховуємо, і не відображаємо на розрахунковій схемі, оскільки за визначенням робота їх реакцій на будь-якому можливе переміщення системи дорівнює 0.
Повідомимо системі можливе переміщення.
Обчислюючи послідовно елементарні роботи активних сил і підсумовуючи отримаємо:
(2)
Знайдемо можливу роботу сил інерції:
Запишемо вираз для головних векторів і головних моментів сил інерції;
Використовуючи кінематичні співвідношення (1.7), визначимо:
Тепер можливу роботу сил інерції можна перетворити до вигляду:
(3)
Далі підставляючи вирази (2) та (3) в (1), тобто в загальне рівняння динаміки отримуємо
Поділивши це рівняння на , Отримаємо диференціальне рівняння вимушених коливань системи:
Аналіз результатів
У цій роботі ми досліджували динамічну поведінку механічної системи з використанням основних теорем і рівнянь теоретичної механіки. Диференціальне рівняння руху механічної системи отримано трьома способами. У всіх випадках коефіцієнти , N, k вийшли однаковими і співпали з комп'ютерною роздруківкою, що говорить про їх правильності. У процесі рішення диференціального рівняння даної механічної системи були отримані закони руху першого вантажу, його швидкість і прискорення в залежності від часу t. На підставі цих залежностей були визначені закони зміни всіх інших характеристик механічної системи, в тому числі і реакції зв'язків.