за допомогою двох перестановок з чисел 1, 2, 3,…, n, тобто
,причому перестановку а1, а2,…, аn завжди можна вибрати довільно.
Означення 7. Підстановка φ називається парною, якщо сумарне число інверсій у верхній і нижній перестановках парне, в противному разі вона називається непарною.
Приклад. Визначити парність підстановки 6-го степеня
φ =
.У верхній перестановці цього запису 5 інверсій, а в нижній їх 11. Загальне число інверсій в обох перестановках – 16. Отже, підстановка φ парна.
Запишемо підстановку, що розглядається так:
φ =
.У верхній перестановці цього запису 0 інверсій, а в нижній – їх 8. Загальне число інверсій – 8.
Цей приклад показує, що при різних записах даної підстановки парність загального числа інверсій зберігається, а саме число інверсій змінюється.
3. Визначники n-го порядку та їхні властивості
Нехай дано квадратну матрицю n-го порядку
А=
.Означення 8. Визначником (детермінантом) n-го порядку матриці А називається число, яке дорівнює сумі n! доданків, кожний з яких є добутком n елементів, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця матриці із знаком (-1)t, де t – число інверсій у підстановці із індексів елементів добутку.
Детермінант матриці А позначають символами
Δ=detA=
=
.За означенням 8
Δ=
.У цьому записі перші індекси – номери рядків. Другі індекси
- номери стовпців визначника матриці А, t– число інверсій у підстановці
.Знак, з яким член
входить до визначника, визначається числом інверсій у перестановці (
). Власне він визначається парністю перестановки ( ): якщо перестановка парна, то член входить до визначника із знаком плюс, в протилежному разі – із знаком мінус.Зауважимо, що при визначенні знака даного члена визначника за допомогою підстановки, утвореної індексами його елементів, не обов’язково розташовувати множники члена в порядку зростання їхніх перших індексів. Якщо
і 
є один і той самий член, то підстановки
і 
,як відомо, будуть однієї і тієї самої парності.
Приклад. Обчислити визначник, користуючись лише означенням
Δ=
.Даний визначник має 4!=24 члени. Відмінним від нуля елементом четвертого рядка є тільки 4. Не дорівнюють нулю два добутки, в які входить 4, а саме: 1∙2∙3∙4 і 3∙(-1)∙3∙4. Перший з них входить у визначник із знаком плюс. Знак другого добутку збігається із знаком числа (-1)t, де t – число інверсій у підстановці
,t =1, тому (-1)1=-1. Отже, Δ=1∙2∙3∙4+3∙1∙3∙4=60.
Розглянемо деякі елементарні властивості визначників n-го порядку, які стосуватимуться умов, за яких визначник дорівнює нулю, і перетворень матриці, які не змінюють її визначника або ж викликають зміни, що легко враховуються.
Властивість 1. Визначник матриці не змінюється при її транспонуванні.
detA=detAt.
Дана властивість стверджує рівноправність рядків і стовпців визначника: будь-яке твердження про рядки визначника справедливе й для його стовпців і навпаки.
Властивість 2. Якщо який-небудь з рядків (стовпців) визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
► Це твердження безпосередньо випливає з означення 8. Справді, нехай всі елементи i-го рядка визначника є нулі. Оскільки до кожного члена визначника входить як співмножник один елемент i-го рядка, то всі члени визначника дорівнюють нулю, а отже, і визначник дорівнює нулю. ◄
Властивість 3. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.
(Довести самостійно).
Властивість 4. Визначник, в якому є два однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю.
► Нехай у визначнику однакові s-й і k-й рядки. Поміняємо їх місцями, дістанемо визначник detÃ. За властивістю 3, detÃ=–detA. Оскільки переставлено однакові рядки, то визначник detA від цього не зміниться, і тому detÃ=detA. Звідси випливає, що detA=– detA. Отже, detA=0. ◄
Властивість 5. Якщо всі елементи одного з рядків (стовпців) визначника помножити на деяке число λ, то визначник помножиться на λ.
► Припустимо, що всі елементи i-го рядка визначника помножено на число λ. Оскільки до кожного члена визначника входить співмножником один елемент з i-го рядка, то в кожному члені з’явиться множник λ. Тому і визначник помножиться на λ. ◄
Наслідок. Спільний множник всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.
