Конспект лекцій з дисципліни «Математичне моделювання в електроніці»

2
Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу
Дніпровького державного технічного університету заборонено.
Конспект лекций з дисципліни «Математичне моделювання в електроніці » для здобувачів вищої освіти другого (магістерського) рівня зі спеціальності 171 «Електроніка» за освітньо-професійною програмою «Електроніка»
Укладач: Трикіло А.І– М Кам’янське: ДДТУ, 2018. – 33 с.
Укладач: доценти, кандидати техн. наук Трикіло А.І.
Відповідальний за випуск: завідувач кафедри Електроніки, доктор технічних наук, професор. Мещанінов С.К
Рецензент: кандидат технічних наук, доцент Багрій В.В.,
Затверджено на засіданні кафедри Електроніки
(протокол № _1_ від __20. 01. __2018 р.)
Коротка анотація: : у конспекті лекцій наведені теоретичні матеріали що до методів та засобів математичного моделювання електронних систем, аналіз їх статичних режимів нелінійних електронних схем та малосигнальний аналіз схеми в частотній області.

3
Зміст
Введення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Загальні питання моделювання електронних ланцюгів. . . . .5
1.1 Математичні моделі електронних ланцюгів. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Класифікація математичних моделей електронних схем. . . . .6
1.3 Класифікація електронних схем по типу рівнянь
вживаних в їх математичних моделях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Моделі компонентів електронних схем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1. Ідеальні активні перетворювачі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.4.2. Аномальні елементи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.4.3. Напівпровідниковий діод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.4.4. Біполярний транзистор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2 Аналіз статичного режиму нелінійних електронних схем . . .13
2.1. Формування схемної моделі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2. Формування математичної моделі. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .15
2.3 .Решение рівнянь статичного режиму. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..18
2.4. Визначення елементів матриці Якобі. . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 20
3 . Малосигнальний аналіз схеми в частотній області. . . . . . . .22
3.1 Формування схемної і математичної моделей. . . . . . . . . . . . . .22
3.2 Передавальна функція. Частотні характеристики. . . . . . . . . 23
3.3 Визначення функції чутливості. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
3.4 Аналіз стійкості схеми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Список використаних джерел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4
Введення
Проектування електронних схем (або просте проектування схемотехніки) зводиться до рішення групи задач синтезу і задач ана-лиза. При цьому під структурним синтезом розуміють створення (інтуїтивне або формалізоване) якогось варіанту схеми, не обяза-тельно остаточного. В процесі проектування синтез як задача мо-жет виконуватися багато раз, чергуючи з рішенням задач аналізу. В задачу аналізу входить вивчення властивостей схеми по заданій в результаті синтезу її структурі, характеру вхідних в неї компонентів і їх параметрів.
Методи аналізу і розрахунку електронних схем постійно розвиваються і удосконалюються. Причин цьому дещо. По-перше, стрімко ускладнюється сам предмет аналізу за рахунок:
. якісного переродження елементної бази (від ламп до транзис-тори, мікросхемам, мікропроцесорів, приладів функціональної електроніки);
. виникнення нових принципів побудови пристроїв по усиле-нию, обробці електричних сигналів, перетворенню електричної енергії;
. розширення асортименту приладів і схем з істотно нелінійними характеристиками (тиристори, динисторы, одноперехідні транзистори, оптрони, лямбда-транзистори, тунельні діоди, магнито-транзисторні елементи і ін.);
. упровадження нових дискретно-імпульсних режимів роботи електронних схем перетворення інформації і електричної енергії.
По-друге, якісний стрибок відбувається в технічних засобах аналізу і розрахунку електронних схем (від логарифмічної ли-нейки до мікрокалькуляторів, мікрокомп'ютерів, персональних і уни-версальных ЕОМ), які можуть тепер проводити не тільки числен-ные розрахунки, але і вирішувати складні логічні задачі.
По-третє, підвищуються вимоги до точності, масштабності і глибини аналізу і розрахунку електронних схем, оскільки сучасна тех-нология виробництва
(наприклад, мікросхем) виключає їх эксперимен-тальную доведення, а вимоги до технічних і метрологічних пара-метрів електронних пристроїв постійно ростуть.
По-четверте, ускладнюється вид сигналів, що впливають на схему за рахунок масової появи в їх складі так званих розривних функцій [1].
Мета аналізу електронних схем полягає в отриманні найбільш пол-ной
інформації про їх властивості, виявленні співвідношень між вход-ными і вихідними параметрами, необхідними для розробки алгоритмів розрахунку відомих ланцюгів і синтезу нових заданих технічних вимогах.
Задача аналізу електронних схем включає побудову адекватної математичної моделі електронної схеми, визначення по цій моделі заданих функцій і параметрів, побудову частотних, тимчасових і інших характеристик. На цій основі проводиться дослідження ограниче-ний і граничних перспективних можливостей схеми по

