ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
на тему “Решение задач линейного программирования с использованием программы Microsoft Excel”
Цель работы: Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) с помощью программы Microsoft Excel (случай, когда параметры и переменные модели нумеруются одним индексом).
Задание для лабораторной работы: для заданной модели одноиндексной ЗЛП найдите оптимальное решение с помощью программы Microsoft Excel.
Инструкция по применению Microsoft Excel для решения ЗЛП.
Для того чтобы решить задачу ЛП с помощью программы Microsoft Excel, необходимо выполнить следующие действия.
1. Ввод исходных данных задачи:
1.1.Создание экранной формы для ввода условия задачи и отображения результатов ее решения:
обозначения переменных модели,
описание характеристик целевой функции (ЦФ),
описание характеристик ограничений;
1.2 ввести значения параметров задачи в экранную форму:
коэффициенты ЦФ,
коэффициенты при переменных в ограничениях,
вид ограничения,
правые части ограничений;
1.3 ввести зависимости математической модели в экранную форму:
формулу расчета ЦФ,
формулы расчета левых частей ограничений;
2. Решение задачи осуществляется при помощи надстройки "Поиск решения", которая вызывается из меню «Сервис»:
2.1. задать характеристики ЦФ (в окне "Поиск решения"):
ссылку на ячейку, в которой содержится формула расчета целевой функции (целевую ячейку),
направление оптимизации ЦФ;
2.2 ввести ограничения (в окне "Поиск решения"):
ограничения для допустимых значений переменных,
соотношениямежду правыми и левыми частями ограничений.
2.3 установить параметры решения задачи (в окне "Поиск решения");
2.2 запустить задачу на решение (в окне "Поиск решения");
2.3 выбрать формат вывода решения (в окне "Результаты поиска решения").
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Рассмотрим пример нахождения решения для следующей одноиндексной ЗЛП:
(1.1)1. Ввод исходных данных
1.1., 1.2 Создание экранной формы и ввод в нее условия задачи
Экранная форма для ввода условий задачи (1.1) вместе с введенными в нее исходными данными представлена на рис.1.1.
Рис.1.1. Экранная форма задачи (1.1) (курсор в ячейке F6)
В экранной форме на рис.1.1 значению каждой переменной и каждого параметра задачи поставлен в соответствие адрес ячейки таблицы Excel, в которой находится это значение. Адрес ячейки состоит из буквы, обозначающей столбец, и цифры, обозначающей строку, на пересечении которых находится данная ячейка. Так, например, переменным задачи (1.1) соответствуют ячейки B3 (
), C3 (
), D3 (
), E3 (
), коэффициентам ЦФ соответствуют ячейки B6 (
130,5), C6 (
20), D6 (
56), E6 (
87,8), правым частям ограничений соответствуют ячейки H10 (
756), H11 (
450), H12 (
89) и т.д.1.3 Ввод зависимостей математической модели в экранную форму
Ввод зависимости для ЦФ
В ячейку F6, в которой будет отображаться значение ЦФ, необходимо ввести формулу, по которой это значение будет рассчитано. Согласно (1.1) значение ЦФ определяется выражением
. (1.2)Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel (см. рис.1.1), формулу для расчета ЦФ (1.2) можно записать как сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B3, C3, D3, E3), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов ЦФ (B6, C6, D6, E6), то есть
. (1.3)Чтобы задать формулу (1.3) необходимо в ячейку F6 ввести следующее выражение и нажать клавишу "Enter"
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B6:E6), (1.4)
где символ $ перед номером строки 3 означает, что при копировании этой формулы в другие места листа Excel номер строки 3 не изменится;
символ «:» означает, что в формуле будут использованы все ячейки, расположенные между ячейками, указанными слева и справа от двоеточия (например, запись B6:E6 указывает на ячейки B6, C6, D6 и E6). После этого в целевой ячейке появится 0 (нулевое значение) (рис.1.2).
Рис.1.2. Экранная форма задачи (1.1) после выполнения пунктов1.1-1.3
Примечание1.1. Существует другой способ задания функций в Excel с помощью режима "Вставка функций", который можно вызвать из меню "Вставка" или при нажатии кнопки "
"на стандартной панели инструментов. Так, например, формулу (1.4) можно задать следующим образом:курсор в поле F6;
нажав кнопку "
",вызовите окно"Мастер функций – шаг 1 из 2";выберите в окне "Категория" категорию "Математические";
в окне "Функция" выберите функцию СУММПРОИЗВ;
в появившемся окне "СУММПРОИЗВ" в строку "Массив 1" введите выражение B$3:E$3, а в строку "Массив 2" – выражение B6:E6 (рис.1.3);
после ввода ячеек в строки "Массив 1" и "Массив 2" в окне "СУММПРОИЗВ" появятся числовые значения введенных массивов (см. рис.1.3), а в экранной форме в ячейке F6 появится текущее значение, вычисленное по введенной формуле, то есть 0 (так как в момент ввода формулы значения переменных задачи нулевые).
Рис.1.3. Ввод формулы для расчета ЦФ в окно "Мастер функций"
Ввод зависимостей левых частей ограничений
Левые части ограничений задачи (1.1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B3, C3, D3, E3), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (B10, C10, D10, E10 – 1-е ограничение; B11, C11, D11, E11 – 2-е ограничение и B12, C12, D12, E12 – 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, представлены в табл.1.1.
