Міністерство освіти РФ
Самарський Державний Аерокосмічний Університет імені академіка С.П. Корольова (Тольяттинский філія)
Кафедра математики і механіки
Курсова робота з теоретичної механіки
по темі:
«Дослідження руху механічної системи з двома ступенями свободи»
Тольятті 2006
Зміст
Введення
1. Вихідні дані
2. Дослідження відносного руху матеріальної точки
3. Застосування загальних теорем динаміки до дослідження руху механічної системи
3.1. Складання рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту
3.2. Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутовий швидкості
4. Визначення реакцій в опорах обертового тіла
5. Дослідження руху механічної системи з двома ступенями свободи за допомогою рівнянь Лагранжа II роду
5.1. Складання рівнянь руху системи методом Лагранжа
5.2. Отримання диференціального рівняння відносного руху матеріальної точки
5.3. Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутовий швидкості
6. Визначення положень рівноваги механічної системи і дослідження їх стійкості
Висновок
Список використаних джерел
Введення
Вивчення теоретичної механіки як однієї з фундаментальних фізико-математичних дисциплін грає важливу роль у підготовці фахівців з механіко-математичним та інженерним механічним напрямками. Воно дозволяє майбутнім фахівцям не тільки отримати глибокі знання про природу, але й виробляє у них необхідні навички для вирішення складних наукових і технічних завдань, для яких потрібна побудова математичних моделей різноманітних механічних систем, розвиває здібності до наукових узагальнень і висновків.
Для закріплення навичок самостійного розв'язання задач механіки у другому семестрі вивчення теоретичної механіки студенти СГАУ виконують курсову роботу, в якій необхідно провести комплексний аналіз руху системи з двома ступенями свободи, користуючись різними методами теоретичної механіки.
Теоретична механіка, як частина природознавства, що використовує математичні методи, має справу не з самими матеріальними об'єктами, а їх математичними моделями. Такими моделями є матеріальні точки, системи матеріальних точок, тверді тіла і деформується, суцільна середовище. У курсовій роботі розглядаються найпростіші системи, які складаються з твердих тіл, які роблять найпростіші руху, і що переміщається по тілу матеріальної точки.
1. Вихідні дані
Рівносторонній трикутник зі стороною
, Що має масу
обертається навколо шарніра
. У точці
- Середині каналу
, На пружині жорсткістю
закріплений кулька масою
. При обертанні трикутника кулька може здійснювати коливальні рухи вздовж каналу
.
Малюнок 1.1. Схема механічної системи
2. Дослідження відносного руху матеріальної точки
Рух матеріальної точки в рухомій системі відліку описується диференціальним рівнянням відносного руху:
(1.1)
Тут - Відносне прискорення матеріальної точки;
- Сума всіх зовнішніх і внутрішніх сил;
і
- Переносна і Коріолісова сили інерції відповідно.
Зв'яжемо рухому систему відліку з рухомим уздовж каналу
кулькою. Вісь
проведемо вздовж каналу, причому зростання координати
сонаправленно з рухом кульки щодо трубки; а вісь
направимо перпендикулярно їй. Обертання трикутника
разом з системою координат
навколо шарніра є переносним рухом для кульки. Відносним рухом є його переміщення уздовж каналу
.
Диференціальне рівняння руху (2.1) для даної системи прийме вигляд:
(2.2)
Малюнок 2.1. Дослідження відносного руху матеріальної точки
Абсолютні значення сил:
;
, Де
;
- При постійній кутовий швидкості обертання
, Тоді
, Де
- Радіус обертання кульки навколо шарніра
;
, Т. к. кут між відносною і кутовий швидкостями прямий, звідси
, А напрямок визначається за правилом Жуковського.
Візьмемо проекцію диференціального рівняння відносного руху (2.2) на координатну вісь рухомої системи координат:
(2.3)
Радіус переносного обертання кульки:
(2.4)
З урахуванням значень сил і формули (2.4), рівняння (2.3) приймає вигляд:
Звідси отримуємо значення реакції зв'язку :
(2.5)
У додатку до курсової роботи зображений графік залежності (Рис. 2).
Тепер спроектуємо диференціальне рівняння (2.2) на координатну вісь :
(2.6)
При підстановці відомих значень отримаємо:
(2.7)
Наведемо (2.7) до наступного вигляду:
(2.8)
Тут - Це власна частота. Для перебування залежності
вирішимо дане рівняння.
