Навчаючі програми GRAN1, GRAN-2D, GRAN-ЗD (створені на кафедрі інформатики НПУ ім. М.Драгоманова під керівництвом акад. М.І.Жалдака) призначені для використання на уроках математики у середніх та старших класах. За їх допомогою доступнішим стає вивчення ряду тем курсу алгебри і початків аналізу, геометрії, які особливо важко даються слабким учням: побудова графіків функцій, розв'язування систем рівнянь і нерівностей, знаходження площ фігур, обмежених графіками функцій, та об'ємів тіл обертання тощо. Весь процес розв'язування задач відображається на екрані дисплею у графічному вигляді.

Застосування розглянутих програм особливо ефективним є на уроках математики (алгебри та геометрії) в класах гуманітарного спрямування, оскільки в учнів виникає можливість розв'язувати задачі, не засвоївши відповідного аналітичного апарату, краще зрозуміти постановку і суть задачі, розвивати мислення і просторову уяву. Доцільно використовувати комп'ютер для розв'язування складних задач, уникаючи одноманітної роботи та громіздких проміжних дій. Під час їх використання вчитель може більше уваги приділити аналізу отриманих результатів, дослідженню математичних моделей різних явищ.

Важко переоцінити ефективність використання програм зазначеного типу і в разі поглибленого вивчення математики. Можливість провести необхідний чисельний експеримент, швидко виконати потрібні обчислення чи графічні побудови, перевірити ту чи іншу гіпотезу, випробувати той чи інший метод розв'язування задачі вміти проаналізувати та пояснити результати, отримані за допомогою комп'ютера, з'ясувати межі можливостей застосування комп'ютера чи обраного методу розв'язування задачі має надзвичайне значення у вивченні математики.

Використання ППЗ «GRAN1» дає можливість цікаво організувати роботу учнів на уроці при вивченні теми «Графіки функцій».

Розглядувані програми є засобами, що дають змогу ефективно поєднувати традиційні й новітні методи вивчення математики.

ТЕМА: Степенева функція, її властивості та графік.

МЕТА: сформувати уявлення учнів про степеневу функцію;

повторити властивості функцій;

сформувати навички побудови графіків функцій,

використовуючи програму GRAN1;

розвивати навички роботи учнів на комп’ютері.

ОБЛАДНАННЯ: проводиться урок у комп’ютерному класі,

ППЗ GRAN1.
Хід уроку.

1. 
   Актуалізація опорних знань.
   
2. 
   Пояснення нової теми.
   
3. 
   Контроль знань учнів.
   
4. 
   Підведення підсумків уроку.
   

1. Актуалізація опорних знань.

У попередній бесіді учні згадують властивості функцій, називаючи їх по черзі .

1. 
   Область визначення функції
   
2. 
   Область значень функції
   
3. 
   Точки перетину з осями координат
   
4. 
   Парність/непарність
   
5. 
   Проміжки знакосталості функції
   
6. 
   Проміжки зростання та спадання функції
   
7. 
   Екстремуми функції
   
8. 
   Найбільше і найменше значення функції
   

У попередній бесіді нагадуємо і звертаємо увагу учнів на те, що майже всі відомі їм види функцій є різновидами функції виду у = х^α, тобто степеневої. Функцію у = х¹ учні звикли називати прямою пропорційністю;

функцію у = х ^-1 або у =1/хоберненою пропорційністю;

виду у = х² (та у = ах² + bх + с) — квадратною функцією, а її графік -параболою; графік функції у = х³ — кубічною параболою тощо.

Після попередньої бесіди учні одержують ІНСТРУКЦІЮ щодо роботи з ППЗ GRAN1.

2. Пояснення нової теми
1. Поняття степеневої функції у=х^α .
Запитання до класу

Які з наведених функцій є степеневими: у=х²,у=12х⁷,у=(х+2,7)²,у=х⁶, у=3^х
2.Побудова графіків функцій за допомогою програми GRAN1.

Графік і властивості степеневої функції залежать від показника α.

Розглянемо випадки:

1. 
   α – непарне натуральне число;
   
2. 
   α – парне натуральне;
   
3. 
   α – непарне ціле від’ємне число;
   
4. 
   α – парне ціле від’ємне число;
   
5. 
   α=1/k, де k – натуральне число.
   

— у=х³,

— у=х⁵,

— у=х⁹.




— у=х²,

— у=х⁴,

— у=х⁶ .

3. Самостійна робота
1. Дослідити властивості степеневої функції у = х^а, коли а — ціле додатне парне:

1) Встановити масштаб minX = -3, maxХ = 3, minУ = -3, maxУ = 3.

