1 Функції. Область визначення, область значень, графіки функцій та їх властивості. Функцією

1
Функції. Область визначення, область значень, графіки функцій та їх
властивості.
Функцією, називають залежність змінної величини y від змінної величини х у випадку, коли кожному значенню х відповідає єдине значення y. Причому, змінну х називають незалежною величиною (аргументом, а y – залежною (значенням функції).
Дану залежність записують у вигляді:
)
(x
f
y

Існує три способи задання функції:
1)
Аналітичний за допомогою формули
)
(x
f
y

), наприклад:
2 1
3
,
1 8
2
,
5 3
2 3









x
y
x
x
y
x
y
Іноді функцію задають різними формулами на різних проміжках, наприклад:











5
,
5 2
5
,
2
)
(
2
x
при
x
x
при
x
x
f
Це означає, що при
5


x
значення функції необхідно шукати за формулою
2
)
(
2


x
x
f
, а приза формулою
5 2
)
(



x
x
f
.
2) Табличний. Даний спосіб полягає в тому, що у таблиці задано кілька значень аргументу, і, відповідно до них, обчислені числові значення функції. Величину аргументу й значення функції записують у різні рядки таблиці, але так, щоб в стовпчиках містилась кожна пара відповідних значень аргументу та функції.
3) Графічний. При графічному способі задання функції в системі координат проставляється ряд точок, абсциси яких відповідають значенням аргументу, а ординати – значенням функції. Потім їх сполучають плавною лінією.
Отже, графіком функції називають фігуру, утворену точками координатної площини, абсциси яких рівні значенню незалежної змінної (аргументу, а ординати – відповідним залежним змінним.
Областю визначення функції (областю допустимих значень) називають усі значення незалежної змінної х, при яких функція не втрачає змісту.
Якщо вираз є многочленом, то областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел якщо функція містить раціональний дріб, то областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім значень аргументу при яких знаменник дробу перетворюється в нуль якщо .функція містить арифметичний квадратний корінь або корінь вищого степеня з парним показником, то областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, для яких відповідні підкореневі вирази є невід’ємними. Область значень функції – це множина значень, яких набуває залежна змінна. Область значень функції позначають Е(у) (старе позначення – Д(у)), а область визначення Д(у) (старе - ОДЗ).
Координатна площина, осі координат Множина всіх пар дійсних чисел називається числовою площиною. ЇЇ геометрична модель – координатна площина, що визначається двома взаємно перпендикулярними координатними прямими: горизонтальною – віссю абсцис і вертикальною – віссю ординат, - із спільним початком початком координат. Кожна точка координатної площини визначається парою чисел координатами) – абсцисою і ординатою, що є проекціями точки на осі координат.
Графіком функції називають множину точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – значенню функції.
Розглянемо основні види графіків функції.
1. Лінійна функція задається формулою
b
kx
y


, де

b
k,
дійсні числа. ЇЇ графік
– пряма. Для її побудови достатньо координат двох точок. У загальному вигляді
її графік зображений на мала, баб) мал. 1. Графік лінійної функції.
Причому, довжина відрізка ОВ рівна величині b , а ОА – величині (
k
b

).
Часткові випадки: а) Постійна:
b
y

(лінія паралельна осі абсцис) або ах (лінія паралельна осі ординат б) Пряма пропорційність:
kx
y

, її графік проходить через початок координат.
2. Степенева функція з натуральним показником: має вигляд При n=1 отримаємо пряму
x
y

, при n=2 – параболу
2
x
y

, при n=3 – кубічну функцію
3
x
y

. Нехай n – довільне парне число (4,6,8,…), тоді функція
n
x
y

має такі ж властивості й схожий графік, що й парабола
2
x
y

. Лише при
1

n
вітки графіка тим крутіше йдуть вгору, чим більше n, а при
1

n
тим тісніше притискаються до осі х, чим більше n (мала.
Нехай n – довільне непарне число (5,7,9,…), тоді функція
n
x
y

має такі ж властивості й схожий графік, що й функція мал. баб) Мал. 2. Графік степеневої функції з натуральним показником.
Часткові випадки: а) Квадратна функція
2
x
y

: ЇЇ графіком є парабола (мала, вітки якої напрямлені вгору, а вершина знаходиться в початку координат.

