Задачи по статистике
Вариант 1
a = 2, b = 6
Задача 1.1
По группе предприятий имеются следующие данные статистического и финансового учета:
| № п/п | Валовая продукция, ден. ед. | Среднесписочная численность персонала, чел. | Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, ден. ед. | Прибыль, ден. ед. |
| 1 | 362 | 147 | 392 | 125 |
| 2 | 478 | 213 | 464 | 140 |
| 3 | 986 | 525 | 1596 | 282 |
| 4 | 824 | 120 | 828 | 305 |
| 5 | 1334 | 344 | 1246 | 394 |
| 6 | 486 | 234 | 674 | 128 |
| 7 | 792 | 356 | 772 | 270 |
| 8 | 848 | 184 | 778 | 302 |
| 9 | 966 | 408 | 906 | 380 |
| 10 | 914 | 489 | 1174 | 361 |
| 11 | 758 | 219 | 1038 | 248 |
| 12 | 1282 | 512 | 1462 | 475 |
| 13 | 1558 | 363 | 1258 | 517 |
| 14 | 722 | 132 | 1172 | 302 |
| 15 | 1864 | 422 | 1054 | 636 |
| 16 | 1816 | 311 | 926 | 416 |
| 17 | 1200 | 467 | 1260 | 413 |
| 18 | 1270 | 483 | 1330 | 369 |
По данным таблицы произвести группировку предприятий по размеру основных фондов, выделив 5 групп (60%). Установить зависимость прибыли предприятия от размера, численности и объема выпускаемой продукции (30%). Сделать выводы (10%).
Решение:
1) Величина интервала (h) при равных интервалах группировки определяется по формуле:
где
и 
- максимальное и минимальное значение данного признака; 
– число групп.
Составим табл. 1.1:
Таблица 1.1 – Промежуточные расчеты
| Группы предприятий по размеру основных фондов, млн.руб. | Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб. | Валовая продукция, млн. руб. | Среднесписочное число работающих, чел. | Прибыль, тыс. руб. |
| 392 – 632,8 | 392 | 362 | 147 | 125 |
| 464 | 478 | 213 | 140 | |
| Итого | 856 | 840 | 360 | 265 |
| 632,8 – 873,6 | 674 | 486 | 234 | 128 |
| 772 | 792 | 356 | 270 | |
| 778 | 848 | 184 | 302 | |
| 828 | 824 | 120 | 305 | |
| Итого | 3052 | 2950 | 894 | 1005 |
| 873,6 – 1114,4 | 906 | 966 | 408 | 380 |
| 926 | 1816 | 311 | 416 | |
| 1038 | 758 | 219 | 248 | |
| 1054 | 1864 | 422 | 636 | |
| Итого | 3924 | 5404 | 1360 | 1680 |
| 1114,4 – 1355,2 | 1172 | 722 | 132 | 302 |
| 1174 | 914 | 489 | 361 | |
| 1246 | 1334 | 344 | 394 | |
| 1258 | 1558 | 363 | 517 | |
| 1260 | 1200 | 467 | 413 | |
| 1330 | 1270 | 483 | 369 | |
| Итого | 7440 | 6998 | 2278 | 2356 |
| 1355,2 - 1596 | 1462 | 1282 | 512 | 475 |
| 1596 | 986 | 525 | 282 | |
| Итого | 3058 | 2268 | 1037 | 757 |
| Всего | 18330 | 18460 | 5929 | 6063 |
На основании таблицы 1.1 строим таблицу 1.2:
Таблица 1.2 – Группировка предприятий по размеру основных фондов
| Группы предприятий по размеру основных фондов, млн.руб. | Число предприятий | Валовая продукция, млн. руб. | Среднесписочное число работающих, чел. | Прибыль, тыс. руб. | |||
| всего | в среднем на одно предприя-тие | всего | в среднем на одно предприя-тие | всего | в среднем на одно предприя-тие | ||
| 392 – 632,8 | 2 | 840 | 420 | 360 | 180 | 265 | 132,5 |
| 632,8 – 873,6 | 4 | 2950 | 737,5 | 894 | 223,5 | 1005 | 251,25 |
| 873,6 – 1114,4 | 4 | 5404 | 1351 | 1360 | 340 | 1680 | 420 |
| 1114,4 – 1355,2 | 6 | 6998 | 1166,33 | 2278 | 379,67 | 2356 | 392,67 |
| 1355,2 - 1596 | 2 | 2268 | 1134 | 1037 | 518,5 | 757 | 378,5 |
| Итого | 18 | 18460 | 1025,56 | 5929 | 329,39 | 6063 | 336,83 |
Из табл. 1.2 видно, что распределение предприятий по размеру основных фондов является неравномерным. Так, наиболее распространена величина основных фондов 1114,4 – 1355,2 млн. руб. К данной группе относится шесть предприятий или 33,3% от их общего количества. Максимальный объем основных фондов (более 1355,2 млн. руб.) наблюдается у двух предприятий.
