МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ВОЛИНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ЛЕСІ УКРАЇНКИ
Кафедра диференціальних рівнянь і математичної фізики
КУРСОВА РОБОТА
Деякі методи розв’язання диференціальних рівнянь
Виконала студентка групи
«Матем 52 Оз»,
факультету інформаційних систем та математики,
напряму підготовки «Математика»
Бурик Людмила Віталіївна
Науковий керівник:
к. ф. –м. н., доц. Жигалло К. М.
ЛУЦЬК 2020
Зміст
Вступ…………………………………………………………………………………3
Розділ 1. Диференціальні рівняння…………………………………...…………4
1.1 Деякі основні поняття і визначення в диференціальних рівняннях…...….…4
1.2 Лінійні диференціальні рівняння………………………………………………6
1.3 Наближене розв’язання диференціальних рівнянь……………………….…..7
Розділ 2. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів……11
2.1 Спосіб послідовного диференціювання……………………………….……...11
2.2 Метод невизначених коефіцієнтів…..…………………………………...……13
Список використаної літератури……………………………………………….18
Вступ
Для успішної участі у сучасному суспільному житті особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв’язання практичних задач. Певної математичної підготовки і готовності її застосовувати вимагає і вивчення багатьох навчальних предметів. Значні вимоги до володіння математикою у розв’язанні практичних задач ставлять сучасний ринок праці, отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступних етапах. Тому одним з головних завдань цього тренінгу є забезпечення умов для досягнення кожним студентом практичної компетентності.
Актуальність теми: Як і сама математика, диференціальні рівняння стали широко використовуватися не лише математиці, але в багатьох інших науках . Отож, наскільки важливими є диференціальні рівняння і як часто ми їх зустрічаємо в реальному житті?! Можливо для декого це буде неочікувано, але насправді, диференціальні рівняння відіграють величезну роль в нашому житті і це стосується не тільки математиків, фізиків, але й людей , які зовсім не пов'язані з наукою, їхню значущість можна оцінити з можливості математично описати, або моделювати, реальні життєві ситуації . Диференціальні рівняння описують різноманітні процеси в таких дисциплінах як екологія , хімічна кінетика, архітектура, машинобудування, демографія , механіка, електротехніка, медицина , метрологія , економіка і взагалі , яких тільки не існує явищ зміни однієї величини відносно іншої, то воно може бути описане диференціальним рівнянням, або їх системою.
Мета дослідження полягає в аналізі інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів. Об’єктом дослідження є диференціальні рівняння та шляхи вирішення диференціальних рівнянь.
Постановлена мета зумовлена вирішенням такого завдання: дослідження шляхів вирішення диференціальних рівнянь, їх інтегрування за допомогою степеневих рядів.
Розділ 1. Диференціальні рівняння
Деякі основні поняття і визначення в диференціальних рівняннях
Диференціа́льні рівня́ння — рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їхніми похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
Такі залежності віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін. Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів, коливань, теплопровідності, деформації балок і пластин, поширення електричного струму у провіднику, тощо.
Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить у рівняння.
Степенем диференціального рівняння називається найвищий степінь, до якого піднесено похідну найбільшого порядку, що входить у рівняння.
Розв'язком диференційного рівняння порядку n називається функція, що має похідні, до n-ного порядку включно на деякому інтервалі, підставлення якої у рівняння перетворює його у тотожність. Якщо рівняння має розв'язок, то не один, а нескінченну множину; розв'язок може залежати не лише від аргументу, але також від однієї або декількох довільних сталих чи функцій. Якщо розв'язок рівняння отримано у формі неявної функції, то його називають інтегралом рівняння.
Початковими умовами або граничними умовами називаються додаткові умови, що накладаються на функцію при розв'язку конкретної задачі, що приводить до диференціального рівняння. За цих умов розв'язок може виявитись єдиним. Розв'язок рівняння, що залежить від довільних сталих, кількість яких дорівнює порядку рівняння і які можуть бути підібраними так, щоб задовольнити будь-яким початковим та граничним умовам, що допускають єдиний розв'язок, називається загальним розв'язком.
