Ім'я файлу: Практичне 2 Метод Жордано - Гаусса.docx
Розширення: docx
Розмір: 112кб.
Дата: 08.05.2022
скачати
Розширення: docx
Розмір: 112кб.
Дата: 08.05.2022
скачати
Практичне заняття 2 з теми
Розв’язання систем рівнянь методом Жордано – Гаусса
Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь методом Жордано – Гаусса
Шаг 1: Обираємо головний елемент серед коефіцієнтів
(
;
). В нашому випадку 
.  |  |  |  | b | Сума  |
| 1 | 1 | -3 | 2 | 6 | 7 |
| 1 | -2 | 0 | -1 | -6 | -8 |
| 0 | 1 | 1 | 3 | 16 | 21 |
| 2 | -3 | 2 | 0 | 6 | 7 |
Шаг 2. Поділимо і-й рядок на головний елемент
. Отримаємо нові елементи:
; … 
; ... ; 
; ... ; 
; 
.Шаг 3. Стовпчик
, у якому знаходиться головний елемент 
заповнюємо нулями, рядок переписуємо.Шаг 4. Коефіцієнти в інших рядках перераховуємо за формулами прямокутників:
 , | (1) |
 . | (2) |
 . | (3) |
де
- сума елементів 
рядка; 
- контрольна сума 
рядка.| | | | | b | Сума |
| 1 | 1 | -3 | 2 | 6 | 7 |
| 0 | -3 (-2-1*1) | 3 (0-1*(-3)) | -3 (-1-1*2) | -12 (-6-1*6) | -15(-8-1*7) |
| 0 | 1 (1-0) | 1 (1-0) | 3 (3-0) | 16 (16-0) | 21 (21-0) |
| 0 | -5 (-3-2) | 8 (2-2*(-3)) | -4 (0-2*2) | -6 (6-2*6) | -7 (7-2*7) |
Шаг 5. Обираємо новий головний елемент
серед коефіцієнтів матриці А, при умові: 
, 
.В нашому випадку це число -3 (другий рядок, другий стовпчик).
Повторюємо пункти 2, 3, 4. Ділимо другий рядок на -3 та всі елементи другого стовпчика, окрім -3, занулюємо, інші елементи рахуємо за правилом прямокутника:
| | | | | B | Сума |
| 1 | 0 | -2 (-3-1*3:(-3)) | 1 (2-1*(-3):(-3)) | 2(6-1*(-12):(-3)) | 2 (7+15:(-3) |
| 0 | 1 | -1 | 1 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 2 (1-1*3:(-3)) | 2 (3-1*3:(-3)) | 12(16-1*(-12):(-3)) | 16 (21+15:(-3) |
| 0 | 0 | 3(8-(-5)*3:(-3)) | 1(-4-(-5)*(-3):(-3)) | 14(-6-(-5)*(-12):(3)) | 18 (-7-5*15:(-3) |
Повторюємо пункти 2 та 3 для третього рядка. Ділимо третій рядок на 2 та всі елементи третього стовпчика, окрім 2, занулюємо, інші елементи рахуємо за правилом прямокутника:
| | | | | b | Сума |
| 1 | 0 | 0 | 3 (1-2*(-2):2) | 14 (2-12*(-2):2) | 18 (2-16*(-2):2) |
| 0 | 1 | 0 | 2 (1-2*(-1):2) | 10 (4-12*(-1):2) | 13 (5-16*(-1):2) |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 6 | 8 |
| 0 | 0 | 0 | -2 (1-2*3:2) | -4 (14-12*3:2) | -6 (18-16*3:2) |
Повторюємо пункти 2 та 3 для четвертого рядка. Ділимо четвертий рядок на -2 та всі елементи четвертого стовпчика, окрім -2, занулюємо, інші елементи рахуємо за правилом прямокутника:
| | | | | b | Сума |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 8 (14-3*(-4):(-2)) | 9 (18-3*(-6):(-2)) |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 6 (10-2*(-4):(-2)) | 7 (13-2*(-6):(-2)) |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 4 (6-1*(-4):(-2)) | 5 (8-1*(-6):(-2)) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Початкову систему можна записати у вигляді еквівалентної:
Отримаємо розвязок системи:
.Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь методом Жордано – Гаусса
Шаг 1: Поміняємо для зручності перший та другий рядочки та обираємо головний елемент серед коефіцієнтів
( ; ). | | | | | b | Сума |
| 1 | -3 | -6 | 5 | 0 | -3 |
| 2 | 1 | 4 | -2 | 1 | 6 |
| 5 | -1 | 3 | 2 | 5 | 14 |
| 8 | -3 | 1 | 5 | 6 | 17 |
Шаг 2. Поділимо і-й рядок на головний елемент
. В нашому випадку . Отримаємо нові елементи: ; … ; ... ; ; ... ; ; .Шаг 3. Стовпчик
, у якому знаходиться головний елемент заповнюємо нулями, рядок переписуємо.Шаг 4. Коефіцієнти в інших рядках перераховуємо за формулами прямокутників:
| , | (1) |
| . | (2) |
| . | (3) |
де
- сума елементів рядка; - контрольна сума рядка.| | | | | b | Сума |
| 1 | -3 | -6 | 5 | 0 | -3 |
| 0 | 7 | 16 | -12 | 1 | 12 |
| 0 | 14 | 33 | -23 | 5 | 29 |
| 0 | 21 | 49 | -35 | 6 | 41 |
Шаг 5. Обираємо новий головний елемент
серед коефіцієнтів матриці А, при умові: , .В нашому випадку це число 7 (другий рядок, другий стовпчик).