5 функциональ-ному перетворенню вхідних сигналів, досяжної точності преобра-зования або формування заданої форми сигналу, а також осу-ществляется пошук шляхів вдосконалення схем з метою розширення їх функціональних можливостей, підвищення точності, стабільності, быс-тродействия, стійкості і т.д.
Глибокий і ретельний аналіз схем дозволяє провести їх чітку класифікацію по структурних особливостях, що визначають загальні за-кономерности перетворення електричних сигналів і інші властивості, сформулювати рекомендації по оптимальному вибору варіантів схем певного класу по заданих технічних вимогах на проектований пристрій. Це, як відомо, є першим і тому дуже важливим етапом проектування електронних пристроїв, непіддатливим поки бажаній формалізації.
Історично розвиток методології аналізу і розрахунку електронних схем йшов по двох напрямах. По-перше, це аналіз лінійних моделей на базі операційного числення. Методи аналізу, розвинені в рамках цього напряму, не втрачають свого значення і в даний час, володіючи відомим рядом достоїнств. По-друге, це аналіз нелінійних схем чисельними методами.
1. Загальні питання моделювання електронних ланцюгів
1.1. Математичні моделі електронних ланцюгів
В техніці проектування схемотехніки розрізняють внутрішні, зовнішні і вихідні схемні параметри.
Внутрішні параметри W характеризують окремі компоненти проектованого пристрою. Їх розділяють на первинні внутрішні (фізико-технічні) параметри, які відображають конструктивно-тех-нологические і еоектрофізичні властивості компонентів, і вторинні внутрішні (електричні) параметри, в які характеризують соот-носіння між струмами і напругами на полюсах компонентів схеми. До первинних відносяться геометричні розміри окремих полупровод-никовых областей, електричні характеристики напівпровідникових ма-териалов і т.д. До вторинних внутрішніх параметрів . опори резисторів, місткості конденсаторів і т.п.
Зв'язок електричних (вторинних) параметрів компонентів з їх физико- технологічними па-раметрами задається у вигляді аналітичних виразів (рівнянь), таблиць (матриць), схем заміщення (микро- і макромоделей топологічного типу).
Зовнішні параметри Q характеризують умови, в яких працює пристрій
(температура і вогкість навколишнього середовища, початкове сос-тояние пристрої, параметри вхідної дії, конкретні значення часу або частоти, параметри і характер навантаження, рівень перешкод, радіації і т. п.).
Вихідні параметри (характеристики) F характеризують коли-чественные значення техніко-економічних показників
і визначають функціональне призначення схеми. Вихідні параметри також розділяють на первинні і вторинні.
До первинних X(t) відносять струми і напруги на полюсах компонентів схеми,