От группы к группе происходит увеличение средней среднесписочной численности рабочих и общей прибыли, т.е. между данными показателями существует положительная связь. Чёткой зависимости между размером предприятия и величиной прибыли не наблюдается, т.к. не всегда рост стоимости ОПФ сопровождается ростом прибыли.
Задача 1.2. Определите среднемесячную заработную плату рабочих производственного объединения, состоящего из трех предприятий по следующим данным финансового учета предприятий (80%):
| Предприятие | Среднемесячная зарплата рабочих, ден. ед. | Израсходованный за месяц фонд зарплаты рабочих, млн. ден. ед |
| 1 | 28,60 | 45,37 |
| 2 | 31,46 | 40,48 |
| 3 | 29,84 | 46,53 |
Обоснуйте правильность выбранной для вычисления формулы (10%) и интерпретируйте полученный результат (10%).
Решение:
Для определения средней заработной платы воспользуемся соотношением:
Число работников по каждому предприятию можно получить делением фонда заработной платы на среднемесячную заработную плату. Тогда расчёт средней заработной платы в целом по трем предприятиям будет произведён по формуле средней гармонической взвешенной:
Следовательно, среднюю заработную плату работников предприятий в зависимости от исходных данных можно рассчитать и по формуле средней арифметической, и средней гармонической, и средней агрегатной. Но выбор конкретной формы средней зависит от экономического смысла изучаемого показателя – от его исходного соотношения. Поэтому при решении подобной задачи вначале следует составить исходное соотношение средней, что поможет определиться с необходимой формулой.
Задача 1.3
Хронометраж работы станочника дал следующие результаты:
| Затраты времени на изготовление одной детали, мин. | 20 – 21 | 21 – 22 | 22 – 23 | 23 – 24 |
| Число изготовленных деталей, шт. | 8 | 19 | 12 | 13 |
Определите среднюю трудоемкость изготовления (50%) деталей и предельную ошибку этого показателя с вероятностью 0,95 (40%). Дайте объяснение полученным результатам (10%).
Решение:
1) Вычислим среднюю трудоемкость деталей по формуле средней арифметической взвешенной:
Где
- середина интервала;
- число деталей.Тогда:
Для определения предельной ошибки рассчитаем дисперсию:
Среднее квадратическое отклонение:
Доверительный интервал средней трудоемкости деталей. Используем формулу:
где
- процент выборки.Поскольку
, то определяем значение 
по таблицам функции Лапласа.В этом случае 2Ф(
) = γФ(
) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475По таблице функции Лапласа найдем, при каком
значение Ф( ) = 0.475 (γ) = (0.475) = 1,96Тогда:
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение трудоемкости деталей при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Задача 1.4
Экзаменационная сессия студентов-заочников по специальным дисциплинам характеризуется следующими данными:
| Студенты | Получившие не более двух неудовлетворительных оценок | Получившие более двух неудовлетворительных оценок |
| Работающие по специальности | 136 | 18 |
| Не работающие по специальности | 104 | 42 |
Для оценки наличия взаимосвязи между работой специальности и качеством обучения необходимо рассчитать коэффициенты ассоциации (40%) и контингенции (40%). Сделать краткие выводы (20%).