Властивість 6. Визначник, в якого є два пропорційні рядки (стовпці) дорівнює нулю.
► Нехай k-й рядок визначника detA дістаємо з s-го рядка (k≠s) множенням s-го рядка на деяке число λ, тобто
(j=
). Винісши спільний множник λ елементів k-го рядка за знак визначника, дістанемо визначник, в якого k-й і s-й рядки будуть однакові. Цей визначник, за властивістю 4, дорівнює нулю. Отже, й визначник detA дорівнює нулю. ◄Властивість 7. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників:
=
+
.Властивість 8. Якщо один з рядків (стовпців) визначника є лінійною комбінацією інших його рядків (стовпців), то визначник дорівнює нулю.
► Справді, нехай i-й рядок визначника detA є лінійною комбінацією mінших його рядків,2≤ m ≤n–1. Тоді кожен елемент i-го рядка є сумою m доданків. За властивістю 7, detA дорівнює сумі m визначників, в кожного з яких i-й рядок буде пропорційний одному з інших його рядків. Всі ці визначники, за властивістю 6, дорівнюють нулю, а тому дорівнює нулю й визначник detA. ◄
Властивість 9. Якщо до одного з рядків (стовпців) визначника додамо інший його рядок (стовпець), помножений на деяке число λ, то визначник не зміниться.
► Справді, припустимо, що до i-го рядка визначника detA додано s-й рядок, помножений на число λ. В новому визначнику detà кожен елемент i-го рядка має такий вигляд:
(j= ). За властивістю 7, визначник detà дорівнює сумі двох визначників, перший з яких є detA, а другий дорівнює нулю, оскільки в ньогоi-й і s-й рядки пропорційні. Отже, detà = detA. ◄4. Обчислення визначників
Розглянемо квадратну матрицю n-го порядку
A=
.Викреслимо в ній i-й рядок і j-й стовпець. Елементи, що залишилися утворюють квадратну матрицю (n–1)-го порядку. Позначимо визначник цієї матриці через
і назвемо його мінором (n–1)-го порядку матриці A (від слова minor – менший).Означення 9. Мінором
елемента 
визначника Δ n-го порядку називається визначник (n–1)-го порядку, який дістаємо із Δ викреслюванням рядка і стовпця, які проходять через даний елемент. =
.Означення 10. Алгебраїчним доповненням
елемента визначника Δ називається мінор цього елемента, взятий із знаком (–1)i+j, тобто =(–1)i+j . (12)Приклад. Знайти алгебраїчне доповнення елементів
і 
визначникаΔ=
.За формулою (12) знаходимо
Теорема 4. Кожний член добутку
елемента визначника Δ n-го порядку на його алгебраїчне доповнення є також член визначника і притому з тим же знаком, що і в добутку .► Кожний член мінора
елемента 
має вигляд
(13)В перших індексах члена (13) не зустрічається i, а в других індексах елементів не зустрічається j тому, що мінор
не містить елементів i-го рядка і j-го стовпця визначника Δ. В мінор член (13) входить із знаком (–1)
, де 
– число інверсій у перестановці 
В алгебраїчне доповнення цей член увійде із знаком 
О
тже, кожен член добутку має вигляд:(14)
і входить в
із знаком 
.З іншого боку (14) є членом і самого визначника Δ, оскільки (14) є добутком елементів Δ, взятих по одному із кожного рядка і стовпця визначника Δ.