Частинним розв'язком диференціального рівняння називається будь-який розв'язок, що може бути отриманий із загального при визначених числових значеннях довільних сталих. Довільні сталі, що входять в загальний розв'язок, визначаються з початкових або граничних умов.
Диференціальне рівняння називається інтегровним в квадратурах, якщо задачу знаходження усіх розв'язків можна звести до обчислення скінченного числа інтегралів від відомих функцій і простих алгебраїчних операцій. Через те, що багато рівнянь не можуть бути виражені через прості функції, тому деякі, рішення, що часто зустрічаються в таких задачах, отримали власні назви, були досліджені їх значення і взаємозв'язок, і тепер вони входять у число спеціальних функцій.
Спочатку диференціальні рівняння виникли із задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їхні швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу, пізніше вони знайшли застосування практично в усіх розділах фізики - такі основні для своїх областей рівняння як рівняння Максвелла в електродинаміці, рівняння Ейнштейна у загальній теорії відносності та рівняння Шредінгера у квантовій механіці є диференціальними. Багато моделей з інших наук, таких як біологія, хімія і економіка також описуються різноманітними диференціальними рівняннями.
Для багатьох з цих рівнянь, в тому числі практично важливих, наприклад, рівняння Нав'є-Стокса, допоки що не знайдено розв'язку в загальному вигляді. Проте в реальних задачах за допомогою чисельних методів можна знайти їх рішення з будь-якою необхідною точністю.
1.2. Лінійні диференціальні рівняння
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду
, (1.1)де
, i =
1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок y=y(x), який задовольняє початковим умовам
.Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).
Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розв’язок при конкретних початкових умовах є частинним. Якщо при
стоїть 
, то точки, в яких =0, називаються особливими.Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним
. (1.2)Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор
. (1.3)Властивості оператора L :
L (ky)=k L (y), k = const;
L (
)=L (
) + L (
);L
, де 
– деякі числа.Використовуючи оператор L диференціальні рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді
L (y) = f (x),
L (y) = 0 .
Означення 5.1. Функція y=y(x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L(y)
f(x) (для диференціального рівняння (1.2) 
). Лінійне диференціальне рівняння (1.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної
.Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції
(1.4)при певних обмеженнях на функції
та 
.1.3. Наближене розв’язання диференціальних рівнянь
Якщо розв’язок диференціального рівняння не виражається через елементарні функції в кінцевому вигляді або спосіб його розв’язання складний, то для наближеного розв’язання рівняння можна скористатися рядом Тейлора.
Ознайомимося з двома способами розв’язання диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів.
Нехай, наприклад, треба розв’язати рівняння
(1)яке задовольняє початковим умовам
. (2)Розглянемо спосіб послідовного диференціювання.
Розв’язок
рівняння (22) шукаємо у вигляді ряду Тейлора:
, (3)при цьому перші два коефіцієнти знаходимо з початкових умов (2). Підставивши в рівняння (1) їх значення, обчислимо значення третього коефіцієнта:
Значення 
знаходимо шляхом послідовного диференціювання рівняння (1) по х і обчислення похідних при 
Знайдені значення похідних (коефіцієнтів) підставляємо до формули (3). Ряд (3) є частинним розв’язком рівняння (1) для тих значень х, при яких він є збіжним. Часткова сума цього ряду буде наближеним розв’язком диференціального рівняння (1).Цим способом можна шукати і загальний розв’язок рівняння (1), якщо
і
розглядати як довільні постійні.Спосіб послідовного диференціювання застосовується для розв’язанняння диференціальних рівнянь будь-якого порядку.
