Ім'я файлу: ЛЕКЦІЯ 3.docx
Розширення: docx
Розмір: 232кб.
Дата: 04.02.2023
скачати
Пов'язані файли:
Програмна реалізація шифру DES.docx
Лабораторна-6 (1).docx
Лабораторна робота №10.docx

Лекція №3 (6 годин)

Тема: Випадкові величини та їх числові характеристики.

Мета: Повторити елементи теорії ймовірностей, усвідомити зв'язок надійності та теорії ймовірностей. Вивчення основних понять та законів теорії ймовірностей необхідних для подальшого вивчення предмету.
На практиці нас цікавлять не випадкові величини, а випадкові зміни деякої величини (наприклад, часу безвідмовної роботи). Введемо поняття випадкової величини – це та величина, яка в результаті експерименту може прийняти те чи інше значення, причому невідомо яке саме.

Відомі два види випадкових величин.

До першого типу відносяться :

  1. число влучень у ціль при 10 вистрілах ;

  2. кількість елементів системи, які можуть вийти з ладу за час .

Такі величини приймають окремі один від одного значення (для а) 0, 1, 2, …10; для б) 0, 1, 2,….п) і називаються дискретними випадковими величинами.

До другого типу випадкових величин відносять:

  1. вага навмання взятої жмені піску;

  2. напрацювання до відмови.

Значення таких величин не відокремлені одне від одного, вони неперервно заповнюють деякий проміжок межі якого можуть бути чіткими чи розмитими. Ці величини називаються неперервними випадковими величинами.

Варто зазначити, що всі теореми та твердження теорії ймовірностей випадкових подій мають застосування і до всіх випадкових величин. Дійсно, подією А можна назвати факт досягнення величиною певного значення.

Як і при розгляді випадкових величин кожному і-тому значенню випадкової величини відповідає ймовірність . Якщо є функція від значень величини - ця функція називається законом розподілу величини .

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий за допомогою таблиці чи гістограми. Наприклад для ідеального грального кубика він виглядатиме так:
1
2
3
4
5
6
або









































Якщо гральний кубик не ідеальний, наприклад, друга грань найлегша, закон розподілу може бути наступним:
1
2
3
4
5
6
або

























Наш приклад відповідає повній групі подій, а для неї, як відомо: .

Для неперервної випадкової величини ймовірність попадання в визначену точку значень нескінченно мала, а цих точок нескінченно багато. В даному випадку виявляється зручніше користуватися не ймовірністю , а .

Ймовірність такої події залежить від . Наприклад величина рівномірно розподілена на інтервалі , то ймовірність того, що дорівнює нулю, а - - одиниця. Тобто, на інтервалі ймовірність буде змінюватись від 0 до 1.

Ф ункція, яка показує як буде змінюватись ймовірність величини на заданому інтервалі її значень називається функцією розподілу чи інтервальною функцією випадкової величини. Найчастіше вона позначається , де - поточне значення величини в нашому випадку, коли величина рівномірно розподілена на інтервалі функція розподілу матиме вигляд:
В загальному випадку, характерний приклад для інтегральної функції (функції розподілу):


Основні властивості функції розподілу:

    1. - неспадна функція, тобто при ;

    2. - завжди додатна (оскільки це ймовірність) ;

    3. , а , тобто подія – величина х виявиться менша - неможлива, а те, що вона буде менша - достовірна.

При розв’язуванні практичних задач часто необхідно знати ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал значень від до . Тоді



Якщо інтервал зменшувати до величини і на всій області визначення величини розрахувати нову функцію , то при отримаємо похідну інтегральної функції. Цю нову функцію називають щільністю розподілу ймовірностей величини , найчастіше її позначають так -



Графічно , в загальному випадку, має вигляд





Для величини рівномірно розподіленої на інтервалі щільність розподілу має вигляд



Основні властивості густини розподілу:

  1. для будь-якого значення , як похідна неспадної функції .

  2. - ймовірність того, що величина лежить в межах інтервалу дорівнює 1.

  3. - ймовірність попадання величини в інтервал значень геометрично дорівнює площі під кривою розподілу, що обмежена цим проміжком .

Маючи закони розподілу випадкових величин, ми з імовірнісної точки зору знаємо про цю величину все, але на практиці немає необхідності в настільки точній інформації. Нас значно частіше цікавить середнє значення і ступінь розсіювання навколо нього випадкової величини. Такі величини називаються числовими характеристиками випадкових величин.

З них найважливішими є математичне сподівання та дисперсія.

Математичне сподівання – це сума добутків всіх можливих випадкових величин на ймовірність цих значень. При досить великій кількості випробувань, отримане в них середнє арифметичне значення дуже близьке до математичного сподівання. Наприклад, є дискретні випадкові величини 1, 2, 3 і 4 всі вони рівно ймовірні з ймовірністю 0,25, тоді математичне сподівання для середнього арифметичного значення .

Математичне сподівання позначається , або , або .

  1. Для дискретної величини: .

  2. Для неперервної величини .

Числовою характеристикою, що визначає ступінь розсіювання величини навколо її математичного сподівання є математичне сподівання середнє квадратичного відхилення і дисперсія .

, .

  1. Для дискретної величини дисперсія .

  2. Для неперервної випадкової величини

Для випадкової величини , рівномірно розподіленої на інтервалі і .

Чим менша дисперсія, тим більше визначена випадкова величина



Приклад щільності розподілу двох випадкових величин





Коли в теорії надійності говоримо про надійнісних характеристиках, наприклад, напрацювання до відмови чи інтенсивність відмов, мається на увазі математичне сподівання цих величин.

При нормальному законі розподілу можна нарисувати «нормовану» по криву щільності розподілу величини



- формула нормального закону розподілу при , .


  1. Д/з.

Опрацювати матеріал лекції.




скачати

© Усі права захищені
написати до нас