Повторюємо пункти 2, 3, 4. Ділимо другий рядок на 7 та всі елементи другого стовпчика, окрім сімки, занулюємо, інші елементи рахуємо за правилом прямокутника:
| | | | | b | Сума |
| 1 | 0 | 6/7 | -1/7 | 3/7 | 15/7 |
| 0 | 1 | 16/7 | -12/7 | 1/7 | 12/7 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | 5 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | 5 |
Повторюємо пункти 2 та 3 для третього рядка. Ділимо третій рядок на 1, тобто, залишаємо без зміни, та всі елементи третього стовпчика, окрім 1, занулюємо, інші елементи рахуємо за правилом прямокутника:
| | | | | b | Сума |
| 1 | 0 | 0 | -1 | -15/7 | -15/7 |
| 0 | 1 | 0 | -4 | -47/7 | -68/7 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | 5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Оскільки в останньому рядку всі елементи дорівнюють 0, то початкова системи еквівалентна системі трьох рівнянь з чотирма невідомими:
Виразимо змінні
(вони називаються базисними) через вільну змінну 
Отримаємо розв’язок системи
Система має безліч розв’язків.
Розв’язок, в якому базисні змінні виражено через вільні, називається загальним розв’язком системи. Розв’язок, в якому базисним змінним надано деякі значення, називається частковим розв’язком системи.
Приклад 3. Розв’язати систему рівнянь методом Жордано – Гаусса
Шаг 1: Обираємо головний елемент серед коефіцієнтів
( ; ). В цьому випадку це 2.| | | | B | Сума |
| 2 | 5 | -4 | 8 | 11 |
| 3 | 15 | -9 | 5 | 14 |
| 5 | 5 | -7 | 1 | 4 |
Шаг 2. Поділимо і-й рядок на головний елемент
. Отримаємо нові елементи: ; … ; ... ; ; ... ; ; .В нашому випадку
.Шаг 3. Стовпчик
, у якому знаходиться головний елемент заповнюємо нулями, рядок переписуємо.Шаг 4. Коефіцієнти в інших рядках перераховуємо за формулами прямокутників.
| | | | b | Сума |
| 1 | 5/2 | -2 | 4 | 11/2 |
| 0 | 15/2 | -3 | -7 | -5/2 |
| 0 | -15/2 | 3 | -19 | -47/2 |
Шаг 5. Обираємо новий головний елемент
серед коефіцієнтів матриці А, при умові: , .В нашому випадку це число 15/2 (другий рядок, другий стовпчик).
Повторюємо пункти 2 та 3. Ділимо другий рядок на 15/2 та всі елементи другого стовпчика, занулюємо, інші елементи рахуємо за правилом прямокутника:
| | | | b | Сума |
| 1 | 0 | -1 | 19/3 | |
| 0 | 1 | -2/5 | - 14/15 | |
| 0 | 0 | 0 | -26 | |
Наступний головний елемент знаходиться в третьому рядку та в третьому стовпчику. Він дорівнює 0, виконання подальших дій не є можливим. Запишемо систему, еквівалентну початковій:
Оскільки третій рядок є абсурдним, початкова система розв’язку не має, тобто система є несумісною.