Ім'я файлу: ЧМ - 01.docx
Розширення: docx
Розмір: 34кб.
Дата: 17.12.2022
скачати

Міністерство освіти і науки України

ІФНТУНГ


Кафедра комп’ютерних технологій

в системах управління і автоматики

Лабораторна робота № 1

Абсолютна та відносна похибки


Виконав:

Ст.гр.АКС-20-1

Дутчак Н. Ю.
Перевірив:

Малько О.Г.

м.Івано-Франківськ

2022 р.

ПЗ 1.Абсолютна та відносна похибки

Мірою точності наближеного числа є похибка. Розрізняють абсолютну

та відноснупохибку наближеного числа.

Нехай x– це наближене подання числа Х. Тоді величину ∆х=|x– Х| називають абсолютною похибкою подання числа Х за допомогою числа x. Як правило, ця величина має лише теоретичний інтерес, оскільки точне значення Хзазвичай невідоме. На практиці використають максимально можливе

значення ∆х– число

х , що задовольняє нерівність

х х.

хназивають максимальною, або граничноюабсолютноюпохибкою.

При цьому, має виконуватися умова, що х

менше”).

<< |x| (знак << означає “значно

Проте, абсолютна похибка не демонструє якості обчислення або вимірювання – важливе значення абсолютної похибки, що припадає на одиницю вимірювання.

Величину

х

називають відносноюпохибкоюподання числа Х

числом x. Так само як і у випадку з абсолютною похибкою, вводять поняття

максимальної, або граничної відносної похибки

нерівність х х.

х, що задовольняє

На практиці використовують формулу:


х .


x
x

Очевидно, що х

<< 1.

Відносну похибку зазвичай вимірюють у відсотках. Крім того, відносну похибку завжди округлюють із надлишком.

Треба зауважити, що наведені оцінки похибок наближених чисел справедливі лише, якщо запис цих чисел містить всі значущіцифри.

Значущою цифрою наближеного числа називають всяку цифру в його десятковому поданні починаючи з першої зліва ненульової цифри.

Проте, точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від кількості вірнихзначущихцифр.

Кажуть, що число xє наближенням точного числа Хз nвірнимидесятковими знаками у вузькому розумінні, якщо абсолютна похибка цього числа ∆xне перевершує половини одиниці n-го розряду в запису числа x.

У деяких випадках зручно говорити, що число x є наближенням точного числа Хз nвірнимидесятковимизнакамивширокомурозумінні, якщо абсолютна похибка цього числа ∆xне перевищує одиниці десяткового розряду, що виражається n-ою значущою цифрою в запису числа x.

Похибки округлення

У тих випадках, коли наближене число містить зайву кількість невірних значущих цифр, удаються до округлення.

Завдання: 1) Визначити, яка рівність точніша:

 4.24

чи ⁹  0.818 .

11

2. 
   Округлити сумнівні цифри, залишивши вірні знаки: а) числа 72.353 ^ 0.026 у вузькому розумінні;
   

б) числа 2.3544; δ=0.2% у широкому розумінні;

2. 
   Знайти граничні абсолютні та відносні похибки чисел: а) 0.4357;
   

б) 12.384,

якщо вони мають лише вірні цифри: а) у вузькому розумінні;

б) у широкому розумінні.

Розв’язання:

1. 
   Позначимо:
   

 4.24  x₁,

⁹  0.818  x

11 ²

. Знаходимо значення даних

виразів із більшою кількістю десяткових знаків, ніж наявні наближення:

X₁ 

 4.2426,

X₂ 

⁹  0.81818. Обчислюємо граничні абсолютні

11

похибки, округляючи їх із надлишком:

x₁ 

x₁  X₁

 4.24  4.2426  0.0026  0.0027  x₁

x₂ 

x₂  X₂

 0.818  0.81818  0.00018  0.00019  x₂

 x₁



 x₂

Граничні відносні похибки становитимуть:

  ^0.0027  0.0006367  0.00064 (0.064%)

4.24

  ^0.00019  0.0002322  0.00024 (0.024%) _.

0.818

Оскільки х₂

 х₁

, то рівність

⁹  0.818

11

є більш точною.

Відповідь:Рівність

⁹  0.818

11

точніша.

_х**

^{ х окр 0.026  0.353  0.379} .

Оскільки х^**  0.5 , то в округленому числі 72 обидві цифри, що

залишилися, вірні у вузькому розумінні.

Відповідь:x=72.

б) Нехай х=2.3544; x=0.2%.

Абсолютна похибка х х  х 2.3544 *0.002  0.00471.

х 0.01. Це означає, що у числі 2.3544 вірними у широкому розумінні є три цифри, тому округлюємо його, залишаючи ці три цифри: х^*=2.35.

х^*  х _окр 0.0044  0.00471  0.00911 .

Оскільки х^*  0.01, то в округленому числі 2.35 всі три цифри вірні у

широкому розумінні.

Відповідь: х=2.35.

3) а) Оскільки всі чотири цифри числа х=0.4357 вірні у вузькому розумінні, то гранична абсолютна похибка ∆x = 0.00005, а гранична відносна похибка

х ^0.00005  0.00011476  0.00012

0.4357

(0.012%).

Відповідь:∆x= 0.00005;

 õ 0.00012 (0.012%)

б) Оскільки всі п’ять цифр числа х=12.384 вірні у широкому розумінні, то гранична абсолютна похибка ∆x= 0.001, а гранична відносна похибка

х

0.001


12.384

 0.0000807 ^ 0.000081 (0.0081%).

Відповідь:∆x= 0.001; ^{ õ 0.0000807(0.0081%)} .

№2. 1)

 8.54 ; 7/15  0.467 .





Оскільки ,то рівність є більш точною.
Відповідь: рівність є більш точною

2. 
   а) 6.4257 ( 0.0024 ); б) 17.2834;   0.3% .
   

а) Нехай 6.4257 ( 0.0024 )

^{х*  х окр 0.024  0.041 0.065} .

_х**

2. 
   ^{ х окр 0.024  0.} 425 ^{ 0.449} .
   

Відповідь:x=6.

б) Нехай х=17.2834; x=0.3%.

Абсолютна похибка х х  х 17.2834*0.03  0.51851.

х^*  х _окр 0.0034  0.51851  0.55251 .

Оскільки х^*  0.01, то в округленому числі 17.28 всі три цифри не вірні у

широкому розумінні.

Відповідь: х=17.28.

2. 
   а) 3.751; б) 0.537.
   

а)∆x = 0.00005

1,33298=1,34

Відповідь: ∆x = 0.00005; d õ = 1,34 (1.34%)

б) ∆x = 0.001



Відповідь: ∆x = 0.001; d õ = (0.0019%) .