Приклад. Методом послідовного диференціювання знайти п'ять перших членів (відмінних від нуля) розкладання у ряд розв’язку рівняння
Розв’язання. Шукатимемо розв’язок рівняння у вигляді
При цьому
Знаходимо
, підставивши х = -1 до початкового рівняння. Для знаходження наступних коеффіцієнтів диференціюємо задане диференціальне рівняння:
При х = -1 маємо:
,
,
Підставляючи знайдені значення похідних до даного ряду, отримаємо:
Розглянемо тепер спосіб невизначених коефіцієнтів.
Цей спосіб наближеного розв’язання найбільш зручний для інтегрування лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.
Нехай, наприклад, треба розв’язати рівняння
(4)з початковими умовами
Припускаючи, що коефіцієнти p1(x), p2(x) і вільний член f(x) розкладаються у ряди за степенями х-х0, що збігаються в деякому інтервалі
, розв’язок шукаємо у вигляді степеневого ряду
(5)з невизначеними коефіцієнтами.
Коефіцієнти с0 і с1 при цьому обчислюються за допомогою початкових умов с0 = у0, с1 =
.Для знаходження подальших коефіцієнтів диференціюємо ряд (5) двічі (який порядок рівняння) і підставляємо вирази для функції у і її похідних до рівняння (4), замінивши в ньому
їх розкладаннями. У підсумку отримаємо тотожність, з якої методом невизначених коефіцієнтів знайдемо інші коефіцієнти. Знайдений ряд (5) є збіжним у тому ж інтервалі і є розв’язком рівняння (4).Приклад. Знайти розв’язок рівняння
, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.Розв’язання. Розкладемо коефіцієнти рівняння в степеневі ряди:
Шукаємо розв’язок рівняння у вигляді ряду
Тоді
З початкових умов знаходимо:
. Підставляємо отримані ряди до даного диференціального рівняння:
.Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х:
.Звідси маємо:
Таким чином, отримаємо розв’язок рівняння у вигляді
тобто 
Розділ 2. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів
2.1 Спосіб послідовного диференціювання
У тих випадках, коли знайти розв'язки диференціального рівняння в елементарних функціях неможливо, для широкого класу рівнянь можна знаходити розв'язок (частинний або загальний) у вигляді розвинення у степеневий ряд. Розглянемо два основні способи знаходження коефіцієнтів ряду.
Нехай, наприклад, потрібно знайти розв'язок задачі Коші для диференціального рівняння
, який задовольняє початкові умови 
. Якщо в околі точки 
виконуються умови теореми існування і єдиності розв'язку задачі Коші та існує розв'язок рівняння у вигляді степеневого ряду, то його можна знаходити у вигляді ряду Тейлора 
. Перші два коефіцієнти ряду визначаються початковими умовами, а решту коефіцієнтів знаходимо послідовним диференціюванням рівняння і обчисленням значень похідних у точці 
. Якщо початкові умови не задані, то таким же способом знаходимо загальний розв'язок, вважаючи 
і 
довільними сталими.Цей метод не дозволяє, як правило, знайти загальний член ряду, а тому дослідити збіжність ряду до розв'язку рівняння неможливо.