- Рішення шуканого диференціального рівняння буде складатися із загального рішення відповідного однорідного рівняння
і будь-якого приватного рішення
.
Загальне рішення маєте вигляд: (2.9).
Знайдемо приватне рішення рівняння (2.8), воно буде мати вигляд: . Перша і друга похідні:
,
.
Підставляючи приватне рішення і його похідні в (2.8), отримаємо:
Знаходимо значення постійних коефіцієнтів: ,
.
(2.10)
Тоді, виходячи з (2.9) і (2.10), рішення вихідного диференціального рівняння:
Для визначення констант інтегрування, використовуємо початкові умови:
,
або
; Звідки
.
,
або
, Звідки
.
Підставивши значення і
, Та згрупувавши доданки, отримаємо диференціальні рівняння відносного руху кульки і його швидкості:
(2.11)
Тут ,
,
,
,
.
У додатку до курсової роботи зображений графік залежності (Рис. 1).
3. Застосування загальних теорем динаміки до дослідження руху механічної системи
3.1 Складання рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту
Механічною системою називається така сукупність матеріальних точок, в якій положення і рух кожної точки залежить від положення і руху інших точок. Отримувані для системи матеріальних точок теореми і співвідношення можна поширити і на системи, що складаються з одного або кількох взаємопов'язаних твердих тіл. Обмеження, що накладаються на рух точок і тіл механічної системи, називаються зв'язками. Виходячи з принципу освобождаемості від зв'язків, рух кожної точки системи можна розглядати як рух вільної точки, якщо замінити дію зв'язків реакціями цих зв'язків. Тоді для кожної точки, згідно основного рівняння динаміки матеріальної точки, маємо:
(3.1.1)
і
- Маса і прискорення деякої точки механічної системи;
і
- Зовнішні і внутрішні сили (уже включають у себе реакції зв'язків).
Рівняння (3.1.1) - це основне рівняння динаміки, наслідком його є теореми про рух центру мас механічної системи і про зміну кількості руху, теореми про зміну кінетичного моменту і кінетичної енергії. Теорема про зміну кінетичного моменту застосовується для вирішення завдань, в яких розглядається рух механічної системи, що складається з центрального тіла, що обертається навколо нерухомої осі, і одного або декількох тіл, рух яких пов'язане з центральним. Зв'язок може здійснюватися за допомогою ниток, тіла можуть переміщатися по поверхні центрального тіла або в його каналах за рахунок внутрішніх сил. За допомогою даної теореми можна визначити залежність закону обертання центрального тіла від положення або руху інших тіл.
Теорема про зміну кінетичного моменту формулюється наступним чином: повна похідна за часом від вектора кінетичного моменту механічної системи щодо деякого нерухомого центру за величиною і напрямком дорівнює головному моменту зовнішніх сил, прикладених до механічної системі, визначеному щодо того ж центру:
(3.1.2)
Тут - Кінетичний момент механічної системи відносно нерухомого центру
; Він є мірою руху системи навколо цього центру і складається з кінетичних моментів усіх точок і тіл, що входять в цю систему;
- Головний момент зовнішніх сил відносно нерухомого центру
.
Визначимо головний момент зовнішніх сил:
, Де
і
- Плечі сил ваги кульки і трикутника;
(3.1.3)
Визначимо кінетичний момент системи. Він складається з кінетичних моментів кульки і трикутника: .
Малюнок 3.1.1. Складання рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту
, Де модуль переносний швидкості дорівнює
.
(3.1.4)
,
- Момент інерції трикутника
щодо шарніра
. Визначимо його по теоремі Штейнера:
(3.1.5)
(3.1.6)
Враховуючи (3.1.4) і (3.1.6), кінетичний момент системи дорівнює:
(3.1.7)
Продиференціюємо вираз (3.1.7):
(3.1.8)
Підставивши знайдені значення в (3.1.2), теорема про зміну кінетичного моменту прийме вигляд:
(3.1.9)
3.2 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутовий швидкості
При дії зовнішнього моменту , Що забезпечує рівномірне обертання механічної системи навколо шарніра
, Останнє доданок у лівій частині рівності (3.1.9) звертається в нуль:
,
; Звідси
.