Таблица 1.1
Формулы, описывающие левые части ограничения модели (1.1)
| Левая часть ограничения | Формула Excel |
 или | =СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B10:E10) |
 или | =СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B11:E11) |
 или | =СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B12:E12) |
Как видно из табл.1.1, формулы, задающие левые части ограничений задачи (1.1), отличаются друг от друга и от формулы (1.4) в целевой ячейке F6 только номером строки во втором массиве. Этот номер определяется той строкой, в которой ограничение записано в экранной форме. Поэтому для задания зависимостей для левых частей ограничений достаточно скопировать формулу из целевой ячейки в ячейки левых частей ограничений. Для этого необходимо:
поместить курсор в поле целевой ячейки F6 и скопировать в буфер содержимое ячейки F6 (клавишами "Ctrl-Insert");
помещать курсор поочередно в поля левой части каждого из ограничений, то есть в F10, F11 и F12, и вставлять в эти поля содержимое буфера (клавишами "Shift-Insert") (при этом номер ячеек во втором массиве формулы будет меняться на номер той строки, в которую была произведена вставка из буфера);
на экране в полях F10, F11 и F12 появится 0 (нулевое значение) (см. рис.1.2).
Проверка правильности введения формул
Для проверки правильности введенных формул производите поочередно двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с формулами. При этом на экране рамкой будут выделяться ячейки, используемые в формуле (рис.1.4 и 1.5).
Рис.1.4. Проверка правильности введения формулы в целевую ячейку F6
Рис.1.5. Проверка правильности введения формулы в ячейку F12 для левой части ограничения 3
2. Решение задачи
2.1. Задание характеристик ЦФ
Решение задачи ЛП осуществляется с помощью надстройки "Поиск решения", которая вызывается из меню "Сервис" (рис.1.6):
поставьте курсор в поле "Установить целевую ячейку";
введите адрес целевой ячейки $F$6 или сделайте одно нажатие левой клавиши мыши на целевую ячейку в экранной форме задачи;
введите направление оптимизации ЦФ, щелкнув один раз левой клавишей мыши по селекторной кнопке "максимальному значению".
Рис.1.6. Окно "Поиск решения" задачи (1.1)
2.2 Ввод ограничений и граничных условий
Задание ячеек переменных
В окно "Поиск решения" в поле "Изменяя ячейки" введите адреса $B$3:$E$3. Необходимые адреса можно вносить в поле "Изменяя ячейки" и автоматически путем выделения мышью соответствующих ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
Задание граничных условий для допустимых значений переменных
В нашем случае на значения переменных накладывается только условие неотрицательности, то есть их нижняя граница должна быть равна нулю (см. рис.1.1).
Нажмите кнопку "Добавить", после чего появится окно "Добавление ограничения" (рис.1.7).
В поле "Ссылка на ячейку" введите адреса ячеек переменных $B$3:$E$3. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью всех ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
В поле знака откройте список предлагаемых знаков и выберите
.В поле "Ограничение" введите адреса ячеек нижней границы значений переменных, то есть $B$4:$E$4. Их также можно ввести путем выделения мышью непосредственно в экранной форме.
Рис.1.7. Добавление условия неотрицательности переменных задачи (1.1)
Задание ограничений
Нажмите кнопку "Добавить" в окне "Добавление ограничения".
В поле "Ссылка на ячейку" введите адрес ячейки левой части конкретного ограничения, например $F$10. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью нужной ячейки непосредственно в экранной форме.
В соответствии с условием задачи (1.1) выбрать в поле знака необходимый знак, например =.
В поле "Ограничение" введите адрес ячейки правой части рассматриваемого ограничения, например $H$10.
Аналогично введите ограничения: $F$11>=$H$11, $F$12<=$H$12.
Подтвердите ввод всех перечисленных выше условий нажатием кнопки OK.
Окно "Поиск решения" после ввода всех необходимых данных задачи (1.1) представлено на рис.1.6.
Если при вводе условия задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это делают, нажав кнопки "Изменить" или "Удалить" (см. рис.1.6).
2.3 Установка параметров решения задачи
Задача запускается на решение в окне "Поиск решения". Для установления конкретных параметров поиска решения предварительно необходимо нажать кнопку "Параметры" и заполнить поля окна "Параметры поиска решения" (рис.1.8).
Рис.1.8. Параметры поиска решения, подходящие для большинства задач ЛП
Параметр "Максимальное время" служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).
Параметр "Предельное число итераций"служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее 32 767.
Параметр "Относительная погрешность" служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.
Параметр "Допустимое отклонение" служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.
Параметр "Сходимость" применяется только при решении нелинейных задач. Установка флажка "Линейная модель" обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода.
Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки "OK".
Запуск задачи на решение
Запуск задачи на решение производится из окна "Поиск решения" путем нажатия кнопки "Выполнить".
После запуска на решение задачи ЛП на экране появляется окно "Результаты поиска решения" с одним из сообщений, представленных на рис.1.9, 1.10 и 1.11.
Рис.1.9. Сообщение об успешном решении задачи
Рис.1.10. Сообщение при несовместной системе ограничений задачи
Рис.1.11. Сообщение при неограниченности ЦФ в требуемом направлении
Иногда сообщения, представленные на рис.1.10 и 1.11, свидетельствуют не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условий задачи в Excel были допущены ошибки, не позволяющие Excel найти оптимальное решение, которое в действительности существует.
Если при заполнении полей окна "Поиск решения" были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не было найдено. Иногда слишком малое значение параметра "Относительная погрешность" не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.
В окне "Результаты поиска решения"представлены названия трех типов отчетов: "Результаты", "Устойчивость", "Пределы". Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность. Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку "OK". После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис.1.12).
Рис.1.12. Экранная форма задачи (1.1) после получения решения
Итог лабораторной работы: Выполнение лабораторной работы №1 позволило студентам ознакомится с методологией решения ЗЛП с помощью программы Microsoft Excel. Функции надстройки «Поиск решения», которая использовалась для поиска оптимального решения, также позволяют провести анализ полученного решения и будут рассмотрены в следующих лабораторных работах.