2) Побудувати графіки функцій: 1) у = х²,2)у=х⁸, 3) у=х¹⁰, 4)у=х²⁰.

3) Зробити відповідні висновки про властивості даних функцій.
2. Дослідити властивості степеневої функції у = х^а, коли а — ціле додатне, непарне число:

1) Залишити попередній масштаб.

2) Побудувати графіки функцій: 1) у = х¹,2)у=х⁷, 3) у=х¹¹, 4)у=х¹⁵.

3) Зробити відповідні висновки про властивості даних функцій.
3. Дослідити властивості степеневої функції у = х^а з додатними раціональними показниками:

1) Побудувати графіки функцій: 1) у = х^1/2,2)у=х ^1/3, 3) у=х ^1/5, 4)у=х ^1/15

(функції вводити у такій формі у = sqrt(x), у =sqrt(sqrt(x)).

2) Зробити відповідні висновки про властивості даних функцій.
4.Дослідити властивості степеневої функції у = х^α з цілими від'ємними показниками:

1) Побудувати графіки функцій: 1) у = х^-2,2)у=х^-3, 3) у=х^-5, 4)у=х^-10.

2) Зробити відповідні висновки про властивості даних функцій.
5.Зробити висновки.
4. Підведення підсумків уроку.

1. 
   Які функції ми сьогодні з вами розглядали?
   
2. 
   Від чого залежать графік і властивості степеневої функції?
   
3. 
   За допомогою якої комп’ютерної програми ви будували графіки степеневої функції?
   

ІНСТРУКЦІЯ щодо роботи у програмі GRAN1

1. Щоб звернутись до послуги:

1) Встанови вказівник послуг (затемнений прямокутник) на назву потрібного пункту головного меню за допомогою клавіші керування курсором (чи маніпулятора «мишка») і натисни клавішу ENTER (або ліву клавішу «мишки»).

2) Так само слід діяти при необхідності звернутися до потрібної послуги підменю.

2. Щоб задати функцію:

1) встанови покажчик на поле позначення функції у вікні «Вибір», звернувшись до послуги «Вибір» меню «Об'єкт», або натиснувши клавішу Аlt та одну з цифрових клавіш 1, 2,3, 4 або 5, залежно від номера

потрібного поля.

2) Звернися до послуги «Нова функція» меню «Об'єкт».

3) Введи аналітичний вираз функції (за допомогою клавіатури або панелі калькулятора).

4) Вкажи відрізок задання функції (тобто межі в яких змінюватиметься аргумент). Наприклад: А= -5, В = 5.

3. Щоб побудувати графік функції:

1) Виділи потрібні функції, натиснувши клавішу Аlt та одну з клавіш F1, F2, FЗ, F4, F5, залежно від номерів позначень потрібних функцій.

2)Побудуй графік, звернувшись до послуги «Побудувати» меню «Графік».

4. Щоб встановити масштаб:

1) Розкрий вікно «Визначення масштабу», для чого звернися до послуги «Встановити масштаб» в пункті «Опції» головного меню і далі вибери вказівку «Масштаб користувача».

2) Задай проміжки значень для х та у. Наприклад: minХ = - 3, maхХ = З,

minУ=-3, maхУ=3.

5. Щоб витерти усі графіки, звернися до послуги «Витерти» меню «Графік».

6.Щоб вилучити функцію:

1) Встанови покажчик (білу рамку) на позначення потрібної функції.

2) 3вернися до послуги «Вилучити» меню «Об'єкт».

7. Щоб змінити функцію (відредагувати вираз):

1) Встанови покажчик (білу рамку) на позначення потрібної функції.

2) Звернися до послуги «Змінити функцію» меню «Об'єкт».

3)Введи новий вираз або зміни наявний, використовуючи відповідні засоби редагування.

8. Щоб завантажити приклад з диску:

1) 3вернися до послуги «Завантажити» меню «Об'єкт».

2) Встанови покажчик на ім'я погрібного файлу і натисни клавішу ENTER.
Тема: ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

МЕТА: формувати уявлення учнів про похідну;

формувати явлення учнів про гладку криву;

сформувати навички побудови графіків функцій,

використовуючи програму GRAN1;

розвивати навички роботи учнів на комп’ютері.

ОБЛАДНАННЯ: проводиться урок у комп’ютерному класі,

ППЗ GRAN1.
Хід роботи.

1. Актуалізація опорних знань.

Вчитель пропонує учням скористатися програмою GRAN, побудувати графіки кількох функцій: у = х², у = х ³ , у = |х|, у = |х² — 1|, проаналізувати поведінку цих графіків і зробити висновки. Розгляд зазначених графічних моделей сприяє формуванню в учнів наочного уявлення про гладкі криві.