Тоді вираз (3.1.9) набуде вигляду:
(3.2.1)
спрямований протилежно головному моменту зовнішніх сил, тобто, проти годинникової стрілки.
Зовнішній момент, що забезпечує рівномірне обертання конструкції, дорівнює:
(3.2.2)
У додатку до курсової роботи зображений графік залежності (Рис. 3).
4. Визначення реакцій в опорах обертового тіла
Визначимо реакції в опорі обертового тіла методом кінетостатікі. Він полягає у вирішенні задачі динаміки засобами (рівняннями) статики. Для кожної точки механічної системи справедливо основне рівняння динаміки:
(4.1)
Тут і
- Маса і прискорення деякої точки системи;
- Сума всіх активних сил та реакцій зв'язків, прикладених до неї.
Основного рівняння динаміки (4.1) можна надати вигляду рівняння статики:
(4.2)
Тут - Сила інерції точки механічної системи.
Малюнок 4.1. Визначення реакцій в опорах обертового тіла
Для заданої механічної системи рівняння статики (4.2) має вигляд:
(4.3)
Для визначення реакції шарніра нам необхідно і достатньо взяти за координатні осі - нерухомі осі і
, І визначити складові реакції шарніра на ці осі:
(4.4)
Звідси:
Підставивши значення сил, отримаємо:
(4.5)
Тепер спроектуємо (4.2) на нерухому вісь :
(4.6)
Звідси:
Підставивши відомі значення сил, отримаємо:
(4.7)
Повну реакцію в шарнірі можна знайти за формулою:
, Де
і
визначаються виразами (4.5) і (4.7); графік її залежності від часу наведено у додатку до курсової роботи (рис. 4).
5. Дослідження руху механічної системи з двома ступенями свободи за допомогою рівнянь Лагранжа II роду
5.1 Складання рівнянь руху системи методом Лагранжа
Рівняння другого роду є одним з найбільш зручних прийомів складання рівнянь руху механічних систем. Вони мають такий вигляд:
(5.1.1)
Тут - Кінетична енергія системи;
,
,
, - Узагальнені координати, швидкості і сили відповідно;
- Число ступенів свободи.
Рівняння (5.1.1) утворюють систему рівнянь другого порядку щодо
функцій
, А порядок даної системи дорівнює
. Форма рівнянь Лагранжа не залежить від вибору узагальнених координат
. У зв'язку з цим говорять, що рівняння Лагранжа другого роду мають властивість інваріантності.
Як видно з (5.1.1), для отримання рівнянь Лагранжа необхідно знайти відповідні похідні від кінетичної енергії системи і визначити узагальнені сили.
Визначимо кінетичну енергію системи. Вона буде складатися з кінетичних енергій трикутника і кульки: .
Підставивши значення з (3.1.5), отримаємо:
(5.1.2)
Кінетична енергія кульки визначається його масою і відносною і переносний швидкостями:
З урахуванням відомих значень швидкостей, отримаємо:
(5.1.3)
Кінетична енергія системи дорівнює:
(5.1.4)
Знайдемо похідні від кінетичної енергії згідно (5.1.1):
(5.1.5)
(5.1.6)
(5.1.7)
(5.1.8)
Малюнок 5.1.1. Визначення кінетичної і потенційної енергій системи
Тепер, виходячи з (5.1.1), потрібно визначити узагальнені сили. Дана механічна система є консервативною, ми можемо визначити узагальнені сили через потенційну енергію за формулою:
(5.1.9)
Знайдемо потенційну енергію. Вона буде складатися з робіт консервативних сил з переміщення тіла з нульового положення: . За нульовий рівень потенційної енергії виберемо початковий момент часу, при
:
- Енергія становища кульки;
- Енергія положення прямокутника;
- Потенційна енергія сили пружності;
Потенційна енергія системи дорівнює:
(5.1.10)
Знайдемо узагальнені сили:
(5.1.11)
(5.1.12)
Тепер можемо записати систему рівнянь Лагранжа II роду:
(5.1.13)
(5.1.14)
5.2 Отримання диференціального рівняння відносного руху матеріальної точки
(5.1.13) і (5.1.14) - це система рівнянь Лагранжа II роду: перший з них являє собою диференціальне рівняння відносного руху. При порівнянні (5.1.13) з рівнянням відносного руху (2.7) видно, що рівняння тотожні:
(2.7)
(5.1.13)
5.3 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутовий швидкості
(5.1.14) - це рівняння рівняння руху твердого тіла без обмеження на закон зміни кутової швидкості обертання. Визначимо величину зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне обертання:
(5.1.14)
При дії зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне обертання, рівняння (5.1.14) набуде вигляду:
(5.3.1)
Звідси:
(5.2.2)
Порівняємо з отриманим раніше значенням:
(3.2.2)
Отже, два різні способи визначення зовнішнього моменту дали один результат.
