Ім'я файлу: Бернуллі.doc
Розширення: doc
Розмір: 292кб.
Дата: 25.02.2021
скачати
Пов'язані файли:
Інтеграл.pptx
РОЗДІЛ І.docx
ВСТУП.docx
Розширення: doc
Розмір: 292кб.
Дата: 25.02.2021
скачати
Пов'язані файли:
Інтеграл.pptx
РОЗДІЛ І.docx
ВСТУП.docx
Лекція № 3
Тема. Основні теореми теорії ймовірностей
План
Формули додавання ймовірностей випадкових подій.
Залежні і незалежні події, поняття умовної ймовірності.
Формули множення ймовірностей та наслідки з неї.
Ймовірність появи хоча б однієї з подій.
Формула повної ймовірності та формули Байєса.
Це вчення, об’єднує точність математичних доведень з невизначеністю випадку і примирює ці, здавалось би, суперечливі елементи, з повним правом може претендувати на титул – математика випадкового.
Б
лез ПаскальБезпосередні способи обчислення ймовірностей не завжди зручні і не завжди можливі, тому застосовується непрямі (опосередковані) методи, коли за відомими ймовірностями одних подій визначаються ймовірності інших подій, пов’язаних з першими. У таких випадках зручно користуватись властивостями та основними формулами ймовірностей.
Властивість ймовірності. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, не важливо якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій
.Узагальнення властивості. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій, не важливо якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій
(
.Приклад 3.1. Стрілок стріляє по мішені, розділеній на три частини. Ймовірність попадання в першу область дорівнює 0,45 в другу 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілок зробивши один постріл, попаде чи то в першу чи то в другу область.
Нехай А - подія попадання в першу область, В-подія попадання в другу область.
.Властивість ймовірності. Сума ймовірностей подій
, які утворюють простір елементарних подій дорівнює одиниці. 
.Доведення. Так як ми розглядаємо простір елементарних подій, то поява однієї з цієї групи, подія вірогідна. Ймовірність вірогідної подій дорівнює 1.
Події, що представляють простір елементарних подій, між собою попарно несумісні тому можна застосувати властивість суми ймовірностей.
.Властивість ймовірності. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Р(А)+Р(
)=1. Введемо позначення 
Доведення. Так як протилежні події утворюють простір елементарних подій, а сума ймовірностей подій, що утворюють простір елементарних подій дорівнює одиниці то p+q=1..
Ми розглянули ймовірність суми несумісних подій.
Виникає питання, як знайти ймовірність суми сумісних подій? Коли дано ймовірність цих подій і ймовірність їх сумісної появи.
Означення. Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не включає появи другої в одному і тому ж випробуванні.
Властивість ймовірності. Ймовірність появи хоча б однієї із двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Доведення. Так як події А і В сумісні то подія А + В відбувається тоді, коли відбувається одна із трьох несумісних подій
. За властивістю додавання ймовірностей несумісних подій маємо
.Подія А відбудеться, якщо відбудеться одна із двох несумісних подій:
.За властивістю додавання ймовірностей несумісних подій
; 
.Аналогічно з подією
, вона відбудеться у разі появи однієї з подій 
. 
; 
. Підставимо отримані рівності в першу 
; 
.Приклад 3.2. Ймовірність виходу приладу з ладу при експлуатації терміном до одного року дорівнює 0,13, а при експлуатації терміном до 3 років - 0,36. Знайти ймовірність виходу приладу з ладу при експлуатації від 1 до 3 років.
Н
ехай події 
- вихід із ладу приладу при експлуатації терміном відповідно до 1 року, від 1 до 3 років, до 3 років. За умовою 
Враховуючи, що події 
- несумісні, 
та використовуючи теорему про несумісні події 
маємо
.Відомо, що ймовірність Р(В) як міра об’єктивної можливості появи події В має зміст при виконанні певного комплексу умов. Ймовірність події В може змінитися. Наприклад, якщо до комплексу умов, при яких визначалась ймовірність Р(В), добавити нову умову А, то отримана ймовірність події В, знайдена при умові, що подія А відбулась, називається умовною ймовірністю події В, позначається
або 
.Приклад 3.3. В урні дві білих і дві чорних кульки. Якщо подія А проявляється у появі білої кульки то Р(А)=
.Потім кульки повернули в урну і ретельно перемішали. Якщо подія В витягування знову білої кульки то Р(В)=
. Тобто події 
і незалежні.Означення. Дві події А та В називаються незалежними, якщо ймовірність появи кожної з них не залежить від того, появилась інша подія чи ні.