Решение:
Введем обозначения.
Признак «А1» - Получившие не более двух неудовлетворительных оценок;
Признак «А2» - Получившие более двух неудовлетворительных оценок;
Признак «В1» - Работающие по специальности;
Признак «В2» - Не работающие по специальности.
Получено выборочное распределение признака «А» в зависимости от «B». Результаты приведены в таблице:
| | A1 | A2 |  |
| B1 | 136 | 18 | 154 |
| B2 | 104 | 42 | 146 |
 | 240 | 60 | 300 |
Рассчитаем теоретические частоты по формуле:
для всех клеток таблицы
Получим таблицу сопряженности теоретических частот распределения:
| | A1 | A2 | |
| B1 | 123,2 | 30,8 | 154 |
| B2 | 116,8 | 29,2 | 146 |
| | 240 | 60 | 300 |
Вычислим статистику χ2:
Определим силу связи по коэффициентам сопряженности.
Коэффициент ассоциации:
Таким образом, связь между работой специальности и качеством обучения умеренная и прямая. Поскольку коэффициент по модулю больше 0.5, связь считается подтвержденной.
Коэффициент контингенции
Таким образом, связь между работой специальности и качеством обучения низкая и прямая. Поскольку коэффициент по модулю меньше 0.3, связь считается не подтвержденной.
Задача 1.5
Производство продукции А и В по предприятию за 2007 по 2017 г.г. характеризуется следующими данными:
| Годы | Выпуск продукции А, тыс. шт. | Выпуск продукции В, тыс. кв. м |
| 2007 | 252 | 173 |
| 2008 | 262 | 171 |
| 2009 | 304 | 196 |
| 2010 | 307 | 180 |
| 2011 | 346 | 201 |
| 2012 | 363 | 198 |
| 2013 | 420 | 231 |
| 2014 | 436 | 222 |
| 2015 | 498 | 260 |
| 2016 | 526 | 255 |
| 2017 | 567 | 284 |
1) Дайте сравнительную характеристику среднегодовых скоростей роста выпуска продукции (30%).
2) По каждому виду продукции определить прогнозный уровень 2018 г. путем экстраполяции:
а) на основе среднего темпа роста (30%);
б) на основе аналитического выравнивания рядов динамики с построением модели линейного тренда (40%).
Решение:
1) Средний темп роста равен:
104,14 > 102,5, значит, темп роста выпуска продукции А увеличивается более быстрыми темпами по сравнению с выпуском продукции Б.
2) Определим прогнозный уровень 2018 г. путем экстраполяции на основе среднего темпа роста.
По продукции А:
По продукции В:
Определим прогнозный уровень 2018 г. путем экстраполяции на основе аналитического выравнивания рядов динамики с построением модели линейного тренда.