6 вузлові напруги, контурні струми, вихідні напруги і струми (Xвых(t)). Іноді первинні вихідні параметри називають фазовими змінними.
Вторинними вихідними (схемними) параметрами називають функ-ции (схемні функції) щодо внутрішніх і первинних вихідних параметрів Fi=Fi(X(
t
), Xвых(t), W).
До схемних функцій в загальному випадку відносять аналітичну залежність від внутрішніх параметрів і ком-плексной частоти, що визначає вихідні сигнали схеми.
В тимчасовій області схемні параметри представляються у вигляді амплітудної,
імпульсної і перехідної характеристик, а в частотній - амплітудно-частотними, фазочастотными і амплитудно-фазовими характеристиками. До вихідних параметрів схеми також відносять параметри названих характеристик: тривалість затримок і фронтів реакцій схеми Xвых(t)на вхідні дії Q(t), вхідний і вихідний опір схеми в діапазоні частот або на фіксованій частоті; граничні частоти смуги пропускання; максимально допустима величина перешкоди по вхідній дії; потужність розсіяння в елементах; амплітуда вихідного сигналу Xвых, max (t)або його середнє значення і ін. Після рішення задачі структурного синтезу необхідно скоректувати внутрішні параметри схеми [1].
Моделі компонентів електронних схем можуть бути представлені рівняннями
(математичними моделями) і схемами заміщення (схемними моделями), що складаються з двополюсників (лінійних і нелінійних) і залежних джерел або аномальних елементів (нуллаторов, нораторов, унисторов).
Під математичною моделлю схеми електронного ланцюга ми поні-травнем математичне уявлення (система рівнянь, формули, правила або будь-які інші математичні образи), що відображає з необхідною точністю і відповідно до фізичних законів процеси, що протікають в ланцюзі, і дозволяючі знайти необхідні параметри і характеристики схеми.
Умови вибору математичної моделі визначаються самими раз-личными, а порою і суперечливими чинниками. Як правило, чим складніше сам реальний об'єкт або чим точніше і глибше вимагається провести його дослідження, тим складніше в загальному випадку виходить його математи-ческое уявлення (опис).
Особливо важливий при цьому согласо-ванний з об'єктом і метою дослідження вибір мови математичного опису його моделі. Саме на цьому етапі повинні бути забезпечені зручність сприйняття і найпростіший шлях рішення задачі. Мовою опису вибраної математичної моделі визначається і ступінь її подальшого узгодження з можливостями техніки дослідження. Так, для переважно якісного дослідження простих схем необхідна мова математичного опису, найбільш тісно пов'язаний із структурою об'єкту (топологією схеми), а результати повинні представлятися у вигляді по можливості простої аналітичної залежності або двовимірних графіків і т.п. Точний і багатобічний аналіз складних об'єктів (схем), що проводиться на ЕОМ, вимагає примене-ния опису математичної моделі,

7 зручного для постановки задачі аналізу на ЕОМ і подальшого чисельного її рішення з отриманням необхідних характеристик і параметрів схеми за допустимий час рахунку.
1.2. Класифікація математичних моделей електронних схем
Математичні моделі, що розробляються, повинні оцінюватися по наступних критеріях: точність, економічність, універсальність.
По складності (повноті обхвату) розрізняють моделі компонентів, моделі схем
і моделі систем, що включають декілька схем.
По характеру властивостей моделі, що відображаються, діляться на функцио- нальные і топологічні (структурні). Функціональні моделі отра-жают процеси функціонування пристрою. Частіше всього вони записы-ваются у вигляді системи рівнянь. Топологічні моделі відображають тільки структурні особливості пристроїв. Вони, як правило, мають форму графів, списків векторів, матриць і відображають взаємне распо-ложение елементів в просторі, наявність зв'язків між ними і т.д. [1].
За способами отримання функціональні моделі ділять на теорети-ческие і формальні. Теоретичні моделі будують, використовуючи фи-зические закони (Ома,
Кирхгофа). По характеру залежності, тобто по типу коефіцієнтів в рівняннях, моделі ділять на лінійні і нелінійні.
Залежно від потужності безлічі значень змінних моделі розрізняють як безперервні і дискретні. В безперервних мо-делях змінні безперервні, тому безліч варіантів рішень має потужність континууму. Змінні дискретних моделей . дискретні, а безліч рішень рахунковий.
За формою зв'язків між вихідними внутрішніми і зовнішніми пара-метрами розрізняють моделі алгоритмічні (у вигляді систем рівнянь в базисі вузлових або контурних змінних) і аналітичні (у вигляді явної залежності вихідних параметрів від внутрішніх і зовнішніх).
По тому, чи враховують моделі інерційність процесів, розрізняють моделі статичні (по постійному струму) і динамічні (по змінному струму).
1.3. Класифікація електронних схем по типу рівнянь, вживаних в їх
математичних моделях
Електронний ланцюг залежно від характеристик вхідних в неї компонентів може володіти самими різними властивостями. Реальна залежність між струмами і напругами на її полюсах в загальному випадку завжди нелінійна, достатньо складна
і носить певною мірою статистичний характер. В той же час залежно від режиму роботипристрою по струму (напрузі) і по ряду зовнішніх дій ступінь нелінійності характеристик вхідних в неї компонентів може бути різною, а статистичний

