Задание 1. По данным ниже выполнить следующие пункты:
Построить вариационный, статистический ряды и полигон относительных частот.
Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Вычислить основные выборочные характеристики.
Построить группированный статистический ряд.
Вычислить основные характеристики группированного статистического ряда и сравнить их с характеристиками, найденными в пункте 3.
Построить гистограмму относительных частот.
Выдвинуть статистическую гипотезу H0 о виде распределения генеральной совокупности; записать вид плотности f(x) и функции распределения F(x).
На основе гипотезы, выдвинутой в пункте 7, методом моментов найти и вычислить оценки неизвестных параметров гипотетического распределения.
Конкретизировать гипотезу H0, построить график плотности f(x) совместно с гистограммой.
Предполагая, что выдвинутая гипотеза H0 верна, найти доверительные интервалы для неизвестных параметров с надежностью γ=0,99.
На уровне значимости α = 1 –γ проверить согласованность гипотезы H0 с эмпирическими данными по критерию согласия К. Пирсона.
| 6 | 2 | 8 | 7 | 3 | 3 | 2 | 6 | 11 | | | 3 | 5 | 8 | 4 | 7 | 3 | 6 | 7 | 6 |
| 8 | 10 | 5 | 3 | 10 | 2 | 12 | 4 | 4 | | | 6 | 3 | 8 | 4 | 8 | 7 | 7 | 3 | 7 |
| 2 | 4 | 5 | 6 | 3 | 4 | 6 | 10 | 8 | | | 10 | 7 | 3 | 5 | 7 | 8 | 5 | 7 | 7 |
| 9 | 6 | 0 | -3 | 6 | 5 | 3 | 9 | 2 | | | 6 | 6 | 9 | 6 | 7 | 1 | 2 | 5 | 8 |
| 10 | 2 | 4 | 7 | 10 | 6 | 9 | 7 | 2 | | | 9 | 8 | 4 | 0 | -4 | 5 | 9 | 9 | 2 |
| 0 | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | 5 | 3 | | | 0 | | | | | | | | |
Задание 2.
Изучая зависимость между показателями X и Y, проведено обследование 9 объектов и получены следующие данные
| X | 10 | 14 | 21 | 24 | 33 | 41 | 44 | 47 | 49 |
| Y | 43 | 47 | 50 | 48 | 54 | 57 | 61 | 59 | 65 |
Полагая, что между X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определите выборочное уравнение регрессии
(или 
) и выборочный коэффициент линейной регрессии 
. Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделайте вывод о направлении и тесноте связи между показателями X и Y.Задача №1
Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:
| | | | | | |
| Интервалы (a(i);a(i+1)] | Середины интервалов | Подсчет частот | Частоты n(i) | Относит.частоты W(i)=n(i)/n | Накопленные Относит.частоты |
| | | | | | |
| (11,5;14,5] | | | | 0,02 | 0,02 |
| (14,5;17,5] | | | | 0,06 | 0,08 |
| (17,5;20,5] | | | | 0,17 | 0,25 |
| (20,5;23,5] | | | | 0,19 | 0,44 |
| (23,5;26,5] | | | | 0,21 | 0,65 |
| (26,5;29,5] | | | | 0,2 | 0,85 |
| (29,5;32,5] | | | | 0,11 | 0,96 |
| (32,5;35,5] | | | | 0,03 | 0,99 |
| (35,5;38,5] | | | | 0,01 | |
| 0, | если x <= 11,5 | | |
| | 0,08 | если 11,5 <= x <=14,5 | |
| | 0,25 | если 14,5 <= x <= 17,5 | |
| | 0,44 | если 17,5 <= x<= 20,5 | |
| F(x)= | 0,65 | если 20,5 <= x <= 23,5 | |
| | 0,85 | если 23,5 <= x <= 26,5 | |
| | 0,96 | если 26,5 <= x <= 32,5 | |