Приклад 3.4. Подія А витягнули білу кульку, з урни в якій 2 білих і 2 чорних кульки. Тоді Р(А)=
. Кульку в урну не повернули, якою буде ймовірність того, що вдруге витягнемо білу кульку? Р(В)=
. В даному випадку ймовірність події В залежить від того відбулась чи ні подія А. В цьому випадку події називаються залежними.Означення. Дві події А і В залежні, якщо ймовірність кожної з них, залежить від того, появилась інша подія чи ні.
Означення. Нехай події А і В залежні. Умовною ймовірністю Р(В) події В називають ймовірність події В, знайдену в припущенні, що подія А уже відбулась РА(В)=Р(АВ)/Р(А).
П
риклад 3.5. В урні 3 білих і 3 чорних кульки. Із урни двічі виймають по одній кульці, не повертаючи. Знайдіть ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні була витягнута чорна (подія А) РА(В)= 
. Нехай маємо дві події:
і -залежні. Ймовірності цих подій відомі Р(А) і РА(В).Як знайти ймовірність того, що одночасно появиться подія А і подія В.
Твердження 3.1. Ймовірність одночасної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірностей однієї з них на умовну ймовірність іншої обчислену в припущенні, що перша подія вже відбулась.
Доведення. За означенням умовної ймовірності
, 
.Узагальнення. Ймовірність одночасної появи кількох подій дорівнює добутку ймовірностей однієї із них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчисляються в припущенні, що всі попередні події уже з’явились.
Порядок події, в якому розміщенні події, може бути вибраний як завгодно, тобто не має значення яку подію вважати першою, другою і т.д.
Приклад 3.6. У збиральника є 3 конусних і 7 еліптичних валиків. Він взяв один валик, а потім інший. Знайти ймовірність того, що перший із взятих валиків-конусний, а другий еліптичний.
Р(А)=
. РА(В)=
.Твердження 3.2. Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей кожної із них Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Доведення. Так як поява події А не змінює ймовірність події В тобто РА(В)=Р(В).
Узагальнення. Ймовірність сумісної появи декількох подій незалежних в сукупності дорівнює добутку ймовірностей цих подій
Р(А1 А2 А3 .....Аn )=Р(А1)Р(А2).....Р(Аn).
Приклад 3.7. Підприємець має акції двох компаній, ймовірність отримання дивідендів по акціях тільки однієї з двох компаній дорівнює 0.38, причому для першої компанії вона дорівнює 0.8. Знайти ймовірність того, що він отримає дивіденди по акціях другої компанії.
Розв’язання. Нехай подія А1 полягає в отриманні дивідендів по акціях першої компанії, А2 – другої. Тоді Р(А1)=0,8; Р(А2)=х.
Подія „отримано дивіденди по акціях тільки однієї з двох компаній” має вигляд Р(А1
2)+Р(А2
1)=Р(А1)Р( 2)+Р(А2)Р( 1).Звідки маємо рівняння 0,8(1-х)+х(1-0,8)=0,38.
Розв’язавши яке, знайдемо х=0,7.
Приклад 3.8. Ймовірність того, що файл, який потрібен програмісту, знаходиться на першій, другій, третій або четвертій дискеті відповідно дорівнює 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірність події В = „файл знаходиться не більше, ніж на трьох дискетах.
Розв’язання. Нехай подія А1полягає в тому що файл знаходиться на першій дискеті, А2-на другій, А3-на третій, А4-на четвертій.
Протилежна подія
= ”Файл знаходиться більше ніж на трьох дискетах” має вигляд 
.Використовуючи формулу добутку ймовірностей знайдемо ймовірність
.Приклад 3.9. Студент знає 20 з 25 питань програми іспиту. Знайти ймовірність того, що він дасть правильну відповідь на три питання, які він отримав на іспиті.
Розв’язання. Нехай подія А1 полягає втому що студент знає відповідь на перше питання, А2 на друге, А3 на третє.
Тоді подія В = „Студент дасть правильну відповідь на три питання” має вигляд
.В
икористовуючи формулу добутку ймовірностей залежних подій, знайдемо 
.Нехай в результаті певного випробування можуть з’явитися n-подій, незалежних в сукупності, або деякі із них, причому ймовірність появи кожної з них відомо. Як знайти ймовірність появи хоча б однієї?
Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з подій
1, 2... n, незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій 1, 2... n: 
.Доведення: позначимо через А подію яка відбувається, тоді коли відбувається хоча б одна з подій
.Події А і
1 2... n протилежні, тому сума їх ймовірностей дорівнює 1 
.Використовуючи формулу множення ймовірностей незалежних подій маємо:
.Наслідок. Якщо події
мають однакову ймовірність яка дорівнює 
то ймовірність появи хоча б однієї з них 
Приклад 3.10. Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з трьох гармат дорівнює відповідно
. Знайти ймовірність хоча б одного влучення (подія А) при одному залпі із усіх гармат.Розв’язання. Результати пострілів – події одна від одної не залежні. Нехай А1 = ,,Влучення першої гармати”, А2 = ,,Влучення другої гармати”, А3 = ,,Влучення третьої гармати”.
Ймовірність промахів в кожному з випадків дорівнює
; 
; 
.Потрібна ймовірність:
.Приклад 3.11. Ймовірність того що подія появиться хоча б один раз з трьох незалежних у сукупності випробуваннях дорівнює 0,936. Знайти ймовірність появи події в одному випробуванні вважаючи, що в усіх випробуваннях ймовірність появи події одна і та ж.
Розв’язання. Так як події не залежні то можна використати формулу
; 
або 
; 
; 
.Н
аслідком основних формул суми та добутку ймовірності є формула повної ймовірності та формули Байєса.Нехай подія А може відбутися при умові появи однієї з несумісних подій
які утворюють простір елементарних подій. Нехай відома ймовірність цих подій і умовні ймовірності
. Теорема. Ймовірність події А, яка може відбутися лише при умові появи однієї з несумісних подій
, які утворюють простір елементарних подій, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А. 
Цю формулу називають формулою повної ймовірності.
Доведення. За умовою подія А може відбуватися, якщо відбудеться одна з несумісних подій
.Тобто подія А може відбутися, якщо відбудеться одна, не важливо яка, з несумісних подій
; 
; ...; 
.Використовуючи формулу суми ймовірностей несумісних подій маємо:
.Для того щоб обчислити кожний з доданків використаємо формулу добутку залежних подій.
; 
; 
; ...; 
. Підставивши знайдені значення, отримаємо: .Нехай подія А може наступити при умові появи однієї з несумісних подій
, які утворюють простір елементарних подій. Так як завідомо невідомо, яка з цих подій відбудеться першою то їх називають гіпотезами. Ймовірність події А можна знайти за формулою повної ймовірності: Припустимо що зроблено випробування внаслідок якого відбулася подія А.
Наше завдання, з’ясувати, як зміняться ймовірності гіпотез, вважаючи що подія А відбулася. Тобто:
, 
,...,
- ?За формулою множення імовірностей залежних подій
або 
, 
, 
.Підставимо замість Р(А) початкову формулу:
.Аналогічно шукаються умовні ймовірності інших гіпотез
в загальному вигляді
.Дані формули називають формулами Байєса (по імені англ. математика якій їх вивів, опубліковані були в 1764р.)
Формули Байєса дозволяють переоцінити ймовірності гіпотез після того, як стає відомо результат випробування, внаслідок якого відбулась подія А.
Приклад 3.12. Муніципальний службовець збереже своє місце роботи з ймовірністю 0,9, якщо мер міста буде переобраний на новий термін та з ймовірністю 0,5, якщо буде обраний новий мер. Ймовірність того, що мер буде переобраний становить 0,6.
а) До опублікування результатів виборів оцінити ймовірність того, що муніципальний службовець збереже своє місце роботи .
б) Відомо, що муніципальний службовець зберіг своє місце роботи після виборів. Яка ймовірність того, що мер був переобраний на новий термін?
Розв’язання. Розглянемо дві гіпотези В1 = ,,Мера перебрано” В2 = ,,Обрано нового мера”. Ймовірності гіпотез дорівнюють
.Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що службовець збереже своє місце роботи, тоді
.Далі застосовуючи формулу повної ймовірності, отримаємо відповідь на перше питання
.Для відповіді на друге питання застосуємо формулу Байєса:
.Схема основних формул
Словник-мінімум до лекції 3
| Сonditional probability | Умовна ймовірність |
| Addition theorem | Теорема додавання (ймовірностей) |
| Multiplication theorem | Теорема множення (ймовірностей) |
| Probability of occurrence of A with respect to B | Ймовірність появи події А за умови появи події В |
| Extension of multiplication theorem | Узагальнення (розширення) теореми множення |
| Low of total probability | Формула (закон) повної ймовірності |
| Baye’s theorem | Теореми (формули) Байєса |
| Occurrence of event A | Подія А, що відбулася |
| Pairwise independent events | Попарно незалежні події |
| Proof | Доведення |
| To satisfy the following conditions | Задовольняти наступним умовам |
| Corollary | Наслідок |