6. Визначення положень рівноваги механічної системи і дослідження їх стійкості
Важливим випадком руху механічних систем є їх коливальний рух. Коливання - це повторювані руху механічної системи щодо деякого її положення, що відбуваються більш-менш регулярно в часі. У курсовій роботі розглядається коливальний рух механічної системи щодо положення рівноваги (відносного або абсолютного).
Механічна система може робити коливання в протягом досить тривалого проміжку часу тільки поблизу положення стійкої рівноваги. Тому перед тим, як скласти рівняння коливального руху, треба знайти положення рівноваги і дослідити їх стійкість.
Згідно основного рівняння статики, для того щоб механічна система перебувала в рівновазі, необхідно і достатньо, щоб у цій системі були рівні нулю всі узагальнені сили:
(6.1)
- Узагальнені сили;
- Число узагальнених координат в механічній системі.
У нашому випадку механічна система перебуває в потенційному силовому полі; з рівнянь (6.1) отримуємо наступні умови рівноваги:
(6.2)
Отже, в положенні рівноваги потенційна енергія має екстремальне значення. Не всяке рівновага, обумовлена вищенаведеними формулами, може бути реалізовано практично. У залежності від поведінки системи при відхиленні від положення рівноваги говорять про стійкість або нестійкості даного положення. Достатні умови стійкості положень рівноваги для консервативних систем визначаються теоремою Лагранжа - Діріхле: «Становище рівноваги консервативної механічної системи стійко, якщо в ньому потенційна енергія системи має ізольований мінімум».
Визначимо положення рівноваги для заданої механічної системи, використовуючи раніше знайдені узагальнені сили (5.1.11) і (5.1.12) з системи рівнянь:
(6.4)
Рішення системи засобами MathCAD наведено у додатку Б до курсової роботи.
Для нашої механічної системи маємо:
Перше положення рівноваги: ,
.
Друге положення рівноваги: ,
.
Використовуючи теорему Лагранжа - Діріхле визначаємо, що перше положення рівноваги є не стійким, а друге - стійким.
Малюнок 6.1. Положення рівноваги механічної системи
Знайдемо другу похідні від потенційної енергії за узагальненими координатами:
(6.5)
Для дослідження стійкості положення рівноваги необхідно досліджувати на знакоопределенность матрицю жорсткості, складену із значень виразу (6.5) в цьому положенні рівноваги.
1)
Положення рівноваги не стійке
2)
Положення рівноваги стійке
Висновок
У цій роботі була досліджена механічна система з двома ступенями свободи. У результаті були досягнуті спочатку поставлені цілі, а саме:
отримано закон відносного руху матеріальної точки;
складено рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту, визначено значення зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне обертання конструкції;
знайдені реакції в опорах обертового тіла;
проведено дослідження руху механічної системи за допомогою рівнянь Лагранжа II роду, в результаті якого були отримані рівняння відносного руху матеріальної точки і закон зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутовий швидкості;
визначені положення рівноваги механічної системи та досліджено їх стійкість;
У додатках до курсової роботи наведені результати чисельного інтегрування, а так само графіки залежностей визначених величин.
Список використаних джерел
Бутенін Н.В., Лунц Я.Л. та ін: Курс теоретичної механіки, том 1 і тому 2, Москва, «Наука», 1970.
Яблонський А.А., Норейко С.С.: Курс теорії коливань, Москва, Вища школа, 1966.
Динаміка точки та механічної системи: Навчальний посібник для курсового проектування / Авраменко О.А., Архипов В.В., Асланов В.С., тімбау І.А.; Під ред. проф. В.С. Асланова. - Самарський державний аерокосмічний університет, Самара, 2001 - 84 с.