8 характер параметрів компонентів уст- ройства в стаціонарних умовах його експлуатації вельми мало виражений.
При формуванні математичної моделі електронного ланцюга в за-висимости від цілей її аналізу і необхідної точності іноді цілком допус-тимо нелінійну залежність між струмами і напругами на полюсах її компонентів замінити на лінійні. В результаті більш точна і складніша нелінійна модель замінюється менш точною, але більш простою лінійною моделлю. Електронних схем з погляду їх аналізу, а саме по типу рівнянь, що становлять їх математичні моделі, діляться на: лінійні, лінійні параметричні, нелінійні і нелінійні параметричні.
Лінійні схеми, описуються лінійними і диференціальних рівняннями алгебри з постійними коефіцієнтами, в яких параметри всіх компонентів можна вважати постійними. Моделі таких схем відповідно до теорії лінійних дифферен-циальных рівнянь володіють двома дуже важливими з практичної точки зору властивостями.
Це принцип накладення (суперпозиції) і прин-цип інваріантності взаємних відносин обурення і реакції до интег-рированию і диференціюванню.
Принцип накладення формулюється так: реакція лінійної схеми, тобто схеми, описуваною лінійною моделлю, на дію суми обурень рівно сумі реакцій на дію кожного обурення в от-дельности.
Принцип інваріантності в лінійній системі співвідношення між дією і реакцією залишається незмінним при диференціюванні або інтеграції.
Практично важливо запам'ятати, що реакції лінійних схем з посто-янными параметрами не містять нових спектральних складових по відношенню до спектрів впливаючих на схему сигналів.
До лінійних схем відносять:
. електронні схеми, складені з лінійних компонент, тобто компонент, струми і напруги на полюсах яких завжди зв'язані між собою лінійною залежністю (пасивні компоненти);
. електронні схеми, що включають в свій склад так звані квазілінійні компоненти (електронні компоненти . лампи, транзис-тора, оптрони, операційні підсилювачі і ін.), тобто компоненти, зависи-мости між струмами і напругами на полюсах яких можуть бути з певним ступенем допущення описані лінійними співвідношеннями. Таке можливо відносно вказаних електронних компонент, коли вони в аналізованих ланцюгах використовуються в режимах так званого ма- логотипу сигналу.
Лінійні параметричні схеми. Це схеми, в яких є компоненти з параметрами, що змінюються в часі, під дією додаткового (як правило) управляючого джерела.
Такі схеми описуються лінійними рівняннями із змінними коефіцієнтами. Будучи лінійними, параметричні схеми, а точніше їх моделі, володіють властивостями накладення і інваріантності. Проте на відміну від лінійних схем з постійними

9 параметрами в них виникають нові спектральні складові при дії на вхід схеми гармонійних сигналів і при зміні її параметрів по аналогічному закону. Прикладами таких схем є схема з джерелом сигналу, послідовно включеним з вугільним мікрофоном, провідність якого змінюєтьсяпід дейст-вием звукового тиску, а також різні перетворювачі частоти, малошумлячі параметричні підсилювачі, магнито- транзисторні параметроны і т.п.
Нелінійні схеми. Містять хоча б одну компоненту, струми і напруги на полюсах якої зв'язані нелінійною залежністю. Такі ланцюги описуються нелінійнимиинтегродифференциальными уравне-ниями, в яких окремі коефіцієнти при змінних не є постійними і залежать від самої змінної і її похідних. Прінци- піальним відмінністюнелінійних схем є незастосовність до них в загальному випадку принципів накладення і інваріантності.
Нелінійно-параметричні схеми. До них відносять схеми, що со-тримають нелінійні компоненти і компоненти із змінними в часі параметрами. До подібних схем відносяться, наприклад, уст-ройства частотної модуляції, параметричні генератори і ін. Опі-сиваются подібні схеми нелінійними рівняннями із змінними в часі коефіцієнтами.