Пошукова робота на тему:
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах.
| План Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин Обчислення площі плоскої фігури Обчислення площі в декартових координатах Площа криволінійного сектора в полярних координатах ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА 1. Площа плоскої фігури 1.1. Обчислення площі в декартових координатах В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю  кривою   причому  на відрізку  може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою (10.1)Нехай у прямокутній системі координат фігура  (рис.10.1) обмежена кривими  Виділимо у фігурі смужку шириною  . Її довжина дорівнюватиме  . Тоді площа смужки  .Звідси  Отже,   (10.2) Рис.10.1 Рис.10.2 Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі  (10.3)Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізку  а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою  Зробивши заміну в цьому інтегралі  і враховуючи, що  одержимо (10.4)1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури  якщо:  , У фігурі виділимо сектор з центральним кутом  Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор  , є дугами кіл радіусів  . Очевидно, що площа сектора  між дугами  i  дорівнює  Інтегруючи, одержимо  (10.5)Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою  , віссю  і прямою, яка з’єднує точку  , що лежить на гіперболі, з початком координат.Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо  Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури  , а потім від площі трикутника відняти площу фігури . Отже,  .Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо   Оскільки  то  . Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді  Рис.10.3 Рис.10.4  ,де  - функція, обернена відносно функції  .Пропонується переконатися в цьому самостійно. Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою  .Р о з в ’ я з о к. Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що  , тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса  з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках  , проходитьчерез початок координат при  , дотикаючись до прямих  . Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,  |