Лекція 1 Випадкові події
Лекція 1 Випадкові події
Статистична ймовірність.
Простір елементарних подій.
Співвідношення між подіями. Поняття
- алгебри.Класичне означення ймовірності, властивості ймовірності.
Приклади обчислення ймовірності.
1.1 Статистична ймовірність
При дослідженні різноманітних явищ ми проводимо спостереження над деякими величинами, які певною мірою характеризують це явище. Для вивчення закономірностей досліджуваних явищ доводиться повторювати один і той самий експеримент (дослід, випробування, спростереження).
Закономірності починають проявлятись при багатократному повторенні експерименту в однакових умовах.
Вивчення специфічних закономірностей випадкових подій є предметом теорії ймовірностей.
Під випадковою розуміють ту подію, яка може відбутися, а може не відбутися в результаті проведення експерименту, результати якого не можна наперед передбачити.
Нехай деякий експеримент повторюється
разів і в результаті 
разів настала подія 
. Відношення 
називають відносною (статистичною) частотою появи події в цій серії випробувань. При певному числі випробувань частота події має випадковий характер і може значно змінюватись від однієї серії випробувань до іншої.
Серед всієї сукупності експериментів можна виділити ті, які мають статистичні властивості: невизначеність результатів і стійкість відносних частот.
Невизначеність результатів означає, що неможливо наперед передбачити результат даного експерименту. Основні умови експерименту, які визначають його протікання, залишають незмінними, але, як би точно не фіксувались основні умови експерименту, неможливо при його дублюванні досягти точного співпадання його результатів. Тому виникає необхідність вивчення природи і структури випадковостей, які впливають на результати експерименту.
Теорія ймовірностей має справу лише з тими подіями, які мають властивість стійкості відносних частот.
Уперше “стійкість частот” була виявлена при дослідженні явищ демографічного характеру.
Математичне формулювання закономірності “стійкості частоти” вперше дав Я.Бернуллі у своїй теоремі, яка є найпростішою формою закону великих чисел. Я.Бернуллі довів, що при необмеженому збільшенні числа однорідних
Лекція 1
незалежних випробувань з практичною достовірністю можна стверджувати, що частота подій буде як завгодно мало відрізнятися від її ймовірності в окремому випробуванні.
Властивість “стійкості частот”, багатократно перевірена експериментально і підтверджена всім досвідом практичної діяльності людства, є однією з найхарактерніших закономірностей, спостережуваних у випадкових явищах.
Отже, властивість полягає в тому, що при великому числі випробувань відносна частота мало відрізняється від деякого числа. Число, навколо якого групуються відносні частоти появ події
називають ймовірністю події і позначають 
. Це означення ймовірності називають статистичним або частотним.Проте воно не дає відповіді на питання: яким великим повинно бути число
випробувань і на скільки, при даному , може відхилятись від ймовірності відносна частота. Тому Р.Мізес запропонував інше означення ймовірності
як границі відносних частот:
.Але при побудові на основі цього означення строгої математичної теорії виникають значні труднощі.
Отже, ми будемо говорити, що статистичний експеримент має наступні особливості:
можна провести в незмінних умовах необмежене число незалежних одне від одного випробувань, в кожному з яких подія
може появитися або не появитися;результати багатократних випробувань показують, що частота події
майже для кожної серії випробувань лише незначно відхиляється від деякої (взагалі кажучи невідомої) сталої.Простір елементарних подій
Для побудови і вивчення математичних моделей випадкових експериментів введемо ряд основних понять.
Означення 1.1 Елементарними подіями, пов’язаними з певним випробуванням, називають усі нерозкладні результати цього випробування.
Позначають елементарні події, як правило,
або 
. Означення 1.2 Множину
елементарних подій таких, що в результаті реалізації експерименту обов’язково настає тільки одна з елементарних подій називають просторомелементарних подій.Випадкові події
Простір
, який може бути скінченною або зчисленною множиною елементів , позначатимемо відповідно:
.Множина
для даного експерименту може бути дискретна, неперервна або мати складнішу структуру. До дискретних відносяться скінченні або зчисленні множини, до неперервних – множини типу континууму.Наприклад.
Кидаємо гральну кісточку. Тут
- скінченна множина.На відрізок
числової прямої кидають точку. Множина 
- множина типу континуум.Підмножини простору елементарних подій називають подіями і позначаютьбуквами
. Очевидно, що подія настає, якщо настає будь-яка з елементарних подій 
. Саму множину називають вірогідною або достовірною подією, а порожню множину Ø – неможливою подією. Отже, достовірна подія – це подія, яка завжди відбувається, бо складається з усіх елементарних подій. Неможлива подія ніколи не відбувається, бо не містить ні однієї елементарної події. 1 2 3 4