По продукции А.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
an + b∑t = ∑y
a∑t + b∑t2 = ∑y∙t
| t | y | t2 | y2 | t y |
| 1 | 252 | 1 | 63504 | 252 |
| 2 | 262 | 4 | 68644 | 524 |
| 3 | 304 | 9 | 92416 | 912 |
| 4 | 307 | 16 | 94249 | 1228 |
| 5 | 346 | 25 | 119716 | 1730 |
| 6 | 363 | 36 | 131769 | 2178 |
| 7 | 420 | 49 | 176400 | 2940 |
| 8 | 436 | 64 | 190096 | 3488 |
| 9 | 498 | 81 | 248004 | 4482 |
| 10 | 526 | 100 | 276676 | 5260 |
| 11 | 567 | 121 | 321489 | 6237 |
| 66 | 4281 | 506 | 1782963 | 29231 |
| Ср.знач. | 389.182 | 46 | 162087.545 | 2657.364 |
Для наших данных система уравнений имеет вид:
11a + 66b = 4281
66a + 506b = 29231
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение
Получаем a = 195.818, b = 32.227
Уравнение тренда:
Прогноз на 2018 год:
По продукции В.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
an + b∑t = ∑y
a∑t + b∑t2 = ∑y∙t
| t | y | t2 | y2 | t y |
| 1 | 173 | 1 | 29929 | 173 |
| 2 | 171 | 4 | 29241 | 342 |
| 3 | 196 | 9 | 38416 | 588 |
| 4 | 180 | 16 | 32400 | 720 |
| 5 | 201 | 25 | 40401 | 1005 |
| 6 | 198 | 36 | 39204 | 1188 |
| 7 | 231 | 49 | 53361 | 1617 |
| 8 | 222 | 64 | 49284 | 1776 |
| 9 | 260 | 81 | 67600 | 2340 |
| 10 | 255 | 100 | 65025 | 2550 |
| 11 | 284 | 121 | 80656 | 3124 |
| 66 | 2371 | 506 | 525517 | 15423 |
| Ср.знач. | 215.545 | 46 | 47774.273 | 1402.091 |
Для наших данных система уравнений имеет вид:
11a + 66b = 2371
66a + 506b = 15423
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение
Получаем a = 150.255, b = 10.882
Уравнение тренда:
Прогноз на 2018 год:
Задача 1.6
Имеются следующие данные о ценах и объеме продаж товаров на рынке
| Наименование товара | Продано | Цена, ден. ед. | ||
| базисный период | отчетный период | базисный период | отчетный период | |
| А, кг | 116 | 2236 | 238 | 276 |
| В, л | 8 | 46 | 86 | 92 |
| С, шт | 325 | 296 | 12 | 9 |
Вычислить:
- индивидуальные индексы цен (10%) и физического объема реализации (10%);
- сводные индексы цен (Пааше) (15%),
- физического объема реализации (Ласпейреса)(15%);
- индекс товарооборота (15%);
- сумму дополнительных расходов населения за счет изменения цен (15%);
Дайте интерпретацию полученным результатам (20%).
Решение:
Индивидуальные индексы.
Для расчета индивидуальных индексов цен необходимо цену за 1 ед. каждого вида продукции отчетного периода отнести к цене этой же продукции базисного периода.
Это означает, что цена возросла на 16% (116 – 100).
Прирост физического объема составил 1827.6% (1927.6 – 100).
ipq=1.16∙19.276=22.354
Т.е. стоимость товарооборота выросла на 2135.4% (2235.4 - 100).
Это означает, что цена возросла на 7% (107 – 100).
Прирост физического объема составил 475% (575 – 100).
ipq=1.07∙5.75=6.151
Т.е. стоимость товарооборота выросла на 515.1% (615.1 - 100).
Это означает, что цена снизилась на 25% (100 – 75).
Спад физического объема составил 8.9% (100 – 91.1).
ipq=0.75∙0.911=0.683
Т.е. стоимость товарооборота снизилась на 31.7% (100 – 68.3).
| Вид продукции | iq | ip | iT |
| 1 | 19.276 | 1.16 | 22.354 |
| 2 | 5.75 | 1.07 | 6.151 |
| 3 | 0.911 | 0.75 | 0.683 |
а) общий индекс товарооборота
∆Z = ∑q1∙p1 - ∑q0∙p0 = 624032 - 32196 = 591836
За счет влияния всех факторов, общий товарооборот увеличился на 1838.2% или на 591836.
б) общий индекс цен (метод Пааше)
∆Zp = ∑q1∙p1 - ∑q1∙p0 = 624032 - 539676 = 84356
За счет изменения цен сводный товарооборот возрос на 15.6% или на 84356.
в) общий индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)
∆Zq = ∑q1 · p0 - ∑q0 · p0 = 539676 - 32196 = 507480
За счет изменения объема продаж, товарооборот возрос на 1576.2% или на 507480.
Покажем взаимосвязь индексов
I = Iq · Ip = 16.762 · 1.156 = 19.382