4
Функція оберненої пропорційності
x
k
y

або
1


kx
y
(мал. 3): вона визначена на всій числовій прямій крім х. Графік даної функції – гіпербола, що складається з двох гілок – симетричних відносно початку координат. При
0

k
графік знаходиться в І та ІІІ квадранті координатної площини (мала. При
0

k
графік знаходиться в ІІ та І квадранті координатної площини (мал. б.
Якщо n – непарне число (n=3,5,7,…), тоді функція
n
x
y


має такі ж властивості й схожий графік, що й функція
x
y
1

(мала.
Якщо – парне число (n=2,4,6,…), тоді функція
n
x
y


має графік зображений на мал. 4. Причому, тут гілки гіперболи симетричні відносно осі OY. Мал. 4. Графік степеневої функції з цілим від’ємним парним показником.
4. Функція кореня ї степені
)
(
,
N
n
x
y
n


: Розглянемо спочатку часткові
випадки: а) Функція арифметичного квадратного кореня: при n=2, - задається формулою
0
,


x
x
y
. Графіком функції служить права вітка параболи, що розміщена в першому квадранті (мал. 5). Вершина даної параболи знаходиться в точці початку координат (0;0). мал. 5. Графік функції арифметичного квадратного кореня. б) Функція кореня кубічного
3
x
y

(n=3): ЇЇ графік зображений на мал. 6. Він симетричний відносно початку координат.

5 Мал. 6. Графік функції кореня кубічного. При парному n (4,6,8,…) функція
)
(
,
N
n
x
y
n


має такі ж властивості й схожий графік, що і функція
0
,


x
x
y
(мала. а) б) Мал. 7. Графіки функцій кореня ї степені. При непарному n (5,7,9,…) функція
)
(
,
N
n
x
y
n


має такі ж властивості й схожий графік, що і функція кубічного кореня
3
x
y

(мал. 7. б.
5. Дробово-раціональна функція задається формулою
d
cx
b
ax
y



. Для побудови графіка даної функції, необхідно:
1) знайти її область визначення (
c
d
x
d
cx




,
0
).
2) перенести осі координат, паралельним перенесенням, поділивши чисельник функції на знаменник. Отримаємо:
n
x
k
m
y



, де При m>0 – вісь OY переносимо на m одиниць вверх, при m<0 – вісь OY переносимо на m одиниць вниз. При n<0 – вісь ОХ переносимо на n одиниць вправо, а при n>0 – вісь ОХ переносимо на n одиниць вліво. Нова система координат має своїм початком точку О.

6
3) графіком даної функції буде гіпербола
X
k
Y

, (
m
y
Y
n
x
X




,
), гілки якої будуть знаходитися в І та ІІІ координатній четверті, при k>0, і в ІІ та І координатній четверті, при k<0, але вже в новій системі координат XO
1
Y (мал.
8). Мал. 8. Схематичні графіки дробово-раціональної функції.
Властивості функції.
1) Нулі функції – значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю.
Наприклад, нулем функції
6 2


x
y
буде х.
2) Зростання функції. Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції мала) Спадання функції. Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції (мал. 9 б.
Якщо функція зростає (спадає) на всій області визначення, то її називають
зростаючою (спадною) функцією. Зростаючі та спадні функції називають
монотонними. а) б) Мал. 9. Зростаюча і спадна функції.
4) Парна функція. Функцію
)
(x
f
y

називають парною, якщо для будь-якого значення х з її області визначення значення (– х також належить області визначення і виконується рівність f(x)=f(-x).