| | 0,99 | если 32,5 <= x <= 35,5 | |
| | | если 35,5 <= x <= 38,5 | |
| Середины интервалов y(i) | Частоты n(i) | y(i)-Y | (y(i)-Y)*n(i) | ((y(i)-Y)^2)*n(i) | ((y(i)-Y)^3)*n(i) | ((y(i)-Y)^4)*n(i) |
| | | | | | | |
| | | -36,6 | -73,20 | 2679,12 | -98055,79 | 3588841,99 |
| | | -33,6 | -201,60 | 6773,76 | -227598,34 | 7647304,09 |
| | | -30,6 | -520,20 | 15918,12 | -487094,47 | 14905090,84 |
| | | -27,6 | -524,40 | 14473,44 | -399466,94 | 11025287,65 |
| | | -24,6 | -516,60 | 12708,36 | -312625,66 | 7690591,14 |
| | | -21,6 | -432,00 | 9331,20 | -201553,92 | 4353564,67 |
| | | -18,6 | -204,60 | 3805,56 | -70783,42 | 1316571,54 |
| | | -15,6 | -46,80 | 730,08 | -11389,25 | 177672,27 |
| | | -12,6 | -12,60 | 158,76 | -2000,38 | 25204,74 |
| Сумма | | | -2532,00 | 66578,40 | -1810568,16 | 50730128,93 |
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратичное отклонение:
Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:
Где:
Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что распределение СВ Y является нормальным.
Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, предполагая, что наблюдаемая случайная величина распределена по нормальному закону, и записать функцию плотности распределения вероятностей.
В качестве неизвестных параметров α и
возьмем их точечные оценки Y и Syсоответственно.Функция плотности:
Функция распределения вероятности:
Задача № 2
Вспомогательная таблица имеет вид:
| № | x | y | x2 | y2 | xy | | | |
| 1 | 10 | 43 | 100 | 1849 | 430 | (-21,4)2=457,96 | (-10,8)2=116,64 | 231,12 |
| 2 | 14 | 47 | 196 | 2209 | 658 | (-17,4)2=302,76 | (-6,8)2=46,24 | 118,35 |
| 3 | 21 | 50 | 441 | 2500 | 1050 | (-10,4)2=108,16 | (-3,8)2=14,44 | 39,52 |
| 4 | 24 | 48 | 576 | 2304 | 1152 | (-7,4)2=54,76 | (-5,8)2=33,64 | 42,92 |
| 5 | 33 | 54 | 1089 | 2916 | 1782 | 1,62=2,56 | 0,22=0,04 | 0,32 |
| 6 | 41 | 57 | 1681 | 3249 | 2337 | 9,62=92,16 | 3,22=10,24 | 30,72 |
| 7 | 44 | 61 | 1936 | 3721 | 2684 | 12,62=158,76 | 7,22=51,84 | 90,72 |
| 8 | 47 | 59 | 2209 | 3481 | 2773 | 15,62=243,36 | 5,22=27,04 | 81,12 |
| 9 | 49 | 65 | 2401 | 4225 | 3185 | 17,62=309,76 | 11,22=125,44 | 197,12 |
| Всего | 283 | 484 | 10629 | 26454 | 16051 | 1730,24 | 415,32 | 831,91 |
| Среднее | 31,4 | 53,8 | 1181 | 2939,3 | 1783,4 | | | |
Построим уравнение регрессии y=a+bx,коэффициенты a и b находим методом наименьших квадратов, решая систему линейных уравнений
Уравнение регрессии имеет вид: yх=38.68+0.48x
Второе уравнение регрессии
xy=-76.2+2y
График линий регрессий
График линий регрессии отражает ряды теоретически ожидаемых значений функции по известным значениям аргумента. При этом, чем сильнее взаимосвязь между величинами xi и yi, тем меньше угол между линиями регрессии. В нашем случае r =0.969, линии уравнения регресии почти совпадают, так как корреляционная зависимость между признаками в этом случае переходит в функциональную.