2.Подання нового матеріалу.

Вчитель разом з учнями будує параболу, акцентує увагу учнів на аналізі поведінки даної кривої, наприклад, на проміжку [0,5; 1,5]. За допомогою послуг програми GRAN учні починають збільшувати масштаб зображення спочатку в 10 разів, потім у 100, і проводять порівняльний аналіз поведінки графіка на заданому проміжку.

Частина тієї самої параболи при різних одиницях масштабу виглядає по-різному: на першому графіку вона виглядає кривою, на другому — кривизна менш помітна, а на третьому — крива майже не відрізняється від відрізка прямої.

Висновок: гладка крива наближається до відрізка прямої при зменшенні околу фіксованої точки Х₀. Інакше поводить себе графік функції

у=|х|: немає такої прямої, яка близька до графіка цієї функції в околі точки х₀=0.

Тоді виникає задача про визначення точного положення прямої, до якої прямує гладка крива. Для точнішого пояснення, що собою являє дотична, можна скористатися граничним переходом. За допомогою програми GRAN будуємо в звичайному масштабі параболу та пряму, яка є січною до параболи. Почнемо наближати одну точку до іншої, положення січної змінюватиметься, але з наближенням однієї точки до іншої, положення січної стабілізується. Граничне положення січної при наближенні однієї точки до другої і буде дотичною до параболи у даній точці.

Працюємо відповідно до інструкції.

ІНСТРУКЦІЯ

1. За допомогою послуг програми GRAN Об'єкт\Нова функція та

Графік/Побудувати вводимо функцію у = х² і будуємо графік функції.

2. Після побудови параболи слід зафіксувати одну точку, наприклад, х₀=0. Для цього треба скористатися послугою Операції/Дотична і ввести координату точки х₀.

3. Надаємо аргументу х₀ приросту х = 1,5 (за допомогою послуги Приріст аргументу). Цим самим здійснимо перехід від точки з координатою х₀ до точки з координатою х₀ +х. Знайдемо приріст ординати у при переході від точки х₀ до х₀ +х та величину у/х ( ці значення висвічуються на екрані автоматично).

4. На екрані побудовані січна та перпендикуляри до координатних осей. За допомогою переміщення вказівника (курсору) з'єднуємо точки на перпендикулярах так, щоб отримати прямокутний трикутник, аналізуючи який, учні доходять висновку, що tgα= у(x₀)/х, де α— кут між січною та віссю Ох.

5. Щоб знайти lim у(x₀)/х , слід спрямувати х до нуля, тобто потрібно точку з координатою х₀ +х переміщувати до точки з координатою Х₀.

6. За допомогою послуги Приріст аргументу введемо кілька значень х за певною послідовністю: х = 1,5; х = 1; х = 0,5; х = 0,2; х = 0,05.

7. На останньому етапі будуємо дотичну до графіка функції у точці х₀ = 2 - це і буде граничне положення січної.

Примітка: на екрані всі січні зображені одним кольором, а дотична — іншим кольором, завдяки чому підвищується наочність зображення.

8. Залишимо на екрані лише графіки параболи та дотичної (вилучивши інші) і збільшимо масштаб, який було прийнято раніше. При подальшому збільшенні частини параболи та дотичної майже зіллються.

9. Зробити висновок.





Тема: ДОТИЧНА ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ

МЕТА: формувати уявлення учнів про похідну;

сформувати навички побудови графіків функцій,

використовуючи програму GRAN1;

розвивати навички роботи учнів на комп’ютері.

ОБЛАДНАННЯ: проводиться урок у комп’ютерному класі,

ППЗ GRAN1.

Хід роботи.

1. Актуалізація опорних знань.

На початку уроку нагадуємо учням, що дотичну до графіка функції ми розглядали, як граничне положення січної. Кутовий коефіцієнт дотичної, або тангенс кута нахилу дотичної до осі Ох, ми називали похідною функції. Варто ще раз побудувати графік параболи та дотичну до параболи у будь-якій точці і збільшити масштаб зображення. Учні звертають увагу, що графік параболи та графік дотичної на достатньо малому проміжку біля точки дотику майже зливаються. Тобто, наявність похідної функції у точці х₀ означає, що для малих х: f /х

1. 
   Серед прямокутників, вписаних у коло, знайти прямокутник найбільшої площі.
   
2. 
   Пряма у=2х паралельна дотичній до графіка функції f(x)=(x²+1)(x-1). Знайти координати точки дотику.
   

3. 
   Огорожею довжиною 24 метри треба обгородити з трьох сторін
   

4. 
   Написати рівняння дотичної до графіка функції у=0,5х²-2х+2 вточці