1   2   3   4   5   6   7   8
Ім'я файлу: Відповіді.doc
Розширення: doc
Розмір: 6317кб.
Дата: 16.05.2023
скачати
Пов'язані файли:
Німецький роман 20 століття 1805.docx
тема 1 цив проц.docx
Презентація аналіз.ppt
Реферат 2.госп.право ПВ-48.docx
Механізм електризації.pdf
Завдання з НП 21-ОД-2014.doc
Лабораторні завдання Презентації.doc
СЦЕНАРІЙ.docx

Комплексні числа. Дії над ними. Послідовності комплексних чисел.

Поняття комплексного числа

Комплексним числом називається вираз вигляду  , де x та y - дійсні числа; i - так звана уявна одиниця. Дійсні числа х і у називаються відповідно дійсною та уявною частинами комплексного числа і позначаються  ,  . Комплексне число прийнято позначати однією буквою  .

Множина всіх комплексних чисел позначається буквою С.

Два комплексних числа  ,  вважаються рівними, якщо рівні відповідно їх дійсні і уявнічастини:  ,  , , Числа  та  називаються комплексноспряженими.

Якщо, зокрема,  , то   вважають дійсним числом  , якщо  , то   позначають   і називають чисто уявним.

Комплексне число   зображується у площині декартової системи координат точкою з координатами . Така площина умовно називається комплексною площиною змінної z або z - площиною, вісь дійсною віссю, а уявною.

Полярні координати точки   на комплексній площині називаються модулем і аргументом комплексного числа і позначаються:

 ,  , .

Оскільки , (рис. 1), то

. (1)

ðŸð¾ð»ð¾ñ‚ð½ð¾ 2741

Вираз, який стоїть праворуч у формулі (1), називається тригонометричною формою комплексного числа .

Модуль комплексного числа визначається однозначно, а аргумент з точністю до : .

Тут під розуміють загальне значення аргументу, на відміну від нього, головне значення аргументу, воно знаходиться на проміжку і відраховується від додатного напряму осі проти годинникової стрілки (іноді розглядають і від’ємні аргументи: ).

 =  

Якщо , то вважають, що ,а невизначений.

Для і маємо і .

Виражаючи   і   у формулі  через r і  , одержимо так звану тригонометричну форму комплексного числа z:



Користуючись відомою формулою Ейлера



можна записати   Вираз z= називається показниковою формою комплексного числа z.

Дії над комплексними числами

Арифметичні операції над комплексними числами   і

  здійснюються за такими правилами:

  1. Додавання і віднімання двох комплексних чисел виконуються за формулою:

 ) = ( ,

Із означення суми безпосередньо випливають наступні закони додавання та віднімання:

  1. комутативний  ;

  2. асоціативний  .

  1. Добутком   комплексних чисел   та   називається комплексне число



 .

Справедливими є наступні закони множення:

  1. комутативний   ;

  2. асоціативний  ;

  3. дистрибутивний (розподільний) відносно додавання

  .

При   із означення добутку випливає  .

Добуток комплексного числа   на спряжене з ним число завжди невід’ємний:



Множення допускає обернену операцію, якщо лише даний множник не дорівнює нулю. Нехай  , тоді можна знайти таке число  , що  .

Будемо мати



Розглянемо дії над комплексними числами в тригонометричній формі.

Нехай

, ,

тоді

.

Отже,

.

Звідси

, .

Ця формула називається формулою Муавра.

При діленні комплексних чисел маємо:

, .

Отже,



Розглянемо добування кореня з комплексного числа. Для даного числа треба знайти число , то за означенням кореня і формулою Муавра маємо:



Звідси

,

Оскільки , , то , де під коренем потрібно розуміти його арифметичне значення, тому



Надаючи значень дістанемо різних значень кореня, а інші цілі значення визначають корені, які співпадають з перерахованими.

Послідовності комплексних чисел

Якщо кожному натуральному числу n за певним законом поставлено у відповідність комплексне число   , то говорять, що на множині комплексних чисел задана послідовність   , … =  .

Границею послідовності   називається число  , якщо для

кожного  0, можна знайти таке число  , при якому для всіх   буде виконуватися нерівність  .

Наведене означення можна сформулювати інакше: точка (число ) a називається границею послідовності { , якщо в кожному  - околі точки a є нескінченна множина точок (чисел) z послідовності { . Поза  - околом може бути тільки скінченна кількість членів послідовності. У цьому випадку зазначають, що послідовність { збігається до числа a і записують . Зокрема, якщо  , то  називається нескінченно малою величиною.

Нехай послідовності комплексних чисел {  відповідають дві послідовності дійсних чисел {  та { , де  ,   . Має місце теорема:

  1   2   3   4   5   6   7   8

скачати

© Усі права захищені
написати до нас