Приклад 1. Знайдемо перші 5 членів розвинення у степеневий ряд розв'язку задачі Коші для диференціального рівняння
,що задовольняє початкові умови 
. Відомо, що існує розв'язок рівняння у вигляді степеневого ряду.Розв’язок будемо шукати у вигляді ряду Тейлора
Перші два коефіцієнти ряду задані початковими умовами. Підставимо у дане рівняння
знайдемо 
Продиференцюємо задане рівняння: 
Підставимо сюди значення 
отримаємо 
Ще раз диференцюємо рівняння: 
Підставимо значення у і похідних при 
дістанемо 
і т.д.Підставимо знайдені значення похідних у ряд, отримаємо
2.2. Метод невизначених коефіцієнтів
Якщо диференціальне рівняння лінійне відносно функції у та її похідних, причому коефіцієнт при старшій похідній в точці
не дорівнює нулю, то розв'язок рівняння знаходимо у вигляді загального степеневого ряду 
.На прикладі рівняння
із початковими умовами 
, 
розглянемо спосіб знаходження невизначених коефіцієнтів 
.Двічі диференціюємо ряд із невідомими коефіцієнтами, отримаємо ряди для 
і 
. Розвиваємо коефіцієнти рівняння 
, 
, та функцію 
у степеневі ряди за степенями 
. Підставляємо всі ці ряди в рівняння. Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях 
в обох частинах рівності та визначаємо коефіцієнти 
. У теорії диференціальних рівнянь доведено, що якщо функції , , та можна розвинути в степеневі ряди на інтервалі 
за степенями 
і 
, то існує єдиний розв'язок 
задачі Коші, який можна подати у вигляді степеневого ряду за степенями , що збігається при 
,де 
.Приклад 2. Знайдемо частинний розв'язок диференціального рівняння
,що задовольняє початкові умови 
, 
.? Будемо шукати розв’язок задачі Коші у вигляді ряду Маклорена з невизначеними коефіцієнтами:
Двічі диференцюємо цей ряд:
Підставимо ряди для
у рівняння, дістанемо
У цій тотожності прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х, одержимо
Із початкових умов знаходимо
а з отриманих рівностей знаходимо такі залежності: 
Знаходимо невідомі коефіцієнти:
Розв’язок задачі Коші розкладається у степеневий ряд:
Цей ряд збігається до
на всій числовій осі. ?Приклад 3. Знайдемо загальний розв'язок диференціального рівняння
у вигляді ряду за степенями х та область збіжності цього ряду.? Будемо шукати розв’язок задачі Коші у вигляді ряду Маклорена з невизначеними коефіцієнтами
Двічі диференцюємо цей ряд:
Підставимо ряди для
у рівняння, дістанемо
Прирівнюємо до нуля коефіцієнти при однакових степенях х:
Із цих рівностей виразимо всі коефіцієнти через
і 
, вважаючи останні довільними сталими:
звідки
Підставимо значення коефіцієнтів у ряд, дістанемо загальний розв’язок рівняння у вигляді ряду
Розв’язки
є частинними розв’язками для диференціального рівняння, що утворюють фундаментальну систему. За ознакою д’Аламбера легко пересвідчитися у тому, що обидва ряди збіжні на всій числовій осі.
Список використаної літератури
Шкіль М.І. Звичайні диференціальні рівняння / М.І. Шкіль, М.А. Сотніченко. – К. : Вища шк., 1992. – 266с.
Гудыменко Ф.С. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / Ф.С. Гудыменко, И.А. Павлюк, В.А. Волкова. – К. :Вища шк., 1972. –156с.
Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Еругин Н.П. – М. : Наука и техника, 1972. – 668с.
Еругин Н.П. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин, И.З. Штокало, П.С. Бондаренко. – К. : Вища шк., 1974. – 472с.
Лопатинский Я.Б. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Лопатинский Я.Б. – К. : Вища шк.,1984. – 200с.
Ляшко І.І. Диференціальні рівняння / І.І. Ляшко, О.К. Боярчук, Я.Г. Гай, О.Ф. Калайда. – К. : Вища шк., 1981. – 504с.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Матвеев Н.М. – М. : Высшая шк., 1967. – 564с.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Петровский И.Г. – М. : Наука, 1970.-280с.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Понтрягин Л.С. – М. : ГИФМЛ, 1961. – 312с.
.Самойленко А.М. Диференціальні рівняння / А.М. Самойленко, М.О. Перестюк, І.О. Парасюк. – К. : Либідь, 1994. – 360с.
Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. – К. : Вища шк.,1984. – 408с.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / Степанов В.В. – М. : ГИТТЛ,1952. – 468с.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / Филиппов А.Ф. – М. :Наука. – 1979. – 128с.