7
Графік парної функції (мала) симетричний відносно осі ординат, тому для побудови графіка парної функції досить побудувати частину графіка для
0

x
, а потім відобразити цю частину відносно осі ординат.
5) Непарна функція. Функцію
)
(x
f
y

називають непарною, якщо для будь-якого значення х з її області визначення значення (– х також належить області визначення і виконується рівність f(x)=-f(-x).
Графік непарної функції (мал. 10 б) симетричний відносно початку координат, тому для побудови графіка непарної функції досить побудувати частину графіка для
0

x
, а потім відобразити цю частину відносно початку координата) б) Мал. 10. Парна, непарна функція.
Якщо графік функції не симетричний відносно початку координат або






)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
f
, то функція є ні парною, ні непарною.
6) Періодичність функції. Функція
)
(x
f
y

називають періодичною з періодом
0

T
, якщо для будь-якого значення х з її області визначення числа (х-Т) та
(х+Т) також належать області визначення і виконується рівність f(x)=f(x-Т)=
=f(x+Т).
Причому, якщо Т – період функції
)
(x
f
y

, то всі числа виду
0
,
,


n
Z
n
nT
, також є періодом функції.
Періодичними є функції: Схема дослідження функції:
1. Область визначення функції.
2. Область значень функції.
3. Знакосталість функції, точки перетину графіка з осями координат.
4. Парність, непарність функції, симетричність графіка функції.
5. Періодичність функції.
6. Інтервали монотонності функції.
7. Екстремуми функції.
8. Побудова графіка функції.

8
Перетворення графіків функції.
1.
Графік функції
0
,
)
(



n
n
x
f
y
. Оскільки для будь-якого значення х значення функції
0
,
)
(



n
n
x
f
y
на n більше (менше) значення функції Тому графік функції
0
,
)
(



n
n
x
f
y
можна одержати за допомогою паралельного перенесення графіка функції
)
(x
f
y

вздовж осі Она одиниць вгору (вниз.
2.
Графік функції
0
),
(



m
m
x
f
y
можна одержати із графіка функції
)
(x
f
y

за допомогою паралельного перенесення вздовж осі хна т одиниць ліворуч
(праворуч).
3.
Графік функції
0
,
,
)
(




т
n
n
т
x
f
y
можна одержати із графіка функції
)
(x
f
y

за допомогою паралельного перенесення вздовж осі Ох на т одиниць ліворуч (праворуч) та вздовж осі Она одиниць вгору (вниз.
4.
Графік функції
)
(x
f
y


. Оскільки значення функції
)
(x
f
y


протилежні відповідним значенням функції
)
(x
f
y

, тому кожна точка графіка функції
)
(x
f
y


симетрична відповідній точці графіка функції
)
(x
f
y

відносно осі х. Отже, графік функції
)
(x
f
y


одержують із графіка функції
)
(x
f
y

за допомогою симетрії відносно осі Ох.
5.
Графік функції а можна побудувати з графіка функції
)
(x
f
y

розтяганням його по осі ординату а разів, якщо
1

a
, або стисканням у
a
1
рази, якщо
1 0


a
6.
Графік функції с можна побудувати з графіка функції
)
(x
f
y

стисканням його по осі абсцис ус разів, якщо сабо розтяганням ус рази, якщо
1 с. Якщо c<0, то після стискання його треба відобразити симетрично осі О.
7.
Графік функції
)
(x
f
y

можна побудувати з графіка функції
)
(x
f
y

, якщо ту частину графіка, що розміщується нижче від осі Ох відобразити симетрично відносно цієї осі (Ох. Ату частину графіка, що знаходиться вище осі Ох або на ній, залишити без змін.
8.
Графік функції
)
( x
f
y

можна побудувати з графіка функції
)
(x
f
y

, якщо ту частину графіка, що розміщується ліворуч осі О, забрати, ату частину графіка, що знаходиться праворуч осі Оу або на ній, залишити без змін й відобразити її симетрично відносно цієї осі (Оу).