Задачі для самостійного розв'язання
На складі 20 деталей, з яких 17 придатних. Визначити імовірність того, що з трьох навмання взятих деталей всі виявляться придатними.
На складі 50 придатних і 5 дефектних деталей. Визначити імовірність того, що серед п'яти навмання взятих деталей одна виявиться дефектною.
Учасники жеребкування тягнуть із ящика жетони з номерами від 1 до
100. Знайти імовірність того, що номер першого жетона, який навмання витягнутий з ящика, не містить цифру 5.
У партії з 20 готових виробів є 4 бракованих. Партію ділять на дві рівні частини. Визначити імовірність того, що браковані вироби розділяться нарівно.
Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам'ятаючи, що вони різні, набрав їх навмання. Знайти імовірність того, що були набрані потрібні дві цифри.
У розіграші першості з баскетболу беруть участь 18 команд, з яких випадковим способом формуються дві групи по 9 команд у кожній. Серед учасників змагань є 5 команд екстракласу. Знайти імовірність того, що а) всі команди екстракласу потраплять в одну групу; б) дві команди потраплять в одну з груп, а три - в іншу.
Є дві урни, в першій з них a білих і b чорних кулі, у другій – c білих і d чорних. З кожної урни виймають по одній кулі. Знайти імовірність того, що обидві вийнятих кулі виявляться білими.
У ліфт будинку, в якому сім поверхів, на першому поверсі ввійшли три пасажири. Кожний з них з однаковою імовірністю виходить на кожному з поверхів. Знайти імовірність того, що всі пасажири вийдуть одночасно (на тому самому поверсі).
Під час вимірювання 20 ліній теодолітного хода в 3 з них було допущено грубі промахи. Навмання вибрані 5 ліній. Яка імовірність того, що 2 з них містять грубі промахи?
Відповіді
Задача 1.1. Імовірність події А обчислюють як відношення числа можливих наслідків досліду, що сприяють появі події А, до загального числа можливих наслідків досліду. В нашому випадку подія А – це випадки, в яких 3 взяті навмання деталі будуть придатними, тобто – це
. А загальне число випадкових подій – це кількість разів скільки можна витягнути 3деалі з 20 – 
Тому дана задача вирішується за формулою 1.1.
(1.1)Відповідь: приблизно 0,5965.
На складі 50 придатних і 5 дефектних деталей. Визначити імовірність того, що серед п'яти навмання взятих деталей одна виявиться дефектною.
Задача 1.2. Імовірність події –
, де 
– число всіх можливих подій, що в нашому випадку – це 
. Число сприятливих подій дорівнює добутку 
, тобто імовірність події до задачі 2 обчислюють за формулою 2.1
0,331 (2.1)Відповідь: приблизно 0,331.
Задача 1.3. Цифри від 1 до 100, що містять 5: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, усього їх 10. Загальна імовірність витягнути жетон з цифрою 5 зі ста жетонів –
. Так як сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, то імовірність витягнути білет без цифри п’ять розраховують за формулою 3.1.
(3.1)Відповідь: 0,9.
Задача 1.4. Якщо розділити партію виробів порівну на дві групи то в кожній повинно бути по 10 нормальних та по 2 бракованих запчастини, якщо така кількість запчастин то в іншій також така ж сама кількість запчастин. Томі імовірність рівномірного розподілення запчастин можна сприймати за імовірність випадкового вибору 12 деталей серед яких буде 10 нормальних та двох бракованих деталей з 20 нормальних та 4 бракованих. Число всіх імовірних подій – це
. Число сприятливих подій дорівнює добутку 
. Тобто потрібну нам імовірність можна розрахувати за формулою 4.1.
(4.1)Відповідь: приблизно 0,40994.
Задача 1.5. Клавіатура телефону усього налічує 10 цифр. Імовірність потрібного вибору одної цифри =
, а так, як в даному випадку потрібно набрати ще одну (другу) цифру, імовірність вірного вибору якої також складає то імовірність сумісної події правильного вибору двох цифр дорівнює добутку їх подій і дорівнює 
. Відповідь:
Задача 1.6.а. В даній задачі зі загальну кількість випадків розподілення команд слугуватиме
так, як вибирають кожна група містить 9 з 18 команд. Кількість сприятливих подій – 
, так як в команді має бути 5 елітних гравців і 9-5 інших гравців. Тому шукана нами імовірність визначається за формулою 6.1.
(6.1)Відповідь: приблизно 0,03.
Задача 1.6.б. Якщо в одній з двох груп є 3 з 5елітних команди і 9-3 неелітних команди, це означає, що в іншій групі обов’язково буде 2 елітних команди та 9-2 неелітних команди. Тому вірогідність випадку якщо в одній групі буде дві елітні команди а в іншій – 2, можна розрахувати як вірогідність того, що в одній команді буде 3 елітних гравців і 6 неелітних. Сума усіх можливих подій для цієї задачі визначається як –
, так як потрібно набрати групу з 9 команд. Кількість сприятливих подій буде визначатись як добуток 
. Тому шукана імовірність розраховується за формулою 6.2.
(6.2)Відповідь: приблизно 0,054.
Задача 1.7. Для першої урни загальна кількість можливих подій буде складати
, для другої урни – 
, так як з кожної урни виймають по одній кулі. Сприятлива подія для першої урни – 
, а для другої урни – 
, так як нам потрібно витягнути по одній білій кульці з обох урн. Для того щоб знайти імовірність витягнення по одній білій кульці з обох урн потрібно знайти добуток імовірностей сприятливої події для обох урн ( формула 7.1).
(7.1)Задача 1.8. Так як пасажири зайшли в ліфт на першому поверсі, то в них залишилось шість поверхів з семи для того щоб вийти. Для того, щоб розрахувати імовірність того що одна людина вийде на певному поверсі потрібно сприятливу подію – 1 поділити на загальну кількість можливих подій – 6. Так як нам потрібно знайти імовірність того, що три пасажири вийдуть на одному і томому самому поверсі потрібно знайти добуток трьох імовірностей вийти на певному поверсі. Шукану нами імовірність можна розрахувати за формулою 8.1.
(8.1)Відповідь: приблизно 0,046.
Задача 1.9. Загальна кількість подій для даної задачі складає
, так як ми вибираємо навмання 5 вимірювань за 20. Сприятлива подія дорівнює добутку 
, так як нам потрібен випадок коли в двох з п’яти вимірювань є грубі помилки, а в трьох з п’яти неважливо чи є помилки чи ні. Тому імовірність того, що в 5 вимірюваннях будуть 2 вимірювання з грубими похибками можна розрахувати за формулою 9.1.
(9.1)Відповідь: приблизно 0,158.