Розглянемо підстановку
Число інверсій в першій перестановці дорівнює i-1. Дійсно, і утворює інверсію з кожним з чисел 1,2,…, i-1. Останні елементи i+1,…,n більші ніж і, тому не утворюють інверсію з і. Число інверсій в другій перестановці можна підрахувати так. Десь серед чисел
є числа 1,2,…,j-1. Очевидно, що кожне з чисел 1,2,…,j-1 знаходиться в інверсії з j. Що стосується j+1,…,n, то ці числа не утворюють інверсії з j. Таким чином, відносно j маємо j-1 інверсій. Сюди треба ще додати число інверсій в перестановці . Отже, число інверсій в другій перестановці 
дорівнює j-1+ . Таким чином, знак члена (14) у визначнику Δ дорівнює 
, тобто у визначник Δ член (14) входить з тим же самим знаком, що і в добуток . ◄Теорема 5. Якщо у визначнику n-го порядку всі елементи і-го рядка (j-го стовпця) рівні нулю, крім
, то такий визначник дорівнює добутку елемента на алгебраїчне доповнення цього елемента.► Дійсно, якщо у визначнику Δ всі елементи і-го рядка дорівнюють нулю, крім
, то всі члени визначника, крім членів вигляду
Рівні нулю. А ці члени входять в
. Навпаки, в силу теореми 4, кожен член добутку 
входить у визначник і притому з тим же самим знаком. Отже, Δ= . ◄Теорема 5 має велике практичне значення. Використовуючи властивості визначників, вона дає можливість перейти до визначника (n–1)-го порядку і т.д. поки не прийдемо до визначника другого порядку.
Приклад. Обчислити визначник
Δ=
При допомозі властивостей визначників перетворимо Δ так, щоб всі елементи рядка чи стовпця були рівними нулю, крім одного. Візьмемо за ведучий елемент
До третього стовпця додамо перший, помножений на –1, а до четвертого додамо перший, помножений на –2, дістанемо
Отже, Δ= –24.
Квадратна матриця А=(
) n-го порядку називається трикутною, якщо всі її елементи, розміщені по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто якщо =0 для будь-якого і<k або =0 для будь-якого і>k. Визначник трикутної матриці також називають трикутним. З теореми 5 випливає наслідок.Наслідок. Якщо визначник Δ має трикутну форму, то він дорівнює добутку діагональних елементів.
, 
Як відомо, кожну квадратну матрицю елементарними перетвореннями можна перетворити на трикутну. Отже, обчислення будь-якого визначника можна звести до обчислення трикутного визначника.
Приклад. Обчислити визначник
В
іднімемо від четвертого рядка третій, від третього другий, від другого перший, дістанемо
Віднімемо від четвертого рядка третій, а від третього другий, матимемо
Від четвертого рядка віднімемо третій, матимемо
Теорема 6. Визначник Δ n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:
(15)
(16)(15) – розклад визначника за елементами і-го рядка,
(16) – розклад визначника за елементамиj-го стовпця.
► Доведемо теорему для стовпців, для рядків доведення аналогічне.
Кожний елемент j-го стовпця визначника подамо у вигляді суми n доданків, з яких n–1 доданки дорівнюють нулю, а один (і-ий) доданок дорівнює
: =0+0+…+0+ +0+…+0, (
).Тоді, в силу властивості 7 визначника, матимемо
(17)
В
кожному з визначників правої частини (17) всі елементи j-го стовпця, крім одного, дорівнюють нулю. Тому до них можна застосувати теорему 5. Отримаємо ◄
Теорема 7. Сума добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника detA на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю:
, (i≠s), (18)
, (j≠k). (19)► Доведемо справедливість рівності (18). Нехай
detA=
- довільно вибраний визначник n-го порядку. Розкладемо його за елементами s-го рядка. Матимемо
detA=
(20)Алгебраїчні доповнення
(
) не залежить від елементів 
. Тому рівність (20) буде справедливою при будь-яких значеннях елементів , зокрема й тоді, коли = . Але при = визначник detA матиме два однакові рядки і тому дорівнюватиме нулю. Отже, замінивши в обох частинах рівності (20) елементи 
відповідними елементами 
, дістанемо (при i≠s) 
◄Вправи для самостійного розв’язування
Розв’язати системи за правилом Крамера
а)
б) 
2. Знайти число інверсій в перестановках:
а) (5, 4, 1, 7, 6, 3, 2); б) (n, n-1, … , 2, 1); в) (7, 6, 9, 1, 2, 3, 5, 8, 4).
Чи парні підстановки?
а)
б) 
Обчислити всі мінори другого порядку визначника
Обчислити алгебраїчні доповнення елементів 3-го стовпця визначника
Обчислити коефіцієнт числа x у визначнику
Обчислити визначники
а)
б) 
8. Розв’язати рівняння:
а)
б) 
1 2